Исследование деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 519.2

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-6-120-128

ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕГРАДАЦИОННЫХ ГАММА-МОДЕЛЕЙ СО СЛУЧАЙНЫМ И ФИКСИРОВАННЫМ ЭФФЕКТАМИ

© Е.С. Четвертакова1

Новосибирский государственный технический университет,

630073, Российская Федерация, г. Новосибирск, пр-т. Карла Маркса, 20.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Построение деградационной модели со случайным эффектом приводит к увеличению размерности вектора оцениваемых параметров, поэтому необходимо выяснить, позволяет ли введение случайного эффекта получить более точные оценки параметров модели. В данной статье проводится сравнение точности оценок параметров деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами. МЕТОДЫ. Исследование точности оценок максимального правдоподобия параметров деградационных моделей проводится путем вычисления Евклидовой нормы относительной погрешности получаемых оценок для различной величины случайного эффекта с использованием метода Монте-Карло. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. С ростом величины случайного эффекта точность оценивания параметров повышается для деградационной гамма-модели со случайным эффектом. Однако в случае, когда показатель разброса значений деградационного показателя относительно заданной функции тренда не превышает 0.1, для достижения большей точности оценок параметров модели целесообразно использовать деградационную гамма-модель с фиксированным эффектом. ВЫВОДЫ. Показано, что использование деградационной гамма-модели со случайным эффектом нецелесообразно при работе с небольшими объемами выборок и незначительном случайном эффекте.

Ключевые слова: деградационный процесс, деградационная гамма-модель, модель со случайным эффектом, надежность, метод Монте-Карло.

Информация о статье. Дата поступления 13 апреля 2018 г.; дата принятия к печати 15 мая 2018 г.; дата онлайн-размещения 29 июня 2018 г.

Формат цитирования. Четвертакова Е.С. Исследование деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 6. С. 120-128. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-6-120-128

STUDY OF FIXED EFFECT AND RANDOM EFFECT GAMMA DEGRADATION MODELS

E.S. Chetvertakova

Novosibirsk State Technical University,

20, Karl Marks pr., Novosibirsk, 630073, Russian Federation

ABSTRACT. PURPOSE. Construction of the random effect gamma degradation model results in the enlarged dimension of the vector of estimated parameters. Therefore, it is necessary to understand whether the introduction of the random effect allows to obtain more accurate estimates of model parameters or not. The paper compares the fixed effect and random effect gamma degradation models in terms of the estimation accuracy of their parameters. METHODS. The estimation accuracy of the highest likelihood of degradation model parameters is studied through the calculation of the Euclidean norm of the relative error of the obtained estimates for the different values of random effect based on the Monte-Carlo method. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The estimation accuracy of parameters is higher for the random effect degradation model with the increase of the random effect value. However, if unit-to-unit variability coefficient does not exceed 0.1, it is recommended to use the fixed effect degradation model for the higher estimation accuracy of model parameters. MAIN CONCLUSIONS. It is shown that the use of the random effect gamma degradation model is not advisable in the case of small sample volumes and an insignificant random effect.

Keywords: degradation process, gamma degradation model, random effect model, reliability, Monte Carlo method

Information about the article. Received April 13, 2018; accepted for publication May 15, 2018; available online June 29, 2018.

1Четвертакова Евгения Сергеевна, аспирант, e-mail: evgenia.chetvertakova@gmail.com Evgeniya S. Chetvertakova, Postgraduate student, e-mail: evgenia.chetvertakova@gmail.com

For citation. Chetvertakova E.S. Study of fixed effect and random effect gamma degradation models. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 6, pp. 120-128. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-6-120-128 (in Russian).

Введение

Разработка высоконадежных систем требует наличия составных частей, обладающих высокой надежностью, сохраняющейся на этом уровне в течение длительного времени. При этом сроки разработки систем являются ограниченными, что налагает жесткие ограничения на продолжительность испытаний. Как правило, для прогнозирования надежности изделий в течение реальных сроков их эксплуатации используют цензурированные данные, причем число наблюдавшихся отказов может быть невелико, что сильно ограничивает точность и надежность любых прогнозов. В этой связи актуальным подходом к оценке надежности является использование информации о процессах деградации изделий. Измерения деградационных процессов, когда они возможны, зачастую содержат больше полезной информации для оценки и повышения надежности продукции, нежели данные о наработках до отказа.

