Научная статья на тему 'ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА К СКВАЖИНЕ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ГИДРОРАЗРЫВА ПРИ НАЛИЧИИ СКИН-ЗОНЫ В ТРЕЩИНЕ'

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА К СКВАЖИНЕ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ГИДРОРАЗРЫВА ПРИ НАЛИЧИИ СКИН-ЗОНЫ В ТРЕЩИНЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
34
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПЛАСТ / ТРЕЩИНА ГИДРОРАЗРЫВА / СКИН-ЗОНА НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ / ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА / АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хабибуллин И.Л., Хисамов А.А.

В работе представлены результаты моделирования процесса нестационарной фильтрации жидкости в пласте, вскрытой скважиной, которая пересекается вертикальной трещиной гидроразрыва при наличии скин-зоны внутри трещины. Влияние скин-зоны на фильтрацию моделируется граничным условием третьего рода для давления на линии смыкания скважины с трещиной. Используя метод интегральных преобразований Лапласа построено аналитическое решение системы уравнений, описывающей фильтрацию жидкости в пласте и в трещине. Получены выражения для распределения давления в трещине и в пласте, а также для дебита скважины. Анализ этих выражений позволяет определить основные характерные особенности исследуемого процесса фильтрации в зависимости от параметров пласта, трещины и скин-зоны.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

STUDYING THE FILTRATION FLOW DIRECTED TO A WELL WITH A VERTICAL HYDRAULIC FRACTURE IN THE PRESENCE OF A SKIN ZONE IN THE FRACTURE

The authors of the paper present the results of modeling the process of unsteady fluid filtration in a reservoir penetrated by a well, which is intersected by a vertical hydraulic fracture in the presence of a skin zone inside the fracture. The influence of the skin zone on the filtration was modeled by the boundary condition of the third kind for the pressure at the closure line of a well with a fracture. Using the method of integral Laplace transformations, an analytical solution of the system of equations describing fluid filtration in the reservoir and in the fracture was constructed. Expressions were obtained for the pressure distribution in the fracture and in the reservoir, as well as for the well flow rate. The analysis of these expressions makes it possible to determine the main characteristic features of the studied filtration process depending on the parameters of the formation, fracture and skin zone.

Текст научной работы на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА К СКВАЖИНЕ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ГИДРОРАЗРЫВА ПРИ НАЛИЧИИ СКИН-ЗОНЫ В ТРЕЩИНЕ»

УДК 532.5.013.2

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.2.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА К СКВАЖИНЕ С ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ГИДРОРАЗРЫВА ПРИ НАЛИЧИИ СКИН-ЗОНЫ В ТРЕЩИНЕ

© И. Л. Хабибуллин, А. А. Хисамов*.

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (917) 469 62 63.

*Email: khisamovartur@list.ru

В работе представлены результаты моделирования процесса нестационарной фильтрации жидкости в пласте, вскрытой скважиной, которая пересекается вертикальной трещиной гидроразрыва при наличии скин-зоны внутри трещины. Влияние скин-зоны на фильтрацию моделируется граничным условием третьего рода для давления на линии смыкания скважины с трещиной. Используя метод интегральных преобразований Лапласа построено аналитическое решение системы уравнений, описывающей фильтрацию жидкости в пласте и в трещине. Получены выражения для распределения давления в трещине и в пласте, а также для дебита скважины. Анализ этих выражений позволяет определить основные характерные особенности исследуемого процесса фильтрации в зависимости от параметров пласта, трещины и скин-зоны.

Ключевые слова: пласт, трещина гидроразрыва, скин-зона нестационарная фильтрация, граничное условие третьего рода, аналитическое решение, метод преобразований Лапласа.

При разработке нефтегазовых месторождений с малопроницаемыми плотными коллекторами широко используется гидравлический разрыв пласта. Образуемая при этом трещина гидроразрыва, по существу, является высокопроводящим каналом, который реализует гидродинамическую связь пласта со скважиной.

Предположим, что в пласте имеется скважина, которая пересекается симметричной трещиной гидроразрыва. Высота трещины равна мощности продуктивного пласта. Считается, что жидкость из пласта в скважину поступает только через трещину. При этом в системе пласт-трещина реализуется билинейный режим фильтрации [1-6].

Интенсивность фильтрации флюида между пластом и скважиной зависит от характеристик (коллекторские свойства и геометрические размеры) трещины. В процессе гидроразрыва возможны повреждения трещины, ухудшающие эти характеристики, например, образование зон пониженной проницаемости - так называемые скин-зоны.

На основе анализа данных мониторинга эффективности гидроразрыва установлено [6] наличие двух видов повреждений трещин:

1) Поврежденная зона в пласте вокруг трещины («fluid loss damage fracture» - повреждения, вызывающие уменьшение потока флюида).

