Исследование эффективности решений транспортнологистических задач и вопросов структурной устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. ПРОБЛЕМНЫЕ СТАТЬИ

УДК 519.17

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЙ ТРАНСПОРТНО-ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И ВОПРОСОВ СТРУКТУРНОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ

Кочкаров Р.А., к.э.н.

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия

Кочкаров А.А., к.ф.-м.н. АО «РТИ», Москва, Россия Яцкин Д.В., аспирант

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Москва,

Россия

Аннотация. В работе рассмотрены проблемы, связанные с поиском решений транспортно-логистических задач, выявлением оптимальных решений и их изменением, вызванных изменением условий задачи. Описан разработанный подход, как к формализации условий задач, так и к оценке эффективности решений. Рассмотрены вопросы структурного изменения транспортно-логистических систем и соответствующей структурной устойчивости систем к процессам таких изменений.

Ключевые слова: транспортно-логистические системы, графовая структура, структурная устойчивость, задача оптимизации, эффективность решения.

STUDYING THE EFFECTIVENESS TO TRANSPORT AND LOGISTICS PROBLEMS SOLUTIONS AND STRUCTURAL STABILITY ISSUES

Kochkarov R.A., PhD. Econom. Sciences

Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow E-mail: rasul_kochkarov@mail.ru Kochkarov A.A., PhD. ph.-math. Sciences AO "RTF, Moscow Yatskin D.V. Moscow Institute of Physics and Technology, Moscow E-mail: danil@frtk.ru

Abstract. The paper considers the problems associated with finding solutions to transport and logistics problems, identifying optimal solutions and their changes caused by changes in the conditions of the problem. The described approach was developed both to formalize the conditions of tasks and to evaluate the effectiveness of solutions. The issues of structural changes in transport and logistics systems and the structural stability of systems to the processes of such changes are considered.

Keywords: transport and logistics systems, graph structure, structural stability, optimization problem, solution efficiency.

1. Введение

Наиболее естественным математическим аппаратом для изучения транспортно-логистических систем является теория графов. Такие системы, как правило, представляют из себя сети, которые удобно как изображать в виде графов, так и исследовать их особенности, используя соответствующий инструментарий.

После представления транспортно-логистическую систему в виде графа (а сделать это можно используя разные описательные подходы и принципы), приходится иметь дело с построенный структурой - изучать ее свойства и характеристики, решать оптимизационные задачи и так далее.

Для транспортно-логистических задач важную роль играет такой параметр системы как устойчивость ко внешним воздействиям [1], так как им во многом определяется работоспособность такой системы (а на практике зачастую - и жизнеспособность бизнеса, построенного на ней). Тем не менее, понятие структурной устойчивости определяется и изучается в современной литературе на довольно низком уровне, не допускающем применение такого подхода для решения реальных задач. Даже сам показатель устойчивости не определен однозначно, что порождает неприменимость большинства подходов в сферах, отличных от тех, для которых они были разработаны [2,3].

Необходимость создания универсального подхода к описанию устойчивости графовых структур продиктована не только задачами, связанными с логистикой, но и проблемами из других сфер - изучения распространения информации и социальных взаимодействий, разработки мультиагентных технологий, построение систем планирования и распределения задач и многих других. Однако важно следить за тем, чтобы разрабатываемые методы, подходы и критерии были применимы именно для решения именно транспортно-логистических задач, как наиболее востребованной области для их применения. 2. Моделирование транспортно-

логистической системы и ее представление в виде структуры

Рассмотрим подход к описанию транспортно-логистической системы при помощи теории графов. В любой системе подобного рода можно выделить узлы, обладающие определенным набором попарных связей. На практике в роли узлов могут выступать пересылочные пункты (для задач доставки), станции, предназначенные для остановок того или иного транспорта (для решения задач обеспечения возможностей логистики) или, например, опорные точки, обязательные для посещения (для задачи построения маршрутов). Для каждого из приведенных выше примеров не составляет

труда представить связи, которые соединяют узлы в этом случае.

Тогда можно построить граф С(р,е), в роли вершин {у} которого будут выступать узлы, а в роли ребер {е} - обозначенные связи между ними. В таком случае основной спектр задач, решаемый на данном графе при моделировании решения реальных практических задач в описываемой им системе сводится к поиску на графе обладающих определенными свойствами потоков, путей, маршрутов, циклов и т.п.

