CC BY
55
УДК 621.365.6
Пачколш Юрш Ефтович, канд. техн. наук, доцент кафедри електропостачання промислових шдприемств E-mail: pachkolin@ukr.net
Бондаренко Олександр Олексiйович, астрант кафедри електричних апарапв.
Запор1зький нацюнальний техшчний ушверситет, м. Запор1жжя, Украша, вул. Жуковського, 64, 69063. Тел. 061-764-46-25.
Левченко Сергш Андршович, канд.техн. наук, доцент кафедри електротехшки та енергетичного менеджменту Запор1зька державна шженерна академ1я, проспект Ленша 226, м. Запор1жжя, Украша, 69006, Тел. 061-223-8221, E-mail: levchenko_s@rambler.ru
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ У ДУГОВ1Й СТАЛЕПЛАВИЛЬНШ ПЕЧ1 З МЕТОЮ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТЕР11В ДЛЯ ОПТИМ1ЗАЦ11 ЕНЕРГОСПОЖИВАННЯ
HaeedeHi результати проведених теоретичних до^джень дозволяють визначити розподш активног потужностi в порожниш дуговог сталеплавильног пе4Í за допомогою системи ттегральних рiвнянь з використанням методу вторинних джерел. Отриман результати е тдгрунтям для створення програм, як забезпечують роботу промислових комп 'ютерiв, що спроможн керувати дуговими сталеплавильними печами, з метою оптим1зацИ витрат електроенергИ.
Ключовi слова: дугова сталеплавильна пiч, активна потужтсть, система ттегральних рiвнянь, промисловий комп 'ютер.
Пачколин Юрий Эфтович, канд. техн. наук, доцент кафедры электроснабжения промышленных предприятий E-mail: pachkolin@ukr.net
Бондаренко Александр Алексеевич, аспирант кафедры электрических аппаратов
Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье, Украина, ул. Жуковского, 64, 69063. Тел. 061-764-46-25.
Левченко Сергей Андреевич, канд. техн. наук, доцент кафедры электротехники и энергетического менеджмента
Запорожская государственная инженерная академия, проспект Ленина 226, г. Запорожье, Украина, 69006, Тел. 061-223-82-21, E-mail: levchenko_s@rambler.ru
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДУГОВОЙ СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ПЕЧИ С ЦЕЛЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ЭНЕРГОПОТРЕБЛЕНИЯ
Приведенные результаты проведенных теоретических исследований позволяют определить распределение активной мощности в полости дуговой сталеплавильной печи с помощью системы интегральных уравнений с использованием метода вторичных источников. Полученные результаты являются основанием для создания программ, обеспечивающих роботу промышленных компьютеров, которые способны управлять дуговыми сталеплавильными печами, с целью оптимизации затрат электроэнергии.
Ключевые слова: дуговая сталеплавильная печь, активная мощность, система интегральных уравнений, промышленный компьютер.
Pachkolin Yuri Eftovich, PhD in Technical Sciences, Assistant Professor at academic department of enterprises electric power supply. E-mail: pachkolin@ukr.net
Bondarenko Olexandr Olexiyovych, postgraduate at academic department of electrical devices. Zaporizhia National Technical University, 64, Zhykovskiy street, Zaporizhia, Ukraine, 69063. Phone: 061-764-46-25 Levchenko Sergiy Andriyovich, Assistant Professor at academic department of electrical equipment and energy management. Zaporizhia State Engineering academy, 226 Lenin Avenue, Zaporizhia, Ukraine, 69006. Phone: 061-22382-21. E-mail: levchenko s@rambler.ru
RESEARCH OF ELECTRIC FIELD IN AN ARC FURNACE IN ORDER TO DEFINE CRITERIA OF
ENERGY CONSUMPTION IMPROVEMENT
The given results of theoretical research allow to define the distribution of actual power in arc furnace cavity by means of integral equation system using secondary sources method. The received results are basis for creation of software that supports operation of industrial computers, which have ability to run the arc furnace in order to improve energy consumption.
Key words: arc furnace, actual power, integral equation system, industrial computer.
