Исследование дифференцированного адаптивного генетического алгоритма решения задач условной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.712.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО АДАПТИВНОГО ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, соглашение № 12-01-31123\13 от 28.05.2013 г.)

В.Г. Жуков, к.т.н.., доцент; Н.Ю. Паротькин, аспирант (Сибирский государственный аэрокосмический университет им., академика М.Ф. Решетнева, просп.. им.. газ. «Красноярскийрабочий», 31, г. Красноярск, 660014, Россия, и-571_воз@таИ-ги)

Рассмотрены стандартные методы решения задач условной оптимизации на основе искусственного ухудшения значения целевой функции при нарушении заданных ограничений, а именно методов назначения динамических и адаптивных штрафов. Дано описание модификации селекции в дифференцированном адаптивном генетическом алгоритме на базе метода поведенческой памяти для его адаптации к данному классу задач. Приводятся результаты исследования эффективности решения задач условной оптимизации дифференцированным адаптивным генетическим алгоритмом в сочетании со стандартными методами учета ограничений на тестовом множестве функций. По результатам исследования делается вывод о том, что наибольшую эффективность показывает комбинация динамического штрафа и модификации алгоритма, выраженной в переходе в подмножество Sk только тех решений, которые удовлетворяют заданным критериям. Это также обусловливает низкую эффективность применения метода адаптивных штрафов в сочетании с дифференцированным адаптивным генетическим алгоритмом. По результатам сравнительного анализа эффективности делается вывод о том, что дифференцированный адаптивный генетический алгоритм лучше усредненного по эффективности классического генетического алгоритма, но может уступать лучшему при неоптимальных настройках, а также сравним с коэволюционным алгоритмом, что позволяет применять его при решении практических задач оптимизации.

Ключевые слова: условная оптимизация, дифференцированный адаптивный генетический алгоритм, штрафные функции, поведенческая память.

STUDY OF DIFFERENTIAL ADAPTIVE GENETIC ALGORITHM FOR CONDITIONAL OPTIMIZATION PROBLEMS SOLVING

Zhukov V.G., Ph.D., Associate Professor; Parotkin N. Yu., Postgraduate Student (Academician M.F. Reshetnev Siberian State Aerospace University, Krasnoyarskiy Rabochy Av., 31, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation, u-571_sos@mail.ru) Abstract. The article discusses standard methods for solving constrained optimization problems based on artificial deterioration of the objective function value when violating given constraints. The methods of assigning dynamic and adaptive penalties are described. The paper considers selection modifications in a differential adaptive genetic algorithm based on the behavioral memory method for adapting it to this class of problems. The paper presents the results of study a combination of standard methods and observable differential algorithm on a test functions set that show the most efficient combination of dynamic penalty and algorithm modification. The algorithm modification is presented in the possibility of a transition to Sk subset only solutions that satisfy all the constraints. Allocation of two subsets determines low efficiency of adaptive penalties due to inability to obtain complete information on the entire set of decisions and frequent changes in So subset. Based on a comparison of the data and test results of other genetic algorithms, it is concluded that the differential algorithm is better averaged performance of the classical algorithm, but can yield better at non-optimal settings, as well as comparable to the co-evolutionary algorithm. This allows using differentiated adaptive genetic algorithm to solve practical optimization problems. Keywords: conditional optimization differentiated adaptive genetic algorithm, penalty functions, behavioral memory.

При решении практических задач нахождения оптимальных параметров какого-либо процесса или настроек системы требуется соблюдение ряда ограничений, накладываемых на диапазоны их изменения, обусловленные физической природой объекта или экономическими требованиями. Кроме того, зачастую нельзя с достаточной точностью описать реальную систему без использования алгоритмических выражений, что приводит к невозможности ее оптимизации только математическими методами. Одним из способов решения таких задач, относящихся к задачам условной оптимизации, является аппарат эволюционных алгоритмов, в частности генетические алгоритмы (ГА). Для этого к ним применяется ряд методов, воздействующих как на итоговое значение целевой функции, отражающей качество найденного решения, так и на состав множества решений, которыми

оперирует ГА. Следовательно, разработка новых, более эффективных методов учета ограничений в эволюционных алгоритмах и решения задач условной оптимизации является актуальной для научных и технических исследований.