Заметим при этом необходимость выделения двух типов вершин {р1} и {V2}, где (V1 П V2 = 0 , ( V1 и V2 = V

Под вершинами первого типа {V1} понимаются вершины, соответствующие узлам, которые могут выступать как ключевые точки при решении типовых задач. Например, при решении задачи поиска потока, обладающего определенными параметрами, такие вершины могут быть стоком или истоком, для задач поиска маршрута вершины первого типа могут являться начальной или конечной точкой и т.д. Важно отметить, что вершины первого типа могут и не соответствовать ключевым точкам для задач, но имеют потенциальную возможность быть ими. Остальные вершины {V2} называются вершинами второго типа.

Рассмотрим, например, логистическую задачу, связанную с организацией системы обмена грузами (любыми физическими объектами) между филиалами логистической компании, расположенными в разных городах. При построении графа, моделирующего такую систему, вершины первого типа будут соответствовать самим филиалам, которые могут быть отправителем или получателем какого-либо груза. Однако такая компания может воспользоваться услугами стороннего перевозчика или цепи перевозчиков для доставки целевого объекта между какими-либо определенными двумя филиалами и такие перевозчики будут соответствовать вершинам второго типа при представлении системы в виде графа. При этом в некоторых случаях отдельный

филиал может выступать в качестве промежуточного пункта пересылки какого-то определенного груза, а значит, не являться ключевой точкой задачи доставки - но при этом вершина, соответствующая ему, остается вершиной первого типа, так как она имеет потенциальную возможность стать при решении задачи доставки другого груза в данной системе. Тип вершины инвариантен относительно конкретных частных решаемых задач; он может изменяться, но эти изменения вызваны системно-структурными причинами (в приведенном примере покупка рассматриваемой компанией одной из компаний стороннего перевозчика может изменить тип соответствующей вершины со второго на первый, а выход какого-либо филиала из сферы влияния/интересов соответствующей компании -наоборот - с первого на второй).

Вершины строящейся графовой структуры соединены ребрами, которые соответствуют связям между объектами моделируемой системы. Например в рассматриваемой выше задаче ребра моделируют соответствующие каналы передачи грузов между каждыми двумя узлами. Стоит отметить, что две вершины V1 и V2 в общем случае могут быть соединены несколькими кратными ребрами {е^, е^, ■■■} . Например, компания может осуществить пересылку груза между двумя филиалами поездом или на автомобиле - и это будут два разных канала пересылки со своими параметрами, задаваемые двумя разными ребрами со своими характеристиками. Важнейшими

характеристиками ребер в графах, моделирующих транспортно-логистические задачи, являются вес и пропускная способность. Величины эти в общем случае векторные, причем они могут быть как детерминированными, так и

недетерминированными. На практике вес ребра может соответствует ресурсам, необходимым для реализации связи, которую моделирует это ребро - например, стоимости перевозки между двумя точками, времени доставки и проч. Поскольку эти параметры являются независимыми и при решении задачи оптимизации имеют разные

оптимизационные функции и критерии, вес ребра почти всегда представляется в векторном виде. Учитывая, что некоторые параметры (такие, как время или более сложные - эффективность доставки) могут быть представлены в виде интервала, ряда или просто некоторой оценки, удобно считать в общем случае веса недетерминированными, при этом допуская наличие детерминированных значений (стоимость пересылки между двумя пунктами, например, обычно определяется однозначно, но и она может зависеть от характеристик самого груза). Пропускная способность ребра применительно к транспортно-логистической задаче очень важна для решения задач оптимизации потоков и, как правило, задается ограничениями, накладываемыми на

соответствующий канал связи узлов (например, возможное количество отправлений за временной интервал, максимально допустимый суммарный вес грузов и пр.)