2) Зона повреждения внутри трещины в окрестности скважины («choked fracture» - закупоренная трещина).

Эти повреждения существенным образом влияют на эффективность процесса гидроразрыва пласта, поэтому оценка влияния характеристик поврежденной трещины на производительность скважины представляет актуальную задачу.

Фильтрация в системе пласт-трещина при наличии повреждения первого вида исследована в [5]. В данной работе рассматривается моделирование фильтрационного потока в системе пласт-трещина-

скважина при наличии повреждения второго вида. Схема процесса фильтрации приведена на рис. 1 (вид сверху).

Скин-зона

Скважина

Трещина

i

-хг-Н

Рис. 1. Вертикальная трещина с зоной повреждения внутри.

Принятие граничного условия третьего рода для давления на линии смыкания трещины и скважины позволяет использовать при моделировании представленную на рис. 2 схематизацию процесса фильтрации.

Трещина

Рис. 2. Схематизация процесса фильтрации.

Таким образом, скин-зона из рассмотрения исключается, однако ее параметры проницаемость и протяженность входят в выражение для граничного условия третьего рода (см. выражение (5)). Ввиду правильной геометрической формы и симметрии трещины относительно скважины при моделировании достаточно рассматривать одну четвертую часть области фильтрации:

пласт: 0 < х < х^, 0 < у < те, трещина: 0 < х < х^, < у <0.

Распределение давления в трещине (Р^) и в пласте (Рг) описывается следующей задачей [1; 3-4]:

йр

ZJ-L = °J-L 0 < х < то,0 < у < то.

г ду2 dt '

д2Р

К,

f дх2

1 + Kf кг дРг

Wf kf ду

_dPf

у=0

dt

0 < х < то,-bf < у <0. Рг (х, у, t = 0) = Pf (х, t = 0) = Р0. Рг (х, у = 0, t) = Pf (х, t).

dPf(0,t) дх

-dPf (0, t) = -d^Pc , d =

(i)

(2)

(3)

(4)

(5)

В (1)-(5) индексы г и / относятся соответственно к пласту и трещине, я и к - коэффициенты пьезопроводности и проницаемости, bf - полуширина трещины.

Отличие этой задачи от известных моделей билинейного потока [1; 3-4] заключается в том, что при х = 0 для давления в трещине принимается граничное условие третьего рода. Физический смысл этого условия заключается в том, что создается дополнительный перепад давления за счет наличия в призабойной области скин-зоны. Таким образом, граничное условие третьего рода для давления (5) описывает наличие скин-зоны (зоны измененной проницаемости) в трещине (рис. 1), к5 и х5 - проницаемость и протяженность скин-зоны. В (5) Р5 - это давление на забое (внутри скважины), Pf (0, £) - давление в трещине на линии ее пересечения со скважиной. За счет разницы этих давлений и создается вышеуказанный перепад давления.

Задачу (1)-(5) перепишем через безразмерные переменные:

- X _ у - Кг

X = —, У = —, £ = ,

х/ у/ хг

Рг = , Рг = ^, Р* = Рс-Р0.

д Рг д t

д2 Рг

"ду2

д Р

д2Р

д Рг

dt дх2 + ду

У=0

Рг (х, у, 0) = Pf (х, 0) = Рг (х, то, t) = = Pf (то, t) = 0.

Pr (х, у = 0, t) = Pf (х, t) .

dPf(0,t)

дх

CPf (0, t) = -с.

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

Здесь а = —, Ъ = а—— , С = d• хг, хг - полу-

хг

длина трещины.

Для решения задачи (б)-(10) используем метод преобразований Лапласа по переменной

Р (х, у, s) = L[P (х

Г

, y,t)l= I

0

Р (х, у, t)e-stdt.

Тогда в изображениях преобразования Лапласа задача (б)-(10) представляется в виде:

d2Pf = £р + bdPr dx2 а f а dy

(11)

d2Pr

Jy2

= sPr

(12)

то) = 0 . (13) (14)

РДх, 5) = Рг (х, у = 0, 5), Рг (х, у ■

— сРг (X = 0,5) = -£.

dx 1 Б

Решение уравнения (12) с учетом второго условия (13) находится традиционными методами (понижение порядка уравнения и разделение переменных) и имеет вид:

Рг(х,у,б) = С1(х,з)ехр{—^~Бул) .

Используя первое условие (13), находим С1(х, б). Тогда

Рг(х,у,б) = Pf (х,з)ехр{—^~Бул) .

