Исследование двумерного выходящего потока сети связи случайного доступа с конечным числом станций Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 280

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Декабрь

2003

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

УДК 28.17.19

Д.В. Колоусов, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО ВЫХОДЯЩЕГО ПОТОКА СЕТИ СВЯЗИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТАНЦИЙ

Исследован двумерный выходящий поток успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте, сети связи с конечным числом станций, управляемой протоколом случайного множественного доступа. Показано, что число событий в двумерном потоке подчиняется нормальному распределению, найдены характеристики распределения.

Оценки параметров компьютерных сетей связи, таких, как интенсивность входящего потока, производительность сети, её пропускная способность и т.д., представляют большой интерес для исследования, поскольку эффективное функционирование компьютерной сети связи требует знания данных параметров. Поэтому оценка этих параметров является актуальной технической проблемой. Однако прежде чем оценивать параметры, необходимо изучить свойства выходящих потоков, на основе которых в дальнейшем будет возможно оценивание. В данной работе будет проведено исследование свойств двумерного потока успешно обслуженных сообщений и сигналов оповещения о конфликте. Функционирование сети связи будем моделировать системой массового обслуживания.

Можно отметить несколько работ, в которых проводится исследование выходящих потоков систем массового обслуживания. Это работы А.М. Александрова [1, 2], В.А. Ив-ницкого [3] и некоторых других. Однако видимо ввиду сложности проблемы интерес к этим вопросам угас, и в последнее время работ в этом направлении не появлялось.

Метод исследования математической модели выходящего потока аналогичен [4] с асимптотикой по времени наблюдения Т ^ х, где смысл параметра Т будет определен ниже.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ СВЯЗИ С ПРОТОКОЛОМ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА ДЛЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА СТАНЦИЙ

Опишем сеть связи с конечным N числом станций, управляемую протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания, сервер которой может находиться в одном из трех состояний: к = 0, если он свободен; к = 1, когда он занят обслуживанием заявки; к = 2, когда на сервере реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления сервер свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступали, то исходная заявка после завершения обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на интервале оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов, из которого вновь обращаются к серверу с попыткой повторного обслуживания.

Повторное обращение происходит после случайной задержки, имеющей экспоненциальное распределение с параметром ст / N. Число заявок в источнике повторных вызовов обозначим /.

Будем считать, что обращение каждой станции к серверу происходит через интервал времени случайной длительности, распределенный по экспоненциальному закону с одинаковым для всех станций параметром X / N. Таким образом, совокупный входящий поток является примитивным [5].

Время, в течение которого сервер осуществляет передачу сообщения, имеет экспоненциальное распределение с параметром ц. Длины интервалов, в течение которых в сети распространяется сигнал оповещения о конфликте, также имеют экспоненциальное распределение с параметром ц1.

Состояние рассматриваемой системы определим вектором (к, /, п, 5), изменение во времени которого образует неоднородный марковский процесс {к(£), /(£), п(£), 5(0}, где п(£) - число успешно обслуженных заявок за время £ 5(/) - число сигналов оповещения о конфликте за время £ Проведем исследование этого процесса.

ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТИ СВЯЗИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТАНЦИЙ, УПРАВЛЯЕМОЙ ПРОТОКОЛОМ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА

Для исследования построенной системы массового обслуживания обозначим

Р(к(£) = к, /(£) = /, п(£) = п, 5(/) = 5) = Рк (/, п, 5, £).

Выпишем систему уравнений, определяющую распределение вероятностей Рк(/, п, 5, £) состояний сети (к(£), /(£)) и двумерного потока (п(£), 5(0): дР0 (/, п, 5, £)

дґ

= Ц • Р1 (І, п - 1, 5, Ґ) + Ц • Р2 (І, п, 5, Ґ) -

- I X ——- + 5 — I • Р0 (І, п, 5, Ґ),

N N: 0

дР1(і, п, 5, ґ) N - і

дґ

= Х-

N

- Р0 (І, П, 5, Ґ) + 5

І+1

N '

N - і -1 і X Р0 (І + 1, п, 5, Ґ) - I Ц + X---------------N----------+5 N |Р1 (І, п, 5, Ґ),

дР2 (/, п, 5, £) / -1 N - / +1

2 =ст-Р(/ -1, п, 5 -1, £) + Х----------X

дг N N

N - / +1

х Р1 (/ - 2, п, 5 -1, г)+X —N— Р2 (/ -1, п, 5, г) -

-(^1 +Х n, ^ г).