В результате такого представления транспортной задачи происходит полное ее описание посредством создания модели, основанной на аппарате графов. Графовая структура, получающаяся в результате, может быть рассмотрена как математическая модель всей транспортно-логистической системы, на которой можно решать различные классы задач. 3. Возможные действия над образовавшейся графовой структурой

Стоит отметить, что предлагаемая в качестве модели графовая структура полностью описывает все существенные детали транспортно-логистической системы и все процессы, происходящие с реальной системой можно задать на ней. И наоборот, изменяя объекты математической модели и их свойства, можно задумываться о том, каким изменениям реальной системы связаны с этими изменениями. В построенном графе объектами являются только ребра и вершины, а их параметрами соответственно - веса и пропускные способности. Соответственно, все существенные с точки зрения транспортно-логистических задач процессы, которые могут

происходить с системой, полностью представить как суперпозицию элементарных описываются изменениями этих объектов и действий на полученном графе, список которых параметров. Все возможные изменения можно приведен в таблице 1.

Таблица 1. Список элементарных действий над графовой структурой

№ Действие Пример соответствия (для рассмотренного ранее примера задачи доставки между филиалами)

1 Добавление вершин первого типа Открытие нового филиала

2 Добавление вершин второго типа Увеличение числа используемых пересылочных компаний

3 Смена типа вершины с первого на второй Начало использования филиала исключительно для пересылки

4 Смена типа вершины со второго на первый Покупка пересылочной компании или ее отделения

5 Удаление вершины первого типа Закрытие филиала

6 Удаление вершины второго типа Прекращение сотрудничества с пересылочной компанией

7 Добавление ребра Появление нового канала связи

8 Удаление ребра Невозможность использование определенного канала связи

9 Изменение пропускной способности ребра Изменение технологии доставки

10 Изменение векторного веса ребра Изменение параметров доставки

При этом следует отметить, что некоторые элементарные действия связаны - например, удаление вершины приводит к удалению всех инцидентных ей ребер, добавление новой вершины без добавления инцидентных ей ребер также не имеет особого смысла с точки зрения построения структуры, смена типа вершины обычно приводит к изменению некоторых компонент векторного веса инцидентных ребер и так далее.

В рамках настоящей работы исследуются в первую очередь задачи, связанные со структурной устойчивостью построенной математической модели транспортно-логистической системы ко внешним воздействиям. Решение этой задачи, выделение показателей и критериев устойчивости, позволит как оценивать жизнеспособность уже построенных систем и их способность реагировать на изменения, так и сформировать набор рекомендаций и требований для построения новой, оптимальной с точки зрения структурной устойчивости, транспортно-логистической системы. Любые структуры подвержены процессам разрушения. В рассматриваемых системах простейшими примерами воздействий, оказывающих влияние

на структуру, является отказ узлов и/или каналов связи между ними от выполнения своей роли. В рамках построенной математической модели такие процессы соответствуют выпадениям или удалениям вершин и ребер графа соответственно (в соответствии с №5, 6 и 8 таблицы 1). Остальные элементарные действия

представляют меньший интерес с точки зрения исследования структурного разрушения и структурной устойчивости и, несмотря на безусловную необходимость их отдельного изучения) в рамках настоящей работы рассматриваться не будут. 4. Коэффициент эффективности решения

Понятие структурного разрушения на образовавшейся графовой структуре определяется как совокупность элементарных действий удаления вершин и ребер графа. Если какая-то более сложная операция над графом включает в себя и другие элементарные действия, его можно разбить на структурное разрушение и побочные (с точки зрения процессов разрушения) действия. В рамках настоящей работы рассматриваются только процессы, связанные со структурным разрушением систем. Однако нельзя не заметить, что в контексте решения транспортно-

логистических задач существенным является то, что каждая система, описываемая определенной структурой, предназначена для решения конкретной задачи или спектра задач и процессы структурного разрушения в конечном счете оказывают влияние на решения этих задач - и именно в этом заключается практический смысл исследования таких процессов. Таким образом, исследовать процессы структурного разрушения в моделях, созданных для описания транспортно-логистических систем, не представляется целесообразным в отрыве от задач, которые решаются в этих системах. Соответственно, введение понятия устойчивости к структурному разрушению, или структурной устойчивости систем, также как и определение критериев такой устойчивости, является осмысленным только при учете особенностей этих задач.

Задачи в транспортно-логистической системе можно разделить на четыре принципиальные группы:

1. Задачи поиска пути (в том числе оптимального) между двумя ключевыми точками. Соответствуют задачам поиска путей между вершинами первого типа в графовой структуре, моделирующей транспортно-логистическую систему. Оптимизационная функция строится с использованием весов ребер графа.