Вступ
Проблеми ращонального використання електроенерги промисловими пщприемствами, якi на сьогодш е основними !! споживачами в Укра'ш, набувають iстотного значення. Ситуащя ускладнюеться постiйними обмеженнями обсягiв споживання газу та зростаючими цiнами на нього, тому електроенерпя розглядаеться як альтернатива. Незважаючи на те, що в Укра'ш iснуе необхiдна законодавча база [1] з питань енергозбереження, ефективнють використання енергетичних ресурав у економщ кра!ни залишаеться дуже низькою, що в кiнцевому результатi суттево погiршуе конкурентоспроможнiсть готово! продукцй на свгговому ринку. На сьогоднi ситуащя зi споживанням електроенерги, що склалася в кра!ш, свiдчить про те, що прийняття вiдповiдних законiв само по собi не вирiшуе проблему зменшення енерговитрат. Так, частка витрат на енергоносй в собiвартостi промислово! продукцй досягае в середньому по Укра'ш до 50 %, а в електрометалургп - навiть до 70 % ^ на превеликий жаль, фiнансовi витрати на оплату електроенерги постшно зростають.
Аналiзуючи причини неефективного використання електроенерги, для отримання яко! витрачаеться значна частка паливно-енергетичних ресурав, можна зробити висновок про актуальнють та невщкладнють пошуку можливих шляхiв економй електроенерги.
Мета проведених дослщжень. Визначити основнi закономiрностi розподшу активно! потужностi в порожнинi дугово! сталеплавильно! печi (ДСП) за допомогою системи iнтегральних рiвнянь Фредгольма II роду за методом вторинних джерел , що е тдгрунтям розробки програмного забезпечення для промислових комп'ютерiв, яю спроможш керувати роботою дугово'1 сталеплавильно'1 печi, з метою оптимiзацii витрат електроенерги.
Основна частина
Дугове на^вання характеризуеться дуже високими температурами, тому його застосовують в електрометалургп для розплавлення металу. При цьому споживаеться значний обсяг електроенерги за короткий промiжок часу, що висувае ряд вимог до електроустаткування дугових печей, мережi живлення та режимiв плавлення.
Очевидно, що для забезпечення максимально! енергоефективносп роботи дугово! сталеплавильно! печi необхвдно виршити оптимiзацiйнi завдання вибору й конструктивних параметрiв i режиму плавлення. Це забезпечить найкращi показники використання електроенерги (об'емний розподш потужностi). При цьому через складний вплив багатьох факторiв на режими роботи дугово! печi при визначенш !! конструктивних параметрiв за ввдомими залежностями й алгоритмами можна лише наближатися до '1'хшх оптимальних значень.
Розматсть i складнiсть геометричних форм i розмiрiв сучасного електротехнологiчного устаткування, усе бшьш жорсткi вимоги до точносп 1'хнього розрахунку, з одного боку, вказують на обмежену сферу застосування аналгтичних методiв для такого розрахунку, а, з шшого боку, тдкреслюють актуальнiсть розробки унiверсальних числових алгоршмв розрахунку, у цьому випадку - електричних i електромагнiтних полiв, орiентованих на застосування промислових комп'ютерiв. Маючи у своему розпорядженнi подiбнi алгоритми, що дозволяють варшвати геометричнi параметри, властивосп матерiалiв й iншi характеристики, можна замшити тривалi розрахунки та експерименти швидким розрахунком за допомогою комп'ютера рiзних варiантiв i вибором оптимального з них. При цьому створюються передумови автоматизацп процесу плавлення металiв за допомогою промислових комп'ютерiв.
1з зазначеною метою пропонуеться алгоритм формування тривимiрноi математично!' моделi, призначено! для розрахунку розподiлу активно!' потужносп в порожнинi ДСП у виглядi системи iнтегральних рiвнянь, якi доцшьно розв'язувати за методом вторинних джерел [3, 5, 6]. Виршальна перевага методу вторинних джерел перед шшими полягае в можливосп побудови ушверсальних i ефективних числових алгоритмiв розрахунку електричних полiв, орiентованих на застосування комп'ютерно!' технiки i придатних для неоднорщних середовищ i складних форм меж розподшу середовищ.
Метод вторинних джерел припускае розрахунок електричних полiв шляхом уведення
додаткових вторинних електричних зарядiв у розв'язувану систему штегральних рiвнянь.
Вщомо, що можливiсть замiни впливу неоднорщного середовища такими джерелами, що вводяться в однорщне середовище, е фундаментальною властивютю електромагнiтного поля [6].
