CC BY
29
2008
Известия ТИНРО
Том 154
УДК 639.2.081.001.57
В.И. Габрюк, В.В. Кудакаев, В.В. Чернецов*
Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет, 690950, г. Владивосток, ГСП, ул. Луговая, 52б
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТРАЛОВОЙ ДОСКИ
Приведены основные уравнения связи между характеристиками траловых досок, полученные из геометрических условий, условий равновесия и условий устойчивости равновесия для двух случаев, когда траление осуществляется параллельно течению и под углом к течению.
Ключевые слова: траловая доска, моделирование, математические модели.
Gabruk V.I., Kudakaev V.V., Chernetsov V.V. A study of the trawl board motion // Izv. TINRO. — 2008. — Vol. 154. — P. 336-344.
Basic equations are presented of the trawl board parameters interrelations derived from geometrical conditions and conditions of equilibrium and stability for two cases of the trawling: parallel to flow and at an angle to flow.
Key words: trawl board, modeling, numerical model.
Введение
Каждая траловая доска должна соответствовать определенному тралу, так как она обеспечивает его горизонтальное раскрытие и поэтому ее характеристики должны быть увязаны с параметрами тралов. До сих пор эта увязка осуществлялась методом проб и ошибок. В данной работе предложены аналитические методы расчета характеристик траловых досок и их увязки с параметрами трала.
Результаты и их обсуждение
Системы координат, используемые в механике траловых досок
и связь между ними
При исследовании траловых досок используют три системы координат: земную (xyz), связанную (x1y1z1) и поточную (xVyyZV) (рис. 1).
Ось x земной системы координат выбирается параллельно скорости судна, т.е. x ТТ Vs, а ось г направлена по отвесу z ^^ g. Ось ;cV поточной системы координат антипараллельна скорости потока, т.е. xV Т^ V, а ось yV лежит в плоскости стрингеров доски (x^). Поточная система координат (xVyVzV) используется для задания гидродинамических сил, действующих на доску. Связанная с доской система (x^Zj) используется для задания положения точек крепления к
* Габрюк Виктор Иванович, доктор технических наук, профессор, директор центра компьютерных технологий и рыболовства, e-mail: [email protected]; Кудакаев Василий Владимирович, аспирант; Чернецов Виктор Владимирович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой.
доске ваера и кабелей, а также положения центра массы доски и центра давления (Габрюк, 1988).
Рис. 1. Системы координат траловой доски: а — земная, б — связанная, в — поточная
Fig. 1. Trawl doors coordinate systems: a — earth referenced coordinate system; б — trawl door — bound coordinate system; в — flow based coordinate system
Для определения характеристик траловых досок (площади в плане, массы доски, координат точек крепления ваера и лапок к доске; проекций сил, действующих на доску) необходимо установить связь между этими системами координат.
Связь между базисами поточной (xVyVzV) и связанной (x1y1z1)
систем координат
От поточной к связанной системе можно перейти путем двух поворотов на углы а и в.
Эти повороты описываются матричным уравнением:
/Г \
jv =
V
cosacos в; - sin a cos в; sin в л sin a; cosa; 0 - cosa sin в; sin a sin в; cos в
л
r
(1)
Связь между базисами связанной (х1у1г1) и земной (хуг) систем координат
От земной к связанной системе можно перейти путем трех поворотов на
углы Я, (рис. 2):
Я ' ' ' вх
п п п ai
xyz --xy z , „x y z
x, x y , y z , zx
X1 yi zi
k
Рис. 2. Углы а15 в1, Я, задающие
ориентацию связанной с доской системы координат Xj^jZj относительно земной системы xyz
Fig. 2. Angles а15в1,Я, which define the orientation of the trawl door — bound coordinate system x^Zj with regard to earth referenced coordinate system xyz
