CC BY
27Исследование деятельности интегрированных промышленных структур для обеспечения устойчивого развития в условиях цифровой трансформации
см см о см
о ш т
X
3
<
т О X X
Соколицына Наталья Александровна;
кандидат экономических наук, доцент, ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», natasokoli@yandex.ru
В статье исследованы вопросы повышения эффективности деятельности интегрированных промышленных структур для обеспечения устойчивого развития в условиях цифровой трансформации. Система управления устойчивым развитием интегрированных структур в современных условиях постоянно усложняется из-за развития интеграционных связей и увеличения объемов выпускаемой продукции, то есть она становится проблемой первостепенной важности. Основой цифровизации системы управления устойчивым развитием структур должен быть постоянно действующий механизм оптимального планирования их деятельности, охватывающий все подразделения структур. В работе система планирования представлена как многоступенчатая иерархическая система, соответствующая рациональной последовательной группировке элементов производственного процесса. Планирование рассматривается как процесс обмена информацией между различными ступенями производственной системы. Из низших ступеней в высшие должен направляться поток информации, характеризующий производственные возможности системы. В процессе движения производственной информации должна осуществляться ее последовательная переработка, предпринимаемая в интересах максимального сокращения размерности решаемых задач планирования. В предлагаемой модели при переработке производственной информации используется тот же принцип, что и при первичной формализации. Приближенная запись в виде одного линейного ограничения возможна не только в отношении отдельных элементов, но и в отношении произвольных групп элементов системы, что позволяет всякую нижестоящую ступень системы планирования представлять перед вышестоящей в виде одного линейного неравенства. В результате данная работа является попыткой построения модели многоступенчатой системы оптимального планирования устойчивого развития интегрированных промышленных структур. Ключевые слова: интегрированная промышленная структура, цифровая трансформация, оптимальное планирование, многоступенчатая система планирования, ограничения, размерность задачи.
Введение
Система управления устойчивым развитием интегрированных промышленных структур связана с возрастающим объемом информации. Это становится серьезной проблемой для устойчивого развития интегрированных структур. В связи с этим система управления устойчивым развитием интегрированных структур становится проблемой первостепенной важности.
Основой цифровизации системы управления устойчивым развитием интегрированных промышленных структур должен быть постоянно действующий механизм развернутого оптимального планирования, охватывающий предприятия интегрированных структур. По степени детализации и гибкости этот механизм не должен уступать спросу, регулирующему производство по каждому конкретному продукту. Балансирование и оптимизация производства здесь должны выполняться с необходимым упреждением и в масштабе всей логистической цепочке.
Система развернутого планирования будет представлять собой сложный многоступенчатый комплекс. При математическом анализе соответствующих проблем необходимо учитывать большое число самых разнообразных соображений и ограничений.
Данная работа является попыткой построения модели многоступенчатой системы оптимального планирования устойчивого развития интегрированных промышленных структур, пригодной для практического использования.
Литературный обзор
Любая математическая формализация развернутого оптимального планирования деятельности интегрированных структур неизбежно приводит к экстремальным задачам колоссальной размерности, содержащим миллионы неизвестных величин и связывающих их ограничений. Проклятие многомерности, как характеризует возникающие при этом трудности Р. Беллман, является одной из основных проблем планирования. [4]
Большая размерность определяется многообразием номенклатуры выпускаемой продукции. Ее дальнейшее увеличение может быть обусловлено динамической постановкой задачи, когда интервал планирования разбивается на ряд периодов (лет, кварталов, месяцев). [2-5]
Существенно затрудняет решение задачи развернутого планирования и ее нелинейность. Критерии оптимальности и многие ограничения по своему смыслу нелинейны. [1-3]
В той или иной форме проблема большой размерности широко обсуждается как экономистами, так и математиками. Поэтому нужно указать два подхода к ее разрешению.
Первый из них состоит в укрупнении (агрегировании) ресурсов, что сразу приводит к сокращению размерности. Осуществляя необходимое число раз укрупнение
наименовании продукции, решение малоразмерной задачи и последующее укрупнение, в принципе возможно охватить широкий круг зависимостей. Подобным методам посвящены, в частности, статьи [6], [8] и [9].
Второй подход состоит в разработке специальных методов решения задач математического программирования больших размерностей. [4]
В предлагаемой далее модели используется существенно иная процедура.
Оба указанных подхода эффективно используются в конкретных экономических задачах. Однако, в них вряд ли следует искать общие принципы построения системы развернутого оптимального планирования устойчивого развития интегрированных промышленных структур. [35]
Каждый из этих подходов приводит к итерактивным схемам решения, предусматривающим многократный обмен информацией между ступенями системы. Это крайне затрудняет построение системы с большим числом ступеней и тем самым ставит ощутимые пределы в отношении размерности задачи планирования.
