CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ФЛЮИДОНАСЫЩЕННЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЛАГРАНЖЕВО-ЭЙЛЕРОВА ПОДХОДА К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ. I. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ, ОСНОВНАЯ СИСТЕМА РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
Д.В. Бережной, А.И. Голованов , С.А. Мам,кип, Л. У. Султанов
Аннотация
Настоящая работа открывает цикл статей, посвященных построению вычислительного алгоритма исследования пеизотермического деформирования флюцдопасыщеппых пористых сред. В первой части цикла работ излагаются основные положения кинематики двухфазных сред с учетом произвольного лаграпжево-эйлерова подхода к описанию движения. Приводится основная система разрешающих и определяющих уравнений.
Ключевые слова: произвольный лаграпжево-эйлеров подход, пеизотермическое деформирование, флюидопасыщеппые пористые среды, вязкопластическое деформирование.
Введение
В механике континуума широкое распространение получили два основных подхода к описанию движения. Это разделение в подходах было перенесено и на численные приложения, которые появились в последние годы. Однако подходы Лагранжа и Эйлера при численном исследовании поведения континуума имеют определенные ограничения. Например, для лагранжевого подхода любая точка, в которой определяют характеристики механического процесса, непосредственно связана с материальной частицей. Поэтому чрезмерная деформация расчетной области неизменно ведет к чрезмерной деформации сетки. С другой стороны, эйлеровы сетки определяются непосредственными точками в пространстве, поэтому значительное движение континуума на границе не может быть объяснено точно. Кроме того, большие трудности возникают, когда при описании деформирования флюидонасыщенной пористой матрицы полагают, что движение жидкости описывается по Эйлеру, а движение скелета по Лагранжу. Чтобы объединить преимущества этих подходов и преодолеть ограничения, налагаемые ими. был предложен произвольный лаграпжево-эйлеров подход (ALE). Подобный подход хорошо представлен в доступных источниках, в частности, можно отметить работы [1 6] или более поздние [7 13].
Настоящая статья посвящена выводу уравнений, описывающих процесс неизотермического деформирования флюидонасыщенной пористой матрицы. Рассмотрен случай квазистатического деформирования, когда инерционными слагаемыми можно пренебречь.
Для описания процесса деформирования используется произвольная лагран-жево-эйлерова постановка. Поведение материальной точки пористой матрицы (элементарного объема) отслеживается в соответствии с лаграижевым методом описания среды, а процесс фильтрации описывается на основе подхода Эйлера.
1. Кинематика среды
Рассмотрим точку Ш\, положение которой определяется ради ус-вектором ¿И, в текущей конфигурации ¿П (рис. 1).
Пусть в этой точке в момент времени £ находилась материальная частица скелета грунта и материальная частица жидкой фракции. Через бесконечно малый промежуток времени ДЬ материальная частица скелета грунта переместится в точку М2, положение которой определит радиус-вектор в конфигурации
• А материальная частица жидкости переместится в точку Мз, положение которой определит радиус-вектор ¿+ы И/ в конфигурации í+ДíП ■ Движение материальной частицы будем считать базовым, поэтому для упрощения записи обозначим = Положение точек М2 и Мз с точностью до бесконечно малых можно определить из соотношений
г+дгИ = ¿К + ДЬ ¿и8 = ¿К + ДЬ ,
где и ¿и^ - скорости материальных частиц скелета грунта и жидкости, находящихся в момент времени Ь в положении М\ текущей конфигурации ¿П. Различие положений материальных точек скелета грунта и фильтрующейся жидкости можно выразить в виде
Д4+Д4К/ = г+дг& - г+ДгК = ДЬ (ги/ - ¿и8).
В дифференциалах это соотношение примет вид
сЦ+дК = Л - ¿и8).
Радиус-вектор ¿И представим в виде разложения по ортам базиса е^:
= хн(Ь) е».
Ь
определится как
¿и8 = ¿К.
2. Разрешающие уравнения
Напряженное состояние описывается тотальными напряжениями aj > причем согласно принципу напряжений Терцаги тотальные напряжения в грунте принимаются равными
„tot с 7->
CTij = - Óií
где P - давление в жидкой фазе, aj — эффективные напряжения в грунте. Уравнение равновесия для грунта в целом имеет вид
dfftf
-JJ- ' /•.■/'"':■• «'• (1)
где р = т pf + (1 — m) ps - осредненная плотность породы коллектора, g = д e3 -ускорение свободного падения, Xi - глобальные декартовы координаты текущего (актуального) состояния, ei - орты глобальной декартовой системы координат, индексы s и f соответствуют параметрам скелета грунта и жидкости, через m обозначается пористость.