Большую распространенность в задачах анализа реальных данных получила деграда-ционная гамма-модель, в которой приращения деградационного показателя имеют гамма-распределение. Например, в [1] с использованием гамма-модели исследуется износ автомобильных шин в зависимости от различных стрессовых факторов. На примере анализа надежности арсенид-галлиевых лазеров сравнивается эффективность деградационных гамма- и винеров-ской моделей в [2-4]. Также различные виды деградационных моделей на основе гамма-распределения представлены в работе [5-10]. Гамма-распределение является устойчивым относительно суммирования, за счет чего можно легко определить распределение исследуемой случайной величины - показателя деградации в заданный момент времени - и оценить вероятность безотказной работы.

В деградационном анализе термин «случайный эффект» позволяет описывать разброс значений показателя деградации от объекта к объекту [11]. В [12-13] авторы рассматривают деградационную гамма-модель со случайным эффектом, при этом параметр масштаба является случайной величиной, имеющей гамма-распределение. Таким образом, при работе с моделью со случайным эффектом мы должны принимать во внимание распределение параметра масштаба. Предположим, что параметр масштаба действительно является случайной величиной из гамма-распределения. Тогда число неизвестных параметров модели возрастает по сравнению с количеством параметров для модели с фиксированным эффектом, вследствие чего при использовании модели со случайным эффектом точность оценивания будет падать. С другой стороны, если разброс измеряемых значений от объекта к объекту довольно велик, использование модели с фиксированным эффектом может оказаться нецелесообразным, а введение случайного эффекта в модель значительно повысит точность оценивания.

Таким образом, целью данной работы является сравнение относительной точности оценивания параметров деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами для различных объемов выборок и уровней разброса измеряемых значений от объекта к объекту.

В данной работе исследование точности оценок максимального правдоподобия рассматриваемых моделей проводится с использованием метода Монте-Карло. Далее рассматривается построение деградационной гамма-модели на примере анализа данных об арсенид-гал-лиевых лазерах [14].

Деградационная гамма-модель

Случайный процесс Z(t), характеризующий процесс деградации исследуемых изделий называется деградационным гамма-процессом с параметром формы v(t) и параметром масштаба а, если:

1) ¿(0) = 0;

2) 2 (г) является случайным процессом с независимыми приращениями;

3) приращения А2— = ¿(г + А—) -¿(г) подчиняются гамма-распределению с функцией плотности:

Г г \Ак(—)-1 е-г/а I'ватта (^^АК—)) = [ —

а

г(Av(t)) '

где Av(t) = v(t + At) -v(t) - параметр формы и а> 0 - параметр масштаба.

Выбор гамма-распределения в качестве распределения приращений обусловлен тем, что данное распределение обладает свойством воспроизводимости по параметру (если случайные величины и ¿2 подчиняются гамма-распределению с параметром масштаба а и

параметрами формы Vl и v, соответственно, то их сумма ¿1 имеет гамма-распределение с тем же параметром масштаба и параметром формы, равным v1 + v2) [7].

Обозначим условное математическое ожидание случайного процесса 2(t) через

M (2 (t)) = m (t) ,

где m(t) = av(t) - положительная возрастающая функция. Будем называть ее функцией

тренда показателя деградации.

В качестве функции тренда может использоваться множество параметрических моделей. Наиболее популярные из них [15]:

- m (t; y ) = Yo + Yit; - m (t; y) = YotYl, Yo > 0, Yi > 0; - m(t; y) = Yo (l - e~tY1) - Yo > 0 , Yi > 0.

Время безотказной работы представляет собой следующую величину:

T = sup{/: Z(t) < z},

где 5 - критическое значение показателя деградации, при достижении которого фиксируется отказ объекта. Тогда функция надежности для рассматриваемой деградационной-гамма модели принимает следующий вид:

S(t) = Р{Т >t} = P{Z(t) < z} = FGamma j.

В [6] при построении деградационной гамма-модели разброс значений от объекта к объекту учитывается в параметре масштаба а, который представляет собой случайную величину,

имеющую гамма-распределение с параметрами 5 и в. И, в таком случае, функция надежности запишется как

S(t) = Р{Т >t} = P{Z(t) <z} - F(

Gamma

Пусть для каждого из п случайно отобранных из генеральной совокупности объектов известно изменение показателя деградации во времени в виде случайного процесса 21 (г),

г = 1, п.

