CC BY
1611. Кочетков А.В., Федотов П.В. О некоторых несуразностях в изложениях вектора Умова-Пойнтинга // Пространство и время. 2014. № 2 (16). - С. 79-88.
12. Кочетков А.В., Федотов П.В. От Ньютона до параметризованного постньютньютоновского формализма: нули и единицы // Пространство и время. 2013. № 4 (14). - С. 81-85.
13. Кочетков А.В., Федотов П.В. Оценка проявлений исторического менталитета в современной механике и физике // Пространство и время. 2013. № 2 (12). - С. 62-71.
14. Кочетков А.В. Силы инерции / А.В.Кочетков, П.В.Федотов // Инновации и исследования в транспортном комплексе. Вторая Межд. науч.-иссл. конф. Курган. 2014. - С. 106-111.
15. Кочетков А.В., Федотов П.В. Специальная теория относительности Эйнштейна: комментарии и сомнения физике // Пространство и время. 2013. № 1 (11). - С.49-57.
16. Кочетков А.В., Федотов П.В. Эффект Штарка: интерпретация и выражение связи энергии и частоты колебания // Науковедение. - 2013. - 4 (17).
17. Кун Т. Структура научных революций - М.: Прогресс, 1977, 300 с.
18. Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. - М.: Медиум, 1995. 235 с.
19. Поппер К. Логика и рост научного знания - М.: Прогресс, 1983, 605 с.
20. Фролов И. Т. и др. Введение в философию - М.: Республика, 2003. 623 с.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХФАКТОРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
«ХИЩНИК-ЖЕРТВА»
Кудряшова Валентина Николаевна
Студентка, Самарский Государственный, Аэрокосмический Университет, г. Самара
INVESTIGATION OF TWO-FACTOR MATHEMATICAL MODEL «PREDATOR-PREY» Kudryashova Valentina, Samara State, Aerospace University, Samara АННОТАЦИЯ
Работа посвящена исследованию модели «хищник-жертва» с одновременным учетом противоположно направленных - стабилизирующих и дестабилизирующих - факторов. ABSTRACT
Work is devoted to the investigation of "predator-prey" model while taking into account the opposite direction -stabilizing and destabilizing - factors.
Ключевые слова: хищник, жертва, бифуркация, математическое моделирование. Keywords: predator, prey, bifurcation, mathematical modeling.
Введение
Модель «хищник-жертва» все чаще используется не только для моделирования поведения сообществ в экологии, но и применительно к социальным и экономическим моделям, что указывает на актуальность рассматриваемой задачи. На основе исследований таких моделей решаются, например, вопросы о динамике доли государственного и частного секторов национальной экономики, о распределении в сфере исследований и разработок научных работников между частными и государственными секторами. Для решения задач экономического состояния производства в условиях конкуренции и процесса выравнивания цен также используются уравнения Лотки-Вольтерра, которые позволяют комплексно оценить динамику экономических процессов, выйти на равновесные уровни исследуемых конкурирующих систем и теоретически спрогнозировать, и управлять поведением основных параметров модели [2].
Модель «хищник-жертва» широко используется в медицине. Так при моделировании онкологических заболеваний опухолевые клетки рассматриваются как жертвы, а лимфоциты, которые могут их подавлять, как хищники. В этом случае моделирование позволяет получить новые знания о процессах межклеточного взаимодействия при
этих патологиях, находить пути оптимальной стратегии лечения, создавать новые средства борьбы с ними. Двумерная динамическая модель типа «хищник-жертва» является частью междисциплинарных исследований, связанных с построением и исследованием многомерных динамических систем, используемых, например, в вирусологии и иммунологии. В соответствии с методикой Лотки-Вольтерра, примененной в [3], была построена математическая модель иммунитета при поражении ВИЧ на основании анализа данных, полученных из вирусологии, иммунологии и других областей медицины, клиники заболевания СПИД, а также данных о современных препаратах и методах лечения СПИД/ВИЧ. Эта модель предусматривает возможность проведения эффективного лечения и достижения полной победы над ВИЧ при использовании для борьбы с ВИЧ живых клеток-врагов вируса [4, 5].