Очевидно, що розподш вторинних джерел не може бути довшьним, а повинен задовольняти вщповщному iнтегральному рiвнянню. Виршивши його, можна знайти об'емний розподш вторинних джерел i звести завдання до методики розрахунку поля в однорщному середовищi за вщомим розподiлом первинних i вторинних зарядiв. Таким чином, вирiшення задачi розрахунку поля в неоднорщному середовищi представляе собою два етапи:
1) складання системи штегральних рiвнянь i знаходження з !х допомогою невiдомих вторинних джерел;
2) розрахунок екв1валентного поля в однорщному середовииц (рис. 1).
Рис. 1. Розподш вторинних електричних зарядiв на поверхш металу
Розрахунок електромагштних полiв за методом вторинних джерел може бути зведений до виршення штегральних рiвнянь Фредгольма II роду. Властивосп цих рiвнянь вщом^ 1'хне чисельне вирiшення принципових труднощiв не представляе [4]. Процес такого ршення складаеться з багаторазового обчислення об'емних i поверхневих iнтегралiв. Щоб забезпечити необхiдну точнiсть обчислення iнтегралiв, 1'хш поверхнi й об'еми розбиваються на множину малих елементiв. Для тдвищення точностi розв'язання iнтегральних рiвнянь за допомогою комп'ютерно'1' технiки вводиться якнайбшьше додатково'1' iнформацГi про особливосп завдання й про iнтегральнi властивосп рiшення, яке шукаеться.
Вiдповiдно до методу вторинних джерел конкретний розподш щшьносл а вторинних зарядiв вщповщае певнiй системi iнтегральних рiвнянь. Поверхнева щшьнють заряду а(О) у точщ О, розташованiй на межi розподiлу областей однорщно'1' провiдностi, визначаеться за формулою:
а{О ) = Е (О), (1)
—0 ....
де пд - вектор одинично'1' нормалi до межi розподiлу в точщ О;
Е(О) - напруженють у точщ О, створена вама зарядами, розподшеними на межах областей, ^м заряду в точщ О.
Тут параметр Лв залежить вщ провiдностi областей, що межують:
= , (2)
7 +
де 7 - вщносна провiднiсть областi, з яко'1' спрямована нормаль до межц
уе - вщносна провiднiсть обласп, у яку спрямована нормаль до меж1 Напруженiсть поля виражаеться через розподш щiльностi заряду:
Е (б) = -
1
-\о(М )-
бм
¿Б,
Л ^ 4 ' 3 мм > (3)
4тУо Б ГбМ
де гдМ - вщстань мiж точкою спостереження б (фiксованою), у якш визначаеться
напруженiсть, i точкою М провщного тiла (змiнною), у якш перебувае заряд о(М )ёБ1
М '
'ем
- вектор вщсташ мiж точками б i М , спрямований з фжсовано'1' точки б у змiнну
точку М. 1нтегрування проводиться за вама межами областей, де розподiленi iз щiльнiстю а заряди - вторинш джерела.
Пiдставивши значення Е(б) за формулою (3) у формулу (1), одержимо лшшне однорiдне штегральне рiвняння Фредгольма II роду щодо шукано'1' щiльностi заряду а по межi з параметром X:
^(0 + ^ \а(М) К (б, М )ёБм = 0, (4)
К (б, М) =
г п0
2т
(5)
бМ
де К (б, М) - ядро iнтегрального рiвняння.
Межа провiдного тiла порожнини ДСП й електродiв складаеться з умовно видшених чотирьох дiлянок (поверхонь електродiв та провщно'1' поверхнi печi) БА, БВ, БС, Б0. (рис. 2).
В е^валентному полi щiльнiсть заряду о(б) у будь-якiй точцi б на дiлянцi БА обумовлена напруженютю Е(б). Це характерно й для вах iнших дшянок межi. У зв'язку iз цим, якщо точка Ба, маемо:
а(б) = 2ПЛЕ (бЩ,
де Е(аК - нормальна складова вектора напруженосп.
