Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. С. Морозова, С.П. Моисеева, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЛИЯНИЯ ЦЕНОВОЙ СКИДКИ ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ КЛИЕНТОВ НА ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ

В качестве торговой компании можно рассматривать бесконечнолинейную систему массового обслуживания. Например, для любой торговой компании (магазин) число клиентов практически неограниченно. Кроме этого, предоставляемые компанией накопительные скидки, обеспечивают возможное повторное обращение клиента в эту компанию (магазин). Для таких компаний определяющее значение имеет процесс изменения числа клиентов с учетом повторных обращений. В качестве математической модели поставленной задачи будем рассматривать СМО с повторным обращением.

Постановка задачи

Рассмотрим бесконечнолинейную систему массового обслуживания (СМО) [1], на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок (рис. 1). Время обслуживания на каждом приборе экспоненциальное с параметром д, одинаковым для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью

1 - г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания.

Поток клиентов можно рассматривать как двумерный случайный процесс {(О, п(^)}, где у(() - число клиентов, впервые обратившихся в компанию, п(/) -число клиентов, повторно обратившихся в компанию.

F (y, z, t) = exp I

X

z -1

ц(1 - r) ^ 1 - rz

1 r - 1І e^(1-rz)t I+x I y^—^ - 1I t -

1 - rz

1 - rz

Xy

ц(1 - rz) ^ 1 - rz

(1)

М£2 = а2, а при повторном обращении ее доход составляет долю 5 от величины £ . Здесь 1-5 - величина скидки для постоянных клиентов.

Рассмотрим функцию H (a, t) = Me~aS (t), здесь S(t) - суммарный доход, полученный компанией за время t; очевидно

n(t) v(t)

S(t) = £^ + S^,

k=1 /=1

тогда

H(a, t) = jT]T(Me-a?5) x

n=0 v = 0

x (Me~ai;) P(n, v, t).

Обозначив Mea? = <p(a) получаем

H(a, t) = M {<p(5a)n(t> 9(a)v(t)} .

Учитывая (1),

1_ r

— 1 11 +

F (ф(5а), ф(а), t) = exp | XI ф(а) j

L- ^(5a)

X

+

Исследование двумерного потока обращения в рассматриваемой СМО проведено в [2]. Производящая функция двумерного распределения вероятности двумерного потока имеет вид

ф(а)

1

^(5а) -1 r -1

ф(5а) -1 1 - ^(5а)

(1 -

i-^(1-r9(5a»t

(2)

Пусть

h1 (а) = XI ф(а)

1-r

1 - ^(5а)

— 1

h2(a, t) =

Xr

1

:(1 -

Поставим задачу определения влияния скидки на прибыль компании.

Пусть компания при каждом первичном обращении получает доход в размере значения случайной величины £ с функцией распределения А(х), М£ = а1,

ц 1 - ^(5а) тогда (2) запишем в виде

H (a, t) = M {e~aS (t)} = exp {h1(a)t + h2(a, t);

: (ф(5а) -1))-Sg-f - ^)}.

Определение основных характеристик капитала компании

Определим первый момент [3]:

дН (а, ґ)

дк

2(а,ґ )

д ={к; (а)ґ + д

да 4 да

(ф(5а) -1)

ф(а)

1

гф(5а) -1 г -1

+к2(а, ґ )5ф'(5а)

ф(а)

гф(5а) -1 г -1 +к2 (а, ґ) (ф(8а) -1) х

ф'(а) [гф(5а) -1] - ф(а)г5ф'(5а) (гф(5а) -1)2

Учитывая, что

Н(а, ґ).

к1 (0) = -Ха1 Хг

1 - г + г5 1 - г

к2(0, ґ) = (1 - е^ц(1-г )ґ),

2 Ц(1 - г)1 '

ф(0) = 1, ф'(0) = а1.