\
g
j1 g
Эти повороты описываются матричным уравнением (Габрюк, 1995):
/^cosa1cosP1; sina1cosA + cosa1sin^isinA; sina^inA-cosa1sin^icosA - sina1 cos^1;cosa1 cosA- sina1 sin Д sin A; cosa1 sinA + sina1 sin Д cosA sin в; - cose sin A; cos^cosA
\ /т \ i
1 . (2)
/ k \ /
Связь между базисами поточной и земной систем координат
Подставляя (2) в (1) и выполняя умножение матриц, получим матричную связь между базисами поточной (х1,у1гу) и земной систем координат (луг):
/т \
1
1 =
kv
coicos (a-oa);-cosAsin (a-a)+sir$sínicos (a-q);-sirAsin (a-a)-sine cosAcos (a-a) cose sin (a-a);cosicos (a-a)+sinesinAsin (a-a);sinAcos (a-a)-sinecosAsin (a-a) sin^; -cos^simA; cos^cosA
(1 >
(3)
Выражение углов ax, Д ,A через проекции скорости течения Vst
Проецируя уравнение V = Vst - Vs = -ViV на оси земной системы координат и учитывая, что
iV = cos^ cos(ai -a)i + [cosAsin(o1 - a) + sin Д sin Acos(ai - a)]] + + [sin A sin(ai - a) - sin Д cos A cos(ai -a)]],
получим:
- VcosA cos(ai-a) = Vsx - VS; -V[cosAsin(a -a) + sine sinAcos(a -a)]=Vsty; -V[sinAsin(ai -a)-sin^ cosAcos(ai -a)]=VStz; sin (a - ai) = (VSty cos A + Vstz sin A) / V ; tgPi = (Vsty sin A - Vsz cos A )/(Vsx - Vs ); V = V - V • V 2 = (V - V У + V 2 + V 2 •
St S Stx S Sty Stz
(4)
sina = Asino-Bcosa; A = (Vs -VStx)/VcosPi;
cosa = Acosa+Bsino; B = (Vsty cosA-VStz sinA)/V;
d(tge)/dA = -tg(a-ai)/cos$; d(cos^i)/dA = sin^i cosfrtgO-a );
d(sin^i)/dA = -cos2 Д tg(o-o1); d(sinai)/dA = -sin^i cosai;
d(cosa1)/dA = sin^1 sino1; d(sina1)/do = cosa1; d(cosa1)/do = -sino1 .
cos A = j1 • k = cosa1 sin A( 1 + tga1 sin Д ctgA)
Здесь VSt ,VS — скорость течения и скорость судна; VStx ,VSty ,VStz — проекции скорости течения на оси земной системы координат.
Если скорость течения лежит в плоскости горизонта (VSty = VStz = 0), то выполняются следующие соотношения (Габрюк, 2000):
a1 = о, д = 0; j1 • k = cos A = sin A cos a ^ sin AD = sin A cos a,
где Ad — угол между вектором j1 и горизонтом.
Векторные уравнения равновесия доски
Так как траловая доска является твердым телом, для нее выполняются условия равновесия твердого тела, т.е. геометрическая сумма всех внешних, действующих на доску сил и сумма моментов этих сил относительно произвольного полюса должны равняться нулю:
То +Т + Т0 + Я + 0 = 0; (5)
м (т )+Мо (0)+Мо (Я)+Мо (0)=(6)
Уравнения равновесия доски в проекциях на оси земной системы координат (хуг)
Здесь возможны два случая. о о
Траление осуществляется параллельно течению (У5 //). В этом случае скорость потока параллельна оси х (Габрюк, 2005). Проецируя уравнение (5) на оси х, у, z, получим:
T =
10
0,5RT + RD|/cos a; (7)
S sinVj + T2 sinv2 - tga0 sin (p0 0,5 rTx
S —
= S
RtX
CDv tga0 sin (p0 + CD cos Я-CDV sin Я 0,5 pV2 pV2
(8)
6—[j+
cXV S) tga cos % -tgd-s (CV sinX+cD cosX)] 0,5RX| —Q 05 R . (9)
Траление осуществляется под углом к течению. При этом скорость потока не параллельна оси х. В этом случае условия равновесия имеют вид:
То =| 0,+Рх\ / х&о; (10)
I ТI I ТI
5 = Т^ШУ! + Т281ПУ2 - у о / X . о,5 Ч = . (11)
С X - С°хУъ/ X о,5р¥2 о,5р¥2 ;
QD — [-(1 + CDv S) ¿0 / X - tge-CDS] • 0,5 RT — Q0,5 RTX ; (12)
x0 — cosa0 cos/cos^-sina0 cosy(sin^cos%0 + sin%0tgy);
y0 — sina0 sin %0 cosy- sin a0 cos %0 sinysin^ + cosa0sin y cos^; (13)
z0 — -sina0 cos%0 cos^ - cosa0 sin^;
sin W — (Vstz - VDz) / V; tgy — (Vsy - VDy )/(Vstx - V^ );
CXD — CXV cos cos(a-aj + CYV cos sin(a-aj) + CZDV sin CY — -CXVv [cos Asin(a-aj) - sin sin Acos(a-aj)]+ + CYV [cos Я cos(a -a1) + sin sin Я sin (a - a1)]- CZiV cos sin Я; CZD — -CXDV [sin Я sin (a -a1) + sin cos Я cos(a - aj)]+ + CYV [sin Я cos (a - aj) - sin cos Я sin (a - aj)]+ CZiV cos cos Я .