Запишем вариационную форму уравнения равновесия (1) в следующем виде:
J CTÍot Sdij dQ = j a*Svs dS + j Si3gpSvS dQ, (2)
П n
1 f 8vs 8vS \
где dij = - —— + деформации скорости частиц скелета грунта, aj
2 \oxj dxi j
заданные величины тотальных напряжений на Sa .
Линеаризовав уравнение (2), можно получить вариационное уравнение равновесия в скоростях напряжений
CTj Sdij + ст tOt Sdij + ст tOt div us SuS
dQ —
- У Р$г39 ^у и8 dQ - ! [а* + а*и8] dS = 0. (3) п
Уравнения баланса масс запишем отдельно для каждой фазы грунта [14]. Для скелета грунта уравнение баланса масс примет вид д
— {(1 -т)р8} + (I- т.) р8 (ИчVе = 0. (4)
дЬ
Уравнения баланса масс для жидкой фазы примет вид
— {т р?} + т р^ (\хч Vя + (Ну {тр? (V? — Vя)} = 0. (5)
Разделив уравнение баланса массы твердой фазы на ря, преобразуем уравнение (4) к виду
д 1 др8
— (1 - т) + (1 - т)--1— + (1 - т) (Иуи8 = 0. (6)
дЬ ря дЬ
Аналогичные преобразования уравнения (5) приведут к уравнению
дт 1 dpf
+ т —7 -¡---Ь пгdivvs + gradт(v? — иs)+
dt pf dt
+ m gTadpf (vf _ v») + 777,div (yf - vs) = 0. (7) f
pf
Складываем соотношения (6) и (7) и после некоторых преобразований получаем
. 1 Эр8 1 Эр? ?гаё р? . , 1 - ш — 4гг + ™-г4гт + т {у? -у8)+
р8 ЭЬ р? ЭЬ р>
+ и8 + {т(и? - и8)} = 0. (8) Уравнение состояния для материала твердой фазы имеет вид
Г /•-(! ""/Г (9)
где в8 и а8 ~ упругоемкость и коэффициент температурного расширения минеральных частиц скелета грунта, Т - отклонение температуры. Истинные напряжения в минеральных частицах грунта а^ определяются через поровое давление и эффективные напряжения из соотношения
а?! = (1 - т)К- + Р). (10)
Уравнение состояния для жидкой фазы имеет подобный вид
р? = р?(1+ в?Р - а?Т), (И)
где в? и а? - упругоемкость и коэффициент температурного расширения жидкой фазы.
Запишем в скоростях определяющий закон для деформаций и эффективных напряжений
К - ^С + 2Сс1и + Г к />Л;; - а8 КТ, (12)
который аналогичен закону тсрмоупругости, и включает дополнительно линейный пороупругий эффект, где О - модуль сдвига грунта, К - модуль объемного расширения.
Уравнения (9) (12) позволяют переписать уравнение (8) в виде
{(1 - т)/38 - К{/38)2}^- + т/З^ + (-и1 - V8) + (1 - К/38) (Ну г>8+
ЭЬ ЭЬ р>
ЭТ / Яв К \ ЭТ
+ -V8)}-а8(1- т)— М + ^^у ) - ^т— = 0. (13)
Грунты определяются условием малости отношения сжимаемостей
в8 К < 1,
вследствие чего уравнение (13) упростится {(1 - т)/38 + тр!}^ + {у1 - г>8)+
+ (Нуг>8 -V8)} - {(1 - т)а8 + то/} ^ = 0. (14)
ЭЬ
Вводя осредненную упругоемкость
тв8? = (1 - т)в8 + тв?
и коэффициент теплового расширения
таь1 = (1 — т)ая + та1, уравнение (14) можно упростить до вида
т/З^^г- + (г^ - Vя) + Vя + (НУ - V8)} - = 0.