Получаем [4]:

дН (а, ґ),

да

с(ф(0) -1)

={к; (0)ґ-ф(0) -

дк

2(0,ґ)

да

1

гф(0) -1 г -1

+И2(0, ґ )5ф'(0)

ф(0)

г ф(0) -

ф'(0) [гф(0) -1] - ф(0)г 8ф'(0)

(гф(0) -1)

дН (а, ґ),

---М + *2(0, ґ) (ф(0) -1)

1 г -1)

Н (0, ґ ),

да

к1 (а) = Х(1 - г) откуда

ф ' (а) (1 - гф(5а)) + ф(а)г5ф ' (5а) (1 - гф(5а) )2

МБ(ґ) = Ха1\ 1 + 51-------| ґ.

Определим второй момент

д2 Н (а, ґ)

да2

д2И

= -| И' (а)ґ + ^ 2(2а,ґ) (ф(5а) -1)

ф(а)

гф(5а) -1 г -1 ф(а)

да2

дк2

1 і+-----2<аґ) 5ф'(5а);

да 1

гф(5а) -1 г -1

ф'(а) [гф(5а) -1] - ф(а)г5ф'(5а)

-----------------------2-----------

(ф(5а) -1)

ф(5а) -1 (ф(5а) -1) +

дк

2(а,ґ )

да

+*2 (а, ґ )5ф(5а)\ —ф5(а)---------1 +

гф(5а) -1 г -1

2._^=„.ч1 ф(а) 1

+И2(а,ґ)5 ф”(5а)

гф(5а) -1 г -1 ф'(а) [гф(5а) -1] - ф(а)г5ф'(5а) (ф(5а) -1)2

ф'(а) [гф(5а) -1]

+к2 (а, ґ) (ф(5а) -1)

ф(а)г5ф'(5а)

(ф(5а) -1)2 Н (а, ґ ) +

(ф(5а) -1)

ф'(а) [гф(5а) -1]

+И2(а, ґ )5ф'(5а)

(ф(5а) -1)

-ф(а)г5ф'(5а) Н (а, ґ) +

(ф(5а) -1)2

, к ( ґ) ( ) 1чф”(а) [гф(5а) -1]

+к2(а, ґ >(ф(5а)-1) (5а)-1)2 -

ф'(а)г5ф'(5а)

(2ф(5а) -1)2

(ф'(а)г 5ф'(5а) + ф(а) г52ф”(5а))(гф(5а) -1)2

(ф(5а) -1)4

ф(а)г5ф”(5а)2(гф(5а) - 1)г5ф'(5а) ]

(ф(5а) -1)4

Н (а, ґ) +

+к(а)ґ +----2(г) (ф(5а) -1)\—ф(а^------—1 -

да2 \ гф(5а) -1 г -1)

+к2 (а, ґ )5ф' (5а) [ —ф(а^--— | +

+к2 (а, ґ) (ф(5а) -1)

гф(5а) -1 г -1 ф'(а) [гф(5а) -1]

(ф(5а) -1)2

ф(а>г5ф'(5а> Н '(а, ґ). (ф(5а) -1)

{[а2 (1 - г) - а?г5 + а2г5 + г52а2 ^

Учитывая, что ф”(0) = а2,

к' (0) = Х(1 - г) 4

1 (1 - г)4

(1 - г) + 2а^ [1 - г + г5] (1 - г)г5}

х--------------------4-------------=

(1 - г)4

х{а2 (1 - г + г52) (1 - г) + 2а^ (1 - г + г5)5}

= о-Т?

X

Х

(1 - г)2 получаем

{а2 ( - г + г52)1 - г) + 2г5а^ (1 - г + г5)},

д Н (а, ґ)і , " .. .