2. Задача поиска оптимального потока через транспортно-логистическую сеть. Каждому ребру ставится в соответствие значение его пропускной способности, на базе которых строятся оптимальные распределения потоков через эти ребра.

3. Комбинированная задача - задача поиска оптимальной транспортно-логистической схемы с учетом и весов ребер и их пропускной способности.

4. Прочие задачи, не требующие для своего описания сетевого моделирования.

Рассматривая первые три группы задач, мы будем называть их базовыми задачами. Строго говоря, наиболее общими базовыми задачами являются задачи третьей группы, поэтому в

дальнейшем исследоваться будут именно они (задачи первой и второй групп - их частные случаи), а значит, под базовой задачей будет пониматься именно задача третьего типа.

Следует повторить, что значения веса и пропускные способностей ребер в общем случае являются векторными, причем компоненты вектора могут быть и недетерминированными.

Процессы структурного разрушения могут приводить к изменениям найденных решений базовых задач. При этом для каждой задачи можно определить функцию полезности (значения которой соответствуют

эффективности найденных решений). Невозможности нахождения решения задачи соответствует нулевая функция полезности. Соответственно, можно определить степень изменения значения этой функции (^фф), являющейся критической - при достижении которого делается вывод о неэффективности решения указанной задачи подобной структурой. Однако подобный подход подразумевает изначальное существования некоторого изначального решения задачи, что на первый взгляд некорректно. Для объективизации поиска и сравнения решений следует рассматривать полные графы, на котором точно существует оптимальное решение задачи построения путей и/или распределения потоков с экстремальным значением функции полезности, и именно с этим решением следовало бы сравнивать другие, полученные на измененной графовой структуре. Тем не менее, на практике структура транспортно-логистической цепи как правило, определена довольно жестко, и ее можно описать графом, который невозможно сделать полным из-за недостатка данных (например, веса ребер). Таким образом, в качестве базового принимается предположение о том, что решение, существующее на исходной графовой структуре, является оптимальным, а значит, сравнение других решений осуществляется именно с ним - как с эталоном. На практике это соответствует ситуации, при которой в существующей системе пользователя все устраивает, а при разрушении сети необходимо

оценить, насколько хуже задачи решаются теперь.

Итак, коэффициентом эффективности решения кэфф называется отношение значения функции полезности этого решения к функции полезности оптимального решения. 5. Функция полезности решения для единицы одного элемента задачи

Определим общий вид обозначенной выше функции полезности решения для задач рассматриваемых категорий.

Когда идёт речь о транспортно-логистических задачах подразумевается необходимость организации сети для доставки какого-то конкретного товара или их группы. При рассмотрении математического представления задачи невозможно использовать термин товар, поэтому принимается формализация его как элемента задачи - термина, подчеркивающего необходимость решения задачи для всей совокупности элементов. В настоящем разделе рассматривается изучение решения, найденного для одного конкретного элемента задачи.

С практической точки зрения очевидно, что задачи обеспечения наименьших ресурсных затрат и оптимизации транспортно-логистических потоков и (классы задач 1 и 2 соответственно) имеют разные цели с точки зрения эффективности их решения. В первом случае минимизируются затраты определенных ресурсов (на практике - времени и стоимости перевозки), во втором же оптимизируется средний уровень загрузки узлов при распространении по сети определенной (векторной) пропускной способности определенных ресурсов.

Соответственно, в первом случае мы имеем задачу оптимизации в виде f(x) ^ min, где х -векторный набор признаков соответствующих ресурсов. В рассматриваемых простейших задачах f(x) может иметь вид полинома фиксированного набора независимых

переменных (время и стоимость доставки). Тем не менее, в общем случае х содержит компоненты разных свойств и характеров, в том числе и недетерминированные.

Во втором случае рассматривается минимизация функции g(y) ^ min, где у -векторный набор потоков различных типов продукции и соответствующая им пропускная способность каналов поставки (ребер графа). Минимальное значение функции соответствует равномерному распределению нагрузки по каналам и узлам транспортно-логистической сети.