Для полного описания распределения Рк(/, п, 5, г) к данной системе необходимо добавить краевые условия при / = 0, 1, 2, N-1, N .

Классические методы решения не позволяют провести исследование этой системы, поэтому найдем ее асимптотическое решение аналогично [4]. Пусть Т -длина интервала наблюдения за выходящим потоком успешно обслуженных заявок. Обозначим 1/Т = 52 и будем полагать, что Т ^ х (5 ^ 0). В системе выполним замены:

. 52 | Ь(т)^ 5 ( а(т)' 5

г-5 = Т I 5 -~5Н'5 = У, 1п -~5^ |-5 = X

1

5

Pk (i, w, 5, t) = Пk (i, x, у, т, 5).

2 k

Здесь а(т) имеет смысл асимптотического среднего значения нормированного числа успешно обслуженных заявок, Ь(т) - смысл асимптотического среднего значения нормированного числа сигналов оповещения о конфликте, произошедших за время г = т/52. Вид а(т), Ь(т) мы определим ниже.

Выполняя замену, можно записать равенства 52 дП0(/, х, у, т, 5) -5а 5П0(/, х, у, т, 5)

дт

дх

, дП 0(i, х, у, т, 5)

- 5b (т)----------------= цП 1 (i, х - 5, у, т, 5) +

дУ

( N - i i Л

+ ЦіП2(i,х,у,т,5)-І X-^ + стN |Пo(i,X,у,т,5);

52 дПi(i, х, у, т, 5) - 5а,(т) 5Пi (i, х, у, т, 5)

дт

дх

я,. дП 1(i, х, у, т, 5) N -i

-5b (т)----------- -----------------= X—— П0(/,х,у,т,5) +

ду N

i +1^ , , ^ „ N - i -1 i

+ ст П 0 (i +1, х, у, т, 5) -1 ц + X-------—-----+ ст n Iх

N

N

<П1(і, х, у, т, 5);

дт

2 дП 2 (i, х, у, т, 5) дП 2 (i, х, у, т, 5)

' -------5а (т)-

-8Ь'(т)“І2<

дх

дП 2 (i, х, у, т, 5) i -1

--------------------------------= ст-----------------------х

ду N

N - i +1

х П, (i -1, х, у - 5, т, 5) + X-----х

N

N - i +1

х П1 (i - 2, х, у - 5, т, 5) + X------х

N

N-i

хП 2 (i -1, х, у, т, 5)-| ц +Х^^ |П 2 (i, х, у, т, 5). (1)

Асимптотическое при 5 ^ 0 решение

П k (і, х, у, т) = lim П k (i, х, у, т, 5)

5^0

системы (1) определяет маргинальное распределение

П(х, у, т) = X S Пk (i, х, у, т)

k i

нормированного числа успешно обслуженных заявок и числа сигналов оповещения о конфликте в двумерном исследуемом потоке за время т.

Систему (1) будем решать в три этапа. На первом в системе (1) выполним предельный переход при 5 ^ 0, тогда для Щ(і, х, у, т) получим систему уравнений:

N - і і Л

X ~N~ + ст N |П 0 (i, х, у, т) = цП 1 (i, х, у, т) +

+ ІЩП 2 (i, х, у, т);

„ N - i -1 i U „ N - i

ц + X-+ ст — |П 1 (і, х, у, т) = X----------х

N N) N

i +1

хП 0О, х, у, т) + ст—-П 0(1 +1, х, у, т);

N

N - i Л і -1

І1 +X^^ |П2(i,х,у,т) = ст^Пі(і-1,х,у,т) +

Л N - І +„ N - І +1 + X-----П, (І - 2, х, у, т) + X-х

N N

хП 2(і -1, х, у, т).

Поскольку полученная система однородна, ее решение содержит мультипликативную составляющую, поэтому Пк(і,х,у,т) можно представить в виде

Пк (і, х, у, т) = Рк (і) • П(х, у, т). (2)

Подставляя это выражение в (7), получим систему для нахождения Рк(і).