(6)
Рис. 2. Розрахункова математична модель ДСП Пщставляючи (1) в (6), одержимо:
а(б) = -Х\а(М)
п0 г
пб бМ
2т3
бМ
(7)
3
Таким чином, у випадку, якщо точка Q перебувае на поверхн межi SА, 8в, 8с, 5о, то отримуемо систему однорiдних штегральних рiвнянь:
Q е ^а, о(0>) + = 0; (8)
•> 9 тп'
2т К *
Q е Sв, ^(Q)+к\оЦМ)2^М®м = о; (9)
2т *
Q е о^)+¿¡о^т^м = 0; (10)
2т
Q е о®) + Я ¡о(м) "^М-й^м = о. (11)
S ¿-/Идм
Iнтегральнi рiвняння (8) - (11) е новоутвореною математичною моделлю, отриманою з теоретично! моделi електромагнiтних явищ - рiвнянь Максвелла. Наведенi iнтегральнi рiвняння, як i рiвняння Пуассона, ввiбрали у себе iнформацiю про зв'язки мiж величинами, що характеризують фiзичний процес у нескшченно малому об'емi. Щодо цього новоутворена та наведена рашше математичнi моделi рiвноцiннi.
У ршення рiвняння Пуассона входять не тшьки довiльнi постiйнi, але й довшьт функцп. Вибiр довiльних постiйних i функцiй, якi дiйсно вiдповiдають рiшенню, отримують з додаткових умов, що роблять постановку задачi фiзично визначеною. Цi умови називаються граничними. 1хня повнота вiдповiдае повнiй фiзичнiй визначеносп в постановцi задачi. В штегральш рiвняння (8) - (11) не ввшшли нi напруги на електродах, ш струми. Отже, якщо !х не ввести в рiвняння, то задача буде невизначеною.
Новоутворена математична модель у формi iнтегральних рiвнянь мае ту перевагу, що в не! можна ввести зазначену додаткову шформащю про штегральш властивосп шуканого поля. Так вiдомо, що струм, який пропкае через контакт з високою провiднiстю, можна представити так:
=-\°т. (12)
З огляду на штегральш властивосп вторинних джерел [5, 6], маемо опе = оп1 (Q),
. . Я-1 тодi гА =—— у
А т ' }
2Я
¡о^)dSQ . Тому що параметр межi Я = -1, маемо:
5
А
IА = у ¡о^)ка . (13)
Очевидно, можна записати аналопчш рiвняння для вах поверхонь межк
| о«2) dSQ =^; (14)
5а у
íо(Q)dSQ = ^; (15)
5. Q у
Го^^ =^; (16)
к Q У
¡о(Q)dSQ = 0. (17)
5 0
Вводимо додаткову шформащю в штегральш рiвняння. Так вщомо, що змша потенцiалу дорiвнюе:
№) = ~— \°(М)
4^Уо й
Остаточно, штегральш рiвняння приймуть вигляд:
'ем
е е йА,
е е йв, е е ^,
е е й0,
0(0) + Л\о(М ) Ка (е, м )ййм
о(е)+л\о(м) Кв (е, м )ййм
йаУ
йвУ
о(е)+л\о(м)кс (е, м)ййм ; о(е)+л\о(м) Ко(е, м )ййм=о.
(18)
(19)
(20)
(21) (22)
Ядра штегральних рiвнянь (19) - (21) мають однаковий вигляд:
Ка (е, м) = \^ +
2лг,
3
ем
---1 с J
ем
й •> Г
а йА'ем
Г
V
йА йа
пе Гем 2лг3
+ -
1
ем ем
Ядро iнтегрального рiвняння (22) мае вигляд:
1- ( й J
й •> Г
а йА'ем
е
(23)
к0 (ем)=Iм - \
' пе Гем
2жг
з .
ем
(24)
Таким чином, система штегральних рiвнянь (19)-(22) дозволяе знайти розподш вторинних джерел о(е) на межi розподiлу середовищ. При числовому ршенш за допомогою комп'ютера систему штегральних рiвнянь потрiбно замiнити системою лшшних алгебра!чних рiвнянь [2, 4]. Порядок системи алгебра!чних рiвнянь залежить вщ числа розрахункових точок, у яких необхщно розрахувати повну шукану величину, й обмежуеться об'емом оперативно! пам'ят комп'ютера.
Для зведення системи штегральних рiвнянь (19)-(22) до системи лшшних алгебра!чних рiвнянь скористаемося розрахунковою схемою математично! моделi ДСП (рис. 3). Для цього на межi й провiдного тiла (електродiв i поверхш розплавленого металу) вибираемо п точок, у яких потрiбно розрахувати щшьнють вторинних джерел. Точки розмiщуються на поверхш електродiв йА, йВ, йС i на внутрiшнiй поверхнi корпусу ДСП й0. Надавши точкам М шдексу, а точкам е шдекс г i розподiливши !х по поверхнi розподiлу й, одержуемо наступне рiвняння:
\о(м)ка е,м} )ййм о(му ){ка е,м} )ййм .
