Научная статья на тему 'ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАНАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА'

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАНАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
2
0
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕСТАЦИОНАРНАЯ СРЕДА / ХАОТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ / КАНАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ / РЯДЫ НАБЛЮДЕНИЙ / СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ / ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ / ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мусаев Александр Азерович, Григорьев Дмитрий Алексеевич

В статье рассмотрена задача стабилизации значений параметров турбулентного потока, описываемого моделью стохастического хаоса. В качестве базового варианта управления рассмотрены версии канальных стратегий, основанных на выходе текущих наблюдений стабилизируемого параметра из области допустимых значений (канала). На основе численных экспериментов исследованы потенциальные возможности канальных управляющих стратегий. Показано, что основной проблемой для стабилизации процесса является крайне высокий уровень вариабельности системной составляющей рядов наблюдений, представляющей собой реализацию стохастического хаоса. Приведены версии улучшенных управляющих стратегий, указаны основные направления повышения эффективности функционирования канальных технологий в задачах стабилизации турбулентных потоков

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

STUDY OF THE EFFECTIVENESS OF CHANNEL CONTROL STRATEGIES IN THE PROBLEM OF STABILIZATION OF A TURBULENT HYDRODYNAMIC FLOW

The article considers the problem of stabilizing the value of the turbulent flow parameters described by the stochastic chaos model. As a basic control option, versions of channel strategies based on overrunning of current observations of the stabilized parameter from the range of acceptable values (channel) are considered. On the basis of numerical experiments, the potential possibilities of channel control strategies are investigated. It is shown that the main problem for achieving flow stability is the extremely high level of the variability of the system component of observation series, which is the realization of stochastic chaos. Versions of improved channel control strategies are given, the main directions for increasing the efficiency of functioning of channel stabilization technologies for turbulent flows are indicated .

Текст научной работы на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАНАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА»

УДК 62-501.12

Alexander A. Musaev12, Dmitry A. Grigoriev3

STUDY OF THE EFFECTIVENESS OF CHANNEL CONTROL STRATEGIES IN THE PROBLEM OF STABILIZATION OF A TURBULENT HYDRODYNAMIC FLOW

1Saint Petersburg State Institute of Technology, St Petersburg, Russia

2St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences (SPIIRAS), St. Petersburg, Russia

3Saint-Petersburg State University (SPBU), St Petersburg, Russia,

amusaev@technolog.edu.ru

The article considers the problem of stabilizing the values of the turbulent flow parameters described by the stochastic chaos model. As a basic control option, versions of channel strategies based on the overrunning of current observations of the stabilized parameter from the range of acceptable values (channel) are considered. On the basis of numerical experiments, the potential possibilities of channel control strategies are investigated. It is shown that the main problem for achieving flow stability is the extremely high level of the variability of the system component of observation series, which is the realization of stochastic chaos. Versions of improved channel control strategies are given, the main directions for increasing the efficiency of functioning of channel stabilization technologies for turbulent flows are indicated.

Keywords: nonstationary environment, chaotic processes, channel strategies, observation series, control strategies, numerical studies, dynamic stability

DOI 10.36807/1998-9849-2022-61-87-73-79

Введение

В настоящее время при изучении динамических потоков в нестабильных средах используется математический аппарат гидродинамики, восходящий к фундаментальным работам Лагранжа, Эйлера, Коши, Стокса и др., а также результаты исследований современных авторов, пытающихся адаптировать известныеметоды математической физики к многообразию прикладных задач в указанной предметной области [110]. Все традиционные методы основаны на тех или иных допущениях или упрощениях, позволяющих получить приближенные решения. При этом достаточно часто возникают ситуации существенного расхождения между теоретическими результатами и свойствами наблюдений, формируемых в процессе их экспериментальной проверки. Общей причиной таких несоответствий, как правило, является некорректность используемых упрощающих предположений и нестабильность анализируемой динамической среды.

Последний фактор начал активно изучаться после появления первых работ по теории динамического хаоса. Данное направление восходит к работам А. Пуанкаре и

Мусаев А.А.12, Григорьев Д.А.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАНАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОГО ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА

1Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, Россия

2Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук (СПИИРАН), Санкт-Петербург, Россия 3Санкт-Петербургский государственный университет (СПБГУ), Санкт-Петербург, Россия, amusaev@technolog.edu.ru

В статье рассмотрена задача стабилизации значений параметров турбулентного потока, описываемого моделью стохастического хаоса. В качестве базового варианта управления рассмотрены версии канальных стратегий, основанных на выходе текущих наблюдений стабилизируемого параметра из области допустимых значений (канала). На основе численных экспериментов исследованы потенциальные возможности канальных управляющих стратегий. Показано, что основной проблемой для стабилизации потока является крайне высокий уровень вариабельности системной составляющей рядов наблюдений, представляющей собой реализацию стохастического хаоса. Приведены версии улучшенных управляющих стратегий, указаны основные направления повышения эффективности функционирования канальных технологий в задачах стабилизации турбулентных потоков.

