Исследование характеристик составных кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний с помощью метода передаточных матриц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www.ejta.org

2018, 2

Д. А. Степаненко, А. С. Емельянова, М. А. Плескач, Н. В. Солодкая

Белорусский национальный технический университет, Республика Беларусь, 220086, г. Минск, пр. Независимости, 65; e-mail: stepd@tut.by

Исследование характеристик составных кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний с помощью метода передаточных матриц

Получена 03.08.2018, опубликована 12.09.2018

Рассмотрено применение метода передаточных матриц для решения задач расчета и проектирования составных кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний. На основе численного примера показано, что существует два типа собственных форм колебаний концентратора: 1) собственные формы со знакопеременной амплитудой радиальных колебательных смещений; 2) собственные формы со знакопостоянной амплитудой радиальных колебательных смещений. При этом усиление колебаний по амплитуде обеспечивается только собственными формами второго типа. По сравнению с методикой, основанной на решении дифференциальных уравнений колебаний, метод передаточных матриц является более эффективным с инженерной точки зрения, так как не требует от расчетчика знаний в области теории дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: кольцевой концентратор, ультразвуковые колебания, передаточная матрица

ВВЕДЕНИЕ

В ультразвуковой технике и технологии для усиления ультразвуковых колебаний по амплитуде могут использоваться стержневые концентраторы в виде стержней с переменной по длине площадью поперечного сечения либо в виде двух соединенных между собой четвертьволновых сегментов с одинаковой площадью поперечного сечения и различным волновым сопротивлением, а также кольцевые концентраторы в виде кольцевых упругих элементов с переменной по длине площадью поперечного сечения, либо состоящих из двух кольцевых сегментов, выполненных из материалов с различным волновым сопротивлением (составные кольцевые концентраторы). Работоспособность кольцевых концентраторов подтверждается теоретическими и экспериментальными исследованиями [1-4]. Основными преимуществами кольцевых концентраторов по сравнению со стержневыми являются технологичность в изготовлении, малые габаритные размеры и масса. Механизм усиления колебаний составными кольцевыми концентраторами аналогичен механизму усиления колебаний стрежневыми концентраторами, состоящими из двух сегментов с различными

акустическими свойствами материала. Авторами была ранее описана методика расчета собственных частот и форм колебаний составных кольцевых концентраторов, основанная на решении дифференциальных уравнений изгибных колебаний кольцевых сегментов, из которых состоит концентратор [4]. Вместе с тем, опыт расчета и проектирования составных стержневых концентраторов показывает, что более эффективным с инженерной точки зрения является использование метода передаточных матриц, который не требует от расчетчика знаний в области теории дифференциальных уравнений [5]. В настоящей статье рассматриваются особенности применения метода передаточных матриц для решения задач расчета и проектирования составных кольцевых концентраторов.

1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА

При использовании метода передаточных матриц колебания концентратора в произвольно взятом поперечном сечении с координатой х описываются вектором параметров колебаний и(х), число линейно-независимых элементов п которого определяется порядком дифференциального уравнения колебаний: для продольных колебаний стержневых концентраторов п = 2, для изгибных колебаний кольцевых концентраторов п = 6. Здесь х может быть как линейной координатой в случае стержневых концентраторов, так и угловой (дуговой) координатой в случае кольцевых концентраторов. Под передаточной матрицей понимают матрицу размером п х п, связывающую между собой вектор параметров колебаний во входном поперечном сечении концентратора х = 0 и произвольно взятом поперечном сечении х:

где / - частота колебаний.

Существование и единственность передаточной матрицы вытекают из существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения колебаний.

Если представить дифференциальное уравнение колебаний в виде эквивалентной системы дифференциальных уравнений первого порядка

где А - матрица, вид которой определяется формой концентратора, то передаточная матрица будет удовлетворять матричному дифференциальному уравнению

u( х, f) = T( х, f )u(0),

(1)

du = A(х, f )u(х, f) ,

(2)

(3)

A(x, f) J A( x, f)dx = J A(x, f )dx • A( x, f) 0 0

(4)

решение уравнения (3) может быть представлено в виде матричной экспоненциальной функции [6]

Т(х, /) = ехр(А(х, /)х) . (5)

Передаточная матрица, записанная с использованием уравнения (5), может быть выражена через экспоненциальные функции скалярного аргумента с помощью теоремы о спектральном разложении матричных функций (формулы Лагранжа-Сильвестра) [7]:

n n a - LI

T(x) = X exp(lkx) П--—,

k=1 i=1 Lk - L

i ф k

(6)

где Xk - собственные значения матрицы А.