N - і і I

х +5N I • Р0(і) = ц • Р1(і) + Ц • Р2 (і);

N - i -1 і Л N - i

ц + X ——-—- + ст —- I • P,(i) = X^^-P0(i) +

N N) 1 N 0

+ ст • P0(i +1);

N

N - і Л і -1

ц1 +X----------I-P2(i) = ст---------P1(i -1) +

1 N ) 2 N 1

N-i +1 N-i +1

+ X--—• P1(i - 2) + X-------—• P2(i -1). (3)

N

N

Очевидно, данная система определяет стационарное распределение вероятностей Рк(/) состояний (/(г), к(г)) рассматриваемой системы массового обслуживания. Отметим, что равенство (2) показывает асимптотическую независимость компонент (п(г), 5(г)) от (/(г), к(г)) в четырехмерном векторе (/(г), к(г), п(г), 5(г)).

Данная система с учетом краевых условий при

/ = 0, 1, 2, N-1, N и условия нормировки ^ ^ Рк (/) = 1

к /

решается численно практически для любых N сле-

дующим образом: произвольно задается значение параметра г0(0), далее рекуррентно вычисляются все гк(1) по формулам (3) при замене Рк(/) на гк(1). Для выполнения условия нормировки все параметры нормируются на их сумму. Таким образом, получаем

2к(/)

Рк (і) =

ЁЁ2к(і)'

Искомое решение найдено.

Второй этап решения системы (1) заключается в следующем. Функцию Пк(/, х - 5, у - 5, т, 5) разложим в ряд по приращению 5 аргумента х и у. Перепишем систему (1), сохраняя слагаемые порядка 5 и отбрасывая слагаемые более высоких порядков, получим

N - / / ^

X-------+ст— |П0(/, х, у, т, 5) -5а (т) х

N N ] 0

дП0(І,x,У,т,5) 5Ь( ) х------------------5Ь (т)

дП 0(і, х, у, т, 5) дх ' ' дУ

+ 5ц

дП 1(і, х, у, т, 5) дх

= цП 1 (І, х, у, т, 5) + ц1П 2 (І, х, у, т, 5);

т N - І - 1 І !тг /"■

ц + Х-Ъст— |П1 (/, х, у, т, 5) -

г N N ) IV’

5 ^ Л дП! (і, х, у, т, 5) дП! (і, х, у, т, 5)

-5а (т)----------------5Ь (т) —

„ N - і -1 і \ „ N - і

Ц + Х ---------+ 5— іфх (і, х, у, т)-X —— X

N N) N

ч і +1 ,. , ч Хф0(і, х,у, т)-5 —фо (г +1, х,у,т) =

= „ад р (,) дП<х-у,т)+ьвд р (і>-дП (ху,т)

дх

ду

N - і | і -1

ц +^^^!ф 2(і, х, у, т)-5 —-Фх (і -1, х, у, т) -

— - /' +1 — - /' +1 (-)

-X------------ф1(/ - 2, х, у, т) -X-------------------х (5)

N N

х ф 2 (І -1, х, у, т) = а '(т)Р2 (І)

дП( х, у, т) дх

дх

ду

( /-1 N - / +1

+1 Ь' (т)Р2 (/) - ст N Рх (/ -1) - X —N— Р1 (/ - 2) I х

дП( х, у, т) ду '

Так как определитель этой системы равен нулю, то решение существует тогда и только тогда, когда равны ранги расширенной матрицы и матрицы системы, а это условие выполняется только при выполнении равенства

, дП( х, у, т)

0 = (а'(т)-Р ^ ; +

дх

N - і і +1

= X-П0 (І, х, у, т, 5) + 5--------------П0 (І +1, х, у, т, 5);

N оу N оу

N - і ,

ц1 + X N |П 2(і, х, у, т, 5)-5а' (т) х

дП 2(і, х, у, т, 5) дП 2(і, х, у, т, 5)

-----------------------------5Ь (т)-------------------------------

дх ду

+55 і-1 дП1(І - 1ху,т5) + 5).— - 1 + 1

N

ду

N

дП 1(і - 2, х, у, т, 5) і -1

х-----= 5-П1 (/ -1, х, у, т, 5) +

ду N

„ N - і +„ N - і +1 + X-П1 (І - 2, х, у, т, 5) + X-х

N

N

хП 2(і -1, х, у, т, 5).

Решение данной системы будем искать в виде

Пк (і, х, у, т, 5) = Рк (і)П(х, у, т) + 5-фк (і, х, у, т). (4)

Подставим это решение в систему и, учитывая равенства (3), получим

X ——’- +5 —-іф 0(і, х, у, т) Ц • ф 1 (і, х, у, т) -

- Ц •ф 2 (і, х, у, т) = (а' (т)Р0 (і) - цР (і))

дП( х, у, т) дх

+ Ь' (т)Р0(і)

дП( х, у, т);

ду ’

+ | Ь' (т) - Х Р(0(ст- + Х ]]дП(^), (6)

I I N N ]] ду

N-1

где Рх =Х Р1 (/) .