Ключевые слова: нестационарная среда, хаотические процессы, канальные стратегии, ряды наблюдений, стратегии управления, численные исследования, динамическая устойчивость.

Дата поступления - 8 июня 2022 года

Ж. Адамара. Однако наиболее интенсивное развитие эти исследования получили лишь с 60-х годов 20-го века, после опубликования работ Э. Лоренца, Б. Мандельброта, С. Смэйла и др. Изложение теории динамического хаоса можно найти в [11-22].

Современный подход, учитывающий хаотическую нестабильность гидродинамических сред и потоков с позиции теории бифуркаций и странных аттракторов [610, 23], помог выяснить причину низкой практической эффективности традиционных моделей управления турбулентными потоками. Однако указанная теория достаточно далека до формирования на ее основе эффективных технологий прогнозирования и управления в динамическом хаосе.

В настоящей статье предложен альтернативный подход к изучению нестабильных потоков, основанный не на априорных дифференциальных моделях, а на непосредственном изучении рядов реальных физических наблюдений, формируемых динамической системой мониторинга соответствующих процессов. В качестве базовой структуры, описывающей временные ряды наблюдений, используется аддитивная

двухпараметрическая модель Вольда, системная составляющая которой представляет собой колебательный непериодический процесс с множеством локальных трендов. Вторая компонента наблюдений представляет собой нестационарный случайный процесс. В рамках предложенной модели рассмотрена задача анализа возможности стабилизации конкретной реализации хаотического гидродинамического потока на основе так называемых канальных технологий управления.

Модель наблюдений

Важной особенностью рассмотренного в настоящей статье подхода к стабилизации хаотического процесса является моделирование рядов наблюдений, формируемых системой параметрического мониторинга, на основе двухпараметрической аддитивной вычислительной схемы вида [24-27]

У,

х„ + V, к

к к

(1)

где хк, к=1,...,п представляет собой системную составкляющую, образованную путем последовательного сглаживания временного ряда исходных наблюдений У, к=1,...,п и используемую в процессе выработки управляющих решений, а V, к=1,...,п — шумовую составляющую. В контексте настоящей работы наблюдения у, к=1,...,п представляют собой последовательность наблюдений, формируемых системой мониторинга в сечении турбулентного потока (скорость потока, его плотность и т.п.).

Традиционная для статистического анализа вычислительная схема исходит из предположения, что системная составляющая представляет собой неизвестный детерминированный процесс, а шумовая составляющая — стационарный процесс с независимыми приращениями. В более общем случае, основанном на байесовской концепции статистических исследований [28, 29], системная составляющая также рассматривается как случайный процесс, а для ее идентификации используются различные вычислительные схемы последовательного оценивания условного среднего. В качестве примера байесовского подхода можно указать калмановскую модель динамической фильтрации [30], в которой системная составляющая определяется линеаризованной моделью вида

хк+1 = фк+1/кхк + "„> к=1,...,n, где фк+1/к - переходная

матрица, ш, к=1,...,п - винеровский случайный процесс. к

Перечисленные традиционные модели теоретически позволяли построить классы управляющих стратегий, основанных на анализе трендов, каждая из которых оказывается эффективной лишь в узком диапазоне возможных динамических вариаций наблюдаемого процесса.

Принципиально важными отличиями изучаемых в работе рядов наблюдений являются следующие факты:

- системная компонента х, к=1,...,п представляет собой колебательный кнепериодический процесс с множеством локальных трендов. Данное описание указывает на возможность интерпретации данного процесса как реализации модели динамического хаоса [12, 31, 32 и др.]. Однако доказательство этого утверждения требует строгой формализации процедуры дискриминации детерминированных хаотических и нестационарных случайных процессов, что потребует дополнительных исследований;

- шумовая компонента V, к=1, ...,п представляет собой нестационарный случайн ый процесс, приближенно описываемый гауссовской моделью с изменяющимися параметрами. При этом структура шумовой компоненты сама содержит локальные тренды, их корреляционные и спектральные характеристики существенно изменяются

во времени [24-27].

Перечисленные особенности рядов наблюдений нарушают условия применимости традиционных статистических методов синтеза оптимальных управляющих стратегий. Более того, неповторяемость опыта в одинаковых условиях не позволяет получить каких-либо аналитических выражений для оценки эффективности прогноза и отвечающих им управлений.