дЬ р1 дЬ
Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведенных скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарен Герсеванова:
к
т.(у} -V8) = —-^гаАР - (15)
р
Подставляя (15) в (14). получим уравнение иьезопроводности
т133}дР _ етак р _ , + дЬ р1 р
(к 1 дТ
- (Ну - ^гаЛР - /э/g) \ - т,а8}— = 0. (16)
I р I дь
Тогда вариационное уравнение пьезоироводности будет иметь вид:
5Р<Ю,+
т/3~ёТ6]Ьс1П ~
gгad р1 к
— - ^гаЛ Р - р}g)
Р1 Р
+ J divvs 5Р(К1 - J 6Р<13 - ! -^га АР - /э/g)div (6Р) сЮ = 0, (17)
П Бн П
где _ заданный градиент напора на Ян ■
Считая отклонения температуры от начальной при термическом воздействии не слишком большими, будем предполагать справедливым закон теплопроводности Фурье. В предположении малости энергии диссипации при вязкопластическом деформировании уравнение теплопроводности для всего грунта в целом примет вид:
¿{[(1 - + пгр^Т} + сНУ {[(1 - г>* + т^ =
= div { [(1 — т) Ая + т\1 ] gradТ} ,
где е\ с1 и А\ А1 - коэффициенты теплоемкости и теплопроводности скелета грунта и жидкости соответственно.
После некоторых преобразований из последнего уравнения можно получить уравнение теплопроводности
4-{сТ} + div {си8 + 1пр}{V* - vs)}T = div {\graAT}, дЬ
или
^-{сТ} + (Ну {С1Т} = (Ну {\graAT}, (18)
дЬ
где с = (1 — т)ряся + тр1 с1 — средняя теплоемкость грунта, А = (1 — т)Ая + тА1 -средняя теплопроводность грунта, = сия + тр1 с1 (и1 — ия).
т
т = (1 — т)^ и8 — р8 Р + а8Т).
3. Определяющие соотношения
Запишем уравнения состояния пористой упруго-вязко-пластической среды. Скорость деформаций можно представить в виде суммы девиаторной ¿Ц и шаровой ¿0 частей:
¿ц = ¿ц + 5 ц с!о,
¿0 = , ¿Ц = с!ц — 5ц ¿о. Согласно принципу аддитивности деформаций запишем
! • = !е- + + ¿р +
где индексы е, Т, р и с соответствуют параметрам упругого, температурного, пластического и вязкого состояний. Тогда подобные соотношения можно записать для девиаторной и шаровой частей тензора скоростей деформаций в виде
¿ц = ! ц + ! т + ! р + ! с,
¿0 = ¿0 + ¿т + ¿р + ¿0- (19)
Будем считать, что соотношения для шаровых тензоров и девиаторов эффективных напряжений и деформации скорости независимы. В этом случае для упругих деформаций в случае изотропного грунта определяющие соотношения примут вид:
^ = ш - 1ГР' ^ = (20)
где - шаровая часть тензора эффективных напряжений, а'0 - девпатор тензора эффективных напряжений.
Считая, что при изменении температуры будут изменяться только линейные деформации, для температурных деформаций имеем:
= <1%=0, (21)
Для описания вязкого поведения пористой матрицы примем закон Кельвина Фойгта, тогда для скоростей вязких деформаций можно записать
¿8 = <1% = п*%, (22)
где п0 и П ~ соответствующие коэффициенты вязкости.
В процессе моделирования грунтов [15, 16] вводят специальные характеристики прочности, которые определяют их несущую способность. К ним относятся сцепление с*, которое характеризует прочность грунтовой среды на срез при отсутствии сжимающих напряжений; угол внутреннего трения у*, который характеризует повышение прочности на сдвиг при всестороннем сжатии; коэффициент дилатансии Л, который характеризует разрыхление или уплотнение грунта при девпаторном нагружении. В этом случае соотношения для скоростей пластических деформаций можно записать в виде
4 = (с* - а«Ьё<р*) Л, д!% = Аа%. (23)
Условием возникновения предельного состояния будет являться соотношение
а^ = с* — а0е( tg у*,
где
2 (ст^) = о mna
mn mn'
Для принятой модели параметр А определяется в виде
А = р + [3 da + ßsP ~ asT - ,yo4f] ± tg у* - 2,y<f ,
где
i? = 2<f + 2(c*
Используя соотношения (19) (23) получим определяющие соотношения для скоростей эффективных напряжений:
а ' j = 2G (d'ij - А a'j - ' j , 3d0 - asf T - no - 2Л А (с* - of tg у*)] + Kpsf P.
= K
Далее с помощью следующего соотношения определяем скорость тотальных напряжений
•tot • ef с г> crij = СГij - Öii P'
которые фигурируют в уравнении (3).
Заключение
Таким образом, построена система разрешающих уравнений, описывающая процесс квазистатического деформирования пористых грунтовых сред сложной физической природы при фильтрации в них нефтеводяной смеси с учетом термического воздействия. Для описания процесса деформирования используется комбинированная лагранжево-эйлерова постановка. Связь между напряжениями в разных фазах определяется принципом напряжений Терцагп. Закон фильтрации записывается по отношению к разности приведенных скоростей жидкости и скелета грунта в форме Дарси Герсеваиова.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект А*1' 08-01-00546а).
