Исследование длительной прочности хрупких тел Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ХРУПКИХ ТЕЛ

UDC 539.3

STUDY ON LONG-TERM STRENGTH OF BRITTLE SOLIDS

Дунаев Владислав Игоревич д-р физ.-мат. наук, профессор Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия

Молдаванов Сергей Юрьевич

канд. физ.-мат. наук, доцент

Кубанский государственный технологический

университет, Краснодар, Россия

sum-smsm@mail.ru

Лозовой Станислав Борисович канд. физ.-мат. наук, доцент Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия

Георгияди Владимир Георгиевич аспирант

Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия

Рассмотрена термофлуктуационная теория прочности твердых тел. Получены формулы для прогнозирования пределов длительной прочности. Установлено, что величина безопасного напряжения при сжатии зависит от физико-механических констант материала. Для ряда технических стекол получена численная оценка величины безопасных напряжений при сжатии.

Ключевые слова: ПРОЧНОСТЬ ТЕРМОУПРУГИХ ТЕЛ ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ, ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ.

Vladislav Igorevich Dunaev

Dr. Sc. (Phys. and Math.), Prof.

Kuban State University of Technology, Krasnodar,

Russia

Moldavanov Sergey Yurievich Cand. Sc. (Phys. and Math.), Assoc. Prof. Kuban State University of Technology, Krasnodar, Russia, sum-smsm@mail.ru

Lozovoy Stanislav Borisovich

Cand. Sc. (Phys. and Math.), Assoc. Prof.

Kuban State University of Technology, Krasnodar, Russia

Georgiyadi Vladimir Georgievich PhD student

Kuban State University of Technology, Krasnodar, Russia

Considered theory of termofluktuacion strength of solids. Formulas for predicting long-term strength limits. Set the value of a safe low voltage of compression depends on the physical and mechanical material constants. For a number of technical glass received the numerical estimation of compressive stresses safety.

Key words: STRENGTH OF THERMOELASTICS SOLIDS AT SMALL DEFORMATIONS, THE DURABILITY OF THE MATERIALS.

Разрушение твердых тел представляет собой процесс, происходящий во времени. Первоначальная стадия разрушения тела связана с постепенным накоплением повреждений. Накопление повреждений активируется внешними воздействиями и субмикродефектами, которые имеют макрочастицы твердого тела. Время разрушения отдельной макрочастицы можно получить исходя как из физических представлений о механизме разрушения, так и из различных феноменологических критериев разрушения.

Наиболее распространено физическое представление образования зоны повреждения или микротрещины в макрочастице твердого тела

вследствие термофлуктуационного разрыва химический связей. Для определения долговечности различных материалов часто используют феноменологическую формулу Журкова [1]

и0 -у'с

1п = т0 ехр-.

р 0 кт

где т0 = 10-12 -10-13 с - период одного теплового колебания; и0 - энергия активации разрушения связи; с - напряжение; у'- структурно-чувствительный коэффициент; к - постоянная Больцмана; т - температура. Формула Журкова основана на фундаментальном представлении о термофлуктуационном механизме разрушения твердых тел, однако приводит к конечному времени разрушения при отсутствии внешних напряжений.

В работе [2] была предложена термофлуктуационная теория прочности твердых тел. Основными гипотезами этой теории являются:

1) Считается справедливым принцип макроскопической определимости [3]. Из этого принципа следует, что, если на некотором интервале времени 0<т<t заданы процесс нагружения с г](т), т1]к(т) . . . или процесс

деформации е г] (т), у]к (т) . . . , а также немеханические параметры т (т). . . , то в любой момент времени t, вплоть до разрушения, состояние макрочастицы будет однозначно определено. Следовательно, тензоры напряжений с г] (т), моментов т 1]к (т) и температура т(т) будут однозначными функционалами функций е1у (т), у 1]к(т), т(т) и наоборот. Нагружение макрочастицы

сопровождается возникновением и развитием внутренних повреждений, накопление которых в некоторый момент времени приводит к ее разрушению.

2) Разрушение представляет собой необратимый процесс накопления повреждений в результате термофлуктуационного разрыва связей в поле внешних сил и других немеханических параметров. Время разруше-

ния является случайной величиной, распределенной в интервале ] 0, {' [, где

*

t определяется из условия нормировки

*

t

=1. (1)

0

Здесь р^) - плотность распределения случайной величины t, или вероятность необратимого разрушения связей в единицу времени.