По существу, основным методом анализа качества управления в хаотических средах являются численные исследования, обеспечивающие оценку эффективности тех или иных алгоритмов управления на больших интервалах наблюдений. Варианты решений в задачах стабилизации управления в указанных условиях, относящиеся к классу так называемых канальных стратегий, представлены в настоящей статье.

Формализация задачи проактивного

управления в условиях хаотической динамики

Имеем ряд наблюдений за изменением параметров наблюдаемого процесса, описываемый моделью (1). Для выделения системной составляющей может использоваться любая технология последовательной фильтрации. В простейшем случае для этой цели можно использовать экспоненциальный фильтр, определяемый соотношением [33]

хк = аУк + (1-а)Ук-1 = хк-1 + а(Ук - хк-),

к = 2,...,п, (2)

с коэффициентом сглаживания а, обычно лежащим в интервале значений [0.01, 0.3].

Область значений наблюдений, ограниченная диапазоном

Кк = Хк ± В, к=1,...,п, называется «каналом». Вариации наблюдений внутри канала

У - хк\ = \бУк\ < В, к=1,...,п, интерпретируются как флуктуационные колебания, не содержащие явно выраженной системной тенденции. Ширина канала В может выбираться из различных соображений и обычно лежит в диапазоне (1 — 3)5у, где 5 - оценка среднеквадратического отклонения (ско) . в" общем случае выбор ширины канала является опцией, зависящей от особенностей принятой управляющей стратегии и, в некоторых случаях, вообще может быть величиной переменной Вк = Вк(ук), к=1,...,п.

Выход текущего зн ачения процесса ук, к=1,...,п за пределы канала, как уже указывалкось, может интерпретироваться как возникновение тренда. В случае применения управляющей технологии, основанной на экстраполяции тренда, обнаружение значимой тенденции приводит к рекомендации о необходимости стабилизации потока по данному параметру. Однако в силу хаотичности процесса тренд может оказаться ложным, т.е. процесс, развернувшись, вновь возвращается в канал допустимых значений. В этом случае включение стабилизационного воздействия будет ошибочным и может привести к негативным последствиям.

Таким образом, эффективность процесса стабилизации целесообразно оценивать на основе терминального оптимизационного критерия качества управления, оцениваемого через сумму модулей разностей значений процесса на моменты начала к и

~ ~ 1 ^ ореп

конца кс1о5е стабилизационного воздействия

К ) = X М 1 У1 (Кеп ) - У] (К^е ) 1= тах (3)

где j = 1,...,M - номера временных отсчетов, соответствующих обнаружениям трендов.

Приведенная упрощенная постановка задачи анализа хаотического процесса позволяет очистить решение от множества второстепенных деталей и сделать ее предельно понятной с точки зрения терминальной проблемы формирования наилучшего варианта управляющей стратегии.

Численные исследования эффективности прогнозирования хаотического процесса

Пусть y, k=l,...,n — процесс наблюдений за изменением стабилизируемого параметра турбулентного потока с заданной длительностью n. Системная составляющая x, к=1,...,п формируется экспоненциальным фильтром (2) с уровнем сглаживания а. Ширина канала задана величиной в, значения которой определяются в физических единицах наблюдаемого параметра. Аналогично задаются уровни подтверждения тренда LC (level confirmation) и уровень признания решения ошибочным LF (level false). Значения параметров а, в, LC, LF являются опциями, их выбор зависит от статистических свойствy, к=1,...,п, и определяют результативность дальнейшего управления процессом стабилизации. Собственно проактивное управление состоит в решении об использовании механизма управления при выходе наблюдаемого процесса соответственно за верхнюю или нижнюю границу канала. Прогноз о выходе величины оценки параметра за пределы канала допустимых значений определяется очевидными правилами yk>xk+ в илиyk<xk-B, k=1,...,n. Подтверждение правильности прогноза осуществляется на основе достижения процессом уровня подтверждения y>ye+LC илиy<y—LC (в зависимости от того, за какую границу канала, ве рхнюю или нижнюю, вышел процесс). В случае, если тренд не подтвердился, и процесс, развернувшись, вышел за пределы уровня признания ошибочного прогноза, то данное событие будет определяться соотношениями yc>ye+LC или y<y-LF.

