Исследование движения механических систем с неидеальными связями путем использования расширенного метода комбинирования связей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕИДЕАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ ПУТЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАСШИРЕННОГО МЕТОДА КОМБИНИРОВАНИЯ СВЯЗЕЙ Манглиева Ж.Х.1, Хусенова Ф.2, Салимжонов Х.3, Ибрагимов А.4

1Манглиева Журагул Хамракуловна - доцент; 2Хусенова Феруза - студент; 3Салимжонов Хазрат - студент, кафедра технологии машиностроения, энерго-механический факультет, Навоийский государственный горный институт, г. Навои, Республика Узбекистан; 4Ибрагимов Алишер - студент, Институт естественных наук и фармации Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола, Республика Марий Эл

Аннотация: в статье исследуются движения механических систем с неидеалъными связями путем использования расширенного метода комбинирования связей; прилагаются теоретические положения к решению конкретных задач; исследуется устойчивость программных движений фрикционного регулятора при наличии условной неидеальной связи и их оптимальная стабилизация.

Ключевые слова: неидеальные связи, комбинирование связей, силы трения, фрикционный регулятор, устойчивость и стабилизация движения.

В исследовании даётся обоснование необходимости расширения метода комбинирования связей при исследовании систем с геометрическими неидеальными связями. На основе расширенного метода комбинирования связей получены дифференциальные уравнения движения таких систем. Решены конкретные задачи. Рассмотрена задача о движении двух материальных точек в вертикальной плоскости ХУ, связанных жестким невесомым стержнем, одна из которых движется по

горизонтальной прямой ОХ, имеющей коэффициент трения ^.

В отличие от классического примера Пенлеве ограничения на массы точек отсутствуют. Следуя Пенлеве, реакции связей разделены на два типа: силы связей и силы трения. Сумма элементарных работ сил связей равна нулю на любом возможном перемещении. Эти силы будут одними и теми же независимо от того, обладает данная система трением или нет. Все остальные реакции связей, сумма элементарных работ которых отлична от нуля на любом возможном перемещении, войдут в состав сил трения [1].

Метод комбинирования связей Пенлеве даёт результат (то есть силы связей не зависят от сил трения) только при равенстве масс точек. Следовательно, этот метод требует обобщения на случай произвольности инерционных свойств системы. С этой

р81

целью вводится особый вид возможных перемещений -, где р -сила трения для

т

точки массой т . Определены составляющие силы связей, не зависящие от сил трения при произвольных массах точек, входящих в систему. Видно, что расширенный метод комбинирования связей свободен от ограничений на инерционные свойства системы.

Здесь же получены дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых силы связей не зависят от сил трения

d-[(m + m)x-ml/(jpcos(] = -/\{m + m)g + m1 cos((2 + m/sinqxp2}signx, /( + xcos( + g sin( = 0,

где m, -массы точек; / -длина стержня; (-угол, стержень которого

составляет с вертикальной осью ОУ.

Эти же уравнения получены и с помощью последовательного применения принципа освобождаемости от связей.

Рассматриваются системы с геометрическими неидеальными связями, в частности со связями с трением, вида

/ x X2,...XBn , t) = 0 (а = 1,..., a), (2)

где x (у = 1,2,...,3N) -декартовы координаты точек системы в инерциальной системе отсчета. Следуя теории, разработанной П. Пенлеве, реакции связей раскладываются на два типа составляющих: силы связей R и силы трения R* (k = 1,...,N)

a W 3N

r;=. Z к ¿»г(3)

3N-a d(my xy) 3N

i=i дЧг y=i

= , Z RZrd xr * o, (4)

где Л -неопределенные множители Лагранжа, ^ -некоторые коэффициенты

к

k

8t

пропорциональности, ^ -обобщенные координаты. Векторы и1 находятся

тк

среди возможных перемещений. Силы связей не зависят от сил трения.

Если коэффициенты ^ определены как функции от Л , то закон трения системы известен.

Составлены дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа первого и второго родов без ограничений на инерционные члены системы. Из общего уравнения динамики

за?

^(.Хг+Щ-тгхг)8хг= 0> (5)

Г=1

исключая, согласно уравнениям связей, зависимые скорости

зм

(а = 1,2,...,а), (6)

]=а+1

получены дифференциальные уравнения движения системы в избыточных координатах М.Ф. Шульгина

- ОТ' а а /П\

-(—)-К](Т) = X +ТиАа]Ха+ Ц + (" = а +1,2,...3№)> (7)

—Т ОХ. а=1 а=1

]

где е = 0 | ^Л . ° - оператор М.Ф.Шульгина, Т -кинетическая энергия

1 дх. а=1 0 дх

1 о

системы после исключения зависимых скоростей.

При помощи предлагаемой методики, использующей расширенный метод комбинирования связей, рассмотрены и проанализированы две конкретные задачи, в которых на системы наложены геометрические неидеальные связи.

Первая задача отличается от задачи Пенлеветем, что на систему двух точек наложена дополнительная связь, требующая, чтобы скорость середины стержня имела направление вдоль стержня.

Составлено уравнение Лагранжа второго рода

1, .Jr 0 cos002n „ X

— (m, + т )¡\------— I = mgcosa н---н /оч

4 sin в sin 3 в 2sine (8)

fs - 1

J -(-(m + m)g - m(¡°2---2gcos2e)),

2sin0 sin0

где £ = +1; f - коэффициент трения, т1, т2 -массы точек, $-угол между

горизонтальной осью ОХ и стержнем, Х -горизонтальная составляющая сил реакций связей.