Обозначим измерения показателя деградации для г -го объекта через

(0, 20 ),(г1, г/),...,^, ^), у = й,

где кг - это число измерений деградационного показателя во времени. Без потери общности

будем считать, что начальное значение показателя старения = 0, г = 1, п. Обозначим выборку приращений через

X = |X: = 21у - 21у_1, г = 1, п, у = 1, кг |.

Ы = 1X j = zj _ zj _l

Предполагая, что наблюдаемые случайные процессы 21 (t ), i = 1, n подчиняются деградационной гамма-модели со случайным эффектом, можно оценить неизвестные параметры модели, максимизируя логарифм функции правдоподобия:

п ki œ , , .

L(Xn) = п П 1 r[X)Av(t))r(®;£,0)dm =

i=lj=10

AÍV 7í Yi\Av(t)_l 1 1 в_1 Av(t) _Xj® _as,

П П I ( X j ) -—T———ñ® a e 1 e da =

П1П10( j> г(л.'«)г(в^-в

П П (xj)Av('H . ' ' î®Av(t)+«v(Xj+shd®

п п j г ( A v (t)) г (в) 8~в 1

i=l j=1

n ki ¡ ,\Av(t)_l 1 1 1

n ki (xj ) w s

=n п; /

Av(t)_l в

_l

in/ \Av(t)+вв_1 (Av(t);в),

1 j =1 ( Xj + ®) ()

где Г(), B(-, •) - гамма- и бета-функции Эйлера соответственно.

Исследование точности оценивания параметров деградационной гамма-модели

Вполне естественно, что процесс деградации развивается по-разному для различных объектов. Таким образом, кажется разумным построение деградационной модели со случайным эффектом. Однако выбор данной модели приводит к увеличению размерности задачи, так как помимо уже имеющихся параметров в модели добавляются параметры распределения, отвечающего за случайный эффект. Поэтому необходимо выяснить, позволяет ли введение случайного эффекта в модель получить более точные оценки параметров.

Сравним точность получения оценок параметров деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами для различных значений параметра ö, предварительно сгенерировав данные из модели со случайным эффектом. Пусть замеры по времени будут проводиться от 0 до 3500 равномерно с шагом 250, а заданное число тестируемых объектов n = 10.

Обозначим через ß вектор параметров модели. Будем сравнивать точность оценивания ß для рассматриваемых моделей путем вычисления Евклидовой нормы относительной погрешности получаемых оценок

У =

f ll -ll1 ls -ls Л

1l

Is

где 5 - размерность вектора параметров ¡л . Полученный результат усредним по М = 10000 выборкам:

-у М _

ш = — V ш., I = 1, М . * М

Для оценки величины случайного эффекта будем вычислять средний разброс значений тестируемых объектов относительно заданной функции тренда:

1 n i ki

d =1V1V

ni=l kij=l

Zj - m(tj)

m (tj)

Полученные значения относительной точности у оценок параметра ß в случае различных функций тренда для деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектами представлены в таблице.

Аналогичные результаты были получены для неравномерных замеров по времени, а также при увеличении числа тестируемых объектов.

Как можно увидеть из таблицы, с ростом значений показателя разброса d точность оценивания повышается для модели со случайным эффектом. Однако в случае, когда показатель разброса значений деградационного показателя относительно заданной функции тренда не превышает 0.1, т. е. в случае небольшого случайного эффекта, для достижения большей точности оценок параметров модели целесообразно использовать деградационную гамма-модель с фиксированным эффектом.

Примеры графиков изменения показателя деградации в случае деградационной гамма -модели со случайным эффектом для ситуаций, описанных выше в проведенных исследованиях, представлены на рис. 1-3. Как видно из значений показателя d, разброс значений пока-

зателя деградации от объекта к объекту растет при увеличении параметров случайного эффекта. Примеры графиков, иллюстрирующих изменение деградационного показателя для модели с фиксированным эффектом, представлены на рис. 4.