С позиций дисбаланса в системе «хищник-жертва» исследована динамика убийств, наркомании, алкоголизма, а также заболеваний, передающихся половым и гемоконтактным путем (ВИЧ, СПИД).
Применение моделей «хищник-жертва» к анализу долгосрочных стратегий адаптации человека позволяет получить качественно новое знание относительно закономерностей устойчивого развития сообщества людей в це-
лом и его отдельных групп в частности. Данный методологический подход перспективен. Он позволяет абстрагироваться от частных проявлений процесса адаптации (этнических, географических и пр.) и сосредоточиться на его основных закономерностях: на описании вектора эволюции Homo sapiens в антропогенно измененной среде обитания и на количественной оценке (биометрии) деструктивных и созидательных составляющих в структуре долгосрочных стратегиях поведения людей [6].
Анализ динамики популяций хищника и жертвы
Рассматривается модель конкуренции хищника за жертву и за отличные от жертвы ресурсы [1]:
x = ax
bxy 1+By
,y = -cy +
dxy 1+By'
(1)
u = u —
(1+Pv) '
v = —yv +
где в = аВ,у = Исследуем динамику решений системы (2) при различных соотношениях между значениями параметров системы. Вопрос об устойчивости особых точек A
и В(0;0) системы (2) сводится к рассмотрению
\1—р 1—р/
соответствующих собственных значений.
Исследование на устойчивость точки A по первому приближению показало, что собственные значения матрицы линеаризованной системы
^1-2 =
-yP ± VY2P2 — 4Y + 4уР 2
определяющие устойчивость или неустойчивость решения, зависят от знака дискриминанта. Так, в первом слу-
4(1-Р)
где х и у — плотности популяции жертвы и хищника соответственно, а — скорость размножения популяции жертвы в отсутствие хищника, Ь — удельная скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной плотности обеих популяций, с — естественная смертность хищника, ^Ь — коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу, B — функция, описывающая зависимость скорости выедания жертв от плотности популяций жертвы и хищника. Заменой переменных t=т/a, х=аиМ y=av/b, исходная модель (1) приводится к виду
чае, при y <
в2
' собственные числа системы первого
(2)
приближения являются комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью (с учетом того фактора, что у, в 6 R+ по смысловому условию задачи), т. е. особая точка A является устойчивым фокусом. На рисунке 1 представлены графики решений и фазовый портрет системы (2) в окрестности особой точки А (0.625; 1.25), построенный для у = 0.5, в = 0.2. Из рисунка 1(а) видно, что число жертв (жирная кривая) и хищников (тонкая кривая) представляют собой затухающие колебания с последующей стабилизацией.
1+Pv'
(а) (б)
Рисунок 1. (а) графики популяций жертв (жирная кривая) и хищников (тонкая кривая) и (б) фазовый портрет
системы (2) при у <
4(1-Р) Р2
, у = 0.5-Р = 0.2.
При y ^
4(1-в) в2
■' 0 < в < 1- особая точка A является
В третьем случае, при y >
4(1-в) в2
устойчивым узлом. На рисунке 2 представлены график решений и фазовый портрет системы (2), построенный в окрестности особой точки А (6;10) для этого случая с у = 0.6, в = 0.9. На графике решений видно, что со стартовой позиции численность жертв (жирная кривая) возрастает, а численность хищников (тонкая кривая) убывает, достигая определенного минимума. На каком-то этапе численности жертв и хищников возрастают одинаково, но недолго, со временем популяция хищников обгоняет популяцию жертв в численности, и обе численности стабилизируются.