Здесь CXfV, CDv , CZDv — коэффициенты силы сопротивления, подъемной и боковой сил доски; Vdx Vdy , Vdz — проекции скорости доски на оси земной системы координат.
Моментные уравнения равновесия доски
Проецируя уравнение (6) на оси связанной с доской системы координат, получим:
ЖлЙ )=0 ^ол - т = К
£МП(рк)= о^ а3Х0 -а1г0 = Ь2; (14)
XМХ1Й ) = 0 ^ а3 Уо - а2 20 = Ь3 ;
а,. = Ть + 7, + Я1 + £; . е (1;2;3);
Ь1 = Т12 Х1 - Т11У1 + Т22 Х2 - Т21У2 + ХБЯ2 - УбЯ1 + Хс(~2 - Усй\;
¿2 = Т13 Х1 — Т1121 + Т23 Х2 — Т2122 + ХБЯ3 - 2 БЯ1 + Хсбз — 2с0^1;
Ь3 = Т13У1 - ^21 + Т23У2 - Т2222 + УлЯ3 - 2БТ2 + Ус(~3 - 2с02-
Здесь (Х0, У0, ^0; Х-1, У1,; Х2, У2, ^2) — координаты точек крепления ваера, верхней и нижней лапок к доске в связанной системе координат; Хб , У Б,2 Б; Хс, Ус, ^с — координаты центра давления и центра тяжести доски; ти, Ти,7^3; Т21 Т2 Т23 — проекции натяжений верхнего 7] и нижнего Т кабелей на оси связанной системы координат; Я15 Я2, 02' 03 — проек-
ции гидродинамической силы Я и веса доски в воде 0 на оси связанной с доской системы координат.
Условие совместности моментных уравнений равновесия доски
Моментные уравнения равновесия доски (14) являются системой линейных алгебраических уравнений. Эта система только тогда совместна (непротиворечива) и имеет решение, когда выполняются условия теоремы Кронекера-Капелли, т.е. когда ранг расширенной матрицы В равен рангу матрицы А из коэффициентов при неизвестных. Здесь А и В следующие матрицы:
а2;-а1; 0; ¿1 а^; 0; - а1; Ь2 0; а^;- а^¿3
Ранг матрицы А равен двум. Действительно, приведенный ниже, минор второго порядка этой матрицы отличен от нуля:
- а1;0
0;-а1
Здесь 7п — проекция натяжения ваера у доски 70 на продольную ось доски Х1 , которая всегда отлична от нуля.
Ранг матрицы В равен двум, если все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, т.е.
*2и2;
г а2; - а1; 0 Л /
А = а:3; 0;-а1 ; в =
к0; а3;-а2 у V
А = 0;
а
Т02 Ф 0 ^ тап%А = 2.
а^; - а{; ¿1 а:2; 0; ¿1 - а{;0; ¿1
а^; 0; ¿2 = а3;-а1; ¿2 = 0; - а1; ¿2
0; а3; ¿3 0; -а2; ¿3 а3;- а2; ¿3
3
3
Отсюда следует условие совместности моментных уравнений равновесия доски:
(а,Ь3 + Ь1а3 - а2Ь2) = 0. Раскрывая его, получим:
(а3Т12 а2Т13) Х1 + (а1Т13 - а3Т11) У, + (а2Т11 - а1Т12) 21 + + (а3Т22 - а 2Т23) Х2 + (а1Т23 — а3Т21 ) У 2 + (а 2Т21 — а1Т22) 2 2 +
(а3 Я2 - а2 Я3) хв + (а1 Я3 - а3 Я,) ув + (а2 Я, - а1 Я2) 2В +
+ (а3<~2 - а2(~3) хс + (а103 - а3(~1) Ус + (а2(~1 - а1(~2) 2С = 0.
(15)
Таким образом, координаты точек крепления верхней и нижней лапок к доске (х,, у,, 2,;"2, У2, ^2) удовлетворяют уравнению (15). Поэтому нельзя произвольно выбирать положения точек крепления верхней и нижней лапок к доске. Они должны выбираться так, чтобы выполнялось условие (15).
