Исследование индекса ММВБ методомn-канального вейвлет-разложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНДЕКСА ММВБ МЕТОДОМ N-КАНАЛЬНОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ

ANALYSIS MICEX INDEX BY N-CHANNEL WAVELET DECOMPOSITION

Подкур П.Н. — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиала) Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова

Podkur P.N. — Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department for Mathematics, Kemerovo Intstitut (branch) Russian Plekhanov University of Economics

Аннотация

Методами вейвлет-анализа исследуется поведение часовых данных индекса ММВБ. Проведено вейвлет-разложение исследуемого сигнала коэффициентами масштабирования 8 и 5. Выявлены периодические составляющие коэффициентов разложения. Разработана модель для прогнозирования поведения сигнала на основе вейвлет-анализа, которая дает хорошие результаты.

Abstract

In the article investigated hourly data MICEX index by methods of wavelet analysis. Wavelet decomposition of the signal was conducted scaling coefficients 8 and 5. Identified the periodic components of the expansion coefficients. Developed a model to predict the behavior of the signal based on wavelet analysis, which gives good results.

Ключевые слова: N-кратномасштабный вейвлет-анализ, вейвлет-разложение; вейвлеты Хаара; индекс ММВБ; сигнал; прогнозирование.

Key words: N-multiresolution wavelet analysis; wavelet decomposition; Haar wavelets; MICEX; signal; forecasting.

В данной статье рассмотрено использование Ж-кратномасштаб-ного вейвлет-анализа для изучения характеристик временных рядов экономического происхождения. Обычными примерами таких рядов являются данные об объемах, или ценах продаж акций или различных

100

индексов товарного или фондового рынка. Для их анализа более естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования N, отличным от 2. Дело в том, что такие временные ряды имеют естественную периодичность по времени. Например, при анализе часовых данных индекса ММВБ естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования N=8 (поскольку каждый день составляет 8 рабочих часов). При анализе дневных данных естественно использовать вейвлеты с параметром масштабирования N=5 (поскольку неделя работы рынка содержит 5 рабочих дней). Соответствующая теория вейвлет-анализа развита в работах [3, с. 78] и [4, с.191].

Рассмотрим часовые данные индекса ММВБ (MICEX) за 2008 год (эти данные загружены через сайт компании «Финам», http://finam.ru/). Индекс ММВБ представляет собой ценовой, взвешенный по рыночной капитализации композитный индекс российского фондового рынка, включающий 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов, виды экономической деятельности которых относятся к основным секторам экономики, представленных в ЗАО «Фондовая биржа ММВБ». Целью исследования является двухуровневый вейвлет-анализ и выявление скрытых периодов в высокочастотных компонентах сигнала. Период наблюдений — 250 рабочих дней, 50 недель. Мы анализируем сигнал за 49 недель, выявляем периоды колебаний сигнала и на основании этого прогнозируем значения индекса на последнюю 50-ю неделю года. Сравнение реальных и прогнозируемых данных с фактическими показывает, что расчетный сигнал на 50-ю неделю правильно угадывает направление движения индекса вверх, момент начала падения и его длительность.

1. Вейвлет-разложение часовых данных индекса ММВБ.

Для исследования берется массив данных CLOSE — значение индекса MICEX в конце часа, поскольку он наиболее верно отражает торги в течение дня. Обозначим выбранный массив символом A. Длина выбранного сигнала L=2000. Поскольку рабочий день составляет 8 часов, то для разложении естественно взять вейвлеты с параметром масштабирования N=8. Выбираем фильтры H80, H81, H82, H83, H84, H85, H86, H87 вейвлетов Хаара так, как предложено в работе [3, с. 84]. Напомним, что вейвлет-разложение сигнала A = {aj производится по формулам:

101

аи =1ап+т, 4к = ± И'пап+т, 1 = 0,1.....7, N = 8.