Предложенный вариант канальной стратегии является базовым и легко допускает различные совершенствования, представленные, например, в [36]. В частности, естественно осуществить остановку процесса стабилизации в момент разворота тренда, когда знак разности xk-xk_nU, к=1,...,п, где nW -размер скользящего окна наблюдений, меняется на противоположный. Исследования, проведенные в данной статье, ориентированы на анализ принципиальных особенностей канальных управляющих стратегий, и, как следствие, опускают усложнения, мешающие исследованию их основных свойств.

Иллюстрация характеристик базовой версии программы анализа эффективности прогнозирования, основанного на канальной стратегии стабилизации, приведена на примере конкретной реализации на рис. 1.

Длительность интервала наблюдения в выбранном примере составляет 1 сутки (1440 минутных отсчетов). Системная составляющая xk, к=1,...,п формируется экспоненциальным фильтром (2) с а=0.05. Ширина канала в=±10п., значения уровней определяются в условных пунктах (п.), соответствующих физической размерности наблюдаемого параметра. Здесь уровни решений выбраны равными LC=LF=10n.

Здесь и далее синими ромбиками обозначены значения параметра, отвечающие времени обнаружения тренда вверх, красными - вниз, а кружками соответствующих цветов - уровни подтверждения решений.

На рис. 2 приведен график изменения результативности управления в процессе применения канальной стратегии на выбранном в примере

Рис. 1. Пример реализации анализа эффективности проактивного управления

участке наблюдения. Уровень ошибочных решений, в соответствии со статистикой (3), составил -93п. за сутки. Причины ошибочных решений очевидны: представленная технология прогнозирования может давать в среднем положительные результаты лишь на участках с сильным, явно выраженным трендом. На участках со слабовыраженными локальными тенденциями такая стратегия управления приводит к ошибочным решениям.

Рис. 2. Изменение результативности в процессе применения канальной стратегии в выбранном примере на Рис. 1

Тем не менее предложенная технология стабилизации допускает очевидные улучшения путем параметрической подгонки и введения дополнительных условий в алгоритм управления. Так, например, увеличение только одного параметра, а именно, ширины канала до в=±18п., позволяет сделать стратегию управления на этом же участке наблюдения эффективной (см. рис. 3-4).

\

nOperation = 18

Рис. 3. Пример 2 реализации канальной управляющей стратегии

Рис.4. Изменение результативности в процессе применения стратегии в примере 2

Для оценки потенциального выигрыша используем метод перебора значений параметров первоначально только для двух опций, изменяя их значения в диапазонах В=11:1:25, LC=11:1:25. В этом случае наилучший результат составил выигрыш R=76п. при значениях опциональных параметров в=19, LC=22.

Трехмерные графики значений результата управления для выбранных диапазонов изменения опциональных параметров приведены на рис. 5. Аналогичные графики с сетевой аппроксимацией приведены на рис. 6.

Рис. 5 Результат управления Рис. 6 Сетевая аппроксимация для выбранных диапазонов графика на Рис. 5

изменения опциональных параметров

Нетрудно видеть, что аппроксимирующая поверхность является разрывной со скачкообразными изменениями значений даже при незначительных вариациях аргументов.

Таким образом, можно сделать вывод, что результативность применения канальной стратегии, ориентированной на движение по направлению тренда, является неустойчивой. При этом параметрическая подгонка по ретроспективным данным на выбранном интервале наблюдения не гарантирует положительного результата на ближайшем последующем временном участке с теми же самыми наилучшими для предыдущего интервала параметрами. Соответствующий пример приведен на рис. 7. При использовании оптимальных для выбранного дня параметров для управления с использованием той же управляющей стратегии на следующем интервале такой же длительности результат оказался негативным и составил величину к=-29п.

60

40

20

-20

-40

-60

Process

и 1. .

1 / * > V У / — Ту 1 L / \ \ il 1 ' 1 г\ n J v 4

л , ffr ' ». "/ 1 Г ;

* ' > \t ' 1

- /у-. 1 „ 1 . /" /

\>

500 1000

nPlayDays = 1 days; dt=1min

1500

Рис. 7. Пример реализации канальной управляющей стратегии на последующем интервале наблюдения длительностью одни сутки

Повторная априорная оптимизация на этом же участке позволила получить результат всего лишь R=5п. при выборе значений опционных параметров LC=12, В=19.

Следует указать, что управление на основе канальных технологий допускаетмножество модификаций, каждая из которых имеет смысл для определенных типов

наблюдаемого динамического процесса [34, 35]. Однако ни одна из известных модификаций не обладает запасом устойчивости, позволяющая получать положительный результат на всем многообразии процессов, генерируемых стохастическим хаосом.