Методы решения задач условной оптимизации

Рассмотрим два метода назначения штрафов целевой функции, уменьшающих пригодность найденного вектора решений при нарушении заданных ограничений. Пусть решается задача условной оптимизации: / (х) ^ ех1г,

igj (х) < 0, у = 1, г, (1)

IИ. (х) = 0,} = г +1, т,

где Л(х) - целевая функция; gj(x)<0, И}(х)=0 - ограничения задачи; т - общее количество ограничений. Тогда итоговая пригодность индивида х может быть вычислена по формуле

fitness(x) = f (x) + 8 • X(t) • £ fj (x) :

(2)

j=1

где t - номер текущего поколения; 8=1, если решается задача минимизации; 8= -1, если решается задача максимизации; 'х) - штраф за нарушение '-го ограничения; в - вещественное число.

В методе динамических штрафов [1] вычисление значения Л (х) происходит динамически, в зависимости от степени нарушения ограничений, по формуле для ^й итерации, а значение Х(^=(С4)а:

fj (x) = ■

max

{о, gj (x)}, j = 1, r,

\hj (x)| , j = r +1, m.

(3)

Рекомендуемые значения параметров С=0,5, а=р=2 могут изменяться в зависимости от задачи и влияют на эффективность нахождения решения [2].

Развитием данного метода является метод адаптивных штрафов [1, 2], в котором зависит не только от номера итерации, но и от количества попаданий лучшего представителя популяции на каждом шаге в допустимую или недопустимую область:

X(t + l, Р) =

, если b' eF

W

Pi

для всех t - k +1 < / < t; Р2 • X(t), если b'eS-F для всех t - к +1 < i < t; X(t) в противном случае.

(4)

где Ь - лучший индивид /-й популяции; рь р2>1 и Р1#2.

В данном методе происходит уменьшение штрафа на следующем шаге, если лучший индивид популяции (в терминах функции пригодности) на протяжении последних к итераций принадлежал допустимой области. Если же лучший индивид популяции в течение того же промежутка времени выходил за границы допустимой области, происходит увеличение штрафа.

Описанные методы универсальны и подходят для применения в любом ГА без его существенной модификации. Кроме данного вида методов, воздействующих непосредственно на итоговое значение целевой функции, существует ряд механизмов, влияющих на структуру и порядок работы самого алгоритма для повышения его эффективности при решении задач условной оптимизации [2-4]. Одним из них является метод поведенческой памяти [5]. Суть его в последовательном увеличении количества критериев, которым будет удовлетворять заданная часть популяции, при

итеративной работе генетических операторов поиска.

Модификации дифференцированного адаптивного ГА для решения задач условной оптимизации

Поскольку решение задач условной однокри-териальной оптимизации является более трудоемким, чем однокритериальных безусловных задач, целесообразно использовать эволюционные алгоритмы, обладающие большей эффективностью, чем классический ГА. В работе [6] предлагается новый метод взаимодействия с пространством поиска и способом накопления информации о решении задачи. На его основе разработан дифференцированный адаптивный ГА (ДАГА), обобщенная схема которого представлена на рисунке.

Перед описанием предлагаемых модификаций ДАГА для решения задач условной оптимизации приведем его алгоритм, используемый при решении однокритериальных безусловных задач оптимизации. На первом этапе общая популяция решений делится на две субпопуляции в отношении Sk/S0, определяемом пользователем. Задачей 5к-субпопуляции является накопление хороших, апробированных в процессе работы алгоритма решений, а 80 - активное исследование поискового пространства и тестирование качества найденных решений. Вводится параметр Тде, определяющий количество раундов алгоритма, в которых индивид содержался в популяции в неизменном состоянии. В изначальной случайно сгенерированной популяции выделяются лучших индивидов, формирующих 5"к-субпопуляцию, остальные переходят в S0. В каждом раунде алгоритма £0 раз формируется потомок в £„. Для этого случайно выбирается -индивид из £к. Второй -индивид

выбирается по турнирной схеме из S0, то есть формируется выборка из п индивидов, среди которых выбирается один индивид с наилучшим значением целевой функции. При ее равных значениях - с наибольшим значением Т^. После определения пары ; ) формируется потомок путем

скрещивания хромосом и применения оператора мутации. Далее происходит сравнение по значению по целевой функции потомка и . Если потомок лучше, то он замещает , а его параметр Тцуе обнуляется. Если лучше , то потомок отбрасывается, а Тце увеличивается на 1.