Относительная точность оценок параметров деградационных

гамма-моделей в случае различных функций тренда Relative estimation accuracy of gamma degradation model parameters

for different trend functions

Yt II (mt

Деградационная гамма-модель/ Gamma degradation model y = 0.5, б=l.o, e = 0.1 Y = 0.5, б = 0.5, e = 1.0 Y = 0.5, б = 2.0, e = 1.0

С фиксированным эффектом / fixed effect Y б e d Y б e d Y б e d

0.09 0.12 - 0.1 0.17 - 0.21 0.32 -

Со случайным эффектом / random effect 0.06 0.15 0.16 0.04 0.08 0.11 0.15 0.28 0.1 0.12 0.13 0.36

m (t ) = Yt2

С фиксированным эффектом / fixed effect y = o.l, б = l.o, e = o.l y = o.l, б = 0.5, e = 1.0 y = o.l, б = 2.0, e = 1.0

Y б e d Y б e d Y б e d

0.15 0.22 - 0.18 0.25 - 0.27 0.38 -

Со случайным эффектом / random effect 0.18 0.21 0.23 0.12 0.13 0.24 0.18 0.36 0.16 0.21 0.20 0.43

m (t ) = yJ

С фиксированным эффектом/ fixed effect y = o.l, б = l.o, e = o.l y = o.l, б = 0.5, e = 1.0 y = o.l, б = 2.0, e = 1.0

Y б e d Y б e d Y б e d

0.05 0.16 - 0.12 0.23 - 0.22 0.34 -

Со случайным эффектом/ random effect 0.09 0.13 0.22 0.40 0.10 0.15 0.19 0.95 0.12 0.10 0.20 1.29

Пример анализа данных об исследовании арсенид-галлиевых лазеров

Рассмотрим пример построения деградационной гамма-модели для данных о деградации арсенид-галлиевых (GaAs) лазеров [14, 15]. Данные лазеры представляют собой соединение галлия и мышьяка, применяются в медицине и телекоммуникационных системах. По мере старения эти устройства потребляют все больший ток для поддержания заданного уровня светового потока. Они снабжены устройствами обратной связи, поддерживающими постоянство светового потока. Устройство считается отказавшим, когда потребляемый ими ток на 10% превышает номинальное значение. Ускоренным испытаниям на надежность в течение 4000 часов при повышенной до 800С температуре окружающей среды было подвергнуто 15 лазеров. За время испытаний отказало 3 лазера. Отказы, отвечающие сформулированному выше крите-

рию, произошли при наработках 3374, 3521 и 3781 часов. Основываясь на значениях показателя деградации, полученных за время эксперимента, в качестве наиболее подходящей функции тренда была выбрана линейная функция.

В соответствии с предъявляемыми к ним требованиями, арсенид-галлиевые лазеры должны работать безотказно не менее 200 тысяч часов в течение 20 лет при температуре воздуха 20°^ Исходя из предшествующего опыта, инженеры полагали, что повышение температуры окружающей среды до 80°С ускоряет наступление отказов в 40 раз (консервативная оценка). Иными словами, для достижения требуемых показателей желательно оценить надежность при наработке 200000/40 = 5000 часов (эквивалент двадцатилетнего срока эксплуатации).

Рис. 1. Изменение показателя деградации модели со случайным эффектом при

s = 1.0, е = 0.1 Fig. 1. Variation of the degradation paths for the random effect gamma degradation model at

s = i.o, е = o.i

Рис. 2. Изменение показателя деградации модели со случайным эффектом при s = o.5, е = i.o Fig. 2. Variation of the degradation paths for the random effect gamma degradation model at s = 0.5, е = i.o

Рис. 3. Изменение показателя деградации модели со случайным эффектом при

s = 2.o, е = i.o Fig. 3. Variation of the degradation paths for the random effect gamma degradation model at

s = 2.o, е = i.o

Рис. 4. Изменение показателя деградации модели с фиксированным эффектом Fig. 4. Variation of the degradation paths for the fixed effect gamma degradation model

Для получения оценки надежности необходимо принять решение о выборе типа дегра-дационной модели: стоит ли в данном случае учитывать влияние случайного эффекта. Основываясь на результатах исследований, описанных в предыдущем разделе, получим значение коэффициента разброса значений деградационного показателя относительно заданной функции тренда й. Для данных об исследовании арсенид-галлиевых лазеров коэффициент (I ^ 0.089 < 0.1, что говорит нам о нецелесообразности применения здесь модели со случайным эффектом. Таким образом, мы приняли решение для дальнейшего анализа использовать деградационную гамма-модель с фиксированным эффектом вместо аналогичной модели со случайным эффектом:

fGamma (t;a,r)

rt-1 -tía

aJ

a

Г (rt ) '

где а - параметр масштаба, у - параметр тренда.