Подставляя это выражение в (11), получаем уравнение для нахождения Pf. Решение этого уравнения будет: Р^(х,5) = С2ехр х^ +

Постоянная С2 определяется из условия (14). Тогда в пространстве изображений Лапласа решение задачи (11)—(14) имеет вид:

Pf (X, s) = --

, exp

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С+

Ja а

Рг (х, у, s) = --

, exp

с+ l-+4s

-Ja а

(15)

(16)

Из (15) и (1б) видно, что при С ^ то (отсутствие скин-зоны) выражения для Pf (х, 5) и

Рг (х, у, б) совпадают с решением первой краевой задачи для исходной системы уравнений, когда на скважине задано давление [3].

Переход в выражениях (15) и (1б) к оригиналам позволяет найти окончательное решение рассматриваемой задачи.

Рассмотрим переход к оригиналу в (15). Используя теорему о свертках и правило обращения преобразования Лапласа 7]

оригинал (15) представим в виде

Jnt

Pf (x,f) = С(

Здесь

0 Jn(t-T)

V(x, T)dr.

V(x, t)= L-

exp

b2

4ü\b2+

b2

■+c

(17)

(18)

1Г1 - это символ обратного преобразования Лапласа.

Используя теорему подобия [7]

^а3 3 = ^^ 5(а5) = 1 ^ 3, ГДе 5(5) = ^^

(18) можно преобразовать к виду:

Т Ъ _

Ь • ехр

Ь[У(х, Ь2Е)] =

--^xVs + Vs

уа

+ Js + с)

У=0

Тогда имеем

о

У(х, Ъ2Г) = -[

ехр\ 4(Ь2т-р)\,-1

/п(Ь2т-р)

ехр ( х-

/И + С

йр.

Для нахождения У(х, Ъ Ч) используем следующее правило операционного исчисления [7]

д(Б + /И)

Л

=>

/г-и

- и)

[(и)йи,

здесь [(и) = Ь ^ф]

Далее используем следующую формулу перехода от изображения к оригиналу [8]

ехр(-а/~з)

С + /1 В результате получится

1 ' а2'

= —= • ехр /пг - 4

- Сехр(аС + С2Е)ег[с +

Ъ2т

У(х, Ь2т)

== >1

ехр

4(Ь2т - р)

/п(Ъ2т- р)

/а 1

/пр

Ъ2х2\ Са ( С2 ар ехр ( - ) --¡2ехР \Сх + и2 ) erfc

4ар

I Ъх \2/ар

+

-/ар)йр

Подставляя это выражение в (17), имеем:

РГ (х.

Ь Ь2т

\ 1) = ГИ [ ат - [

) /п(г-т))

ехр

4(Ь2т-р)

0 /п(1-т) 0 /п(Ь2т-р)

/а 1

( Ъх erfc I■

ь V~Р

С ,_\

ехр

Ъ2х2 4ар

Са

С2ар

Сх +

\2Vo~P + ъЩ*Р .

В этом двойном интеграле изменяем порядок интегрирования:

ьс гь2ь

Ь/рп

ехр

(-- ехр (сх + ■ егГс (— + йо ■ С

I 4ар) Ь2еХР(СХ + Ь2 ) еГ>С(2/Ш + Ь /и) аР С

Р1Ь2 V(£-т)(Ь2т-р)

йт (19)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Интеграл по т вычисляется:

t

ехр

4(ЪЧ - р)

] /ГТ-тХьч-р)

'ь2

п Р

йт = — ег[с I —,

Ь \2/ЪЧ-р

Тогда выражение (19) принимает вид:

РАХ- *) = с!0

( Ъх (■

■ ег[с

\2/ар

+

Ь/рп

С/а

( Ъ2х2\ аС( С2ар\

Р

(20)

Гр

ег[с-

-.йр.

2/ЬЧ-р

Переходя по аналогичной методике к оригиналу в (16), получаем выражение для давления в пласте:

Рт(х,у,Т) = С ¡0'' Щ,ехр (Сх + ^с^ +

■ (21>

При х = 0 из (20) следует:

йр

(22)

Используя замену переменных р = г2Ь2Ь, выражения (20) и (22) представим в виде

Р/(х, ~Е) = 2 С/а! ¡0~ ^ехр (- 4*22) - с/а!^ г • ехр(Сх + С2а£г2) •• ег[с + С/аЧ• г)^ •

г г2ьЛ ,

еггс^^= аг.

' 2-Л—2

Pf(0,1) = 2С/а1 ¡01 - С/сИ • г • ехр(С2а1г2) • ег[с(с/аЧ~^ г)^ ••

(23)

(24)

Дебит скважины определяется из выражения:

- = орг(о,ь) == 2с2/а£ с/Ш • 2 • ехр(С2аЬ22) • ег[с(с/аЧЛ г)]^ (25)

дх

Запись приведенных выше выражений (21), (23)-(25) в размерном виде, дает явные формулы, определяющие зависимость давления и дебита от основных параметров, характеризующих пласт, трещину, скин-зону и фильтрующуюся жидкость. Анализ этих выражений позволяет оценить влияние на изучаемый процесс фильтрации всего набора геометрических и гидродинамических параметров принятой модели.

