CC BY
15
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ ГИБКОЙ СВЯЗИ И ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
А. БАРАЕВ, канд. техн. наук, доцент
Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, Москва
Исследуются дифференциальные уравнения пространственного движения вязко нелинейно-упругой гибкой связи и свойства волн, возникающих при динамическом воздействии в вязко нелинейно-упругой гибкой связи (ВГС). Доказано, что в вязкой ГС при динамическом воздействия возникают одна продольная волна и две поперечной волны. Основное внимание уделяется исследованию свойств возникающих волн. Определены скорости распространения этих волн.
Введение
В зависимости от материала вязкой гибкой связи (ВГС) ее движения описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго и более высших порядков. Учет сложных законов динамического деформирования реальных материалов и наличие геометрических связей приводят к повышению трансцендентности и нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих движение ВГС. В связи с этим в каждом конкретном случае требуются исследовать дифференциальные уравнения движения ВГС и находить методы их решения.
1. Преобразование дифференциальных уравнений
Дифференциальные у
равнения движения ВГС можно представит в виде [1]:
Ро x = [a* g (1 + x')]'+ P,*(s,t), p0 y = [a* g y ']'+ P2*(s,t), (1.1)
Po z = [a* g z'] ' + P;(s,t), (1.2)
cosa = (1 + x')g , cos/ = y'g, (1 + s)cos^ = z g. (1.3)
Пусть, закон деформирования материала имеет вид:
a* = a*(s, é ) , (1.4)
где t - время; s - лагранжева координата; x(s, t), y(s, t), z(s, t) - координаты рассматриваемой точки нити в декартовой системе (x,y,z); a* = a*(s,t) - натяжение; s(s, t) - относительная деформация; Pj* (s, t), P2* (s, t), P3* (s, t) - составляющие массовой силы P = P(s, t) на оси x, y , z соответственно; a(s, t), p(s, t), y(s, t) - углы, образованные между касательной к ВГС в данной точке и осями координат x, y, z; p0 - плотность недеформированной ВГС.
Введем обозначения: a(s,t) = а*(s,t)/p0; Р{(s,t) = Рр(s,t)/p0.
Дифференциальные уравнения движения (1.1) и (1.2) с учетом (1.3), (1.4) и а' = aEs' + c 2¿' приведем к виду:
x = g {(1 + x') s' aE + (1 + x')¿' c2 + ax''}-ag2(1 + x')s ' + Рх(s,t),
y = g {y' s ^e + y ' é' c2 + a y ''}- ag2 y ' s' + Р2 (s, t),
z = g {z' s'aE + z 'é' c2 + az ''}-ag2z ' s' + Р3(s,t), (1.5)
где aE = 8a/8 s , c2 = 8a/ 8 st . g = 1(1 + s).
Учитывая, что (1 + е ) (1 + г) =(1 + х' ) х'' + у 'у'' + г ' z'', исключим производную е' и произведем группировку подобных слагаемых в уравнении (1.5): х = £11х" + £12у'' + £13г '' + с2 (1 + х')е' д + Р1 (5,X),
у = £21 х '' + £22 у '' + ^23 г '' + с2 у ' е' д + Р2 (5, X), г = £31х" + £32у" + £33г" + с2 г'е' д + Р3(5Д (1.6)
ГДе £11 = £151 (1 + х ')2 + /151 , £12 = £21 = £151 (1 + х ') у ' , £22 = £151 (У ')2 + /151 , £13 = е31 = £ 151 (1 + х )г , £23 = £32 = £151у г , £33 = £ 151 (г ) + /151 ,
£151 = К1+Фе - а1 д3 , /151 = а д. Система уравнении (1.6) нелинейная, ее решаем методом характеристик^]. Пусть, кривая ^(5^) = 0 является характеристической кривой. Для этой характеристики система уравнений имеет вид:
х = k2х '' + с2д (1 + х ')е ' + / (5,х) + р1 (5,X), у = k2у '' + с2 ду'е' + /2(5,х) + Р2(5,х),
г = k2г '' + с2 д г'е' + /3 (5,х) + Р3(5,х), (1.7)
где fi(5, X) - неизвестные пока функции, ] = 1, 2, 3; k = dT5 - угловой коэффициент касательной к характеристической кривой м(5,х) = 0.