Тодi iнтегральне рiвняння (19) прийме вигляд:
1 +
о(е)+л£4о(м]) г Ка (е, м )ййм
г,
(25)
(26)
у=1 йаУ
Тепер можна остаточно записати систему алгебра!чних рiвнянь для поверхш межi йА:
= Ьг . (2?)
У=1
Промiжнi викладки одержаного виразу (27) наведеш в [4]. В отриманому рiвняннi ау i Ьг - коефщенти системи, що обчислюються за формулами:
А
в
Ь = -л-;
ау = 1 + А | Кл (0,, М
а^ = А | Кл (0,, М,
* = 7; ,* 7 •
(29)
Б - площа поверхнi
1 - бiчна
2 - нижня
3 - верхня
А, В, С - фази 0 - корпус ДСП
Рис. 3. Розрахункова схема математично'1 моделi ДСП
Коефщенти алгебрашних рiвнянь моделi мiстять ряд складових, що е визначеними штегралами за елементами поверхнi• Пiсля перетворень, наведених в [4], для вае! поверхнi межi розподiлу середовищ 8л можна записати:
1
1
Д5
Кл (0,, М)ё8м = Рц + Ц} - — (М 7 + )—я}
3 А и А
де:
- 1 ,,
р = _1_V •
,* 7 • Р, = 0; , = 7;
2
Б,
Ь = ; 1 * ]; Ь = а 1 = ];
гд1м]
М = 2О^рБ]; N = 2ЛЗД;
—--+ а1БР + а1БР + а2 БР .
г
Виконаемо аналопчш перетворення всiх рiвнянь системи до вигляду, зручного для програмування й розв'язання за допомогою комп'ютера. В остаточному виглядi перетворена система рiвнянь являе собою алгоритм розрахунку шукано! щiльностi вторинних джерел в обраних розрахункових точках. Пюля розрахунку щшьносп вторинних джерел по межi Б провщного тiла (прошарок металу близько футеровки печ^ е можливим визначити питому активну потужнють, що видшяеться в елементах об'ему ДСП, розрахувавши напруженiсть поля в обраних точках об'ему провщного тша.
Як вщомо, складовi напруженостi електричного поля в цилшдричнш системi координат дорiвнюють:
ер (ч) - 2 ——~Б]; (31)
]=1 ГЧ]
" рп б1П(юп -ю.)
(п) - 2 зп 1 Б]; (32)
]=1 Г1
" г . - г
Е (п) . (33)
1=1 гп]
Знаючи значення складових напруженосп електричного поля, визначаемо миттеву активну потужнють, що видшяеться в одиничному об'емi Уп порожнини ДСП:
Ер(п) + ЕЮ(п) + Е, (п)]( )2 V . (34)
Рп = ПЕр(п) + Ею(п) + - , п
4жу0
Вiдповiдно до теори кш трифазного струму для симетрично! трифазно! системи струмiв значення миттево! потужносп дорiвнюе активнiй потужностi системи. Таким чином, активна потужнють ДСП дорiвнюе:
Рь =2Рп . (35)
п
Розбивка на елементарш об'еми показана на рис. 4.
Алгоритм розрахунку об'емного розподшу потужносп ДСП передбачае наступну послщовнють розрахунку з допомогою комп'ютера:
1. Розраховуеться миттевий розподш вторинних джерел на поверхш розподiлу середовищ iз рiзною провщнютю шляхом рiшення системи iнтегральних рiвнянь при заданiй системi трифазних струмiв.
2. По миттевому розподiлу вторинних джерел розраховуються миттевi значення напруженосп поля в обраних точках порожнини ДСП.
3. Питомi активнi потужносп в обраних точках об'ему ДСП розраховуються як середш значення миттевих потужностей за певний перюд.