Промежуточные решения в подобных итеративных схемах не являются сбалансированными: баланс достигается лишь после выполнения большого числа итераций. Следовательно, эти схемы не позволяют ограничиваться малым числом итераций для получения некоторого улучшенного допустимого решения. Так, например, однократное балансирование по укрупненным наименованиям отнюдь не гарантирует балансирование по всей номенклатуре.
Итеративные схемы не удобны с точки зрения качественного контроля процесса планирования, так как не позволяют вносить коррективы в условия задачи до ее полного решения. При рассредоточении системы планирования по определенной территории многократный обмен информацией потребует специальных линий связи. [2-5]
Трудности, связанные с большой размерностью, должны рассматриваться с точки зрения особенностей решения задач математического программирования. Как правило, оптимальное планирование сводится к решению задач с линейными ограничениями, в которых число неизвестных преобладает над числом неравенств. Решение такого типа задач лимитируется, в основном, числом ограничений. Следовательно, в первую очередь необходимо стремиться к максимальному числу ограничений. [1-3, 7, 9]
В предлагаемой далее модели системы развернутого оптимального планирования предпринимается попытка учесть все указанные соображения.
Методология исследования
Каждый элемент производственного процесса характеризуется своим входом, выходом и внутренними производственными возможностями.
Входом нужно считать поступающие в производственный процесс ресурсы: все виды сырья, материалов, оборудования, энергии, труда и т.д. Для каждого момента времени вход может быть записан в виде некоторой системы натуральных показателей, то есть в виде некоторого вектора. Если вход рассматривается для ряда плановых периодов, то размерность вектора входа соответственно увеличивается.
Выход производственного процесса характеризуется производимой продукцией и услугами. Выход также мо-
жет быть охарактеризован вектором посредством натуральных показателей, взятых как для одного, так и для нескольких плановых периодов.
Внутренние производственные возможности зависят от ряда факторов - и прежде всего, от накопленных в нем ресурсов. Производственные возможности меняются во времени. Если брать достаточно удаленный момент, то возможности системы могут быть неограниченными. Однако, для относительно близких моментов (порядка нескольких лет) возможности системы лимитируются рядом обстоятельств: действующим оборудованием, производственными площадями, наличием рабочей силы и т.д.
В общем случае возможности системы могут описываться сложной системой линейных и нелинейных ограничений. Но приближенное описание этих возможностей можно дать с помощью линейного неравенства.
Пусть вход системы характеризуется некоторым вектором Хвх размерности т, выход - вектором Хвых
размерности п. Целесообразно считать, что у системы имеется свой критерий оптимальности, с помощью которого можно каждому вектору Хвых поставить в соответствии единственный вектор X . Полагая, что
Хвх _ ^ (Хвых) ,
(1)
вх V выхУ возможности системы можно изучать лишь в пространстве Хвых.
Производственные возможности системы характеризуются некоторой областью допустимых значений
Хвых. Будем считать, что в представляющих критический интерес пределах эта область является выпуклой (или близка к выпуклой). Если это условие не соблюдается, но область может быть разбита на конечное число выпуклых частей, вместо одного элемента можно рассмотреть несколько.
Считая область допустимых значений Хвых выпук-
т е
лой, выберем в ней опорных точек авых и построим
на их основе выпуклый многогранник
Хвых Е авых? ,
е е
(2)
(3)
где е? ^ 1,
е е и все ? е > 0.
При соответствующем подборе опорных точек этот многогранник может дать удовлетворительную аппроксимацию области возможных значений Хвых. Так как в новых неизвестных ? е возможности системы характеризуются лишь одним линейным неравенством (3), поставленная цель достигнута.
Минимальное число опорных точек определяется, очевидно, размерностью выхода системы. Если в процессе планирования могут варьироваться все П выходных величин, то для построения многогранника (2) - (3)
X X
о
го А с.
X
го т
о
м о м м
см см о см
о ш т
X
3
<
т О X X
нужно взять не менее П линейно независимых опорных точек.
В форме (2) - (3) можно дать полное описание элемента, учитывающее не только его производственные возможности, но и связь между входом и выходом.
Будем вход и выход характеризовать вектором X в некоторой единой номенклатуре выпускаемой продукции. Входные составляющие пусть фигурируют со знаком минус, выходные - со знаком плюс. Тогда вместо многогранника (2) - (3) можно ввести аналогичный многогранник в пространстве размерности (т + п)
X _Еае? ,
е е
Е? < 1, ?е> 0.
