CC BY
6УДК 621.867.4-492.2
А.Б. Капранова, А.А. Петров, А.И. Зайцев
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭТАПА УДАРНОГО ВХОДА ОДИНОЧНОЙ ЧАСТИЦЫ В НЕПОДВИЖНЫЙ СЛОЙ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
(Ярославский государственный технический университет) e-mail: kap@yars.free.net, pa2311@gmail.com, zaicevai@ystu.ru
Получена функциональная зависимость между скоростью движения сферической частицы в неподвижном слое сыпучей среды с зернами твердого скелета значительно меньших размеров и расширяющимся радиусом воронки с учетом порозности и толщины уплотненного слоя в контактной области с налетающей частицей на базе механики гетерогенных систем.
Ключевые слова: ударное взаимодействие, сферическая частица, неподвижный слой сыпучей среды, дисперсная фаза, порозность, уплотнение, контактная область, скорость движения, радиус расширяющейся воронки
С целью формирования теоретической базы проектирования оборудования по переработке сыпучих материалов, в том числе, смесителей различных принципов действия, предлагается исследовать начальный этап «атаки» неподвижного слоя сыпучей среды одиночной сферической частицей, радиус которой значительно превышает радиус частиц, составляющий указанный слой. Проведенные опыты показали, что данное проникновение одиночной частицы можно разбить на три условных этапа: ударный вход в слой с образованием всплеска (I, рис. 1), появление расширяющегося «кратера» (II) и распад всплеска сыпучей среды на составляющие частицы (III). В настоящей работе ограничимся рассмотрением этапа I, когда по аналогии с абсолютно неупругим ударом двух тел, одно из которых покоится, считается, что следствием ударного взаимодействия указанной механической системы является деформация части сыпучего материала. В частности, этот участок деформации представляет собой сначала две цилиндрические области из сыпучего материала - первая - с расширяющимся радиусом Щ) и порозностью а20 при погружении сферической частицы, а вторая - вблизи контактной поверхности с ней в виде уплотненного слоя радиусом Яс и порозностью а2. Считается, что дальнейшая деформация сыпучего материала приводит к формированию всплеска с цилиндрическим полым профилем толщиной /(0, высотой ИБ{() (этап II) и внутренним радиусом ^(0, причем указанный всплеск частично распадается на элементы сыпучей среды (этап III).
Принимается приближение о структуре сыпучего материала, как дисперсной системы «твердые частицы - газ», основной характеристикой состояния которой является порозность а2,
равная отношению приведенной плотности дисперсной фазы р2 и истинной плотности ее вещества рТ. При этом процесс деаэрации [1] слоя толщиной 3 в контактной области со сферической частицей описывается системой, включающей уравнения: движения и неразрывности дисперсной фазы, а также реологическое соотношение аа=а2(Хе2пп3а+2ле2а) для компонентов тензоров деформации е21 и напряжений а1:
dV2 z dt
5а„
B
da
(1 — a2) dz
dhz
dz
= 0,
■ +v„
da— (1 — = o.
(1)
(2)
8t 2 & & Здесь приняты следующие обозначения: Б=(А+2л)/рт; v2z - вертикальная скорость движения дисперсной фазы; X и ¡л - коэффициенты Ламэ; 3к1-символ Кронекера. Учитывая, что, согласно опытным данным, толщина деаэрируемого слоя 3 зна-
Рис. 1. Упрощенная расчетная схема начального этапа (I) взаимодействия одиночной частицы с неподвижным слоем сыпучей среды: 1 - сферическая частица; 2 - слой сыпучей
среды; 3 - поверхность подложки Fig. 1. A simplified calculated scheme of the initial step of interaction of single particle with fixed layer of bulk material: 1 -spherical particle; 2 - layer of bulk material; 3 - substrate surface
2z
чительно меньше начальной высоты сыпучей среды к0, а изменение скорости у2х за рассматриваемый промежуток времени Х1 незначительно, уравнения (1) и (2) преобразуются к разностному виду
~~~— («2 " «20) = ^ (^ " ) > (3)
1 — «2 4 7
(«2 — «20 ) = (1 — «2 ) (^1 — ^ ) ' (4) где а20 - начальное значение порозности; у/0-1 и у31 - начальная и конечная скорости движения твердого скелета за промежуток времени, соответствующий времени проникновения сферической частицы в объем сферы, занимаемой сыпучим материалом.
Из уравнений (3) и (4) следует, что у31=Б, а также соотношение
„(0)
- B (1 -^о)
« ■ (5)
«2 2В — г(0) ( )
Предполагая линейную зависимость между толщиной деаэрированного слоя 3 и временем уплотнения дисперсной фазы в форме 3= ВХ1 применим теорему об изменении количества движения механической системы в приближении об ударном взаимодействии двух сфер - первой -налетающей с вертикальной скоростью у0 (например, с высоты к00, когда v0=(2g к00)1/2) для частицы радиусом Яс , плотностью рс и второй сферы, имеющей объем с тем же радиусом Яс и состоящей из сыпучего материала в его слое. Тогда у1(0)= У0[1+ рс(«20рг)-1]-1. При у1(0)« 2Яс/Х1 из (5) получается значение Х1, которое после подстановки в выражение 3=ВХ1 приведет к соотношению
£ = 2ЯВУо1[1 + А («2ОРг )— (6)
Итак, получены оценочные выражения для порозности уплотненного слоя а2 и его толщины 3 соответственно, с учетом у31=Б и вида у1(0). Перейдем к рассмотрению ударного взаимодействия сферической частицы с цилиндрической областью, заполненной сыпучим материалом, которая имеет расширяющийся радиус Я(Х) и порозность а20 (рис. 1). Вследствие теоремы об изменении количества движения описанной механической системы (этап I) с учетом движения уплотненной цилиндрической части сыпучего слоя толщиной 3, определим скорость движения сферической частицы после удара
VI(X) = [-3«рт8В(4рЯс у1 ]{1 + ^^
+3«20РтЯ2 (X)[ - 8- Ъсс (X)] ]4рЯ: у1 }1.
