Исследование геометрии резьб, накатанных роликами с архимедовой винтовой поверхностью Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 173

1970

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ РЕЗЬБ, НАКАТАННЫХ РОЛИКАМИ С АРХИМЕДОВОЙ ВИНТОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

П. А. ЕКАТЕРИНЮДС

(Представлена научным семинаром кафедры прикладной механики)

При изготовлении резьбовых изделий накаткой накатными роликами геометрия винтовой поверхности изделия отличается от геометрии винтовой поверхности накатного ролика даже в том случае, если у винта и ролика не только одинаковые шаг и заходность, но и одинаковые начальные диаметры резьбы. Влияние на величину отклонения в данных точках сопряженных винтовых поверхностей от предварительно заданных будут оказывать разность между углами подъема винтовых линий изделия и накатного ролика ЛЯ, угол профиля резьбы а и другие факторы.

ДХ - 1Ь — Хр,

где %ь и Хр—соответственно углы подъема винтовой линии изделия и инструмента, тангенс которых определяется .по формуле

X = at ctg — , (2)

ъа

где X — угол подъема винтовой линии; t — шаг в мм; d—диаметр в мм.

Из формул (1) и (2) видно, что тангенс угла подъема винтовой линии tgk будет изменяться обратно пропорционально диаметру d. Винтовая линия у впадины винта имеет максимальный угол подъема Атах, а винтовая линия у вершины винта — минимальный угол подъема /.min При накатке роликами элементы винтовой поверхности, расположенные у вершины витка ролика с минимальными углами подъема винтовой линии, сопрягаются с элементами винтовой поверхности, расположенными у впадины накатываемого винта, имеющими максимальные углы подъема и, наоборот, элементы винтовой поверхности, расположенные у впадины витка ролика, имеющие максимальные углы подъема винтовых линий, при накатке сопрягаются с элементами, расположенными у вершины резьбы винта с минимальными углами подъема винтовых линий. Совпадают по величине лишь углы подъема начальных линий ролика и винта. 98

Несовпадение по величине углов подъема винтовых линий (рис. I) служит причиной того, что геометрия винтовой поверхности изделия не будет соответствовать исходной геометрии винтовой поверхности накатного ролика; впадина резьбы будет несколько развалена; площадки контакта деформируемого металла, расположенные по обе стороны формируемого витка, могут быть несколько сдвинуты вдоль оси витка и не совпадут друг с другом, что вызывает опасные для прочности витка ролика напряжения от изгиба.

Рис. 1. Схема изменения углов подъема винтовых линий у винта и ролика в зависимости от соотношения их радиусов

Несовпадение углов подъема винтовых линий ролика и накатываемого изделия может служить причиной того, что незакругленные кромки при вершине витка при малых углах профиля резьбы могут производить шабрение, а срезаемая тонкая стружка частично впрес-суется в поверхность формируемого витка и ухудшит ее чистоту.

Для того, чтобы обеспечить осевую подачу накатываемого винта, диаметр ролика принимают больше или меньше диаметра накатываемого винта, сохраняя одинаковую величину шага изделия и ролика. Поэтому углы подъема изделия и ролика еще больше отличаются друг от друга (рис. 1) и отклонение геометрии сопряженной винтовой поверхности от заданной будет более значительное.

Величину отклонений, форму образующей винтовой поверхности, а также величину, форму и расположение контактных площадок можно определить, если вывести уравнения, пользуясь разработанной нами методикой.

В прямоугольной системе координат, связанной с неподвижным пространством, зададим архимедовые винтовые поверхности накатного ролика и накатываемого изделия. Заданные архимедовы винтовые поверхности накатного ролика и изделия не будут являться двумя сопряженными поверхностями, они будут пересекаться вследствие изменения углов подъема по высоте витков накатного ролика и витков изделия.

При исследовании геометрии винтовых поверхностей, полученных накаткой, можно ставить две задачи.

7*

99

Первая задача. При заданной геометрии винтовой поверхности накатного ролика найти сопряженную с ней геометрию изделия, полученную в результате обкатки при накатывании.

Вторая обратная задача. При заданной геометрии винтовой поверхности изделия найти сопряженную геометрию винтовой поверхности накатного ролика.

Система уравнений архимедовой винтовой поверхности накатываемого винта правого направления, выраженная в неподвижной системе прямоугольных координат, может быть представлена в таком виде:

х = и cos a cos <р;

у = wcosasincp; (3)

z = A tg а — и sin а + /?<р.