Рассмотрим один частный случай модели, имеющий самостоятельный интерес. При Ъ=0 имеет смысл рассматривать задачу, включающую уравнение (7), краевые условия (8) и (10). При этом индекс / опускается, и эта задача описывает плоско-параллельный фильтрационный поток из пласта к галерее или к трещине гидроразрыва при наличии скин-зоны соответственно на галерее или на боковой поверхности трещины. Решение этой задачи определяется выражениями (23)-(25) при Ъ=0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cinco-Ley H., Samaniego V. F. Transient Pressure Analysis for fracturad wells// J. Petrol. Techonol. 1981. V. 33. No 9. P. 1749-1766.

2. Каневская Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 1999. 212 с.

3. Хабибуллин И. Л., Хисамов А. А. Нестационарная фильтрация в пласте с трещиной гидроразрыва // Механика жидкости и газа», Известия РАН. №5. 2019 г. C. 6-14.

4. Хабибуллин И. Л., Хисамов А. А. Моделирование нестационарной фильтрации вокруг скважины с вертикальной трещиной гидроразрыва. Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №>2. С. 309-314.

5. Сазонов Е. О., Хабибуллин И. Л. Типовые кривые забойного давления для скважины с вертикальной трещиной гидроразрыва с учетом скин-фактора // Нефтяное хозяйство. 2021. №11. С. 130-132.

6. Cinco-Ley H. and Fernando Samaniego V. Transient Pressure Analysis: Finite Conductivity Fracture Case Versus Damaged Fracture Case. Paper SPE 10179. SPE. 1981. October.

7. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука. 971. 288 С.

8. Бейтмен Г., Эрдейи П. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 08.04.2022 г.

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2022.2.4

STUDYING THE FILTRATION FLOW DIRECTED TO A WELL WITH A VERTICAL HYDRAULIC FRACTURE IN THE PRESENCE OF A SKIN ZONE IN THE FRACTURE

© I. L. Khabibullin, A. A. Khisamov*

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: 7 (917) 469 62 63.

*Email: khisamovartur@list.ru

The authors of the paper present the results of modeling the process of unsteady fluid filtration in a reservoir penetrated by a well, which is intersected by a vertical hydraulic fracture in the presence of a skin zone inside the fracture. The influence of the skin zone on the filtration was modeled by the boundary condition of the third kind for the pressure at the closure line of a well with a fracture. Using the method of integral Laplace transformations, an analytical solution of the system of equations describing fluid filtration in the reservoir and in the fracture was constructed. Expressions were obtained for the pressure distribution in the fracture and in the reservoir, as well as for the well flow rate. The analysis of these expressions makes it possible to determine the main characteristic features of the studied filtration process depending on the parameters of the formation, fracture and skin zone.

Keywords: layer, hydraulic fracture, skin zone, unsteady filtration, boundary condition of the third kind, analytical solution, Laplace transform method.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Cinco-Ley H., Samaniego V. F. J. Petrol. Techonol. 1981. Vol. 33. No 9. Pp. 1749-1766.

2. Kanevskaya R. D. Matematicheskoe modelirovanie razrabotki mestorozhdenii nefti i gaza s primeneniem gidravlicheskogo razryva plasta [Mathematical modeling of oil and gas field development with the use of hydraulic fracturing]. Moscow: OOO «Nedra-Biznestsentr», 1999.

3. Khabibullin I. L., Khisamov A. A. Mekhanika zhidkosti i gaza», Izvestiya RAN. No. 5. 2019 g. Pp. 6-14.

4. Khabibullin I. L., Khisamov A. A. Modelirovanie nestatsionarnoi fil'tratsii vokrug skvazhiny s vertikal'noi treshchinoi gidrorazryva. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2017. Vol. 22. No. 2. Pp. 309-314.

5. Sazonov E. O., Khabibullin I. L. Neftyanoe khozyaistvo. 2021. No. 11. Pp. 130-132.

6. Cinco-Ley H. and Fernando Samaniego V. Transient Pressure Analysis: Finite Conductivity Fracture Case Versus Damaged Fracture Case. Paper SPE 10179. SPE. 1981. October.

7. Dech G. Rukovodstvo k prakticheskomu primeneniyu preobrazovaniya Laplasa [Guide on the practical application of the Laplace transform]. Moscow: Nauka. 971.

8. Beitmen G., Erdeii P. Tablitsy integral'nykh preobrazovanii [Tables of integral transformations]. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1969.

Received 08.04.2022.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.