Кшькють електроенерги, яку споживае ДСП за час Т дорiвнюе:
Рь Т. (36)
1 (
х
4
Рис. 4. Рiзновиди елементарних об'eмiв у порожниш печк Н0 - висота порожнини печц Я0 - 11 радiус; Ыф - число розбиття по вiсi ф; N - число розбиття по вiсi к - номер елементарного об'ему по вiсi Я
Можливостi юнуючих комп'ютерiв i складна конфiгурацiя поверхонь розподшу середовищ обмежують число точок при розрахунку вторинних зарядiв. Для одержання досить точного ршення кшькють точок повинна бути якомога бшьшою. Координати точок для об'ему ДСП цилшдрично'1 форми вводяться в програму розрахунку у виглядiрч, фд, [4].
При створенш математично'1 моделi ДСП прийнятi наступнi умови:
- порожнина ДСП цилшдрична з трьома круглими симетрично розташованими електродами;
- допускаемо, що електроди мають вщносно велику провiднiсть i виготовленi з графггу;
- ДСП працюе в трифазному симетричному синусо1дному режимi;
- через незначний вплив поверхневого ефекту вщ струмiв ДСП магнiтне поле не враховуеться, а розрахунки робляться тшьки для електричного поля в провщному середовищь
Запропонована математична модель досить точно вщображае розподiл потужностей у елементарних об'емах порожнини ДСП, що пщтверджено перевiркою на фiзичнiй моделi ДСП (рис. 5). Надалi це дозволить розрахувати температурне поле в окремих точках порожнини ДСП.
Висновок
Запропоновано метод розрахунку електричного поля в порожниш ДСП. Проведен дослщження дозволяють знайти оптимальш конструктивнi рiшення щодо пiдвищення енергоефективностi ДСП.
Z_2
Рис. 5. Фiзична модель ДСП: 1 - електроди (з графпу); 2 - електричне поле, що дослщжуеться (з металiзованою поверхнею)
Список лiтератури
1. Зеркалов Д. В. Правова основа енергозбереження: Довщник. - К.: Дакор, 2008. - 480 с.
2. Качан Ю. Г. К расчету объемного распределения мощности в электрическом теплоаккумулирующем преобразователе / Качан Ю. Г., Левченко С. А. // 1нтегроваш технологи та енергозбереження. - Харшв. - 2005. -№ 2. - C. 150-153.
3. Левченко С. А. Метод вторичных источников для исследования трехмерных электрических полей / Левченко С. А., Чернявская Н. Е. // Х науково-техшчна конференщя студенпв, мапстрш, асшранпв i викладач1в ЗД1А. Ч.1. Запорiжжя, 18 - 22 квгтня 2005 р. - Запорiжжя. - 2005. - С. 156-157.
4. Математическое моделирование электрических полей печей рудной электротермии / [С. А. Ольдзиевский, В. А. Кравченко, В. И. Нежурин, И. А. Борисенко]. - М.: Металлургия, 1990. - 113 с.
5. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике./ Тозони О. В. - М.: Энергия, 1975. -
295 с.
6. Тозони О. В. Электромагнитное поле в неоднородной среде и метод вторичных источников / Тозони О. В // Кибернетика и вычислительная техника: Республ. межвед. науч. сб. АН УССР. - Киев: Наукова думка, 1973. - Вып. 22. - С. 166 - 169.
References
1. Zerkalov D. V. Legal Basis of Energy Savings: reference book. - K.: Dakor, 2008. - 480 p.
2.Kachan Y. G. Up-to the calculation of volume power distribution in electric heat storage convertor / Kachan Y. G., Levchenko S. A.// Integrated technologies of energy saving. Kharkiv. - 2005. - № 2. - P. 150-153.
3. Levchenko S. A. Secondary sources method for research fields / Levchenko S. A., Chernyavskaya N. E. // Scientific and technical Conference for students, masters, postgraduate and teachers of Zaporizhia State Engineering Academy, 18 - 22 April 2005, Zaporizhia. - 2005. - P. 156-157.
4. Math modeling of electric fields in ore electrothermy furnaces / [S. A. Oldziyevsky, V. A. Kravchenko, V. I. Nezhyrin, I. A. Borisenko]. - M.: Metallurgy, 1990. - 113 p.
5. Tozoni O. V. Secondary sources method in electrical equipment. / Tozoni O.V. - M.: Energy, 1975. - 295 p.
6. Tozoni O.V. Electromagnetic field in nonuniform environment and secondary sources method. / Tozoni O.V. // Cybernetics and IT equipment: Scientific composite book Academy of Science Ukraine. - Kiev: Naukova dumka, 1973. - issue 22. - P. 166-169.
Поступила в редакцию 13.10 2014 г.