/=0

Поскольку коэффициенты в скобках не содержат х и у, то решение получается приравниванием соответствующих коэффициентов при производных, т.е.

а' (т) = цР;

( і N - і -1

Ь'(т) = Ё ^ОІ 5 + х —т;—

,■=0 I N N

(7)

Полученные равенства определяют значения параметров а (г) и Ь (т), которые имеют смысл интенсивности потока успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте соответственно.

Так как левые части системы (5) являются линейной суммой с постоянными коэффициентами, то и решение можно искать в виде линейной суммы, т.е.

дП( х, у, т) дП( х, у, т)

фк (І, х, у, т) =у к (І)-

- + Юк (І)-

(8)

дх ду

разделяя коэффициенты, стоящие при соответствующих производных, получим две следующие системы уравнений для определения ук(/') и юк(/')

Х + СТ 0 (/) - Ц^1 (/)-Ц‘^2 (/) =

= а' (т) Р0(г) -цР(/');

X

„ N - i -1 i 1 „ N - i , 4

M + X-----— + CT — к i (/)-X —— V „(О -

N N J N

i +1

-ct —vo(i +1) = a (T)Pi(i);

N

Mi + x NNi)v2(i) - CT 'N Vi(i - 1) - (9)

N - i +1 N - i +1

-X-----------------v1 (i - 2) -X-----------v 2 (i -1) = a ’ (t)P2 (i);

N

N

xNN"i + ct-N^)roo(i) - M^O') - M-1®2 (i) =

= b' (T) P„(i);

M + X N—i—1 + ct — ^ю1 (i) - X N—^ ю „ (i) -

N NJ 1 N 0

- ct N “0 +1) = b ’(t)P1 (i);

N - i 1 i -1

m, + X-----------------|ю 2 (i) -ct--------------------------ю, (i -1) -

1 N J 2 N 1

X N - i +1 (. 2) X N - /' +1 (. ,

- X--------—— ю i(i - 2) - X---------------ю 2 (i -1) =

(10)

N

N

5

2 5П(x, y, t, 5) 5t

5 ,( ) дП (x, y, t, 5) )

-5a (t)---------------------5b (t) x

dx

дП(x, y, t, 5) „ дП, (x, y, t, 5)

x-----------------= -5m------------------------+

dy dx

5 2 д 2 П1 ( x, y, T, 5)

+T M d?

-5 Wct J- + X |дП 1(I-x-y- T,5) +

i=S l N N J dy

52 N=i( i N - i-1 1d2 П ,(i, x, y, t, 5)

+-----/ I ct-------+X------------|----------------------,

2 i=01 N N J dy2

где //Пk (i, x,y,t, 5) = П(x,y,t,5),

k i

/П k (i, x, y, t, 5) = П k (x, y, t, 5).

Подставим в это равенство выражение (4), которое в данном случае с учетом (8), примет вид

Пк (/, х, у, т, 5) = Рк (/)П(х, у, т) + 5^к (/) х

хдП (х,у,т) + 5Юк (/) _дП (х,у,т).

dx

dy

dП(x, y, t)

П,( x, y, t, 5) = Р,П( x, y, t) + 5v ,---:------+

dx

+ 5ю

dП(x, y, t) dy

П(x, y, t, 5) = П(y, t) + 5ф 5П(У, T) + 5ю Ш(У, T)

dx

dx

/ -1 N - / +1

=Ь' (т) Р2(/) - ст Р1(/ -1) - х —N— Р[(г - 2).

Решение систем (9) и (10) с учетом краевых условий при / = 0, 1, 2, N-1, N возможно только с точностью до аддитивной константы и легко осуществимо численно практически для любых значений N. Метод нахождения численного решения системы уравнений заключается в рекуррентном вычислении параметров ук(/) и юк(/) через произвольно заданное значение Ус>(0) и Юс(0).

Наконец рассмотрим третий этап решения системы (1). Функцию Пк(/, х - 5, у - 5, т, 5) разложим в ряд по приращению 5 аргумента х и ус точностью до о(52).