—да--------1 а=0 = к (0)ґ + 2 (0,ґ),

к (а) = Х(1 - г) {((а) (1 - гф(5а)) - ф'(а)г5ф'(5а)) +

+ф'(а)г 5ф'(5а) + ф(а)г52 (ф''(5а)) х

-(к (0)ґ) х

х5(ф'(0))2 г 1 г5 +|

(г -1)2

< (1 - гф(5а))2 + [ф'(а) (1 - гф(5а)) + ф(а)г5ф'(5а)]; х2 (1 - гф(5а)) г5ф' (5а)} / (1 - гф(5а))4,

Пусть г0 = 0,5, г = 0,8, г (5) = 0,8 - 0,35, г'(5) =-0,3, тогда

/'(0) = ^ > 0, /'(1) = < 0

(0,2)2

(1 - 0,5)2

так как производная меняет знак на промежутке, 5є(0;1), то существует максимум функции /'(5) на этом промежутке. Очевидно, / '(5) = 0 при

2

5 = -3(1 + -\/5) и 0,824, т.е. максимум функция

/ (5) = 5-

г (5)

достигает при скидке 17,6%. График

1 - г (5)

зависимости / (5) изображен на рис. 2:

откуда

М52(ґ) = ———{а2 (1-г+г52)1-г) + 2г5а^ (1-г + г5))ґ +

+-2Х^-(1 ->' ) + (к' (0)ґ),

ц(1 - г)У ’ 1 (1 - г)2 V 1 /

ВБ(ґ) = МБ2 (ґ) - (МБ(ґ))2 = 1х- а2 ( - г + г52) ґ +

+ 2Хг§а|2 (1 - г + гЪ) )______^(1 _е_л_,,).

(1 - г )2 I Ц(1 - г^ ’\

Исследование влияния ценовой скидки на капитал торговой компании

Рассмотрим функцию / (5) = 5

г (5)

1 - г (5)

/ '(5) =

г(5) - г2(5) +5г'(5) (1 - г( 5))2

г(0) - г (0)

(1 - г(0))2 г(1) - г2(1) +5г'(1)

при 5 = 0,

(1 - г(1))2

при 5 = 1.

Рассмотрим на примере.

Предположим, что вероятность возвращения клиента прямопропорциональна предоставляемой скидке, т.е. имеет вид

г (5) = г0 + 01 - г0)(1 -5),

где г0 - вероятность повторного обращения клиента в торговую компанию при 5 = 1, г1 - вероятность повторного обращения клиента в торговую компанию при 5 = 0.

Тогда [5]:

Рис. 2

Представленные результаты можно использовать для определения величины скидки различных торговых компаний (магазинов). Очевидно, что для продовольственного магазина, находящегося в центре жилого комплекса, вероятность повторного обращения увеличится незначительно при предоставлении магазином скидки. Например, г0 = 0,8, г1 = 0,9. Поэтому ее установление нецелесообразно для торговой компании (рис. 3)

/ (5)

Рис. 3

Как видно, максимум достигается при условии, что скидка не предоставляется.

Аналогичная ситуация наблюдается на рынке совершенной конкуренции (например, олигополии), ко-

5

5

гда г0 = 0,3, г = 0,5, т.е. при наличии двух и более магазинов на территории, реализующих однородную продукцию (рис. 4).

/ (5)

Рис. 4

/ (5)

Рис. 5

В то же время для крупных оптовых компаний введение скидки влияет на вероятность повторного обращения клиентов, поэтому, как показано на рис. 5, максимальное значение дохода обеспечивается при установлении скидки при г0 = 0,4 , г1 = 0,9. При этом скидка устанавливается на доходную часть стоимости товара, а не на весь товар.

Аналогичные результаты можно получить для зависимости 0 <а< 1, г(5) = г0 + (г1 -г0)(1 -5)а, например а = 0,3, тогда график зависимостей /(5) и 5 имеет вид (рис. 6):

/ (5)

Рис. 6

Таким образом, полученные результаты можно использовать для нахождения оптимального значения скидки для получения максимального дохода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Обработка

данных и управление в сложных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. Вып. 7.

2. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969.

3. РадюкЛ.Е., ТерпуговА.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М., 2004.

6. Липсиц И.В. Коммерческое ценообразование. М.: ББК, 1997.

7. Слепнева Т.А., Яркин Е.В. Цены и ценообразование. М.: ИНФРА-М, 2001.

8. Слепов В.А., Попов Б.В. Практика современного ценообразования на национальном и международном рынках. М.: Изд-во РЭА, 1996.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 6 июня 2006 г.