п=0 п=0

где {Н„°} и Ипг — фильтры вейвлетов [3, с. 75]. Мы используем вейвлеты Хаара и соответствующие фильтры потому, что коэффициентам вейвлет-разложения можно придать определенный смысл, например:

• коэффициенты аппроксимации сА1 = {а1к} получаются усреднением восьми часовых значений, это среднее значение за день;

• детализирующие коэффициенты cD11 = {^11 к} есть разность значений за первый и второй час работы;

• детализирующие коэффициенты cD12 = {^12 к} есть разность между средним значением за два первых часа работы и третьим часом.

В результате разложения получаем 8 массивов вейвлет-коэф-фициентов:

сД = {аи}, сЦ = ёкхл =1,2.....7

2. Второй уровень разложения, N=5, дневные данные.

Производим разложение полученных на предыдущем этапе коэффициентов аппроксимации сА1 = {а1 к} длины ¿8=245. Поскольку неделя составляет 5 рабочих дней, то при разложении естественно взять вейвлеты с параметром масштабирования Ж=5. Выбираем фильтры вейвлетов Хаара, как предложено в работе [3, с. 124]. В результате разложения получаем 5 массивов вейвлет-коэффициентов:

сА = {аг,к}, сЦ = {<к}, 1,2.....5.

3. Использование периодов в целях прогнозирования.

Мы анализируем сигнал в течение 245 дней (49 недель). Построим продолжение нашего сигнала на 5 дней последней рабочей недели и сравним результаты с фактическим поведением индекса в эти оставшиеся дни. Схема экстраполяции следующая:

1. Коэффициенты аппроксимации второго уровня разложения (средние недельные данные), продолжаем по линейности на 1 период (50-я неделя). Считаем, что изменения индекса — такое же, как и за предыдущую неделю.

2 Делаем преобразование Фурье коэффициентов детализации cD2k = {^2кк} второго уровня разложения, выбираем основные

102

частоты, а остальные частоты считаем равными нулю. Делаем обратное преобразование Фурье. Полученные коэффициенты Б2 берем за новые коэффициенты детализации с продолжением их на 50 недель по периодичности. Это есть наш прогноз коэффициентов аппроксимации сБ2к = {й2кк} на следующую неделю.

3. По прогнозным коэффициентам обратным вейвлет-преобра-зованием получаем продолженные коэффициенты аппроксимации А10 первого уровня разложения.

4. Выбираем основные частоты коэффициентов детализации сБк = {й1кк} первого уровня, а остальные частоты считаем равными нулю. Делаем обратное преобразование Фурье с основными частотами. Полученные коэффициенты берем за новые коэффициенты детализации с продолжением их на 250 недель по периодичности, т.е. их значения при п = 246, 247, 248, 249 и 250 считаем, соответственно равными их значениям при п = 1, 2, 3, 4, 5.

Восстанавливаем сигнал А0, длины ¿=2000, по новым, продолженным (на следующие 5 дней) коэффициентам и сравниваем полученный продолженный сигнал А0 с исходным сигналом А=СЬ0БЕ за весь год.

На следующем рисунке приведены графики продолженного сигнала А0 (нижний график) и оригинального (верхний график) за последние 2 недели.

Рис. 1. Реальный (вверху) и расчетный сигнал за 49-50 недели года

103

Вывод. Графики сравнения реального и расчетного сигналов на 49-50 неделях (Рис. 1) показывают, что прогноз на 50 неделе правильно угадывает направление движения индекса вверх, момент начала падения и его длительность. Таким образом, разработанная модель прогнозирования на основе вейвлет-анализа дает хорошие результаты.

Библиографический список

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: РХД, 2001.464 с.

2. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

3. Подкур П.Н. Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N>2. Издатель LAP LAMBERT Academic Publishing, 2010. 172 с.

4. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. М.: ДМК Пресс, 2008. 448 с.: ил.

Контактная информация:

650992, Российская Федерация, г. Кемерово, Проспект Кузнецкий, 39. Тел.: +7 (3842) 75-33-34. e-mail: [email protected]

Contact links:

Kuznetskiy street 39, 650992, Kemerovo, Russian Federation Tel.: +7 (3842) 75-33-34. e-mail: [email protected]

104