Оценка потенциальных характеристик канальной стратегии управления по

тренду

Рассмотрим типовые варианты совершенствования канальных стратегий. На рис. 8 представлены результаты управления, основанного на канальной стратегии движения по тренду на интервале наблюдения длительностью 3 суток с явно выраженными участками сильных тенденций. При этом путем априорной трехпараметрической оптимизации, основанной на переборе значений опциональных параметров В и LC, установлены их наилучшие значения в*=19, LC=22, LF*=22, отвечающие экспоненциальному сглаживанию (1) с коэффициентом передачи а=0.05.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 8.

Пример реализации управляющей стратегии с тремя оптимизированными параметрами

Результат в представленном примере оказался позитивным с R=32п., однако он является неустойчивым и даже небольшие вариации структуры ряда наблюдений однозначно приводят к проигрышу. Без априорной оптимизации стратегия управления движения по тренду практически всегда приводит к негативному результату. Обоснование этого факта приведено в исследованиях инерционности хаотических процессов [36-37].

Можно ли улучшить результат путем расширения вектора оптимизируемых параметров и применения различных значений для верхней и нижней границы канала? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пятипараметрическую оптимизацию, включив в число варьируемых опций коэффициент сглаживания фильтра (2) а, нижнюю и верхнюю границы канала В1Пп, Вир и параметры остановки LCJ LF. Установим диапазоны численного перебора выбранных параметров равными:

a=0.01:0.01:0,15, B

Dn'

B„ =10:1:15,

Up '

LC, LF=10:1:15.

Для выбранного трехдневного участка наблюдений, рассмотренного в предыдущем примере, наилучший результат при использовании канальной стратегии составил R=l66п., что отвечает набору параметров Р*=(а, В0п, Вир, LC, LF)*=(o.1, 13, 16, 23, 16). График реализации управляющей стратегии с указанными параметрами на выбранном интервале наблюдений приведен на рис. 9, а процесс изменения общего результата управления - на рис. 10.

Численные эксперименты показывают, что результативность управления (3) является неустойчивой. Даже незначительное отклонение элементов вектора опциональных параметров 6Р от оптимума Р* приводит к

Process

- - - -1-

Jni'u}

h да д n K'.

1 Л .

"'Ji M 4/i

if / ш fr1 Ww $ У ■ "„i » . 41 ,|ф »"Г X xЛ vyh N.f > м я

¿JV i 4 i

w

■_ -1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

Рис. 9. Пример реализации канальной управляющей стратегии с пятью оптимизированными параметрами

Current result 90 -1-1-1-1-1-1-г

10 -1-1-'-1-1-'-'-

0 5 10 15 20 25 30 35 40

nOperation = 36

Рис.10. Изменение результативности в процессе применения канальной стратегии в примере на Рис. 9.

резкому снижению результативности управления.

Следует заметить, что технология оптимизации на основе полного перебора значений параметров связана с экспоненциальным ростом вычислений при увеличении числа параметров или требований к точности оценки значений параметров (т.е. при уменьшении шага перебора). Этот хорошо известный факт может привести к серьезным вычислительным проблемам при формировании адаптивных стратегий управления с последовательным оцениванием оптимальных значений параметров вектора Р.

Другое важное замечание связано с асимметрией результативности управления, среди всех выбранных сочетаний только 26% дают положительный результат управления.

Попытки улучшить результативность применения данной стратегии за счет совершенствования процесса выделения системной компоненты, возможности которого были продемонстрированы выше, могут оказать лишь косвенное влияние, т.к. в процессе оптимизации этот эффект был компенсирован раздельным выбором границ Б0п, Бир и коэффициента фильтрации а. Возможно, что более эффективная модернизация этой стратегии будет достигаться при динамическом регулировании верхней и нижней границ Би, БВа как функций от значения скорости изменения системной составляющей, оцененной на скользящем окне наблюдения

Бир, БDn=F(xk-xk_т)J к=т+1,...,п. Данный вопрос требует дополнительных исследований.

Выводы и основные направления дальнейших исследований

Приведенные результаты численных исследований указывают скорее на теоретическую возможность применения канальных стратегий управления конкретной реализацией хаотического процесса, образованного, в данном примере турбулентным гидродинамическим потоком. Проблема состоит в том, что хаотическая природа наблюдений не позволяет реализовать принцип повторяемости событий, лежащий в основе всей вероятностно-статистической парадигмы анализа данных. Данный факт наглядно проиллюстрирован в работах [3637], где показано, что пролонгация реализаций процессов такого рода, даже при наличии сильного тренда на участке обнаружения, имеет 50%-ую вероятность дальнейшего движения вверх или вниз. При этом отклонения от этого значения крайне незначительны.