В качестве объекта исследования рассмотрим половину составного кольцевого концентратора с прямоугольным поперечным сечением, состоящего из двух сегментов и имеющего нижнюю половину зеркально симметричную по отношению к верхней (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема конструкции составного кольцевого концентратора

В качестве вектора параметров колебаний для кольцевого сегмента может быть принят вектор

и(ф) = {¥(ф) W(ф) ¥(ф) N(ф) M(ф) Q(g>)Y ,

(7)

где ф - угловая координата, У(ф) - амплитуда тангенциальных колебательных смещений, W(ф) - амплитуда радиальных колебательных смещений, ф(ф) - амплитуда

x

x

угла поворота поперечного сечения, Щ(ф) - амплитуда продольной силы, М(ф) -амплитуда момента, Q(ф) - амплитуда поперечной силы.

Параметры ^(ф), N(0), М(ф) и Q(ф) при использовании уравнений колебаний балок типа Эйлера-Бернулли определяются выражениями

ш(ф) = (1/ Я)(ёЖ/ ёф + V),

(8)

И(ф) = (ЕЗ/ЩбУ/дф -Ж),

М(ф) = (Е//Я2)^/ёф + ё2ж/ёф2);

(9) (10)

О(ф) = -(Е//Я3)(ё3ж/ёф3 + ё^/ ёф2):

(11)

где Я - радиус кривизны срединной цилиндрической поверхности сегмента, Е - модуль продольной упругости материала сегмента, £ - площадь поперечного сечения сегмента, J - осевой момент инерции поперечного сечения сегмента.

При использовании уравнений колебаний балок типа Тимошенко параметр у(ф) является независимым, параметр Щ(ф) определяется выражением (9), а параметры М(ф) и Q(ф) определяются выражениями [8]

М (ф) = (Е//Я)ёш/ ёф,

О(ф) =

(1 ёЖ V Л

--+ — - ш

Я ёф Я

(12)

(13)

где К - коэффициент сдвига, зависящий от формы поперечного сечения сегмента и определяемый как отношение средней сдвиговой деформации сечения Q/GS к сдвиговой деформации (1/Я)(ёЖ/ёф + V)-ш в центроиде сечения, G - модуль сдвиговой упругости. Для балок с прямоугольным поперечным сечением коэффициент сдвига принимается равным 5/6.

Для однородного кольцевого сегмента с постоянными по длине параметрами поперечного сечения матрица А, входящая в уравнение (2), при использовании уравнений типа Эйлера-Бернулли будет определяться выражением

А(/) =

0 -1 0

- / (/)/Я2 0 0

1

0 0 0 0

- / (/)/Я2

0 Я/Е8 Я0

0 0

0 Л 0

0 0 0 0

0 0 0 -1

Я/Е/ 0 01

0 0

-Я 0

(14)

у

9 9/ 9 /-

где £(/) = Ж / ///0 - безразмерный частотный параметр, /0 = (1/2пЯ)Л/Е/р , р

плотность материала сегмента.

Матрица А в рассматриваемом случае зависит только от частоты и удовлетворяет условию (4).

При использовании уравнений типа Тимошенко матрица А будет определяться выражением

(

A(f) =

0 -1 0

- EJZ (f )/ R 0 0

3

1

0 0

- EJ{ (f ) R

0 R

- EJ (f)/ SR3

RIES 0

0 0 0 0 -1

0

0 ^

0 R/KsGS R/EJ 0

-R

(15)

Матрицы (14) и (15) имеют собственные значения вида

Ь , = ~\[С1 > Ь = > = > =\[Сз > = >

где С1, С2, Сз - корни кубического уравнения

С3 + (2+рй К2 + (1 - й - рй К+й (1 - рй) = 0

(в случае использования уравнений типа Эйлера-Бернулли) или

С3 + (2 + р(2 + д)й X2 + (1 - й + р(1 - ч)й + р2 (1 + 2д)й2 )С +

(16)

(17)

(18)

+ й (1 + р - р(р(1 + ч) + 1)й + р Зчй2) = 0

(в случае использования уравнений типа Тимошенко), р = J/SR2 - безразмерный геометрический параметр, ч = Е/К50.