При необходимости одновременного решения обоих типов (1 и 2) задач возникает задача третьего типа, наиболее часто встречаемая на практике. Следует отметить, что f(x) и д(у) -независимые функции, поэтому для определения оптимизационного критерия задач третьего типа необходимо введение полезности решения -функции двух векторных переменных Р(х, у), представляющей из себя комбинацию оптимизационных функций f(x) и д(у) с соответствующими значимыми весовыми коэффициентами.

В таком случае задаче поиска оптимального решения будет соответствовать критерий Р(х, у) ^ max полезность оптимального решения будет обозначаться как

Popt = maxv-^(P(x/y)) для любых

достижимых в рамках задачи значений (х, у) а коэффициент полезности конкретного найденного решения со значений функции полезности Р будет рассчитываться как

6. Обобщенный метод расчета эффективности решений

Рассмотрим типовую задачу расчета эффективности решения в общем виде.

Пусть условие транспортно-логистической задачи представляется в виде полного графа G = ({v1, v2},e). Вершины общим количеством N обозначаются как {v1^1,v2^2,... , %w}, где индекс ki может принимать значения из множества {0,1} в зависимости от типа i-ой

вершины. Ребро, соединяющее вершины vfl и к ■

v.1 обозначается как е^. Как правило, удобно рассматривать полные графы, поэтому в общем случае граф достраивается до полного. При этом

все весовые коэффициенты ребер, не существовавших изначально, определяются по смыслу и как правило, принимают нулевые или бесконечные значения.

Рассматривается множество из M элементов задачи, соответствующих объектам, на доставку которых и ориентирована конкретная транспортно-логистическая задача. Для элементов задачи определяется набор из P признаков - весовых коэффициентов рёбер графа, важных для решения задачи оптимизации пути.

Требуется нахождение оптимального решения комбинированной задачи

(оптимизируются и потоки и маршруты). В таком случае необходимо задание начальных условий (х, у).

В настоящем случае х - совокупность признаков, отвечающих критерию оптимизации для каждого ребра. Для каждого конкретного ребра е^ распределение х^ представляет из себя двумерную матрицу, где каждому элементу задачи (множество которых всегда счетно) ставится в соответствие вектор признаков оптимизации. Таким образом, поскольку множество рёбер {е^ } также удобно записывать в виде двумерной матрицы, х представляет из себя четырехмерную матрицу, каждый элемент которой Хцтр представляет из себя p-тый признак m-ого элемента задачи для ребра е^-.

Отдельно рассматривается совокупность пропускных способностей рёбер у. Здесь каждому ребру е^- для каждого элемента задачи ставится в соответствие единственная пропускная способность. Таким образом, у представляет из себя трехмерную матрицу. Следует отметить важную особенность решения транспортно-логистических задач. Если в традиционном представлении теории графов понятие пропускной способности

рассматривается только для ребер, в настоящем случае имеет практический смысл рассматривать также пропускные способности вершин. Для того, чтобы не вводить новый и/или малоизвестный инструментарий рассмотрения таких ситуаций, вводится утверждение, что

любой путь, содержащий вершину п^1 должен включать в себя петлю, инцидентную этой вершине. Таким образом, множество рёбер полного графа с N вершинами имеет порядок не Ы(Ы-1)/2, а уже П2/2.

Начальные условия (х, у) удобно представлять в виде одной матрицы I. I представляет из себя четырехмерную матрицу, состоящую из элементов .

Здесь

1 = 1..Ы,

} = 1..№■, т = 1..М,

Кр = 1..(Р + 1).

Индексы i и j относятся к определению ребра (в том числе и петель), m - элемента задачи, для которого на данном ребре определяется один из признаков, определяемых индексом p. При этом к изначально рассматриваемым P признакам добавляется еще один - пропускная способность соответствующего ребра по отношению к соответствующему элементу задачи,

соответствующая элементам у. Таким образом, вместо совокупности начальных условий для задач первой и второй групп (х,у) происходит переход к рассмотрению матрицы начальных условий I. Следует отметить, что такое представление допустимо и для задачи одного из типов (поиска наименее затратного пути или оптимального потока).

Таким образом, настоящее описание полностью задает саму транспортно-логистическую систему. Следующим шагом является исследование решений на ней транспортно-логистических задач для определенных элементов системы.