Таким образом, практическая реализация канальных стратегий управления требует качественно иных подходов, позволяющих получить устойчивое решение в условиях стохастического хаоса.

Традиционные способы повышения устойчивости, основанные на принципах адаптации моделей управления, для хаотических процессов оказываются крайне неэффективными. Это обусловлено тем, что в условиях нестабильной среды погружения исследуемый процесс может изменяться так быстро и непрогнозируемо, что оперативное замыкание контура обратной связи становится весьма проблематичным. Как уже было показано, оптимальные алгоритмы управления для предыдущего участка наблюдения совершенно не означают не только оптимальности, но даже положительного решения на последующем непосредственно за ним временном участке.

В связи с этим более перспективным представляется подход, основанный на робастификации алгоритмов прогнозирования и управления, допускающий снижение чувствительности управляющих решений к изменению динамических и статистических характеристик наблюдаемых процессов. Робастификация алгоритмов анализа данных и основанных на них управляющих решений основана на поиске наилучших вариантов для наименее благоприятных условий из заданного класса вариантов реализации исходных данных [38]. В первом приближении данный вопрос был рассмотрен в [39]. Завышенный уровень пессимистичности условий построения робастных оценок приводит к выводу о целесообразности использования технологии робастификации в сочетании с другими методами повышения устойчивости проактивных управляющих стратегий.

Несколько примитивным, но возможно действенным методом робастификации представляется использование параметров модели, полученных в процессе апостериорной оптимизации на очень больших участках наблюдения. В этом случае алгоритм управления будет учитывать самые различные варианты реализации хаотического процесса. Разумеется, такой подход для конкретной реализации может дать достаточно негативный результат. Однако в среднем, на больших участках наблюдения можно ожидать достаточно хороший результат стабилизационного управления. Разумеется, данное предположение требует дополнительных исследований.

Кроме того, целесообразно рассмотреть технологии проактивного управления, основанные на более гибких вычислительных схемах формирования границ канала (или нескольких каналов) и алгоритмов принятия управляющих решений. В частности, представляет интерес изучить:

- возможность применения композиционных алгоритмов, сочетающих возможности технологий

робастификации и адаптации при формировании управляющих решений;

- применение внешних дополнений, несущих экзогенную по отношению к объекту управления прогностическую информацию об ожидаемых тенденциях.

Каждое из указанных направлений требует самостоятельного численного исследования, однако имеется возможность сделать некоторые предварительные заключения общего характера.

По-видимому, наилучших результатов следует ожидать от композиционных алгоритмов и мультиэкспертных систем, широко использующих внешние дополнения.

Исследования, выполненные по данной тематике, проводились при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ (№20-08-01046), в рамках бюджетной темы FFZF-2022-0004.

Литература

1. Ламб Г. Гидродинамика. Том. 1. М.: Ижевск: РХД., 2003. 452 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. Физматлит, 2001. 736 с.

3.Холоднов В.А., Дьяконов В.П. Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов: практическое руководство. СПб.: АНО НПО Профессионал, 2003. 480 с.

4. Глушко А.В., Глушко В.П. Математические модели в гидродинамике: учебно-метод. пособие. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. 39 с.

5. Давыдова М.А. Лекции по гидродинамике. М.: Наука. Физматлит, год 218 с.

6. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press. 2000. 658 p.

7. Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton University Press. 2015. 202 p.

8. Chanson H. Applied Hydrodynamics: An Introduction. CRC Press; 2013. 448 p.

9. Johnson R.W. Handbook of Fluid Dynamics. 2nd ed. CRC Press. 2016. 1580 p.

10. Kundu P.K., Ira M. Cohen I.M., Dowl-ing D.R. Fluid Mechanics. 6th Revised ed. Academic Press Inc. 2015. 928 p.

11. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. Бенуа Мандельброт. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 392 с.

12. Blokdyk G. Chaos Theory A Complete Guide. 5STARCooks Publ. 2021. 302 p.

13. Blount K.A., Rush L. Chaos Theory. Entangled Crush Publ. 2021. 302 p.

14. Davies B. Exploring Chaos: Theory And Experiment (Studies in Nonlinearity). CRC Press. 2018. 251 p.

15. Feldman D. Chaos and Dynamical Systems. Princeton University Press. 2019. 280 p.

16. Gamble J. The Chaos Theory. Independently published. 2021. 223 p.

17. Glenn E.J. Chaos Theory: The Essentials for Military Applications: Naval War College Newport PapersCre-ateSpace Independent Publishing Platform. 2012. 146 p.