Характер корней уравнений (17) и (18) изменяется при некоторых пороговых значениях ^ и £U частотного параметра в случае й ^ йь уравнения имеют три действительных отрицательных корня, при й£ < й ^ йм - один действительный отрицательный и два комплексно сопряженных корня, при йм < й ^ йи - один действительный отрицательный и два действительных положительных корня, при йи < й - два действительных отрицательных и один действительный положительный корень.

Предполагая, что все корни являются действительными (что справедливо для высоких частот /), то есть йм < й, расположим корни в порядке возрастания:

< С2 < Сз . В этом случае при йм < й ^ йи собственные значения Х\ и Х2 будут являться мнимыми, а Х3...Х6 - действительными, а при йи < й собственные значения

Х1...Х4 будут мнимыми, а Х5 и Х6 - действительными.

Для исключения из выражения (6) функций комплексной переменной, соответствующих мнимым собственным значениям, удобно записать его в виде

0

0

0

0

1

0

0

0

0

т(ф, /) = £ ск (ф, /),

к=1

где матрицы Ск (ф, /) определяются выражением

Ск(ф,/) = ехр(%-1(/)ф) П А(/)-Л^ +

г=1 Л2к-1(/ ) - Л С/)

/ * 2к-1

.. . .. . 6 А(/) - Л (/)1 + ехр( Л2к (/)ф) П . /,. л У Л л .

г =1 Л2к (/ ) - Л (./ )

/' * 2к

При £м < £ - £и матрицы Ск (ф, /) можно представить в виде

С1(ф, /) =

А ф)

+1008^/1^1 |ф)

V - Сз1 А2 - Сз!

V

+ Сз + Сз '

(19)

(20)

(21)

С2(ф, /) =

А2 + |С1I

А • вь^ /С3ф)

Сз + р1

А2 + |С1 II А2 - &I

Сз(ф,/) = г ;1

Сз + |С1| Сз- Сз а при £и < £ - в виде

^^ +1 • оь(л/ сз ф) v л/сз

^А2 - Сз1 у Сз - Сз

А • 8ИЛ /Сз ф)

+1 •0НЛ 1Сзф)

(22)

(23)

С1(ф, /) =

А Бт(л[С[ф)______ ^ ^ А2 + |Сз I А2 - Сз1

- +1 00Б(Л С1 ф)

- |Сз| +Сз

(24)

С2(ф, /) =

а2+|С1!'

|Сз| - £1

А |Сз \ф)

+1008^/|Сзф)

Л А2 - Сз1 |Сз| + ^з ,

(25)

А2 + |С1 II А2 + |Сз II

2

Сз(ф, /) =

(

Сз + С1 Сз + Сз

А • 8ИЛ /Сз ф)

л

+•0¥л 1Сзф)

(26)

V л/^з ,

Вычисление передаточной матрицы без приведенных выше преобразований может приводить к комплексным результатам.

В случае концентратора, изображенного на рис. 1, должны выполняться граничные условия

V (0) = V (п) = 0, ш(0) = ш(п) = 0,

(27)

(28)

0(0) = ол) = о,

(29)

что равносильно выполнению системы уравнении

(Шъ/) ти(п,/) т15(п,ЛХЖ(0)-)

Тз2(п, /) Тз4(п, /) Тз5(п, /)

Тб2(п, /) Т64(п, /) Т65(п, /)

N (0)

М (0)

= 0.

(30)

Система (30) имеет нетривиальное (не равное тождественно нулю) решение при условии

(Т12(п, /) Т14(п, /) Т15(п, /Г ёе1Тз2(п, /) Тз4(п, /) Тз5(п, /) = 0, (31)

V Т62(П/ ) Т64(П / ) Т65(П /) у из которого могут быть определены собственные частоты колебании концентратора.

Передаточная матрица составного концентратора будет определяться как произведение передаточных матриц составляющих его сегментов: Т(п, /) = Т2(п - / )Т1(ф0, /), (32)

где - центральный угол первого сегмента.