ее
Здесь опорная точка ае определяется соотноше-
нием
ае _ е
** ~ ^вых К^вых/'
где f - функциональная зависимость (1). Введем матрицу а _ [ае ] порядка (т + п)Ь, столбцами которой являются векторы ае . Введем также вектор
Ш_ (1, 1, (4)
все составляющие которого (в любой номенклатуре) равны единице, и вектор ? _ [? е ] с неотрицательными
составляющими ?е. Тогда аппроксимирующий многогранник можно записать более компактно
X _ А?, (5)
1. (6) Многогранник (5) - (6) и дает полное описание элемента с помощью одного линейного неравенства. Матрица А содержит все числовые данные, необходимые для такого описания.
Матрицу А можно интерпретировать как матрицу опорных производственных способов, вектор ? - как
вектор интенсивностей этих способов. Неравенство (6) можно рассматривать в качестве ограничения, характеризующего производственную мощность системы.
Построение многогранника (5) - (6) практически может быть осуществлено, например, следующим образом.
Пусть для рассматриваемой системы обычными методами составлен план X 0. Этот план должен составляться без каких-либо ограничений на входные и выходные величины. Он должен отображать лишь внутренние возможности системы.
Вектор X 0 должен содержать как компоненты, относящиеся к выходу (структуру производства), так и компоненты, относящиеся ко входу (соответствующую структуру затрат). Последнюю можно определить, например, с помощью матричной модели системы.
Вектор X может быть взят в качестве одной из опорных точек аппроксимирующего многогранника
А0 _ X0.
Будем назвать эту точку исходной точкой аппроксимации.
Помимо исходного плана, для рассматриваемой системы можно составить серию специализированных
планов. Каждый такой план должен отличаться от X0 преобладанием одного из видов продукции и некоторым уменьшением производства других.
Пусть, например, составляется специализированный план с преобладанием продукта вида к Исходя из производственных возможностей системы, необходимо оценить целесообразную технологическую границу для увеличения производства продукции к Одновременно определяется степень сокращения производства других видов продукции.
Под полученную таким образом программу производства определяется структура затрат. В целом все это и дает специализированный план с преобладанием продукта i в виде вектора X1 размерности (т + п).
Строгий критерий для выбора границы увеличения производства продукта i в такой постановке сформулирован быть не может. Следует учитывать ряд обстоятельств: предполагаемые колебания в потребности на продукт ^ рациональность загрузки производственных мощностей, целесообразность производства продукта i в данной структуре производственного процесса и т.д. Границы вариаций всех продуктов должны задаваться извне. Их можно выбирать с достаточно большим «запасом».
Наиболее вероятны варианты планов X1 с частичной специализацией, то есть лишь с некоторым увеличением продукта вида к Однако, могут встретиться и следующие два крайних случая.
Если возможен и технологически целесообразен полный переход системы на продукцию ^ специализированный план X1 должен показывать максимально возможный объем производства этого продукта в таком режиме. Производство других продуктов при этом будет равно нулю. Такой случай возможен в условиях полной взаимозаменяемости продукции.
Если, наоборот, увеличение производства продукта невозможно, специализированный план должен отличаться от исходного лишь меньшим производством других продуктов. Такой случай может быть при отсутствии взаимозаменяемости продукции. В подобных ситуациях рассматриваемую технологическую цепочку целесообразно разбивать на ряд более мелких систем.
При составлении каждого специализированного плана следует учитывать тот дополнительный выигрыш в производительности, который возможен за счет данной специализации. Учет этого обстоятельства даст правильную тенденцию экономического развития
а е _ X1, (е _ 1).
Вместе с А 0 это дает опорную точку, что вполне достаточно для построения многогранника (5) - (6).
В случае необходимости можно построить не одну, а несколько серий специализированных планов, соответствующих разной степени специализации. Возможны и
иные приемы для построения опорных точек. В конечном счете, аппроксимация системы может быть осуществлена достаточно подробно и в сколь угодно широкой области. Независимо от числа опорных точек, система будет характеризоваться одним линейным неравенством типа (6).
Описанная методика аппроксимации может быть улучшена при наличии оптимальных оценок ресурсов и приемлемых математических моделей системы.
Оптимальные оценки отображают влияние изменений ресурсов на общий критерии экономики. Это позволяет решать частные задачи на всех уровнях с помощью линейного критерия
V = РХ, (7)
где X - вектор ресурсов, Р - вектор оценок (включая прокатные оценки).
При стабильном функционировании системы планирования оценки будут мало меняться при переходе от одного цикла планирования к другому. Поэтому оценки, получаемые на предыдущем цикле, могут служить хорошим приближением к оценкам следующего цикла.