Для этого рассматривается поток элементов системы f, задающий численные значения, соответствующие каждому элементу системы. Кроме того, необходимо отдельное задание оптимизационной функции. Для одного элемента задачи было удобно рассматривать две оптимизационные функции /(х) и д(у)- отдельно и/или в совокупности. После осуществление перехода к представлению начальных условий в виде матрицы I, критерий оптимизации может

быть записан как P(I,f), а задача будет представляться в виде P(I, f) ^ тах.

Однако в настоящем случае наибольший интерес представляет не решение задачи оптимизации как таковое, а сравнение различных решений между собой. Таким образом, необходимо определить решения задачи.

Для каждого потока элементов системы f может быть найдено решение s(I, f) транспортно-логистической задачи. Решение представляет из себя путь на графе, прохождение по которому решает исходную задачу доставки товара между точками, формализованную при помощи аппарата теории графов. В общем случае рассматривается общий путь для всех элементов задачи, однако при возможности поиска для каждого элемента своего пути, задача превращается в вырожденную для каждого из M элементов задачи и происходит совокупное решение M аналогичных задач с вырожденными условиями (с рассмотрением только одного элемента задачи), что порождает упрощение задач вследствие понижения размерности матрицы I.

Итак, если речь идет о сравнении решений между собой, имеет смысл рассматривать не P(I,f), а P(s). Тогда оптимальное решение sopt будет соответствовать максимальному значению критерия оптимизации Popt = P(sop[). Кроме того, sopi будет соответствовать решению

описанной ранее задачи P(I,f) ^ тах.

В таком случае эффективности каждого решения может быть сравнена с эталонным при помощи вычисления коэффициента

эффективности кэфф =

popt

Такие оценки имеют очень важное значение для исследования структурной динамики и структурной устойчивости транспортно-логистических систем по отношению к конкретным задачам. Динамическое изменение как начальных условий задачи (самой системы), так и потока элементов задачи (количества необходимых к доставке товаров) порождает изменение как оптимального решения, так и

полезности всех решений в принципе. Таким образом, вычисляя коэффициент эффективности

к*

фф того же решения при изменившейся

структуре транспортно-логистическои сети, можно говорить о структурной устойчивости конкретного решения, а после расчета кэф§ для нового оптимального решения можно делать выводы о структурной устойчивости транспортно-логистической сети по отношению к конкретным изменениям.

Кроме того, метод дает возможность исследовать эффективности решений в зависимости от потоков товаров

(формализованных при помощи понятия элементов задачи), что позволяет делать выводы о допустимой нагрузке на систему и устойчивости по отношению к ее масштабированию.

Рассмотренный подход имеет большой потенциал для применения при решении обратной задачи - построения систем, устойчивых с точки зрения изменения полезности решений (при структурных изменениях или масштабировании нагрузки). 7. Пример расчета коэффициента эффективности решения

Рассмотрим предлагаемую модель оценки решений на конкретном примере. Основная сложность с точки зрения возможных корректных допущений для постановки оптимизационной задачи с точки зрения экономии ресурсов заключается в определении весовых коэффициентов для каждого параметра (ресурса). На практике они определяются на основании субъективной оценки ценности каждого ресурса для выполнения целей общей задачи. Однако опыт решения реальных задач подсказывает, что при наличии всего двух ресурсов (времени (Т) и стоимости перевозки (С)) наиболее верно рассматривать оптимизационную функцию f(x) = ТС ^ min. При этом, если рассматривать транспортно-логистическую систему в виде графа, очевидно, что и время и стоимость доставки между двумя пунктами являются простой суммой соответствующих значений для ребер найденного пути.

Если не рассматривать потоковый критерий, функция полезности будет выглядеть как

Р(Т, С) = Ср где Со = const.

Рассмотрим пример

логистической системы, следующим графом:

транспортно-описываемой

Пусть на нем заданы весовые коэффициенты в следующем формате (стоимость в деньгах, затраты по времени):

Рассматриваем задачу поиска оптимального с точки зрения обозначенных ресурсов пути из вершины А в вершину В. Прямого пути между этими вершинами не существует (что обозначается бесконечными затратами по времени и стоимости, приводящими к обращению в нуль функции полезности).