Атомы или молекулы в твердом теле постоянно колеблются. В процессе разрушения эти кинетические единицы при разрыве связи преодолевают некоторый энергетический барьер. Пусть у(ит - и) - высота этого энергетического барьера. Колеблющаяся кинетическая единица, обладающая внутренней энергией, достаточной для преодоления барьера, в состоянии действительно его преодолеть лишь в какую-то часть периода, пропорциональную множителю Больцмана

ехр Г-У(ит - и) 1

р кт ^) _.

Тогда вероятность разрыва связи в единицу времени равна:

-1 Г у(ит - и )1

^_=т01 ехр - 4 ™ ' ,

0 [ кт ^) ] где т0 - период одного теплового колебания; у - эффективный объем разрушения; ит - максимальная внутренняя энергия связи; и - внутренняя энергия колеблющейся единицы; и = и0 + и [су (т), т1]к (т) . . . , т(т) . . .] или и = и0 + и[е] (т), у1]к (т) . . . , т(т)...] . Здесь и0 - внутренняя средняя энергия в отсутствие воздействия напряжений, деформаций или других немеханических параметров. Внутренние энергии ит и и отнесены к единице объема.

В твердом теле наряду с процессом разрыва связей происходит и процесс их восстановления. При безопасном уровне энергии поля внешних

сил и других немеханических параметров при температуре Т (г) вероятности разрыва w_ и восстановления w+ связей в единицу времени одинаковы. Исходя из принятого механизма разрыва связей следует:

1) система находится в состоянии динамического равновесия и общее число связей остается постоянным;

2) вероятность необратимого разрыва связей в единицу времени р0 (г) равна нулю

Р0 (г ) = w_ w+ = 0;

у(ит _ и0 _ и[ а° (т), ^ (т) • • • , Т(т) . . .] )"

_1

w_ = w+ = т0 ехр

кТ (г)

3) время необратимого разрыва связей г* стремится к бесконечности, т. е. разрушения не происходит.

Здесь о°(т) и т°к(т) _ тензоры безопасных напряжений и моментов.

При нагружении твердого тела вероятность разрыва связи равна:

у(ит _ и0 _ и[ о, (т), тк (т) . . . , т(т) . . .] )"

w_ = т01 ехр

кТ (г)

а вероятность восстановления связи

у(ит _ и0 _ и[ а° (т), т°к (т) • • • , Т(т) ...])"

w_ = т0 ехр

кТ (г)

Таким образом, динамическое равновесие системы нарушается и акты разрыва связей преобладают над актами их восстановления. Тогда вероятность необратимого разрыва связей в единицу времени равна:

р(г ) = w_ — w+ =

= в[Т (г,т)]

ехр

уи'[ о,,- (т), . . . , Т (т) . . .

кТ (г)

- ехр

Г уи 0[ о° (т), . . . , Т (т) . . .]Ц

кТ (г)

ВТМ = * ехр[и^} ;

и* [Т (г,т)] = ит _ и 0 _ и [0, 0, . . .Т (т) . . . ];

и'[о,,(т), . . . ,Т(т). . .] = и[ о,,(т), ...,Т(т)...]-и[0, 0, . . .Т(т)... ].

(3)

Подставляя выражения (2) в условие (1), получаем уравнение для определения наибольшего времени длительной прочности твердых тел в точке с координатами х, (, = 1, 2, 3)

I

I В[Т (лт)1

ехр

уи'[о,, (т), . . , Т(т) . .

кТ (г)

(

ехр

уи 0 [о° (т), . . , Т (т). .]Ц кТ (г)

= 1.

(4)

Математическое ожидание времени разрушения будет равно

I

(г) = | В[Т Ы}

ехр

уи '[о,, (т), . . . , Т (т) . . .

■ехр

кТ ^)

уи 0 [ о° (т), . . . , Т (т) . . .] > кТ (г)

(5)

Аналогичные выражения могут быть записаны через тензоры деформаций е, (т), у, (т).