Уравнения архимедовой винтовой поверхности накатного ролика с резьбой левого направления в той же неподвижной системе координат:

х — А — иг cos a sin 91;

у — иг cos a sin cpx; (4)

zx = ux sin a 4-где A — межцентровое расстояние;

и и U\ — длины образующих винтовых поверхностей винта и ролика;

a —угол профиля резьбы; Ф и ф! — углы поворота образующих винтовой поверхности изделия и винтовой поверхности накатного ролика;

р —осевое перемещение винта при повороте на угол, равный 1 радиану.

При таком выражении системы уравнений винтовых поверхностей в осевом сечении образующие обеих винтовых поверхностей будут совпадать по всей длине. Вправо и влево от осевого сечения винтовые поверхности либо будут пересекаться, одна винтовая поверхность будет врезаться в другую, либо будут отходить друг от друга, образуя между собой зазоры. Пересечений не будет по средним винтовым линиям, у которых углы подъема равны.

Отклонение от архимедовой винтовой поверхности может быть представлено уравнением

Az = Z — Zí = A tga — и sin a +ру — Щ sin a + (5)

Уравнение (5) получено как разность третьих зависимостей уравнений (3) и (4).

Правая часть уравнения содержит четыре переменных: ср, и, ср\ и их. Избавимся от лишних неизвестных.

Возьмем на винтовой поверхности произвольную точку М и спроектируем ее на плоскость, перпендикулярную осевым линиям изделия и ролика. На плоскости проекции образующих винтовых поверхностей изделия и и ролика U\ и линия межцентрового расстояния 00\ образуют косоугольный треугольник ОМО \.

Из косоугольного треугольника (рис. 2)

и COS a COS ср 4- cos a cos cpt = A. (6)

Приравняв правые части второй зависимости системы (3) и (4), найдем

tt Sin о

щ =-. (7)

Sin ?!

Подставив в уравнение (6) значение ui из уравнения (7), получим

U COS a sin ср e ^

tg?l =

?1 ^ arctg

А — и cos а cos 9 и cos а siu ср

А — и cos а cos ср

(9)

Рис. 2. Схема скрещивания образующей архимедовой винтовой поверхности и образующей винтовой поверхности накатного ролика

Из косоугольного треугольника (рис. 2) по теореме косинусов

(10)

Ux =

YA2 ~г и2 cos3 а — 2Аи cos а cos ср

cosa

Подставим значение зависимостей (9) и (10) в уравнение (5) Дг = A tg a — и sin a + ру — |/Л^ -J- ií¿ cos2 a — 2Ли cos a cos ср tg a —

p arctg

U COS a sin CO

(ii)

A — U cosa cos ср

Получили уравнение отклонений по оси z от заданной архимедовой винтовой поверхности.

Пользуясь уравнением (11), можно найти отклонения Az, но чтобы исследовать геометрию винтовой поверхности, необходимо брать только максимальные отклонения, которые будут определять образующую винтовой поверхности. Чтобы определить максимальное значение отклоне-

dLz

ния Azmax, возьмем частную производную - и приравняем ее нулю;

d&z

д<р

Р-

Аи sina sin ср

YA2 + и2 cos2 a — 2 Au cos a cos <p pAu cos a cos <

pa2 cos2 a

A2 + it2 cos2 a — 2 Au cos a cos cp

(12) 101

Произведем дальнейшее преобразование:

р (Л2 — 3Au cos a cos ср + 2и2 cos2 а) — = Au sin а sin ср VA2 — 2Au cos a cos сp + a2 cos2 а . (13)

Возведем обе части уравнения в квадрат, заменим sincp через cos ср и приведем к канонической форме:

2Л3*и3 sin2 a cosacos3 ср — Л2гг2 (Л2sin2a + и2 sin2 a cos2 a +

+ 9/?2cos2a) cos2 cp -f 2Au (6p2u2 cos3a~f 3/>M2cosot —

— A2u2 sin2 a cos a) cos <? + A2u2 sin2 a (A2 + a2 cos2 a) —

- p2 (A2 + 2u2 cos2 a)2 = 0. (14)

Для более удобного пользования в уравнениях (11) и (14) произведем замену, воспользовавшись зависимостью (15),

и cos a = г;

и sin a = г tga; (15)

где г — переменная величина радиус-вектор винтовой поверхности изделия.