Математические модели системы могут быть достаточно разнообразны и характеризоваться системой временных взаимосвязей, системой линейных и нелинейных ограничений и т.д. Независимо от конкретного вида модели системы, ее аппроксимация может быть построена по единому принципу.
Пусть имеется некоторая модель системы и критерий (7) с оценками предыдущего цикла. Решая задачу на максимум критерия V при условиях, определяемых
моделью, можно найти некоторый план элемента X . Как и ранее, этот план должен определяться без каких-либо ограничений на входные и выходные величины; он должен отображать лишь внутренние возможности системы. Вектор X0 по-прежнему должен характеризовать как структуру производства, так и соответствующие затраты.
Так как оценки Р близки к ожидаемым оптимальным, план X0 по критерию (7) должен быть близок к
плану системы. В силу этого план X0 целесообразно считать центром области возможных значений X , то есть взять в качестве исходной точки аппроксимации.
Далее необходимо построить серию специализированных планов. Специализированный план X1 с преобладанием продукта вида i может быть получен с помощью той же модели системы и критерия V, но при более высокой оценке продукта к Степень завышения ДР1
оценки продукта i должна быть одинаковой для всех элементов системы и определяться разумными границами вариации планов. Первоначально величины Д р1
можно брать достаточно большими. Это позволит осуществлять аппроксимацию элементов системы в широкой области, но с относительно малой точностью.
В процессе функционирования системы развернутого планирования будет накоплен необходимый опыт для более рационального выбора всех Д р1.
Вместе с исходным планом X0 , совокупность специализированных планов X1 даст (п + 1) опорную
точку а , необходимую для построения аппроксимирующего многогранника системы. Можно строить и дополнительные серии опорных точек.
Описанная методика аппроксимации отличается от предыдущей тем, что позволяет осуществить оптимизацию не только в масштабе отдельного предприятия, но и в масштабе интегрированных промышленных структур.
Процесс последовательной переработки производственной информации
В многоступенчатой системе оптимального планирования устойчивого развития интегрированных структур эта первичная производственная информация должна последовательно перерабатываться в интересах максимального сокращения размерности общей задачи планирования.
Для последовательной переработки производственной информации может быть использован тот же принцип, что и при первичной формализации. Аппроксимация производственных возможностей с помощью многогранника (5) - (6) применима не только в отношении отдельных предприятий, но и для интегрированных структур. Это позволяет всякую нижестоящую ступень системы планирования представлять перед вышестоящей в виде одного линейного неравенства.
Объединив те или иные элементы производственного процесса в группу, можно построить для этой группы общий многогранник типа (5) - (6). Тем самым группа элементов будет представлена в виде одного нового объекта, описываемого одним линейным неравенством.
Объединяя, далее, эти новые объекты в группы более высокого порядка, можно вновь провести построение общего многогранника (5) - (6). Группа более высокого порядка при этом будет записана как один новый объект - в виде одного линейного неравенства.
Осуществляя такую переработку производственной информации необходимое число раз, можно надлежащим образом снизить размерность задачи оптимального народнохозяйственного планирования. Прежде всего, резко уменьшается число ограничений. Одновременно происходит сокращение номенклатуры продукции и числа неизвестных.
Все числовые данные, необходимые для построения многогранника (5) - (6) для любой группы элементов, содержаться в матрицах А - матрицах опорных точек а^
. Матрицу А можно рассматривать в качестве стандартной формы производственной информации.
Займемся изучением одного этапа последовательной переработки производственной информации - построением матрицы А для группы объектов с помощью матриц А отдельных объектов.
Пусть имеется группа на К объектов. Будем считать, что существует некоторая единая номенклатура, в которую вписываются входы и выходы всех объектов. Вход и выход каждого объекта в этой номенклатуре
можно характеризовать вектором Xk (1 < к < К), опорные точки аппроксимирующего многогранника объекта - матрицей Ак = "Л При этом объекты записываются в виде
X X
о
го А с.
X
го т
о
м о м м
CN СЧ О
cs
О Ш
m
X
3
<
m о х
X
Xk = Акуk, вук < 1, (8)
где у к = "у к | - вектор интенсивностей для К - го объекта, в - вектор (4).
Пусть i - индекс наименований ресурсов в имеющейся единой номенклатуре. Первые J1 номеров будем относить к факторам, лимитированным для группы в целом, но не лимитированным по отдельным объектам. Значения i от ^ + 1) до J2 отнесем к промежуточным продуктам, то есть к продуктам, производимым и потребляемым внутри группы. Индексы i от + 1)
до пусть характеризуют те выходные продукты
группы, по которым имеются жесткие обязательные задания. Номера i от + 1) до J4 пусть относятся к
наименованиям входа группы. Номера i от +1) до J5 - к наименованиям выхода, свободным от непосредственно задаваемых ограничений. Договоримся в дальнейшем называть выходом только совокупность этих последних наименований, то есть нефиксированную часть действительного выхода.