По завершении процедуры формирования потомков изменяется соотношение количества индивидов Бк/Бо по периодическому закону. Далее осуществляется поиск индивидов для сохранения их генетической информации в нового поколения. Для этого просматриваем всех индивидов и отбираем тех, у которых время жизни больше значения параметра Тще, установленного пользователем, и наихудшее значение целевой функции. После этого сравниваем значение пригодности найденного -индивида со значением ь} -индивида. Если у -индивида лучшее значение, заменяем им 4 -индивида, при этом обнуляем у него Тф. После проверки всех -индивидов увеличиваем время жизни у всех -индивидов на 1. При недостатке индивидов в они добавляются из Бо только по критерию пригодности.

При применении рассмотренных выше методов условной оптимизации к ДАГА были получены два способа его модификаций.

Первый способ предусматривает использование классических схем статических, динамиче-

ских или адаптивных штрафов. В этом случае к вычисленному значению целевой функции добавляется некоторая величина, соответствующая степени нарушения заданных ограничений текущим вектором решений. При таком подходе не требуется доработка самого алгоритма оптимизации и эффективность решения задачи условной оптимизации сводится к выбору правильных коэффициентов штрафных функций.

Второй способ предполагает внесение изменений в сам алгоритм оптимизации. Поскольку в ДАГА применяется разделение на две субпопуляции, переход между которыми возможен при доказанной в течение нескольких поколений успешности найденного решения, к нему может быть применена идея, заложенная в методе поведенческой памяти [5]. А именно, в субпопуляцию индивиды будут отбираться по следующим параметрам: удовлетворение наибольшему количеству критериев, наибольшее значение параметра Тщг.

В то же время к субпопуляции Бо для формирования значений целевых функций могут применяться рассмотренные штрафные функции.

Исследование эффективности ГА решения задач условной оптимизации

Внесенные модификации были проверены на тестовых функциях (табл. 1), для которых интервал изменения значений переменных равен [-10, 10], а шаг дискретизации - 0,001.

Таблица 1

Множество тестовых функций

№ Функция Ограничения Экстремум Решение

1 П(х, у) = 8 • (х - 3)2+ 4 • (х - 3)(у - 3) + 4 • (у - 3)2 Г-3 < х < 3, [-3 < у < 3 шт (х;*у*) = (3; 3), П (х*; у*) = 63

2 П(х, у) = 5х + 0,5 у 'у < -2х + 5, у > х -1,5, - у < 2 х +1, х > 0, у > 0 тах (х*, у*)=( М ], П (х*, у*) = 67

3 П(х, у) = 10х - 5у 'х -15 < 0, • у + 2х - 20 < 0, -0,5х2 - у < 0 шах (х*,у*) « (3,65148; -6,66667), П(х*,у*) « 69,84817

4 х, у) = х2 + у2 Г у < 7 + 8т(2 х), • у > 1 - эт(2х), |о < х < 4 тах (х*,у*) = (4; 7,98935), П(х*,у*) « 79,82984

5 П (х, у) = -10х - 5у 'х > 0, у >-15, • у < х2 / 2, у > 2х2 - 20 тт (х*,у*) « (3,65148; 6,66667), П(х*,у*) « -69,84817

6 П(х, у) = 3х2 + 5х • (у - 8) + 3(у - 8)2 х + у = 0 ШШ (х*, у*) = (-4; 4), П (х*, у*) = 176

При проведении исследований были определены следующие начальные условия и параметры алгоритма: для метода динамических и адаптивных штрафов коэффициенты С=0,5, а=в=2, коэффициенты для адаптивных штрафов: р1=\,4, в2=1,2, к=3. Использовалась генерация начальных популяций множеством допустимых решений. Общее количество индивидов в субпопуляциях 8к и 8а составляло 100, количество поколений также равнялось 100, использовалось одноточечное и двухточечное скрещивание. Проводилось исследование штрафных функций отдельно и в сочетании их с модификацией алгоритма.