После подстановки в уравнение (11) и (14) выражений (15) получим

——————у sin ср

Az — (Л — г — У А2 -\-г2 — 2Лг eos ср) lg a + pz> — p arctg-!— .

A — r cos cp

(16)

2Л3г3 tg2 a cos3 ^ - A2r2 ( Л2 tg2 a + r21g2 a + 9p2) cos2 cp -f + 2Лг (6p2r2 + 3p2A2 - Л V2 tg2 a) cos cp — p- (A2 + 2r2)2 + (17) + A2r*tg2a(A2 + r2) = 0.

Совместное решение уравнений (16) и (17) позволяет определить отклонения от заданной архимедовой винтовой поверхности Дгтах. Зависимость (17) является уравнением контактной линии двух сопряженных винтовых поверхностей, спроектированной на координатную плоскость хоу. Пространственная кривая контактной линии здесь выражена, как плоская кривая ее проекций.

В уравнение (17) входят две произвольные переменные — г и ср. Задавшись одним произвольным переменным, решая уравнение, мы можем определить второе. Подставив найденные значения г и ф в уравнение (16), определим отклонение от заданной винтовой поверхности Az. Таким образом, заранее заданная винтовая поверхность служит как бы своеобразной криволинейной координатной поверхностью, от которой откладываются отрезки Az.

Каждое из полученных максимальных отклонений принадлежит своей образующей. Чтобы определить форму образующей сопряженной винтовой поверхности, необходимо все полученные максимальные отклонения Аетах отложить от одной образующей на соответствующем расстоянии от оси r = uCos* . Здесь мы как бы совмещаем веер образующих вращательным движением с центром на оси винта в одну.

Если приравнять отклонение А г нулю, то уравнение (16) будет уравнением линии пересечения винтовых поверхностей инструмента и заданной «базовой» поверхности изделия:

(Л — г - У A2 + r2- 2Ar cos tg a + р? ~р arctg - Г sin ?—-0. (18)

Л —Г COS?

Большое количество переменных затрудняет создание расчетных таблиц, по которым можно быстро найти готовые решения. Такие таб-102

лицы будут иметь больше миллиона значений, которые будут повторяться.

Чтобы избавиться от этих недостатков, вводим групповые коэффициенты, которые позволят сократить число переменных величин. Поделим все члены уравения (16) на общий делитель А tga, а числитель и знаменатель арктангенса на Л, тогда

кг Г г г2 , 1 г

Г .

— эт <р

- агс18 —--+ (19)

1 —— соэ ср Л

Обозначим через „групповые" коэффициенты К и q:

(20)

/г

(21)

Л tg

Д 2

(22)

Л tg a

После подстановки в уравнение (19) значений (20), (21) и (22)

Azi == - 1/1-2К cos? + К2 + 1 —K — q[arctg Ksm?--Л . (23)

V 1 — К cos (f j

Поделим все члены уравнения (17) на AQtg2<x:

2 — cos3?- — ( 1 + — + 9—\cos2cp + 2 — (б—•— +

Л3 Л2 V Л2 Л2 tg2 öl J т Л V Л2 tg2 а Л2

Л2 tg а Л2У Г Л2 tg2 а \ Л2/ Л2^ A2 J Подставим из зависимостей (20) и (21) значение К и q в уравнение (24): 2Кг cos3 9 - К2 ( 1 + К2 + 9q2) cos2 <р + 2К (6q2K2 + 3q2 — К2) cos ? -

~q2( 1 + 2К2)2 + К2 (1 + К2) = 0. (25)

Пользуясь уравнениями (23) и (25), можно легко результаты расчета свести в таблицы. Таблицы будут иметь небольшое число значений, так как составляются по двум переменным — коэффициентам q и К-Коэффициент К назовем коэффициентом размера. Фактически К является радиусом цилиндрического сечения системы винтролик, у которой расстояние между осями винта и ролика равно единице. Аг{ — отклонение у системы с единичным межосевым расстоянием. Коэффициент q назовем коэффициентом формы винта, q учитывает изменения в геометрии системы сразу по 3 параметрам. Из зависимости (21) видно, что коэффициент q зависит от р, характеризующего величину угла подъема средней винтовой линии; от тангенса угла профиля а и от межосевого расстояния Л.

Чтобы определить отклонение Лг по табличным данным, необходимо умножить табличное значение на Лtga , так как из зависимости (22)

Az = Az^tga. (26)