и в > 1 собственные числа системы первого приближения являются вещественными, но противоположными по знаку, т. е. особая точка A является неустойчивой типа седло. Расположена она вне физически интересной области, что означает, в этом случае не существует нетривиального положения равновесия, и популяции хищника и жертвы растут неограниченно. На рисунке 3 представлены график решений и фазовый портрет системы (2), построенный в окрестности особой точки А (-1; -1) для этого случая при У=1,в = 2.
uv
uv
(а) (б)
Рисунок 2. (а) графики популяций жертв (жирная кривая) и хищников (тонкая кривая) и (б) фазовый портрет системы
(2) при у >
4(1-в) в2
0 < в < 1,у = 0.5, в = 0.2.
(а) (б)
Рисунок 3. (а) графики популяций жертв (жирная кривая) и хищников (тонкая кривая) и (б) фазовый портрет
системы (2) при у >
4(1-в) в2
, в > 1,у = 1,в = 2.
(а) (б)
Рисунок 4. (а) графики популяций жертв (тонкая кривая) и хищников (жирная кривая) и (б) фазовый портрет
системы (2) при у = 4(1 - в)/в2, У = 8, в = 0.5.
В случае при у =
4(1-в) в2
собственные числа матрицы
линеаризованной системы равны и являются отрицательными вещественными. На рисунке 4 представлены график решений и фазовый портрет системы (2), построенный в окрестности особой точки А (16; 2) для у = 8, в = 0.5. Обе численности, достигая максимального значения, убывают и со временем стабилизируются.
Собственными значениями матрицы линеаризации в окрестности точки В являются Я1 = 1, Я2 = —у, следовательно, точка всегда неустойчива (седло или узел). На рисунке 5 представлены график и фазовый портрет системы (2), построенный в окрестности особой точки В(0;0) при у = 3,^ = 2. В этом случае популяции хищника (тонкая кривая) и жертвы (жирная кривая) растут неограниченно.
(а) (б)
Рисунок 5. (а) графики популяций жертв (жирная кривая) и хищников (тонкая кривая) и (б) фазовый портрет
системы (2) при у > 0, у = 3, в = 2.
Заключение
Подводя итоги, можно выделить несколько возможных ситуаций.
При в < 1 нетривиальное равновесие существует и устойчиво. По мере роста параметра в равновесие существует и устойчиво, а равновесные численности популяций хищника и жертвы растут. Неравенство в > 1 отвечает ситуации, когда скорость роста популяции жертвы всегда, при любой сколь угодно большой плотности популяции хищника, больше скорости выедания. Популяция жертвы
неограниченно растет, нетривиальное равновесие отсутствует [1]. По фазовому портрету мы можем наблюдать также зависимость жертв от хищников и наоборот. В данной модели колебание численности происходит в проти-вофазе, но более равномерно после достижения максимума числа хищников.
На рисунке 6 представлена бифуркационная диаграмма, которая отражает смену возможных динамических режимов системы (2).
Рисунок 2. Бифуркационная диаграмма: I: затухающие колебания популяций хищника и жертвы (см. рисунок 1); II: стабилизация численностей хищника и жертвы на относительно высоких показателях (см. рисунок 2); III: неограниченный рост популяций хищника и жертвы (см. рисунок 3).
Литература
1. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.— Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
2. Балацкий Е. Капитал страны. Аналитика. Исследования. Моделирование процессов межсекторальной конкуренции. — Режим доступа к изд.: http: //kapital-rus.ru/articles/article/187067/
3. Бахтеев А. Р., Губенкова Г. В. Математическая модель иммунитета при поражении ВИЧ. Математика. Компьютер. Образование. - 2000.
4. Гайко В.А. Глобальный бифуркационный анализ квартичной модели «хищник-жертва» Компьютерные исследования и моделирование. - Т.3. - 2011.
5. Гильдерман Ю.И. Дифференциальные уравнения динамики биологических сообществ Aplikase mathematik, т.21, вып.З, 1976.
6. Талалаева Г. В., Соловьев К. С.Научный журнал. Социально-биологический паразитизм и хищничество: существуют ли они в современном обществе? — Режим доступа к изд.: http: //www.rae.ru /snt/pdf/2005/9/11.pdf/