Summary
D. V. Berezhnui,
A.I. Golovanov
S.A. Malkin, L.U. Sultanov. Investigation of Deformation of Fluid-Saturated Media in Terms of Arbitrary Lagrangian-Eulerian Formulation of Motion. I. Kinematics and Resolving Equations.
The present article starts a series of papers devoted to the development of a numerical algorithm for researching nonisot.hermal deformation of fluid-sat.urat.ed porous media. The first, part, discusses the principal regulations of t.wo-pliase media kinematics taking into account, the arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation of motion and gives the basic set. of resolving and determinative equations.
Key words: arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation, nonisot.hermic deformation, fluid-saturated porous media, viscoplast.icit.y.
Литература
1. Donea J., Fasuli-Stella P., Giuliani S. Lagrangian and Eulerian finite element techniques for transient fiuid-st.ruct.ure interaction problems // Trans. 4t.li Int.. Conf. 011 Structural Mechanics in Reactor Technology. V. B: Thermal and Fluid/Structure Dynamics Analysis / Eds. T.A. Jaeger. B.A. Boley. Amsterdam: North-Holland Publ. Сотр.. 1977. Paper В1/2. P. 1 12.
2. Belytsehko Т., Kennedy J.M. Computer models for subassembly simulation // Nucl. Engrg. Des. 1978. V. 49. P. 17 38.
3. Donea J. Finite element, analysis of transient, dynamic fiuid-st.ruct.ure interaction // Donea J. (od.) Advanced Structural Dynamics. London: Appl. Sei. Publ.. 1980. P. 255 290.
4. Donea J. Arbitrary Lagrangian Eulerian finite element, methods // Belytsehko Т.. Hughes T.J.R. (Eds.) Computer Methods for Transient. Analysis. Elsevier Sei. Publ.. 1983. P. 473 516.
5. Hughes T.J.R., Liu W.K., Zimmermann Т.К. Lagrangian-Eulerian finite element, formulation for viscous Hows // Comput.. Methods Appl. Mecli. Engrg. 1981. V. 29. P. 329 349.
6. Liu W.K. Finite element, procedures for fiuid-st.ruct.ure interactions and application to liquid storage tanks // Nucl. Engrg. Des. 1981. V. 65. P. 221 238.
7. Huerta A., Casadei F. New ALE application in non-linear fast-transient, solid dynamics // Engrg. Comput.. 1994. V. 11. P. 317 345.
8. Belytsehko T. , Liu W.K., Mortui В. Nonlinear Finite Elements for Cont.inua and Structures. Chichester: John Wiley & Sons, 2000. 650 p.
9. Wall W.A. Fluid-St.rukt.ur-Int.erakt.ion mit. stabilisierten Finit.en Elementen: Ph.D. Thesis. Bericht, des Instituts fur Baust.at.ik Nr. 31, Universität. Stuttgart.. 1999.
10. Braess H., Wriggers P. Arbitrary Lagrangian Eulerian finite element, analysis for free surface How // Comput.. Methods Appl. Mecli. Engrg. 2000. V. 190. P. 95 109.
11. Rodriguez-Ferran A., Perez-Foguet A., Huerta A. Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation for hyperelast.oplacit.cit.y // Int.. J. Numer. Methods Engrg. 2002. V. 53. P. 1831 1851.
12. Donea J., Huerta A. Finite Element. Methods for Flow Problems. Chichester. New York: John Wiley & Sons, 2003. 350 p.
13. Kühl E. , Hulshoff S., de Borst R. An arbitrary Lagrangian Eulerian finite-element, approach for fiuid-st.ruct.ure interaction phenomena // Int.. J. Numer. Methods Engrg. 2003. V. 57 P. 117 142.
14. За/рецкий Ю.К. Лекции по современной механике грунтов. Ростов п/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1989. 607 с.
15. Те.рцаги К. Теоретическая механика грунтов. М.: Стройиздат. 1961. 507 с.
16. Николаевский В.Н. Геомехапика и флюидодипамика. М.: Недра, 1996. 448 с.
Поступила в редакцию 23.12.09
Бережной Дмитрий Валерьевич кандидат физико-математических паук, доцент кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаП: Drnitri.Berezhnoieksu.ru
Голованов Александр Иванович доктор физико-математических паук, профессор кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Малкин Сергей Александрович кандидат физико-математических паук, старший преподаватель кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Султанов Ленар Усманович кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаП: Lenar.SultanovQksu.ru