Введем в рассмотрение вектор Ь , составляющие которого для i от 1 до J1 отрицательны, для i от
^ + 1) до J2 равны нулю и для i от + 1) до J3
положительны. Первые из них должны характеризовать наличие лимитированных факторов, последние - имеющиеся жесткие задания.
Будем исходить из предположения, что по лимитированным факторам не должно быть перерасхода, по промежуточным продуктам - превышения потребления над производством и по обязательным заданиям - невыполнения. Будем полагать также, что поддержание и пополнение запасов являются заботой не группы объектов, а каждого объекта в отдельности. Тогда для группы в целом могут быть сформулированы следующие ограничения
£ Akуk > b.
(9)
Пусть для исходных и выходных величин группы даны оценки, характеризуемые вектором Р . Ненулевыми здесь обязательно должны быть лишь составляющие Р для i от + 1) до J5. Лимитированные факторы, промежуточные продукты и фиксированный выход имеет смысл снабжать ненулевыми оценками лишь в том случае, когда имеет реальную ценность экономия того или иного фактора или перепроизводство того или иного продукта.
Необходимо, прежде всего, составить оптимальный 0
план группы X , доставляющий максимум критерию
V = PX = Р X Ак ук.
к
При ограничениях (8) - (9) это приводит к задаче ву к < 1;
-X Ак у к <- Ь;
P £ A у ^ max.
k=1
Общее число ограничений здесь равно (K + J3) , то есть числу объектов в группе плюс число общих ограничений (9). Число неизвестных у k совпадает с общим число опорных точек для объектов
N = £ Lk >£ (nk + 1), (11)
k k
где L k - число опорных точек в многогранник K - го объекта, nk - размерность выхода K - го объекта.
В результате решения задачи (10) могут быть определены векторы интенсивностей у k для всех объектов. Обозначая оптимальные значения этих векторов через
k0 v0 у 0 ,оптимальный план группы X получаем в виде:
Совокупность ограничений (8) - (9) дает полное описание группы объектов - область производственных возможностей группы и связь между входом и выходом.
Пусть вход и выход группы характеризуются вектором X с ненулевыми составляющими для i от + 1) до J5. Переработка производственной информации состоит, очевидно, в том, чтобы в этой номенклатуре найти такую матрицу А = " а11, с помощью которой многогранник X = А^, ^^ < 1 (5) - (6) давал бы удовлетворительную аппроксимацию ограничений (8) - (9).
Опорные точки а1 можно строить так же, как и в предыдущем разделе: найти некоторую разумную ис-
0
ходную точку аппроксимации а и вокруг нее построить серию специализированных планов.
Будем строить опорные точки в предположении, что уже имеются оценки, достаточно близкие к оптимальным. Построение опорных точек при отсутствии таких оценок удобно рассмотреть несколько позже.
X0 = £ Ak у k0.
(12)
Это оптимальный план по критерию (7). Его можно
„0
взять в качестве исходной опорной точки а .
Далее необходимо построить серию специализированных планов группы. Специализированный план X1 с преобладанием продукта вида i может быть получен в результате решения той же задачи (10), но при более высокой оценке продукта к Степень завышения оценки Д Р1 для групп элементов должна быть такой же, как и
для отдельных элементов. Здесь сохраняются прежние соображения.
Опорные точки а1 , соответствующие специализи-
рованным планам x , запишутся в виде
^ V a k...kf.
a< = £ Akу k<,
(13)
k
k
k
k
к е
где у - векторы интенсивностей для объектов в е 1
плане а _ X . Возможно построение как одной, так и нескольких серий опорных точек.
е
Совокупность векторов - столбцов а образует матрицу А для группы объектов в целом, полностью описывающую эту группу в качестве одного нового объекта. Построением матрицы А и заканчивается один этап переработки производственной информации.
Таким образом, каждый этап переработки производственной информации формально сводится к решению соответствующего числа задач типа (10). Решение такой совокупности задач может быть существенно рационализировано.
Не вдаваясь в подробности вычислительных методов, отметим один важный случай резкого упрощения процесса переработки производственной информации.
Пусть в задаче (10) отсутствуют общие ограничения (9) и имеются лишь ограничения (8) по отдельным объектам. Всякое решение такой задачи будет являться суммой решений для отдельных объектов. Ясно, что построение аппроксимационной матрицы А для группы в целом при этом сведется к простому суммированию ап-
проксимационных матриц Ак отдельных объектов
А _е Ак. (14)
к
Такая операция не связана с принципиальными трудностями и может быть осуществлена для любого числа объектов.