Просуммируем уравнения системы по / =0, 1, 2... , учитывая краевые условия при / = 0, 1, 2, N - 1, N далее просуммируем все уравнения системы между собой, получим равенство

где P, определяется (6), а

V = SSvk (i), ю = (i);

k i k i

Vi = /Vi(i), ю, = Z®i(i).

i i

Получим, что n(x, y, t) удовлетворяет уравнению = (b (т)(ю + 0.5) -

dT

N-1f i X N - i -1 1 2 П(x, y, t)

- /I ct —+ X----------|ю, (/) |---- / +

i=S l n N J lV 'J dy

(ил M n 1 d2 П( x, y, t)

+ I a (T)V + - Pi -MVi I----^-------+

+ 1 a'(т)ю+ b '(t)v - мю, - / (ct N + X N N 1 |x

xV

i(i))

d2 П( x, y, t) dxdy

(11)

Так как П(х, у, т) удовлетворяет уравнению Фокке-ра - Планка, то ее можно интерпретировать как плотность распределения вероятностей значений некоторого двумерного дифференциального процесса, который обозначим {х( т ),у( т )} и для которого коэффициенты переноса равны 0, а коэффициенты диффузии определяются уравнением (11), поэтому полученный случайный процесс удовлетворяет системе двух стохастических дифференциальных уравнений вида

dх(т) = Р11^^1(т) + Р12 й^2(т);

dy(т) = Р21^^,1(т) + Р22й^2(т),

где коэффициенты рк определяются решением системы

Рп2 + Р122 = 2(а'(т)у + цР /2 - цуД

р212 + р222 = 2(Ь'(т)(ю + 0,5) -N-'( / N - / - Г\ ^

- 51ст 57 ; <12)

Р11Р 21 +Р12 Р 22 =(ь'(т)у+а '(т)ю-цю1 -

- / I CT----------------------X

i=0 l N

N - i - 1 N~

Vi(i) |.

N-1

Данная система решается с точностью до константы. Пусть р12=0, тогда система просто решается и можно записать

х(т) = Р11и'1(т);

у(т) = Р 21 ^1(т) + Р 22 ^2(т).

Отсюда можно легко получить матрицу ковариаций ЯцСч, т2) = М{х(т1) х(т2)} = Р„2ш1п(т1, т2);

^12(т1,т2) = М{х(т1)у(т2)} = РПР21 ш1п(т1,т2); (13)

Р22 (т1, т2) = М{у(т1)у(т2)} = (Р21 +в22) Ш^СЧ,т2).

Из вышесказанного следует вывод, что двумерный процесс {х( т ),у( т )} имеет нормальное распределение с нулевыми средними и матрицей ковариаций, определяемой равенствами (13), где коэффициенты р,к получены как решение системы (12) при р12=0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Доказана асимптотическая нормальность процесса {¿•(г), п(г)} при Т ^ х для двумерного потока ус-

пешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте сети связи с конечным числом станций, управляемой протоколом случайного множественного доступа. При имитационном моделировании рассматриваемой сети случайного доступа с целью определения области применимости для конечных Т полученных асимптотических результатов было обнаружено, что для значительного большинства различных наборов параметров сети X, ц, ц1, ст, N значение Т может быть достаточно небольшим для приемлемости оценок параметров потока. Однако встречались такие наборы параметров сети, при которых рассматриваемый поток обладал свойством существенной нерегулярности. В связи с чем требовалось аномально большое время моделирования Т для получения приемлемых оценок его параметров. Нерегулярность рассматриваемого потока обладает свойством, аналогичным свойствам дважды стохастических потоков, управляемых цепью Маркова с двумя состояниями. Это явление бистабильности выходящего потока требует дополнительных исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.М. Некоторые свойства однолинейных СМО с ограниченным ожиданием // Тр. Ленингр. политехн. ин-та. 1966. Т.275. С.22-29.

2. Александров А.М. О выходящих потоках некоторых систем массового обслуживания // Тр. Ленингр. политехн. ин-та. 1966. Т.275. С.18—21.

3. Ивницкий В.А. О восстановлении по наблюдениям над выходящим потоком характеристик СМО с ограничением на время пребывания // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1969. № 3. С 60-65.

4. Колоусов Д.В., Назаров А.А. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа // Вестник ТГУ. 2002. Приложение 1. Матер. IV Всерос. конф. «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». С. 68-72.

5. Лившиц Б.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. М.: Связь, 1979. 224 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 30 апреля 2003 г.