При известных решениях системы (30) могут быть рассчитаны собственные формы колебании:

V (ф, /) = W (0)Т12 (ф, /) + N (0)Т14 (ф, /) + М (0)Т15 (ф, /), (33)

Ж(ф,/) = W(0)T22(ф,/) + N(0)Т24(ф,/) + М(0)Т25(ф,/) . (34)

Специфическими особенностями матрицы, входящей в систему (30), являются близость ее строк к пропорциональности и плохая обусловленность. В связи с этим преобразуем входящую в систему (30) матрицу следующим образом:

Т2(п, /)

Тм(п, /)

Т^, /) 0

0

(35)

Тз2(п, /) • Т- Т.2 (п, /) Тз4 (п, /) • ^^^ - Т1Л (п, /)

T35(п, /) T35(n, /)

Т62(п,/) • - ти(п,/) Тм(п,/) •Тп)- Ти(п,/)

T65(n, /) T65(n, )

то есть умножим вторую и третью строки на коэффициенты пропорциональности строк, равные отношению последнего элемента первой строки к последнему элементу второй и третьей строк, а затем вычтем из второй и третьей строк первую строку (преобразование относительно первой строки).

В случае идеальной пропорциональности строк исходной матрицы все элементы второй и третьей строк матрицы (35) были бы равны нулю. В действительности первый и второй элементы оказываются отличными от нуля, что говорит о наличии отклонений от пропорциональности.

Численный анализ показывает, что определитель подматрицы

^з2 (п, /) • - Т12 (п, /) Тз4 (п, /) • - Т14 (п, /

7) Тзз(п, 7)

Тб2(п, /) • - Т12(п, /) Г64(п, /) • 'МЩ - Т14(п, /)

(36)

на собственных частотах стремится к нулю, а ее число обусловленности стремится к бесконечности, в связи с чем величину амплитуды Ж(0) можно задать произвольным образом, а величина амплитуды N(0) будет выражаться через нее формулой

- Тз2(п, /) • + Т12(п, /)

* (0) =- зз.^)-Ж(0) . (37)

Гз4(п, /) • Т^пТ) - Т14(п, /)

Величина амплитуды М(0) при известных значениях амплитуд Ж(0) и N(0) может быть определена по формуле

М (0) = - ТИ^) Ж (0) - ТН^) * (0). (38)

Как следует из численного анализа, при преобразовании матрицы, входящей в систему (30), относительно второй и третьей строк определители подматриц, составленных из ненулевых элементов строк, содержащих нули, так же, как и в случае преобразования относительно первой строки, стремятся к нулю на собственных частотах, а их числа обусловленности стремятся к бесконечности. Исследование входящей в систему (35) матрицы с помощью метода сингулярного разложения (БУО-разложения) показывает, что она имеет два нулевых или близких к нулю сингулярных числа, в связи с чем ранг рассматриваемой матрицы равен единице и система (35) имеет два линейно независимых частных решения, представляющие собой правые сингулярные векторы матрицы, соответствующие нулевым или близким к нулю сингулярным числам. Расчеты показывают, что частное решение системы (35), определяемое формулами (37) и (38) при произвольном задании амплитуды Ж(0), является линейной комбинацией частных решений, найденных с помощью БУО-разложения, то есть результаты расчетов амплитуд двумя различными методами не противоречат друг другу.

2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В качестве численного примера рассмотрим расчет собственных частот и форм колебаний составного кольцевого концентратора со следующими параметрами: радиус срединной поверхности Я = 29 мм, толщина в радиальном направлении И = 2 мм, толщина в осевом направлении Ь = 2 мм, модули упругости материалов сегментов Е1 = 2,110° Па (сталь) и Е2 = 1,31011 Па (бронза),

плотности материалов сегментов

3 3

р1 = 7800 кг/м и р2 = 8300 кг/м , центральный угол первого сегмента 2ф0 = п/2. Собственные частоты и формы колебаний концентратора с приведенными значениями параметров ранее были определены на основе решения дифференциальных уравнений колебаний кольцевых сегментов [4], что позволяет провести сравнительный анализ

полученных результатов. На рис. 2 приведены резонансные кривые концентратора в диапазоне частот 20... 40 кГц, рассчитанные на основе уравнений типа Эйлера-Бернулли (кривая 1) и Тимошенко (кривая 2), где М(/) - матрица, входящая в систему уравнений (30).