Для выбранной деградационной модели были получены следующие оценки параметров: а = 0.073 и у = 0.002. С учетом полученных значений параметров модели, оцененная вероятность безотказной работы (надежность) данных лазеров на момент времени 5000 часов равна 0.64.

Заключение

В данной статье рассмотрены вопросы построения деградационных гамма-моделей с фиксированным и случайным эффектами. Проведено сравнение точности оценок максимального правдоподобия параметров деградационных гамма-моделей со случайным и фиксированным эффектом для разных функций тренда, замеров по времени, объемов выборок и величин случайного эффекта. Показано, что с ростом показателя разброса значений деградации относительно заданной функции тренда точность оценивания параметров повышается для гамма -модели со случайным эффектом. Однако в случае, когда показатель разброса не превышает

0.1. для достижения большей точности оценок параметров модели целесообразно использовать деградационную гамма-модель с фиксированным эффектом. Также нами был рассмотрен пример построения деградационной гамма-модели при анализе данных об арсенид-галлиевых лазерах. В данном случае для получения более точных оценок параметров модели рекомендуется воспользоваться деградационной гамма-моделью с фиксированным эффектом.

Исследования выполнены при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках проектной части государственного задания (проект № 1.1009.2017/4.6).

Библиографический список

1. Антонов А.В., Никулин М.С. Статистические модели в теории надежности // М.: Абрис, 2012. 390 с.

2. Tsai C.-C., Tseng S.-T., Balakrishnan N. Mis-specification analyses of gamma and Wiener degradation processes // Journal of Statistical Planning and Inference. 2011. No. 12. P. 25-35.

3. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S., Sergeeva S.A., Osinceva E.A comparative analysis of the wiener, gamma and inverse gaussian degradation models // Applied methods of statistical analysis. Nonparametric methods in cybernetics and system analysis (AMSA'2017): proceedings of the International Workshop (Krasnoyarsk, 18 -22 September 2017). Krasnoyarsk, 2017. P. 160-167.

4. Wang X., Balakrishnan N., Guo B. Mis-specification Analyses of Nonlinear Wiener Process-based Degradation Models, Communications in Statistics - Simulation and Computation. 2016, 45. P. 814-832.

5. Zhang C., Lu X., Tan Y., Wang Y. Reliability demonstration methodology for products with Gamma Process by optimal accelerated degradation testing // Reliability Engineering and System Safety. 2015. Vol. 142. P. 369-377.

6. Tsai T.R., Sung W.Y., Lio Y.L., Chang S.I., Lu J.C. Optimal two-variable accelerated degradation test plan for gamma degradation processes // IEEE Transactions on Reliability. 2016. Vol. 65. No. 1. P. 459-468.

7. Чимитова Е.В., Четвертакова Е.С. Построение гамма деградационной модели надежности с учетом влияния объясняющих переменных // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 4(29). C. 51-60.

8. Wang X., Jiang P., Guo B., Cheng Z. Real-time Reliability Evaluation for an Individual Product Based on Change-point Gamma and Wiener Process // Quality and Reliability Engineering International. 2014. P. 513-525.

9. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S. Statistical degradation models for reliability analysis in non-destructive testing // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2017. Vol. 189. 6 p.

10. Ye Zh.-Sh., Xie M., Tang L.-Ch., Chen N. Semiparametric Estimation of Gamma Processes for Deteriorating Products // Technometrics. 2016. Vol. 56. No. 4. P. 504-513.

11. Tang S., Guo X., Yu C., Xue H., Zhou Z. Accelerated degradation tests modeling based on the nonlinear wiener process with random effects // Mathematical Problems in Engineering. 2014. 11 p.

12. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S. A comparison of the "fixed-effect" and "random-effect" gamma degradation models // Applied methods of statistical analysis. Nonparametric approach, AMSA'2015: proceedings of the international workshop (Novosibirsk 14-19 September 2015). Novosibirsk, 2015. P. 161-169.