Подставляя соотношения (1.7) в (1.6) можно получить
(£11 - k2 )х'' + £12 у '' + £13г '' = /1 (5, X), £21 х '' + (£22 - k2 )у'' + £23г '' = f2 (5, х), £31 х'' + £32у " + (£33 -k2)г '' = /3(5,X). (1.8)
Характеристическими корнями этой системы являются [2]:
^,2 = (^5)и = , kз,4 = (^5)3,4 = . (1.9)
Характеристические корни k34 = (<т5 )34 = а д оказывается кратными
корнями, т. е существуют еще корни k56 = (<т5)5 6 = а д .
Таким образом, динамическая нагрузка в ВГС распространяется в виде трех волн: одна волна, распространяется вдоль продольной оси ВГС со скоростью kl2 =(<т5 )12 = ±аЕ , которая называется продольной волной и две волны распространяются по двум другим направлениям с одинаковой скоростью k3 4 = (<т5)3 4 = ±^1 а д , k56 = (<т5)5 6 = ±^1 а д , которые называются поперечными волнами. Двойные индексы означает, что данная волна распространяется по положительному и обратному направлениям.
2. Примеры для конкретных случаев
Пусть, закон деформирования имеет вид
а* = А*е + Т]*ё , (2.1)
т. е. деформирование идет по линейно-вязко-упругой модели Томпсона. Если в линейной модели Томпсона (2.1) постоянный коэффициент А* равняется Е, то получается вязко-упругий материал с «запаздывающей упругостью» («модель Фойгта»)
а* = Е*е + п*ё . (2.2)
В этом случае характеристические корни имеет вид:
^,2 = (<т5 )1,2 = ±лД , ^,4 = (<т5 )3,4 = ±>//1бГ , k5,6 =(<Т5 )5,6 = ±Л//7 , (2.3)
где А = А*Ро1, п = п*р-\ /162 =(ае +пе )д. д =1/(1+е).
Рассмотрим некоторые свойства волн и схемы движения ВГС, описываемой моделью (2.2). Пусть при монотонном нагружении до некоторого напряжения а < ац ВГС деформируется по закону
а = Ее, (2.4)
а при а >ац - по закону а = Ее + г]ё , (2.5)
т.е. предполагается, что при малых деформациях вязкость отсутствует, материал деформируется по закону Гука и только при е > ец вязкость начинает оказывать влияние на диаграмму растяжения.
При нагружении по первому закону в пределах е < ец в ВГС, возникают
одна упругая продольная волна, распространяющаяся со скоростью
~12 = ±4Е (2.6)
и поперечные волны, распространяющиеся с одинаковой скоростью
~з,4 =±д/Ее7, ~5,б =±т/Е^, д = 1/(1 + е). (2.7)
Эти волны возникают одновременно, но поперечные волны двигаются с меньшей скоростью, чем продольная волна. В дальнейшем рассмотрим только одну поперечную волну, так как они имеет одинаковые свойства.
Пусть теперь е > ец и ВГС нагружается по закону (2.5) В этом случае в
ВГС распространяется упругая продольная волна со скоростью к12 = ±л/Е, а поперечная волна распространяется со скоростью
кРР =±л1(Ее + це )д , д = 1/(1 + е) . (2.8)
Можно найти время, когда вязкость начинает оказывать влияние на закон деформирования ВГС. Из условия к1 = крр найдем
Е = (ее + це )д , е >ец , (2.9)
отсюда е = Е ц-. (2.10)
Проинтегрировав последнее соотношение, будем иметь
ещ = Ец1 (г- tц ). (2.11)
Данное выражение служит для определения деформаций ец , соответствующей моменту времени гц появления деформации ец . Как следует из формулы (2.11),
вязкость в ВГС появляется мгновенно и соответствует скорости деформации, определяемой по формуле (2.10).
Пусть, закон деформирования имеет вид
а" = а? + Е*(е - е6,) + ц*е , (2.12)
т.е. с линейным упрочнением; где а? и е5 - натяжение и относительная деформация, соответствующие пределу упругости материала. В этом случае скорости распространяющихся волн будут:
к1,2 =±7^ к3,4 , /171 =<5 + Е1 (е - е8 )+ Це }д , (2.13)
где < = </Ро , Е1 = Е1/Ро , ц=ц /Po, д =1/(1+е).
Если материал ВГС вязко-упругопластический и действующая нагрузка монотонно возрастает, то рассмотренную выше модель можно представить в виде:
а = Ееs + Е(е -ех) + це . (2.14)
Данная модель предполагает, что ВГС деформируется при малых относительных деформациях по закону Гука
а=Еs, s<s
s ■
(2.15)
Далее, в зависимости от заданных свойств материала, возможно следующие варианты:
1) материал в пределах упругой деформации ss > е > ец подчиняется закону
а = Еss +'це , (2.16)
и при s> ss - по закону (2.14), где ец - упругая деформация, соответствующая начальному моменту действия закона (2.16).