Путь C, деньги T, время _ 840 Р(Ц) = — ТС ь "-эфф

А-В да да 0 -

А-D-B 3 7 40 1

A-C-B 10 3 28 0.7

A-D-C-B 8 6 17.5 0.4375

Таким образом, с точки зрения условий задачи, оптимальным является путь Л-Б-Б. При этом рассматриваемый метод позволяет сравнить другие решения с оптимальным, рассчитав коэффциент эффективности. Так, решение о выборе пути А-С-В отличается от оптимального всего на 30 процентов (эффективность 0,7), тогда как выбор пути Л-Б-С-Б влечет потери более 50 процентов эффективности.

Можно по такому же принципу рассмотреть задачу оптимизации потока, но более целесообразным будет рассмотреть сразу комбинированную задачу с теми же начальными условиями, но после введения понятий о пропускной способности и необходимости оптимизации потока через соответствующую систему.

Предполагаем наличие двух товаров и обозначим пропускную способность ребер графа по каждому из этих товаров. На рисунке эти значения выделены - в формате (пропускная

способность для товара 1, пропускная способность для товара 2).

Для комбинированных задач важно не только задание начальной и конечных точек, но и количество товара, необходимое к доставке между соответствующими точками. Поэтому уточним задачу - необходимо доставить из пункта А в пункт В (^¿г) товара - обозначение в формате (количество товара 1, количество товара 2).

В таком случае для каждого пути между точками А и В можно измерить его пропускную способность (количество товара, возможного к отправке по этому пути за один раз) с = (сь с2). Будем считать, что количество ресурсов, необходимое для доставки партий каждого из товаров, одинаково. Тогда оптимизационная функция для потока будет выглядеть как

9(С1)-\[11/с1\ + 1,с1<11' где д(с{) - компонента вектора д(с), соответствующая 1-ому товару.

В таком случае функция полезности для корректного решения (полезность некорректных решений нулевая) задачи будет выглядеть так:

Р (Т, С,с) = 840-

1.2=1(тс)1*д(с1)

Важно отметить, что в настоящем случае товары могут пойти по разным путям и ТС может быть разным для каждого из товаров -именно с этим связано обозначение (ТС)(. В таком случае можно занести в таблицу:

840 840 P

Путь C, деньги T, время с1 С2 ТСд(сг) ТС,д(с2)

А-В œ œ 0 0 0 0 0

A-D-B 3 7 1 1 20 20 10

A-C-B 10 3 6 0 28 0 0

A-D-C-B 8 6 0 0 0 0 0

"аким образом, можно видеть, что оптимальным является выбор пути А-С-В для товара 1 и пути A-D-B для товара 2.

Тогда Popt = 840/(3*7*2+10*3*1) = 11.7 При этом отправка обоих товаров по пути А-С-В невозможна, поэтому полезность такой отправки можно оценить как 0, так как это решение является некорректным.

Значение P для отправки обоих товаров по пути A-D-B оценивается как 10, а значит коэффициент эффективности такого решения равен кэфф =10;= 0,86 Заключение

Предложенный метод позволяет находить эффективность решений транспортно-логистических задач, а также сравнивать эти эффективности с оптимальным решением.

Развитие этого метода имеет потенциал для применения при оценке изменяющихся решений в динамических транспортно-логистических системах. Преимуществами метода является возможность его использования в динамических системах при изменениях как самой структуры транспортно-логистической системы, так и

потока товаров, а также оценивать потери, связанные с указанными динамическими изменениями. Сравнение решений в динамической системе может привести к важным выводам о рекомендуемой структуре системы для обеспечения устойчивости к определенным воздействиям. Предлагаемый метод закладывает основу для исследования структурной устойчивости.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 18-00-01103 и № 17-06-00577).

Список используемых источников

1. Захаров В. В., Щегряев А. Н. Устойчивая кооперация в динамических задачах маршрутизации транспорта //Математическая теория игр и её приложения. - 2012. -Т. 4. - №. 2. - С. 39-56.

2. Есиков Д. О. Задачи обеспечения устойчивости функционирования распределенных информационных систем //Программные продукты и системы. - 2015. -№. 4 (112).

3. Орлова Д. Е. Устойчивость решений при обеспечении функционирования организационно-технических систем //Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2018. - Т. 6. - №. 1. - С. 325-336.

: V V :