Рассмотрим теперь построение опорных точек аппроксимации группы в том случае, когда нет оценок, достаточно близких к оптимальным.
Пусть X0 - некоторый план группы, составленный обычными методами. Можно принять, что пропорции
плана X0 достаточно близки к оптимальным, и осуществить максимизацию продукции группы в этих пропорциях. С учетом ограничений (8) - (9) это приведет к задаче
Однако, в задаче (15) содержится значительно большее число ограничений, чем в задаче (10). Если задача (15) чрезмерно громоздка, то можно ограничиться более грубыми методами аппроксимации.
В качестве исходной точки допустимо использовать
сам план X0 . Каждый из специализированных планов
X1 можно определять с помощью задачи (10) при достаточно высокой оценке Р1 и ориентировочных значениях других оценок. При разумной аппроксимации объектов, входящих в группу, такой выбор оценок не должен приводить к неверным результатам.
Теперь оценим возможность рассмотренной переработки производственной информации. До переработки группа объектов характеризовалась величинами:
- число ограничений: К + Jз;
- номенклатура: J5;
- число неизвестных: К,
где N определяется формулой (11). После переработки эти показатели принимают значения:
- число ограничений: 1;
- номенклатура: (75 - J3);
число неизвестных:
L > а5 - Jз +1).
ву к < 1;
Нетрудно видеть, что первые два показателя здесь сводятся к абсолютному минимуму. Минимум не достигается лишь по числу неизвестных, которое в принципе может быть снижено до — J4) .
Механизм получения и переработки управляющей информации
В результате переработки производственной информации последовательно сокращается число объектов планирования. Это позволяет в высшей ступени системы формулировать задачу планирования как задачу приемлемой размерности.
В высшей ступени системы должна решаться задача, отличающаяся от задачи (10) лишь критерием
к ^ 1
ву < 1;
— е Ак у к <— Ь;
— е А к у к < — Ь ;
( 1 5)
т1п
,14+1< 1< ,15
X
X?
^ тах.
Результатом ее решения будет несколько улучшенный план группы, который можно использовать в каче-
0
стве исходной точки аппроксимации а .
Решая задачу, сопряженную с (15), можно получить оценки Р , которые можно считать близкими к оптимальным. С помощью этих оценок можно строить специализированные планы X1 путем решения задач (10) при соответствующих Д Р1. Как и ранее, планы X1 мое
гут служить опорными точками а .
и( у ) ^ тах.
Здесь и(ук) - выпуклая функция ук , являющаяся критерием оптимальности плана. В системе оптимального планирования должны отрабатываться не только планы по натуре, но и оценки ресурсов. Применительно к задаче (1б) можно ввести оценки соответствующих групп ограничений.
Первую группу будем характеризовать оценками
qk . Поскольку данные неравенства относятся к производственным возможностям объектов и в правых частях содержат единицы, то qk являются оценками объектов. Вторую группу неравенств задачи (16) будем характеризовать вектором оценок р . Вектор данных оценок
X X
о
го А с.
X
го т
о
м о м м
к
к
см см о см
о ш т
X
3
<
т О X X
- это оценки лимитированных факторов, промежуточных продуктов и обязательных заданий.
Так как задача (16) является выпуклой, определение оптимального плана и перечисленных оценок эквивалентно отысканию неотрицательной седловой точки следующей функции Лагранжа
Ф( ук, р, я) _ и(ук) + е (1- ву к)Як + (е Акук — Ь)р.
к к
(17)
Получающиеся отсюда интенсивности у к и оптимальные операции р должны служить источником
управляющей информации, направляемой из высших ступеней системы в низшие.
По мере своего движения управляющая информация должна последовательно перерабатываться, последовательно разукрупняться. В конечном счете, это даст конкретный план по натуре для каждого элемента производственной системы и оценку для каждого ресурса.
В отношении оценок задача последовательной переработки управляющей информации ставится следующим образом. Пусть для входа и выхода группы объектов даны некоторые оценки, полученные в вышестоящей ступени системы. Необходимо определить, как найти оценки для входов и выходов всех объектов, входящих в группу.