Оценка эффективности алгоритма производилась по параметрам надежности и скорости поиска решений. Под надежностью понимается доля запусков из 100, при которых был найден глобаль-

Результаты исследова

ный оптимум функции на интервале, удовлетворяющий заданным ограничениям. Скорость определяется как усредненный номер поколения, на котором был найден глобальный оптимум. Результаты исследования эффективности ДАГА при решении однокритериальных задач условной оптимизации на множестве тестовых функций (табл. 1) приведены в таблице 2.

Проведем сравнение эффективности ДАГА с результатами исследований из [7] (табл. 3), которые были получены при тех же параметрах тестирования алгоритмов и для тех же функций.

По полученным результатам и их сравнительному анализу с [7] можно сделать следующие выводы:

- для ДАГА наибольшую эффективность показывает сочетание метода динамического штрафа

Таблица 2

[ эффективности ДАГА

Номер функции Доля С в популяции 5 Доля С в популяции 10

Штраф Одноточечная Двухточечная Одноточечная Двухточечная

П (%) 8 П (%) 8 П (%) 8 П (%) 8

Адаптивный 100 59,40 100 55,60 100 54,00 100 43,40

1 Динамический 100 42,60 100 57,20 100 45,60 100 54,20

Адаптивный МА 99 57,62 100 52,82 100 51,84 99 40,80

Динамический МА 100 40,47 100 56,06 100 43,78 100 50,95

Адаптивный 100 53,00 100 60,20 100 70,20 100 57,00

2 Динамический 100 52,60 100 62,80 100 54,40 100 59,40

Адаптивный МА 100 54,82 99 59,60 100 66,69 100 56,43

Динамический МА 99 56,92 100 62,17 100 53,31 100 49,62

Адаптивный 19 79,40 17 67,20 21 64,60 20 63,40

3 Динамический 31 63,40 32 73,20 27 59,40 38 72,40

Адаптивный МА 20 77,81 18 62,50 22 61,37 21 60,86

Динамический МА 36 61,50 40 69,54 29 57,02 39 67,33

Адаптивный 97 71,60 99 67,60 98 69,20 100 52,00

4 Динамический 100 67,60 100 63,00 100 62,80 100 60,00

Адаптивный МА 100 68,74 100 65,57 100 68,51 99 50,96

Динамический МА 99 66,25 100 58,74 100 59,66 100 59,40

Адаптивный 55 62,20 66 66,20 45 59,60 57 62,00

5 Динамический 69 74,20 72 66,00 52 60,20 61 69,00

Адаптивный МА 61 60,96 71 64,88 48 56,02 60 60,76

Динамический МА 70 69,75 78 65,34 55 59,60 67 64,86

Адаптивный 31 59,60 31 56,80 30 68,60 33 54,40

6 Динамический 40 61,40 42 71,40 37 71,60 39 60,80

Адаптивный МА 32 56,02 33 53,39 32 66,54 34 51,68

Динамический МА 45 60,79 42 70,69 42 69,45 43 57,76

Таблица 3

Результаты сравнительного анализа эффективности алгоритмов

Номер функции Наихудший ГА Средний ГА Наилучший ГА Коэволюция ДАГА

П 8 П 8 П 8 П 8 П 8

1 0,016 69,8 0,249 64,1 0,736 70,8 0,990 57,8 1,00 56,06

2 0,190 56,0 0,735 59,6 1,000 62,6 1,000 27,0 1,00 62,17

3 0,000 - 0,066 73,2 0,292 73,4 0,990 48,0 0,40 69,54

4 0,014 57,2 0,550 61,5 1,000 68,0 0,982 39,4 1,00 58,74

5 0,000 - 0,080 70,5 0,320 71,0 0,996 50,2 0,78 65,34

6 0,028 16,5 0,172 50,8 0,372 75,4 0,340 59,0 0,42 70,69

и модификации алгоритма; сниженная эффективность адаптивных штрафов связана с наличием двух субпопуляций и частого изменения состава подмножества So;

- при сравнении с классическим ГА можно заключить, что ДАГА лучше усредненного по эффективности классического алгоритма, но может уступать лучшему при неоптимальных настройках;

- при сравнении с коэволюционным алгоритмом, являющимся также развитием классического ГА, можно сказать, что данные алгоритмы сравнимы по эффективности.