Рассмотренная теория длительной прочности применима при сложном нагружении и сложном напряженном состоянии к сплошным средам общего вида (изотропным, анизотропным и т.д.), для которых существует функционал внутренней энергии и и определена связь между компонентами тензоров напряжений о, (т), моментов (т) и тензорами деформаций е, (т), у, (т) вплоть до разрушения.

Внутреннюю энергию термоупругих изотропных тел при малых деформациях и малых приращениях температур представим в виде [4]:

(т2 - Тр2) Т

1 2 9 2( 2 2\

и = и0 + те,е, - - еш + 3шТ0екк - - ка Т - Т0 }

2

2

2 1+_"0

(6)

где т и 1 - константы Лямэ;

со- удельная теплоемкость;

а - коэффициент линейного теплового расширения;

и 0»соТ0; к=1+-т.

*

0

0

2

Все эти приведенные константы в общем случае зависят от температуры. Если пренебречь указанной зависимостью в рассматриваемом интервале температур, то с учетом соотношения между деформациями и напряжениями

1+n - nskk d; +а(т - To ) d;,

^ = E

получаем внутреннюю энергию в напряжениях

1 + V

! т7 2 rf 2 !

и = caTo + ^ SjSj - 2E s2k + Taskk + y T0 0 ;

(7)

где V - коэффициент Пуассона.

Тогда, подставляя выражение (7) в уравнение (4), имеем

J t) exP-

kT (t )

Um - csT0

1 +

( T2 1 ^

v 2T0 2

[ gU ' gU 0 ! exp—-exP~

kT (t ) kT (t )J

= 1.

(8)

Здесь обозначено

U' = —s,,s,, -—s2k + Tas,, ; U0 = s0, —-(s0k Г + Tas

jj о 77 ; U 0 = s° -^V7(skk f

kk

2E 'J ,J 2E 0 2E 'J ,J 2EX ' (9)

В выражениях (8) и (9) предполагается, что температура зависит от времени.

Подробно рассмотрим случай одноосного напряженного состояния, когда оп = const, с22 =с33 =о12 =а23 =о31 = о, T = const; Tфт0. Тогда из уравнения (4) с учетом выражений (9) получаем формулу для определения наибольшего времени длительной прочности t* при постоянном напряжении

t* = в -1 (T )\exp^~

( s2

kT

\

— + aTs

2E

v /

-exp

kT

(2

M

^ + aTs0 2E

v /

(10)

где B 1(T ) = t0 exp-

g

kT

Um - csT0

1+1

2

( T2 ^ Tn 1

V о ;

Рассмотренная теория длительной прочности твердых тел позволяет установить связь между уровнем безопасных напряжений при сжатии и

t

g

0

1

физико-механическими характеристиками материала . Из уравнения (10) следует, что для случая одноосного сжатия, когда сп = const = --, время разрушения материала будет стремиться к бесконечности если

g

exp— kT

( —2 ^

--aT-

2E

v /

g

- exp— kT

(S2 ^ -0 -aT-0 2E

v

= 0

Отсюда получаем [5]

-0(1) = 2EaT . (11)

Аналогичным образом, записывая уравнения для внутренней энергии (9) для случая двухосного сжатия [6], когда -11 =-22 = const = --, -33 =-12 = = -23 = -31 = 0, имеем

-0(2)= ^. (12)

Для случая всестороннего сжатия, когда -11 =-22 =-33 = const = --, -12 = -23 = -31 = 0, получаем

(3)= 2EaT. (13)

0 1 - 2v v 7

Неорганические стекла являются наиболее типичными представителями хрупких тел. Прочностные характеристики стекол зависят от их химического состава и могут быть приближенно определены в соответствии с общепризнанной методикой, изложенной в справочнике [5]

-U = т+fiPi+• • •+fnPn; (14)

- = F1P1 + F2P2 + • • • + FnPn , (15)

где — - кратковременный предел прочности стекла при одноосном растяжении;

— - кратковременный предел прочности стекла при одноосном сжатии ; P1, P2 • • • , Рп - содержание соответствующего окисла в неорганическом стекле в весовых процентах;

f1, f2 • • • , fn - расчетные коэффициенты для вычисления предела прочности стекла на растяжение;

^, . . . , ¥п - то же для вычисления предела прочности стекла на растяжение.