Фактически эта задача сводится к определению оценок ограничений задачи (10) при заданных внешних оценках. Обозначим через як оценки первой группы неравенств. Для удобства примем, что по отношению к индексу е эти величины являются векторами с одинаковыми компонентами Як. Вектором Р будем характеризовать оценки всех ресурсов: составляющие Р для i от 1 до Jз тогда будут оценками второй группы неравенств задачи (10), а составляющие Р от 1з + 1 до 15 - задаваемыми внешними оценками для входа и выхода группы. Если, кроме того, через Ак обозначить
Л к
транспонированные матрицы А , то задача, сопряженная по отношению к (10), запишется в виде
——к
як — А р > 0; Е Як — Ьр ^ т1п,
уровнях. При этих оценках осуществляется решение задач типа (10), что дает по одной дополнительной опорной точке аппроксимации. В таком уточненном виде производственная информация доводится до высшей ступени системы, где вновь ищется седловая точка функции (17). Подобные итерации могут осуществляться неоднократно, причем их число может быть различным для разных звеньев системы. Выбор числа итераций должен определяться желательной степенью перестройки структуры производства.
Как при наличии уточнений, так и без них, заключительным этапом планирования является отработка планов всех элементов системы в натуральном выражении.
В отношении натуральных показателей один этап последовательной переработки управляющей информации состоит в следующем. Пусть группа объектов полу*
чила из вышестоящей ступени системы план X , лежащий и аппроксимирующем многограннике группы и являющийся оптимальным с точки зрения всей рассматриваемой системы. Нужно определить, как найти всех объектов группы.
Решение этой задачи сводится к элементарным операциям. План X может быть представлен в виде X* _ А у * _ Е ае у *е,
где у _
{у е}-
вектор интенсивностей использо-
е
вания опорных точек а ступени системы.
С учетом (13) отсюда получаем
x* _ее ак ук е у;.
ек
Из этого соотношения видно
полученный в вышестоящей
что
у
к*
, к е.
векторы
являются векторами интенсивно-
и(у к) ^ тах.
Путем последовательного решения таких задач во всех ступенях системы планирования и может быть произведено вычисление оценок для всех первичных наименований ресурсов.
Дальнейшие операции зависят от выбранного режима работы системы. Как уже отмечалось ранее, составление оптимального плана может быть осуществлено как в результате однократного обмена информацией, так и после некоторых дополнительных уточнений.
В последнем случае вновь полученные оценки используются для улучшения аппроксимации на всех
_ е г'у,
е
стей для объектов, соответствующими заданному группе плану. Они полностью определяют окончательные планы объектов
к* к к* X1" _ Акук ,
чем и заканчивается один этап переработки информации.
В результате последовательного осуществления таких преобразований каждый элемент системы получает конкрет н ы й пл а н в нату рал ьн о м в ы раже н и и . (18)
После составления развернутого плана не исключены последующие улучшения в отдельных звеньях системы. Частные задачи планирования могут ставиться на минимум иных затрат при условиях выполнения плана по натуре.
Заключение
Изложенный в данной работе подход показывает принципиальную возможность построения системы оптимального планирования устойчивого развития интегрированных промышленных структур по неограниченному числу наименований. Понятно, что практическая реализация рассмотренных принципов потребует больших усилий.
В статье показано, что каждый этап переработки производственной информации состоит в построении од-
е
к
ного общего линейного ограничения для группы объектов на базе ограничений для отдельных объектов. Такая переработка формально сводится к решению совокупности задач линейного программирования относительно небольшой размерности. Для их одновременного решения могут быть предложены эффективные специальные приемы.
Таким образом, при переходе от ступени к ступени происходит резкое сокращение числа ограничений (своеобразное «агрегирование по ограничениям»). Одновременно значительно сокращается и число неизвестных. Существенно отметить, что такой принцип переработки производственной информации применим при любом числе ступеней и многоступенчатой системе планирования. Следовательно, данный подход не имеет принципиальных ограничений в смысле размерности развернутого планирования.
Литература
1. Анисимов, В. Г. Модель поддержки принятия решений при формировании товарной стратегиии производственной программы предприятия [Текст] / Анисимов В. Г. // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Экономика. - 2016. - №. 2. - С. 62-73.
2. Анциферова, О. Производственная программа в системе многоуровневого планирования развития интегрированных формирований в АПК [Текст] / Анциферова О., Мягкова Е. // Международный сельскохозяйственный журнал. - 2015. - №. 5. - С. 34-35.
3. Бабкина, Н. И. Производственная программа предприятия как инструмент промышленной политики [Текст] / Бабкина Н. И. // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. - 2015. - №. 1 (211). - С. 71-83.
4. Беллман, Р. Динамическое программирование [Текст] / Беллман, Р. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
5. Емельянов, А. А. Оптимизация производственных программ на основе результатов имитационного моделирования / Емельянов А. А., Шильникова О. В., Емельянова Н. З. // Прикладная информатика. - 2015. - №. 3 (57). - С. 109-121.