13. Tsai C.C., Tseng S.T., Balakrishnan N. Optimal Design for Degradation Tests Based on Gamma Processes with Random Effects // IEEE Trans. Reliab. 2012. Vol. 61. P. 604-613.

14. Микер У.К., Доганаксой Н., Хан Дж. Дж. Использование данных о деградации для анализа надежности изделий // Методы менеджмента качества. 2009. № 4.

15. Nikulin M., Bagdonavicius V. Accelerated Life Models: Modeling and Statistical Analisys // Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. 2001. 334 p.

References

1. Antonov A.V., Nikulin M.S. Statisticheskie modeli v teoriinadezhnosti [Statistical Models in Reliability Theory]. Moscow: Abris Publ., 2012, 390 p. (In Russian).

2. Tsai C.-C., Tseng S.-T., Balakrishnan N. Mis-specification analyses of gamma and Wiener degradation processes. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011, no. 12, pp. 25-35.

3. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S., Sergeeva S.A., Osinceva E.A comparative analysis of the wiener, gamma and inverse gaussian degradation models. Applied methods of statistical analysis. Nonparametric methods in cybernetics and system analysis (AMSA\'2017): Proceedings of the International Workshop (Krasnoyarsk, 18-22 September 2017). Krasnoyarsk, 2017, pp. 160-167.

4. Wang X., Balakrishnan N., Guo B. Mis-specification Analyses of Nonlinear Wiener Process-based Degradation Models, Communications in Statistics - Simulation and Computation. 2016, 45, pp. 814-832.

5. Zhang C., Lu X., Tan Y., Wang Y. Reliability demonstration methodology for products with Gamma Process by optimal accelerated degradation testing. Reliability Engineering and System Safety, 2015, vol. 142, pp. 369-377.

6. Tsai T.R., Sung W.Y., Lio Y.L., Chang S.I., Lu J.C. Optimal two-variable accelerated degradation test plan for gamma degradation processes. IEEE Transactions on Reliability. 2016, vol. 65, no. 1, pp. 459-468.

7. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S. Construction of a gamma degradation model of reliability with regard to the explanatory variable effect. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science], 2014, no. 4(29). C. 51-60. (In Russian).

8. Wang X., Jiang P., Guo B., Cheng Z. Real-time Reliability Evaluation for an Individual Product Based on Change-point Gamma and Wiener Process. Quality and Reliability Engineering International, 2014, pp. 513-525.

9. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S. Statistical degradation models for reliability analysis in non-destructive testing. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2017, vol. 189, 6 p.

10. Ye Zh.-Sh., Xie M., Tang L.-Ch., Chen N. Semiparametric Estimation of Gamma Processes for Deteriorating Products. Technometrics, 2016, vol. 56, no. 4, pp. 504-513.

11. Tang S., Guo X., Yu C., Xue H., Zhou Z. Accelerated degradation tests modeling based on the nonlinear wiener process with random effects. Mathematical Problems in Engineering, 2014, 11 p.

12. Chimitova E.V., Chetvertakova E.S. A comparison of the "fixed-effect" and "random-effect" gamma degradation models. Applied methods of statistical analysis. Nonparametric approach, AMSA'2015: rroceedings of the inter national workshop (Novosibirsk 14-19 September 2015). Novosibirsk, 2015, pp. 161-169.

13. Tsai C.C., Tseng S.T., Balakrishnan N. Optimal Design for Degradation Tests Based on Gamma Processes with Random Effects. IEEE Trans. Reliab, 2012, vol. 61, pp. 604-613.

14. Miker U.K., Doganaksoj N., Han Dzh. Dzh. Use of degradation data for product reliability analysis. Metody menedzhmenta kachestva [Methods of Quality Management], 2009, no. 4. (In Russian).

15. Nikulin M., Bagdonavicius V. Accelerated Life Models: Modeling and Statistical Analysis. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2001, 334 p.

Критерии авторства

Четвеpтакова Е.С. имеет авторские пpава на pyw^^ и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Chetvertakova E.S. have author's rights on the manuscript and is responsible for plagiarism.

Конфликт интересов

Автоp заявляет об отсутствии конфликта интеpесов.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.