Физико-механические характеристики неорганических стекол (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона V, коэффициент линейного теплового расширения а) также зависят от их химического состава и могут быть найдены по формулам аддитивности

Е = ЕР + Е2Р2 + . . . + ЕпРп ; (16)

а = аР + а 2 Р2 + ... + апРп; (17)

п = щР1+Ш2Р2 + . . .+тпРп; (18)

где Е1, е2 . . . , Еп - удельные константы для вычисления модуля упругости неорганического стекла;

а1; а2 . . . , ап - то же для определения коэффициента линейного теплового расширения;

т1, т2 . . . , тп - то же для вычисления коэффициента Пуассона.

Удельные константы для окислов, входящих в состав неорганических стекол определяются по справочнику по производству стекла [7]. В качестве примера рассмотрим вычисление физико-механических констант для стекла №20 (табл. 1).

Таблица 1 - Химический состав и удельные константы для стекла №20

Окисел Р % 2 кг/мм 0" 2 кг/мм Ег кг/мм2 Шг аг 107 --1 град

8102 75,7 0,090 1,23 70 0,00153 0,270

В2О3 6,9 0,065 0,90 60 0,00284 0,033

Л120з 5,2 0,050 1,00 150 0,00175 1,670

СаО 1,3 0,200 0,20 70 0,00416 1,670

ВаО 3,6 0,050 0,62 70 0,00365 1,000

Ш20 6,2 0,020 0,60 100 0,00431 3,330

К2О 1,2 - 0,05 70 0,00390 2,830

Подставляя приведенные данные в формулы (14-18) получаем следующие значения физико-механических характеристик стекла №20:

9 9

< = 8,09 кг/мм2 = 80,9 МПа; оси = 110,30 кг/мм2 = 1103,0 МПа; Е = 7540 кг/мм2 = 0,754 • 105 МПа; V = 0,194 ; а = 59 • 10-7 град-1.

Отношение кратковременных пределов прочности для рассматриваемого стекла равно

аси/ < = 1103,0/80,9 = 13,63.

Полученная оценка предела прочности при одноосном сжатии достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными о несущей способности образцов из стекла №20 при кратковременном нагружении [7]. Нагружение образцов на воздухе происходило в среднем за 10 минут. При проведении эксперимента наблюдался значительный разброс пределов прочности от оси т1П = 472,6 МПа до оси тах = 921,5 МПа. Среднее значение предела прочности стекла при одноосном сжатии при 95% доверительном интервале равно оси ир = 729,2 МПа. Следовательно, прочностные характеристики, полученные по формулам (14-15), можно рассматривать в качестве «мгновенных» пределов прочности при одноосном растяжении и сжатии соответственно.

Используя формулы (11-12), можно вычислить пределы длительной прочности при сжатии [6] для ряда технических стекол, выпускаемых промышленностью (табл. 2).

Таблица 2 - Пределы длительной прочности неорганических стекол

Марка стекла Е -10-5 МПа К-нт Пуассона V а107 град-1 Предел длительной прочности (МПа)

Одноосное сжатие о0(1) Двухосное сжатие о0(2) Трехосное сжатие о0(3)

КФЗ 0,632 0,204 106 392,6 493,0 753,3

Ф-1 0,570 0,224 77 257,3 331,5 466,0

ТФЗ 0,534 0,239 93 290,8 382,3 557,9

ТК-3 0,777 0,267 84 382,6 522,1 821,7

ТК-5 0,743 0,276 83 316,3 498,7 804,7

№20 0,745 0,194 59 262,0 325,1 428,1

№23 0,757 0,223 88 390,2 502,1 703,8

№29 0,662 0,208 76 294,6 372,1 505,0

ЦЛ 0,737 0,207 80 345,3 435,6 589,9

59 0,745 0,201 48 209,6 262,3 350,3

КС-34 0,721 0,212 76 321,0 407,6 558,1

ДГ-2 0,764 0,185 47 210,5 258,1 333,6

13в 0,672 0,197 50 196,9 245,2 324,9

Пирекс 0,714 0,185 36 150,7 185,0 239,4

В работе [9] показано, что предельные кривые, построенные в соответствии с рассматриваемым критерием прочности, в плоскости главных напряжений а1 0 с2 представляют систему вложенных эллипсов (рис. 1), равнонаклоненных к осям а1 и с2

а2 + с2 - 2па1а2 + 2аТЕ(с1 + а2) = с'и (г) (2аТЕ + с'и (г)). (19)

где о'и{{) - предел прочности материала при заданном математическом ожидании времен разрушения макрочастицы (¿) при растяжении.