Частота £ кГц Рис. 2. Расчетные резонансные кривые концентратора

Собственным частотам соответствуют точки, в которых 1§(| ёеМ(/)|) ^—да. Резонансные кривые, рассчитанные на основе различных типов уравнений колебаний, качественно совпадают, однако более точные значения собственных частот получаются при использовании уравнений типа Тимошенко. На рис. 3 приведены расчетные собственные формы колебаний для собственных частот 21,03 кГц (кривая 1) и 22,75 кГц (кривая 2).

Как следует из рис. 3, собственные формы колебаний можно разделить на два типа: 1) собственные формы со знакопеременной амплитудой Ж; 2) собственные формы со знакопостоянной амплитудой Ж. При этом усиление колебаний по амплитуде обеспечивают только собственные формы второго типа. Количество узловых точек амплитуды Ж для собственных форм со знакопеременной амплитудой обозначено на рис. 2 параметром п. Собственные формы со знакопеременной амплитудой качественно напоминают собственные формы колебаний однородного кольца, отличаясь от них тем, что на границе раздела сегментов (отмечена на рис. 3 точкой с ф = 45°) происходит изменение длины волны (полуволны обозначены как А1/2 и Х2/2 на рис. 3).

Результаты, полученные на основе прямого решения дифференциальных уравнений колебаний [4], хорошо согласуются с результатами расчетов методом передаточных матриц, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Рис. 3. Расчетные собственные формы колебаний концентратора

Как отмечалось ранее [4], несмотря на незначительный коэффициент усиления (в рассматриваемом примере К = 1,53 на частоте 21,03 кГц), применение кольцевых концентраторов в сочетании с традиционно используемыми стержневыми концентраторами позволяет обеспечить достаточно высокую амплитуду колебательных смещений рабочего инструмента (35,7 мкм в рассматриваемом примере с учетом пределов выносливости материалов сегментов) без существенного увеличения габаритных размеров и массы колебательной системы. Усиление колебаний по амплитуде обеспечивается при их введении в сегмент с более высоким волновым сопротивлением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в статье методика инженерного расчета составных кольцевых концентраторов позволяет проводить их расчет и проектирование без использования теории дифференциальных уравнений, что снижает требования к квалификации расчетчика. На основе результатов численного анализа установлено, что усиление колебаний по амплитуде обеспечивается на частотах, соответствующих знакопостоянным собственным формам колебаний концентратора, а знакопеременные собственные формы качественно напоминают собственные формы колебаний однородного кольца и не обеспечивают усиления колебаний по амплитуде.

В дальнейшем планируются оптимизация составных кольцевых концентраторов по коэффициенту усиления и проведение их экспериментальных исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степаненко, Д.А. Влияние формы кольцевого концентратора ультразвуковой системы на коэффициент усиления амплитуды колебаний / Д.А. Степаненко, И.В. Луговой, В.П. Луговой // Наука и техника. - 2016. - № 3. - С. 209-215.

2. Степаненко, Д.А. Разработка и исследование нового типа концентраторов ультразвуковых колебаний на основе кольцевых упругих элементов / Д.А. Степаненко, В.Т. Минченя, В.П. Луговой, И.В. Луговой // Материалы. Технологии. Инструменты. - 2013. - Т. 18, № 2. - С. 90-94.

3. Луговой, И.В. Упругие характеристики кольцевых концентраторов ультразвуковых систем / И.В. Луговой, В.П. Луговой // Наука и техника - 2014. - № 3. - С. 24-27.

4. Степаненко, Д А. Теоретическое обоснование возможности усиления ультразвуковых колебаний с помощью составных кольцевых упругих элементов / Д.А. Степаненко, А.С. Емельянова, М.А. Плескач, Н.В. Солодкая // Электронный журнал «Техническая акустика». - 2017, 2. - 13 с.

5. Степаненко, Д.А. Исследование продольных колебаний гибких ультразвуковых волноводов с помощью метода передаточных матриц / Д.А. Степаненко, В.Т. Минченя, Н.Т. Минченя // Механика машин, механизмов и материалов. - 2011. - №2 (15). - С. 71-75.

6. Лаппо-Данилевский, И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. -М.: Гостехтеориздат, 1957. - 456 с.

7. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. - М.: Наука, 1982. - 272 с.

8. Lin, S.M. Closed-form solutions for dynamic analysis of extensional circular Timoshenko beams with general elastic boundary conditions / S.M. Lin, S.Y. Lee // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - Vol. 38. - P. 227-240.