Уравнение (8) решено методом Рунге-Кутта для конкретных начальных условий и для конкретных значений горизонтальной силы Х.

Найден закон трения системы. Показано, что силы связей не зависят от сил трения при произвольном соотношении масс точек системы.

Кроме того, составлены уравнения движения в избыточных координатах

(т + т2) X = X + т1 / + т21 g cos#,

(9)

X sine = ¡в),

sfA Где ц= J

m + m2

Рассмотрен случай, когда имеет место трение покоя.

В качестве второй задачи голономной системы с трением рассмотрена задача Аппеля о движении лестницы, опирающейся на горизонтальный пол и вертикальную стену с различными коэффициентами трения по стене и по полу.Составлено дифференциальное уравнение движения системы в форме уравнения Лагранжа второго рода

2¡2 т

(m¡2 + J + -—— ((fA - fB)sinacosa - fJB))á =

1 + fAfB

2m¡2

= ,-TT^r(fA sin2 a + fB cos2 a)a2 -

1 + fAfB

2m¡

——-— (fA sina + cosa)fBg + mg¡ sin a, (10)

1 + fAfB

где a - угол наклона лестницы; J -её момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс; fA, f -

коэффициенты трения о стену и о пол; т , 2¡ -масса и длина лестницы. Найдены случаи, когда уравнение интегрируется в квадратурах.

Для случая f^ = fB = f получены соотношения для составляющих сил

реакций

RA =7-^2[ (("^ - f ■ l)eos«- (-^ + l)sin«)«2 -

(a - 3

A 1 + f 2 L VV 2 J '' v 2 J a — a —

3 3

g (eos«-f sin«)((af2 - 1)sin« + a eos«) + fg ]> 0'

Rb = m 2 [-((—^ - 1)lf sin « + + 1)l eos«)««2 +

1 +f a — a —

3 3

g 2

+--— (sin« + f eos«)((af - 1)sin« + af eos«) + g] > 0.

a — 3

Построены графики изменения этих сил реакций в зависимости от угла « : на рис1 для Ra . Здесь по оси абсцисс откладывается угол « в радианах. При увеличении угла « до 60о обе составляющие реакций убывают.

Ra

Рис. 1. Изменение величины силы реакции КЛ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Дано обобщение метода комбинирования связей на основе введения особого типа возможных перемещений, снимающее ограничения на инерционные члены системы.

2. Показано, что расширенный метод комбинирования связей позволяет определить закон трения системы и составляющие сил связей, не зависящие от сил трения, при произвольных инерционных свойствах системы.

3. Показано, что расширенный метод комбинирования связей даёт возможность составить дифференциальные уравнения движения механических систем с неидеальными связями, в которых силы связей не зависят от сил трения.

4. Получены дифференциальные уравнения движения голономных систем с неидеальными связями в форме уравнений Лагранжа первого и второго родов и уравнений М.Ф. Шульгина в избыточных координатах.

5. На конкретных примерах (обобщенные задачи Пенлеве и Аппеля) показаны методика составления дифференциальных уравнений движения для систем с геометрическими неидеальными и с условными связями и методика определения сил связей и закона трения системы.

6. Дано распространение расширенного метода комбинирования связей на неголономные системы с неидеальными связями. Показано, что для таких систем имеет место общее уравнение динамики.

Список литературы

1. Тураев Х.Т., Фуфаев Н.А, Мусарский Р.А. Теория движения систем с качением //

Ташкент: Фан, 1987. 158 с.

УТОЧНЕНИЕ НАГРУЗОК НА ОПОРНЫЕ ТОЧКИ ЛЕГКОГО ТРАНСПОРТНОГО САМОЛЁТА «ЛТС» ДЛЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ ОПРОКИДЫВАНИЯ ПРИ ЗАГРУЗКЕ ГРУЗОВ Салимов М.С.

Салимов Максим Сергеевич - аспирант, кафедра гидромеханики и гидравлических машин, Национальный исследовательский университет Московский энергетический институт, г. Москва

Аннотация: в данной статье рассмотрен легкий транспортный самолет «ЛТС» при разных видах эксплуатации. Для безопасной эксплуатации «ЛТС» и максимально эффективного использования данного самолета установлены нагрузки при весе груза 3500 кг. В результате расчета определены нагрузки на хвостовые опоры и пяту рампы при погрузке/разгрузке «ЛТС». Из представленных ниже для анализа вариантов выбраны три случая, которые являются наиболее опасными из-за достижения в них максимальных нагрузок.

Ключевые слова: самолет, вертикальные и горизонтальные нагрузки, безопасная эксплуатация, расчетные нагрузки, хвостовая опора, пята рампы, вес груза, САХ, погрузка/разгрузка.

Лёгкий транспортный самолёт «ЛТС» предназначен для воздушной перевозки грузов. Обеспечивается перевозка максимальной коммерческой нагрузки 5,0 т на дальность 2000 км.

Предусматривается возможность выполнения полётов в любое время года и суток в простых и сложных метеоусловиях во всех регионах с возможностью захода на посадку.

Максимальная эксплуатационная высота полёта 7200 м.