Рисунок 1

Предположим, что соотношение пределов прочности стекла при сжатии и растяжении не зависит от времени нагружения. Тогда для математического ожидания разрушения равного (¿) = 10 минутам получаем

о'и = 729,2/13,63 = 53,50 МПа. Если же время разрушения материала стремится к бесконечности, то используя формулу (11) и данные таблицы 2, находим предел длительной прочности стекла №20 при одноосном растяжении

о'0 = 262,0/13,63 = 19,22 МПа.

Предельные кривые, построенные по полученным значения пределов прочности для различного математического ожидания времени разрушения материала, показаны на рисунке 1.

Список литературы

1. Журков С.Н., Назруллаев Б.Н. Временная зависимость прочности твердых тел // Журнал технической физики. 1983. Т. 23. № 10. С. 1677.

2. Дунаев И.М. Разрушение эластомеров // Механика эластомеров: Сборник научных работ; Краснод. политехн. ин-т, Краснодар, 1981. С. 24-33.

3. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 278 с.

4. Коваленко А.Д. Термоупругость. Киев: Высшая школа, 1975. 216 с.

5. Молдаванов С.Ю. Прогнозирование длительной прочности термоупругих тел при сжатии // Сборник научных трудов Sworld, Одесса, 2013. Т. 3. № 2. С. 21-26.

6. Молдаванов С. Ю., Дунаев В. И. Вычисление предела длительной прочности неорганических стекол при сжатии // Наука. Техника. Технологии (политехнических вестник). 2013. № 1-2. С. 13-18.

7. Справочник по производству стекла / Под ред. И.И. Китайгородского. М.: Госстройиздат. 1963. Т. 1. 1026 с.

8. Писаренко Г. С., Родичев Ю. М., Солуянов В. Г. Сопротивление разрушению при сжатии технического стекла в условиях длительного контактного нагружения // Проблемы прочности. 1974. №1. С. 39-42

9. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Критерий прочности материалов, учитывающий накопление повреждений // Металловедение и термическая обработка металлов. 2002. № 2. С. 26-27.

References

1. Zhurkov S.N., Nazrullaev B.N. Vremennaja zavisimost prochnosti tverdyh tel // Zhurnal tehnicheskoj fiziki. 1983. T. 23. № 10. S. 1677.

2. Dunaev I.M. Razrushenie jelastomerov // Mehanika jelastomerov: Sbornik nauchnyh rabot; Krasnod. politehn. in-t, Krasnodar, 1981. S. 24-33.

3. Iljushin A.A. Mehanika sploshnoj sredy. M.: Izd-vo MGU, 1978. 278 s.

4. Kovalenko A.D. Termouprugost. Kiev: Vysshaja shkola, 1975. 216 s.

5. МоЫауапоу Б.У^ Prognozirovanie d1ite1'noj prochnosti termouprugih te1 pri szhatii // Sbornik nauchnyh trudov Swor1d, 0dessa, 2013. Т. 3. № 2. Б. 21-26.

6. Mo1davanov Б.У^, Dunaev У.1. Vychis1enie prede1a d1ite1noj prochnosti neorganicheskih steko1 pri szhatii // Nauka. Tehnika. Tehno1ogii (po1itehnicheskih vestnik). 2013. № 1-2. Б. 13-18.

7. Spravochnik po proizvodstvu stek1a / Pod red. 1.1. Kitajgorodskogo. М.: Gosstrojizdat. 1963. Т. 1. 1026 s.

8. Pisarenko G.S., Rodichev У^М., So1ujanov V.G. Soprotiv1enie razrusheniju pri szhatii tehnicheskogo stek1a v us1ovijah d1ite1nogo kontaktnogo nagruzhenija // РгоЬкту prochnosti. 1974. №1. S. 39-42/

9. Dunaev 1.М., Dunaev У.1. Kriterij prochnosti materia1ov, uchityvajushhij nakop1enie povrezhdenij // Meta11ovedenie i termicheskaja obrabotka meta11ov. 2002. № 2. S. 26-27.