18. Rosenthal C., Jones N. Chaos Engineering. System Resiliency in Practice. O'Reilly Publ. 2020. 400 p.

19. Skiadas C.H., Skiadas C. Handbook of Applications of Chaos Theory. Chapman and Hall/CRC. 2016. 934 p.

20. Stetz A.W. Lectures on Nonlinear Mechanics and Chaos Theory. WSPC. 2016. 140p.

21. Sundbye L. Discrete Dynamical Systems, Chaos Theory and Fractals. CreateSpace Independent Publishing Platform. 2018. 226 p.

22. Rosenthal C., Jones N. Chaos Engineering.

System Resiliency in Practice. O'Reilly Publ. 2020. 400p.

23. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Ком книга. 2007. 328с.

24. Musaev A.A. Modeling of trading assets quotations. Informatics and Automation (SPIIRAS Proceedings),

2011, 17, pp. 5-32.

25. Musaev A.A., Makshanov A.A., Grigoriev D.A. Forecasting Multivariate Chaotic Processes with Precedent Analysis. Computation 2021, 9, 110.

26. Musaev A.A. Quod est veritas. Transformation of views on the systemic component of the observed process. SPIIRAS Proc. 2010. Iss. 15. P. 53-74.

27. Musaev A.A., Grigoriev D.A. Analyzing, Modeling, and Utilizing Observation Series Correlation in Capital Markets. Computation, 2021, 9(8), 88;

28. Курт У. Байесовская статистика. СПб.: Питер, 2021. 304 с.

29. Kendall M.G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. London: Charles Griffin & Co., Ltd. Vol.1: Distribution Theory (Second Edition) 1963. 433 p. Vol. 2: Inference and Relationship. 1961. 676 p. Vol. 3: Design and Analysis, and Time Series. 1966. 552 p.

30. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. 1960. V. 82 (1). P. 35-45.

31. Smith L. Chaos: A Very Short Introduction; Oxford University Press: Oxford, UK, 2007; 180 p.

32. Kautz R. Chaos: The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press, 2011. 369p.

33. Everette S. Gardner Jr. Exponential smoothing: The state of the art // Journal of forecasting. 1985. V. 4, № 1. С. 1-28.

34. Colby R.W., Meyers T.A. The encyclopedia of technical market indicators. IRWIN professional Publishing.

2012. 833 p.

35. Anantchenko I.V., Musaev A.A. Mathematical and information technologies in the Forex. Saarbrucken: Lambert Academic Press. 2013. 80с.

36. Musaev, A.A. Statistical analysis of chaotic processes inertia // SPIIRAS Proc. 2014. Вып. 2(33). C. 48-59.

37. Musaev A.A. Estimation of chaotic processes inertia with account qualitative characteristics of local trends // SPIIRAS Proc. 2014. Вып. 25(51). С. 83-87.

38. Huber P.J. Robust statistics. Wiley-Interscience. 1981. 2004. 320 p.

39. Musaev A.A. Robust systems methods for analysing trading situations // SPIIRAS Proc. 2010. Iss. 25(51). P. 83-87.

References

1. Lamb G. Gidrodinamika. Tom. 1. M.: Izhevsk: RHD., 2003. 452s.

2. Landau L.D., Lifshic E.M. Gidrodinamika. M.: Nauka. Fizmat-lit, 2001. 736s.

3. Holodnov V.A., D'jakonov V.P. Matematich-eskoe modelirovanie i optimizacija himiko-tehnologicheskih processov. Prakticheskoe ruko-vodstvo - SPb.: ANO NPO Professional, 2003. - 480 s.

4. Glushko A.V., Glushko V.P. Matematicheskie modeli v gidrodina-mike: Uchebno-metodicheskoe posobie. -Voronezh: Izd-vo VGU, 2003. 39 s.

5. Davydova M.A. Lekcii po gidrodinamike. M.: Nauka. Fizmatlit. 218s.

6. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press. 2000. 658 p.

7. Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton University Press. 2015. 202 p.

8. Chanson H. Applied Hydrodynamics: An Introduction. CRC Press; 2013. 448 p.

9. Johnson R.W. Handbook of Fluid Dynamics. 2nd ed. CRC Press. 2016. 1580 p.

10. Kundu P.K., Ira M. Cohen I.M., Dowl-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ing D.R. Fluid Mechanics. 6th Revised ed. Academic Press Inc. 2015. 928 p.

11. Mandel'brot B. Fraktaly i haos. Mnozhest-vo Mandel'brota i drugie chudesa // Benua Mandel'brot. — Izhevsk,: NIC «Reguljarnaja i ha-oticheskaja dinamika», 2009. — 392 s.