Расстояние ксс(Х) от дна подложки до уплотненного слоя сыпучего материала, рассчитывается, когда у1(х)« -А%сс(Х)/а?Х, из баланса потоков, вытесненных из дисперсной среды
2Я(X)[к0 — 8 — ксс (X)]аЯ(X) / ах = Я2 (X)V! (X), (8)
следовательно, из (8) получим связь между функциями ксс(Х) и Я(Х) в виде ксс(Х)=(к0 - 3) Яс2/ Я2 (X), которая может быть учтена в выражении (7). Тогда имеем следующую связь для зависимости между искомой скоростью движения сферической частицы и расширяющимся радиусом кратерной воронки до некоторой точки торможения потока сыпучего материала, введенной по аналогии с ударным взаимодействием жидкой капли с тонким слоем жидкости из работы [2]:
V (X) = [ — 3«рт8В (4рсЯс)—1 ]{1 +
+3«2оРт(К — 8)[[ (X)Я;2 — 1]]4рЯс )"}".
Выражения (6), (9) и соотношение для расчета ксс(Х) могут быть использованы для оценки двумя способами времени образования всплеска цилиндрического полого профиля п, которое соответствует образованию воронки радиусом Я(п)=Яп. С одной стороны, применяя выражение (9) для скорости у1(т) и вводя условное среднее ускорение движения сферической частицы а1(0) как отношение изменения ее скорости при внедрении в сыпучую среду с таким же объемом а1(0)=[у1(0) — У0]^Х1(0), где из (6) определяется Х1(0). Тогда искомое значение т определяется соотношением
1
т = ■
vo - ki
■-v„
(10)
аЦ1 + Ц Я Я— -1)
где а1(0) = -у02(2Ят)-1[ос(а20рг + рс)] и введены обозначения к1=3а2рт3В/(4 рс Яс); к1=3а2рт(к0 - 3)/(4рсЯс). С другой стороны, используя следующее приближе-
(0)-,1/2
ние ксс(т)= а\ п /2, получим п=[2(к0 - 3)/а1( -] ЯпЯс-1. Приравнивая правые части последнего выражения и соотношения (10), можно получить алгебраическое уравнение третьего порядка относительно Яп.
-0.060.00103
0.00113 ■ Re. м 0-00125
0.0024
0.0022 R: М
Рис. 2. Зависимость v1=v1(R,Rc): v0=24 м/c Fig. 2. Depending v1=v1(RRc): v0=24 m/s
Итак, полученное выражение (9) проиллюстрировано на примере ударного входа дробинки в слой пшена (рис. 2): для физико-механических характеристик среды а20=0,54; а2=0,56; А=1,Г104 Па; ¡=0,5^104 Па; рг=1,34^103 кг/м3 и параметров одиночной частицы рс=4,89^103 кг/м3; у0=24 м/с при Н0=0,33 м при изменении радиуса частицы в пределах Лс=(1,00-1,25)-10-3 м в диапазоне радиуса «кратера» Л=(1,8-2,4)^10-3 м.
Как видно из представленной на рис. 2 поверхности для зависимости у1=у1(Л, Яс), увеличение размеров одиночной частицы, атакующей дисперсный слой с ненулевой начальной вертикальной скоростью, приводит к нелинейному росту модуля скорости ее продвижения в сыпучем материале. Причем изменение радиуса Яс данной частицы на 25 % (например, от значения 1,00^10-3 м до 1,25^ 10-3 м) при Я=1,8^10-3 м влечет за собой почти в 2,3 раза рост модуля скорости движения сферической частицы после удара вследствие меньшего сопротивления дисперсной среды. Данные опытных исследований указанного ударного
взаимодействия показали, что при ударе дробинки с радиусом Rc=1,12^10-3 м о поверхность дисперсного слоя пшена радиус воронки достигает R=2,15^10-3 м. Причем «атака» указанного сыпучего материала частицей б0льшего размера (Rc=1,25-10-3 м, т.е. на 11,6 %) соответствует образованию воронки радиусом R=2,3^10-3 м. Подстановка этих значений параметров в полученную зависимость Vi=Vi(R, Rc) дает следующие величины искомого модуля скорости: 5,32^10-2 м/c и 7,64^10-2 м/c, что показывает его рост в 1,4 раза.
ЛИТЕРАТУРА
1. Капранова А.Б., Лебедев А.Е., Дубровин А.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2008. Т. 51. Вып. 4. С. 70-71;
Kapranova A.B., Lebedev А.Л., Dubrovin A.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2008. V. 51. N 4. P. 70-71 (in Russian).
2. Зайцев А.И., Бытев Д.О. Ударные процессы в дисперсно-пленочных системах. М.: Химия. 1994. 176 с.; Zaiytsev A.1, Bytev D.O. Shock processes in disperse-film systems. M.: Khimiya. 1994. 176 p.
Кафедра теоретической механики