Так как ранг матрицы А равен двум, то из трех уравнений системы (14) только два независимы, а третье является их линейной комбинацией. В системе (14) любые два уравнения независимы. Таким образом, система моментных уравнений (14) и уравнение совместности (15) дают три уравнения для определения девяти координат точек крепления ваера и лапок к доске.
Обычно точки крепления верхней и нижней лапок к доске располагаются на
прямой, параллельной оси поэтому выполняются условия: X, = X2, у, = У2.
Условия устойчивости равновесия доски
Равновесие траловой доски будет устойчивым, если выполняются следующие условия:
• в = 0 — вектор скорости потока параллелен стрингерам доски;
• — угол атаки доски меньше критического;
• дМх /дИ = М:<0, дМ3 /да = Ма<0 — производные от главных моментов всех сил, действующих на доску, отрицательны:
М^ = (Ус - У0)«3Я - (2с - + (У1 - У0)~3-(21 - ^ + (У2 - У0Т2З - (22 - 20)~22<0;
ма=х - х0)Яа - у - У0)Яаа+х - х0)йа-(ус - у0)оа+х - ^а - (у - у0Та + (16) +("2 -х0та -(у2 -лТа+хая -уя®.
Для определения входящих в уравнения (14), (15) и (16) проекций сил, действующих на доску на оси связанной системы координат, воспользуемся соотношениями:
Л* Л ч Л* \ К Л* \ К
6=6 к=0, 02, 63) 1 К \ Я=(Я XV,Я ТУ,Я IV) ку \ > =(Я, Я, Я3) 1 К V /
(17)
Т =-ТТ =~Т(008 V { 008 0V {;-С08 V { 8Ш 0)
1 \ Ч
1 =(Т:,Т2,Тэ) 1
к V ^ К \ /
Миг).
Подставляя в соотношения (17) матричные уравнения (1-3) и выполняя перемножение матриц, получим выражение проекций сил для двух случаев, приведенных ниже.
341
Траление осуществляется параллельно течению (Vs //VSt): Q1 = Q sina sin A; Q2 = Q cosa sin A; Q3 = Q cos A; R = CDV cosa + CDV sin a); R2 = ~( CXDV sina + CDV cosa); R3 = S ■ CZDV; Ti1 = T(—cosv, cose cosa-sinv, sinacosA+cosv, sine sinasinA); T = sin(02 — 0)/cos0cosVj sin(02 — в );
Ti2 = T (cosv cose sina—sinv, cosacosA+cosv sine cosa sin A); T2 = sin(e —в)/cosecosv2 sin(e2 —в );
Ti3 = T (sinvi sin A+cosv sine cosA), i e (1;2)
Траление осуществляется под углом к течению:
Q = Q(sinasinA—cosa sinAcosA); Q2 = Q(cos^sinA+sinasinA cosA); Q3 = QcosA cosA;
R = S(CXV cosa+CYV sina); R2 = S(—CXV sina+CYV cosa); R = SCZV; —cosv, cose cosa1 cosA — sinvv (sina cosA+cosa sinA1 sinA)+ + cosv, sine, (sina sin A—cosa1 sinA1 cosA) cosvv cosei sina1 cosA1 — sinvv (cosa cosA—sina1 sinA1 sinA)+ + cosv, sine (cosa1 sinA+sina1 sinA1 cosA) Ti3 = ~ (— cosv, cose sinA1 + sinv, cosA1 sinA+cosv, sine, cosA1 cosA); i = (1;2).
Проекции полной гидродинамической силы доски R на оси земной системы координат xyz легко получить, используя соотношения:
Ta = T
T 2 = T
R = (RXV , Ryv , RZV )
CR (CXV , CYV , CZV )
irV
jV kV
f-r \
irV
lv
krr
= (R1, R3)
{- \ i1
j1 kx
f-r \
= (RX , RY , RZ )
(C1, C2 , C3 )
j1
\
i
Í-? \ i
(18)
(CX , CY , CZ )
(19)
Подставляя в соотношения (18) и (19) соотношения (1-3), получим значения проекций гидродинамической силы для двух вариантов.
Траление осуществляется параллельно течению (VS //VSt):
RX = (RXV cos a + Ryv sin a) cos a + (RXV sin a — RYV cos a) sin a;
Ry = (RXV cos a + Ryv sin a) sin a cos A — (RXV sin a — RYV cos a) cos a cos A;
RZ = RZV cos A.