12. Blokdyk G. Chaos Theory A Complete Guide. 5STARCooks Publ. 2021. 302 p.

13. Blount K.A.j Rush L. Chaos Theory. Entangled Crush Publ. 2021. 302 p.

14. Davies B. Exploring Chaos: Theory And Experiment (Studies in Nonlinearity). CRC Press. 2018. 251 p.

15. Feldman D. Chaos and Dynamical Systems. Princeton University Press. 2019. 280 p.

16. Gamble J. The Chaos Theory. Independently published. 2021. 223 p.

17. Glenn E.J. Chaos Theory: The Essentials for Military Applications: Naval War College Newport PapersCre-ateSpace Independent Publishing Platform. 2012. 146 p.

18. Rosenthal C., Jones N. Chaos Engineering. System Resiliency in Practice. O'Reilly Publ. 2020. 400 p.

19. Skiadas C.H., Skiadas C. Handbook of Applications of Chaos Theory. Chapman and Hall/CRC. 2016. 934 p.

20. Stetz A.W. Lectures on Nonlinear Mechanics and Chaos Theory. WSPC. 2016. 140p.

21. Sundbye L. Discrete Dynamical Systems, Chaos Theory and Fractals. CreateSpace Independent Publishing Platform. 2018. 226 p.

22. Rosenthal C., Jones N. Chaos Engineering. System Resiliency in Practice. O'Reilly Publ. 2020. 400p.

23. Klimontovich Ju.L. Turbulentnoe dvizhenie i struktura haosa. M.: Kom kniga. 2007. 328s.

24. Musaev A.A. Modeling of trading assets quotations. Informatics and Automation (SPIIRAS Proceedings), 2011, 17, pp. 5-32.

25. Musaev A.A., Makshanov A.A., Grigoriev D.A. Forecasting Multivariate Chaotic Processes with Precedent Analysis. Computation 2021, 9, 110.

26. Musaev A.A. Quod est veritas. Transformation of views on the systemic component of the observed process. SPIIRAS Proc. 2010. Iss. 15. P. 53-74.

27. Musaev A.A., Grigoriev D.A. Analyzing, Modeling, and Utilizing Observation Series Correlation in Capital Markets. Computation, 2021, 9(8), 88;

28. Kurt U. Bajesovskaja statistika. SPb.: Piter, 2021.

304 s.

29. Kendall M.G., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. London: Charles Griffin & Co., Ltd. Vol.1: Distribution Theory (Second Edition) 1963. 433 p. Vol. 2: Inference and Relationship. 1961. 676 p. Vol. 3: Design and Analysis, and Time Series. 1966. 552 p.

30. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. 1960. V. 82 (1). P. 35-45.

31. Smith L. Chaos: A Very Short Introduction; Oxford University Press: Oxford, UK, 2007; 180 p.

32. Kautz R. Chaos: The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press, 2011. 369p.

33. Everette S. Gardner Jr. Exponential smoothing: The state of the art // Journal of forecasting. 1985. V. 4, № 1. С. 1-28.

34. Colby R.W., Meyers T.A. The encyclopedia of technical market indicators. IRWIN professional Publishing. 2012. 833 p.

35. Anantchenko I.V., Musaev A.A. Mathematical and information technologies in the Forex. Saarbrucken: Lambert Academic Press. 2013. 80с.

36. Musaev, A.A. Statistical analysis of chaotic processes inertia // SPIIRAS Proc. 2014. Вып. 2(33). C. 48-59.

37. Musaev A.A. Estimation of chaotic processes inertia with account qualitative characteristics of local trends // SPIIRAS Proc. 2014. Вып. 25(51). С. 83-87.

38. Huber P.J. Robust statistics. Wiley-Interscience. 1981. 2004. 320 p.

39. Musaev A.A. Robust systems methods for analysing trading situations // SPIIRAS Proc. 2010. Iss. 25(51). P. 83-87.

Сведения об авторах

Мусаев Александр Азерович, д-р техн. наук, профессор, декан факультета информационных технологий и управления СПбГТИ (ТУ), вед. науч. сотр., Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН (СПИИРАН), Alexander A. Musaev, Dr Sci., Professor, Dean of the Computer Science faculty, St. Petersburg State Institute of Technology, Leading Scientist, St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences (SPIIRAS) Григорьев Дмитрий Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информатики, ст. науч. сотр. Центра эконометрики и бизнес-аналитики (ЦЭБА) Санкт-Петербургского Государственного Университета (СПбГУ); Dmitry A. Grigoriev, PhD in Computer Science, associate professor, chair of computer science, Senior Scientist, Center of econometric and business analytics (CEBA), St. Petersburg State University (SPbU)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.