2) материал до некоторой деформации ss < е < ец подчиняется упругопла-
стическому закону
а = Е s s + E1 (е- s s), (2.17)
и при s > sn - по закону (2.15), где sn - пластическая деформация, соответствующая начальному моменту действия закона (2.17).
Рассмотрим первый случай при деформациях s > sS . При этом в нити последовательно возникают одна вязко продольно-поперечная волна, распространяющаяся со скоростью
кз =±л/Ят (Ess + ns ), при s < ss, (2.18)
и две вязко-упругопластические волны, распространяющиеся со скоростями
k5 =±4E1 и к7 =±л[х171 при s> ss, /171 =K + E1(s - ss ) + ns }g. (219)
Схема волнового движения, соответствующая деформации ss < s< sn , приведена на рис.1. Характеристики 0m и On соответствуют упругой продольной кх и поперечной к3 волнам. Области I и II являются областями упругих деформаций. Характеристика tn p возникает в момент времени t n > 0, соответствует
продольно-поперечной волне к3 области III и является областью вязко упругих деформаций.
t
О
Рис.1. Расположения фронтов волны
О
Рис.2. Расположения фронтов волны
Характеристики tsq и tsl соответствуют вязко упругопластическим волнам k5 и ^ . Прямые 0т, tr|g параллельны и зона запаздывания упругости [3] находится между характеристиками trg и trр, соответствующими упругой продольной волне kl и продольно-поперечной волне вязко-упругой k3. Линия
tr g является последней характеристикой, соответствующей упругой продольной волне, распространяющейся со скоростью ki , а линия tr р - первой характеристикой, соответствующей вязко-упругой продольно-поперечной волне, распространяющейся со скоростью k3.
Рассмотрим теперь второй случай при деформациях s > sr . Последовательность возникновения волн при монотонной нагрузке следующая:
- две упругие волны, распространяющиеся со скоростями (рис.2)
~ = ±VE и k3 = ±tJEs д при s < ss; (2.20)
- две упругопластические волны, идущие вдоль нити со скоростями
k5 =±л/ЕГ и k7 = ±^ЕSs + E (s - Ss )}д при s>ss; (2.21)
- одна вязко упругопластическая продольно-поперечная волна, распространяющаяся со скоростью
кз = ±^{ESs + Ei (s - Ss) + ^S }д , при s > sn . (2.22)
В данном случае очередность расположения областей III и IV, V поменяется. На схеме, изображенной на рис.1, область III является областью вязко-упругой деформации, а на рис. 2 - вязко-упругопластической деформации. Области IV , V на рис.1 имеют вязко упругопластическую, а на рис.2 - упруго-пластическую деформацию. Штриховая линия tsg является последней характеристикой, соответствующей упругой продольной волне, а линия tsp - первой характеристикой упругопластической волны. Область, расположенная между этими характеристиками, является зоной запаздывания текучести [3], а область запаздывания упругости на схеме рис. 2 не возникает.
Пусть материал ВГС деформируется по следующему закону:
T*= %*sq + r* s , а' = Xqsq-i s' + f]s' , (2.23)
тогда при s > sS поперечные и продольно-поперечные волны будут распространяться со скоростями к3 = ±д/EsSg , k3 = ±^(EsS + r¡s )g ,
ki =±Vxqsq-1, k3 = , /i72 = (xsq +rs )gi72. (2.24)
Выводы
Свойства продольно-поперечной волны, возникающей в вязкой нити, существенно отличается от свойства поперечной волны, возникающей в упругой нити. На фронте поперечной волны, возникающей в упругой нити, деформация и натяжение остаются непрерывными, а на фронте продольно- поперечной волны, возникающей в вязкой нити - являются разрывными.
Л и т е р а т у р а
1. РахматулинХ. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. - Изд.2-е, дополненное. - М.: «Университетская книга; Логос», 2009. - 512с.
2. Кристеску Н. Распространение волн в гибких нитях (влияние скоростей деформации)// ПММ. - Т. 2i. - i957. - Вып. 4. - С. 486-490.
3. Бараев А. Влияние запаздывания текучести на распространение упруго- пластических волн при поперечном ударе// ДАН РУз. - i977. - № i2. - С. 9-i0.
THE INVESTIGATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SPATIAL MOTION OF VISCOUS NON-LINEAR BRACE AND THE WAVES CAUSED BY DYNAMIC ACTION
Baraev A.