Траление осуществляется под углом к течению:
Rx = R1 cos a1 cos A1 — R2 sin a1 cos A1 + R3 sin A1;
342
Ry = R1 (sin a1 cos A + cos a1 sin A1 sin A) + + R2 (cos a1 cos A — sin a1 sin A1 sin A) — R3 cos A1 sin A; Rz = R1 (sin a1 sin A — cos a1 sin A1 cos A) + + R2 (cos a1 sin A + sin a1 sin A1 cos A) + R3 cos A1 cos A.
Коэффициент распорной силы доски Траление осуществляется параллельно течению (VS // VSt): Cy = CyV cos A — CzV sin A.
Траление осуществляется под углом к течению: Cy = (CxV cosa+CyV sina) (sina1 cosA+cosa1 sinA1 sinA)+
+ (— CxV sina+CyV cosa) (cosa1 cosA+sina1 sinA1 sinA)—CzV cosA1 sinA.
Производные от проекций сил по углам a и A Траление осуществляется параллельно течению (VS // VSt):
Qa = Q cos a sin A; Qa =— Q sin a cos a; = Q cosa cos A; Q3A = —Qsin A;
= S (|CXVI sin a — |Ca I cos a + CYV cos a + Cav sin a); ~a = S (|CXVI cos a — |Ca I sin a — CYV sin a + Cav cos a);
Ta = T, (cosv, cose, sin a — sinv, cosa cos A + cosv, sin e, sin a sin A); Ta = T (cosv, cos e, cosa + sin vi sin a cos A — cosvi sin ei sin a sin A); Ti^ = Ti (sin v. cos a sin A + cosvi sin ei cos A); Til = Ti (sin v, cos A — cosv, sin e, sin A); i e (1;2)
Траление осуществляется под углом к течению:
Qa = Q(sinAcosa + sinA cosAsino!); Q = Q(—sinAcosa + sinA cosAsinq); R~1a = T(CXy cos a — CXV sin a + C0v sin a + CYV cos a);
Raa = t(—CXy sin a — CXV cos a + C0v cos a — CYV sin a);
Ta = Ti [cos v, cos 0, cos A1 sin a1 — sin v, (cos A cos a1 — sin A1 sin A sin a1) +
+ cos v, sin 0, (sin A cos a1 + sin A1 cos A sin a1)];
QA = Q cos A cos a1 cos2 A1[1 — tga1tg(a —a1)]]
Q3a = Q cos A1 [sin A1tg(a — a1) — sin A];
T,A = ~ {—cosv, cose, sinA1 cosA1[cosa1 — sina1tg(a—a1)]+
+ (sinv, sinA+cosv. sine, cosA)[cosa1 cos2 A1 — cos2 A1 sina1tg(a—a1)]}
TA = T cos v. cos A, {cose, cos A1tg(a — a1) + tgv¡ sin A1 sin Atg(a — a1) + + tgyi cosA + sine. [sin A tg(a - a^cosA -sinA ]}; i = (1, 2).
343
Заключение
В работе получены основные уравнения связи между характеристиками траловых досок, вытекающие из геометрических условий, условий равновесия и условий устойчивости равновесия для двух случаев, когда траление осуществляется параллельно течению и под углом к течению. Эти уравнения позволяют определять площадь траловой доски в плане, ее массу, координаты точек крепления к доске ваера и лапок, а также обеспечивать устойчивое движение траловых досок, а значит и всей траловой системы.
Описанная выше математическая модель может быть использована для оптимальной промысловой настройки траловых систем с учетом течений.
Список литературы
Габрюк В.И. Компьютерные технологии в промышленном рыболовстве : монография. — М. : Колос, 1995. — 542 с.
Габрюк В.И. Механика орудий рыболовства и АРМ промысловика : монография / В.И. Габрюк, В.Д. Кулагин. — М. : Колос, 2000. — 416 с.
Габрюк В.И. Механика траловой рыболовной системы : монография / В.И. Габрюк, А.В. Габрюк, Е.В. Осипов, В.В. Чернецов. — Владивосток : ТИНРО-центр, 2005. — 130 с.
Габрюк В.И. Параметры разноглубинных тралов : монография. — М. : Агропро-миздат, 1988. — 212 с.
Поступила в редакцию 28.02.08 г.