Таким образом, в работе предложен и обоснован новый подход к решению задачи условной оптимизации, основная идея которого заключается в дифференциации и специализации субпопуляций, с целью повышения эффективности (устойчивости) ГА как эволюционирующей системы. Разработанный алгоритм по эффективности решения задачи условной оптимизации на множестве тестовых данных превосходит классический ГА и сопоставим с коэволюционным алгоритмом.

Литература

1. Michalewicz Z., Schoenauer M. Evolutionary algorithms for constrained parameter optimization problems. Evolutionary Computation, no. 4 (1), 1996, pp. 1-32.

2. Mezura-Montes E., Coello Coello C.A. Constraint-handling in nature-inspired numerical optimization: Past, present and future. Swarm and Evolutionary Computation. 2011, vol. 1, no. 4, pp. 173-194.

3. Yeniay O. Penalty function methods for constrained optimization with genetic algorithms. Mathematical and Computational Applications. 2005, vol. 10, no. 1, pp. 45-56.

4. Can M., Kusakci O.A. Constrained optimization with evolutionary algorithms: a comprehensive review. Southeast Europe journal of soft computing. 2012, vol. 1, no. 2, pp. 16-24.

5. Schoenauer M., Xanthakis S. Proc. 5th Int. Conf. on Genetic Algorithms, Urbana-Champaign, IL, USA, 1993, pp. 473-580.

6. Жуков В.Г., Паротькин Н.Ю. Дифференцированный адаптивный генетический алгоритм // Вестн. НГУ: сер. Информационные технологии. Новосибирск, 2011. Т. 9. Вып. 1. С. 5-11.

7. Сергиенко Р.Б. Автоматизированное формирование нечетких классификаторов самонастраивающимися коэволю-ционными алгоритмами: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Красноярск: СФУ, 2010. 20 с.

References

1. Michalewicz Z., Schoenauer M. Evolutionary algorithms for constrained parameter optimization problems. Evolutionary Computation, 1996, no. 4 (1), pp. 1-32.

2. Mezura-Montes E., Coello Coello C.A. Constraint-handling in nature-inspired numerical optimization: Past, present and future. Swarm and Evolutionary Computation. 2011, vol. 1, no. 4, pp. 173-194.

3. Yeniay O. Penalty function methods for constrained optimization with genetic algorithms. Mathematical and Computational Applications. 2005, vol. 10, no. 1, pp. 45-56.

4. Can M., Kusakci O.A. Constrained optimization with evolutionary algorithms: a comprehensive review. Southeast Europe journal of soft computing. 2012, vol. 1, no. 2, pp. 16-24.

5. Schoenauer M., Xanthakis S. Constrained GA optimization. Proc. of the 5th Int. Conf. on Genetic Algorithms. Urbana-Champaign, IL, USA, 1993, pp. 473-580.

6. Zhukov V.G., Parotkin N.Yu. A differential adaptive genetic algorithm. Vestnik NGU [Bulletin of the Novosibirsk State Univ.]. Novosibirsk, 2011, vol. 9, iss. 1, pp. 5-11 (in Russ.).

7. Sergienko R.B. Avtomatizirovannoe formirovanie nechet-kikh klassifikatorov samonastraivayushchimisya koevolyutsionnymi algoritmami [Automated forming of fuzzy classificators by self-adjusting coevolution algorithms]. Extended abstract of PhD diss. (Engineering), Siberian Fed. Univ. Publ., Krasnoyarsk, 2010, 20 p. (in Russ.).