6. Железняков, С. С. Формирование производственной программы предприятия в посткризисный период [Текст] / Железняков С. С. // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Экономика. Социология. Менеджмент. - 2012. - №. 2. - С. 113-121.
7. Ивахник, Д. Е. Оптимизация производственной программы предприятия с позиций управления рисками [Текст] / Ивахник Д. Е. // "Фотинские чтения-2021"(осен-нее собрание). [Текст]- 2022. - С. 115-122.
8. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 15. Динамическое программирование // Алгоритмы: построение и анализ / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд.— М.: Вильямс, 2005.— 1296 с.
9. Кушнер, А. А. Производственная программа и ее роль в системе внутрифирменного планирования промышленного предприятия [Текст] / Кушнер, А. А. // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Экономика. - 2010. - №. 2. - С. 89-94.
Study of the activities of integrated industrial structures to ensure
sustainable development in the context of digital transformation Sokolitsyna N.A.
Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University
JEL classification: D20, E22, E44, L10, L13, L16, L19, M20, O11, O12, Q10,
Q16, R10, R38, R40, Z21, Z32_
The article explores the issues of increasing the efficiency of integrated industrial structures to ensure sustainable development in the context of digital transformation. The management system for the sustainable development of integrated structures in modern conditions is constantly becoming more complicated due to the development of integration ties and an increase in the volume of products, that is, it becomes a problem of paramount importance. The basis for the digitalization of the management system for the sustainable development of structures should be a permanent mechanism for optimal planning of their activities, covering all departments of the structures. In the paper, the planning system is presented as a multi-stage hierarchical system corresponding to a rational sequential grouping of elements of the production process. Planning is considered as a process of information exchange between different stages of the production system. From the lower levels to the higher ones, a flow of information characterizing the production capabilities of the system should be directed. In the process of movement of production information, its sequential processing should be carried out, undertaken in the interests of minimizing the dimension of the planning problems being solved. In the proposed model, when processing production information, the same principle is used as in the primary formalization. An approximate notation in the form of a single linear constraint is possible not only for individual elements, but also for arbitrary groups of system elements, which allows any lower level of the planning system to be represented before the higher one in the form of a single linear inequality. As a result, this work is an attempt to build a model of a multi-stage system of optimal planning for the sustainable development of integrated industrial structures. Keywords: integrated industrial structure, digital transformation, optimal
planning, multi-stage planning system, constraints, task dimension. References
1. Anisimov, V. G. Decision support model in the formation of a commodity
strategy and the production program of an enterprise [Text] / Anisimov V. G. // Bulletin of the Peoples' Friendship University of Russia. Series: Economics. - 2016. - no. 2. - S. 62-73.
2. Antsiferova, O. Production program in the system of multilevel planning for
the development of integrated formations in the agro-industrial complex [Text] / Antsiferova O., Myagkova E. // International Agricultural Journal. - 2015. - no. 5. - S. 34-35.
3. Babkina, N. I. The production program of an enterprise as an instrument of
industrial policy [Text] / Babkina N. I. // Scientific and technical statements of the St. Petersburg State Polytechnic University. Economic sciences. - 2015. - no. 1 (211). - S. 71-83.
4. Bellman, R. Dynamic programming [Text] / Bellman, R. — M.: Publishing
house of foreign literature, 1960.
5. Emelyanov, A. A., Shilnikova, O. V., Emelyanova, N. Z., Optimization of
production programs based on the results of simulation modeling, Applied Informatics. - 2015. - no. 3 (57). - S. 109-121.
6. Zheleznyakov, S. S. Formation of the production program of the enterprise
in the post-crisis period [Text] / Zheleznyakov S. S. // Proceedings of the South-Western State University. Series: Economy. Sociology. Management. - 2012. - no. 2. - S. 113-121.
7. Ivakhnik, D. E. Optimization of the production program of an enterprise
from the standpoint of risk management [Text] / Ivakhnik D. E. // "Fotinsky Readings-2021" (autumn meeting). [Text] - 2022. - S. 115-122.
8. Kormen, T., Leyzerson, Ch., Rivest, R., Stein, K. Chapter 15. Dynamic
Programming // Algorithms: Construction and Analysis, Ed. I. V. Krasiko-va. - 2nd ed. - M .: Williams, 2005. - 1296 p.
9. Kushner, A. A. Production program and its role in the system of intra-
company planning of an industrial enterprise [Text] / Kushner, A. A. // Bulletin of the Astrakhan State Technical University. Series: Economy. -2010. - no. 2. - S. 89-94.
X X
о
го А с.
X
го m
о
to о to to
