CC BY
58
2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.63:517.958
О. И. Дривотин, Н. В. Овсянников
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА С ПОМОЩЬЮ ЕГО ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ*
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Рассматриваются численные методы решения уравнения Власова, построенные на основе метода крупных частиц. Для оценки точности численного решения использованы известные решения уравнения Власова. Такой подход позволяет определять оптимальные соотношения параметров численного метода для достижения наибольшей эффективности алгоритма. Библиогр. 15 назв. Ил. 3. Табл. 2.
Ключевые слова: уравнение Власова, система Власова—Пуассона, пучок заряженных частиц, самосогласованные распределения, метод крупных частиц, адаптивные сеточные методы.
O. I. Drivotin, N. V. Ovsyannikov
INVESTIGATION OF NUMERICAL METHODS FOR SOLVING THE VLASOV EQUATION BY ITS EXACT SOLUTIONS
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
Numerical methods for solving the Vlasov equation for a charged particle beam based on the method of macroparticles are considered. For solving of the boundary problem for the self field of a beam, an adaptive grid method is applied. This method gives a possibility to increase accuracy of computations. To estimate the accuracy of a numerical solution, known solutions of the Vlasov equation are used. Such approach enables us to determine optimal relations between numerical method parameters to achieve the most efficiency of the algorithm. Refs 15. Figs 3. Tables 2.
Keywords: the Vlasov equation, the Vlasov—Poisson system, charged particle beam, self-consistent distributions, the method of macroparticles, adaptive grid methods.
Введение. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц обычно осуществляется на основе численного решения уравнения Власова, описывающего
Дривотин Олег Игоревич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: o.drivotin@spbu.ru
Овсянников Николай Валерьевич — аспирант; e-mail: n_v_ovsyannikov@mail.ru
Drivotin Oleg Igorevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: o.drivotin@spbu.ru
Ovsyannikov Nikolay Valeryevich — post-graduate student; e-mail: n_v_ovsyannikov@mail.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант № 9.38.673.2013).
пучок. Одним из методов численного решения является метод крупных частиц, когда непрерывное распределение в фазовом пространстве моделируется при помощи дискретного распределения, представляющего собой набор крупных частиц, взаимодействующих между собой [1, 2].
В начальный момент задаются положения крупных частиц в фазовом пространстве. Затем уравнения динамики крупных частиц интегрируются с учетом их взаимодействия. При расчете взаимодействия можно использовать различные численные методы решения уравнений электромагнитного поля, которые в рассматриваемом случае сводятся к уравнению Пуассона.
Таким образом, численный метод решения определяется набором нескольких параметров: общее количество крупных частиц, параметры метода численного интегрирования уравнений динамики и параметры метода численного решения уравнений электромагнитного поля.
Поскольку численное решение требует большого объема вычислений, представляет интерес подобрать такие комбинации параметров, которые позволили бы повысить эффективность метода. Если известно точное решение, то можно рассчитать погрешность, которую дает численный метод, и, сравнивая различные наборы параметров, выбрать оптимальный. В настоящей работе при исследовании численных методов использовано точное решение для пучка заряженных частиц, найденное в работе [3].
Решения уравнения Власова для пучка заряженных частиц. Будем рассматривать стационарные решения для аксиально-симметричного продольно однородного пучка заряженных частиц в однородном продольном магнитном поле [3-12]. Стационарность, аксиальная симметрия и продольная однородность означают, что фазовая плотность частиц не зависит от времени Ь, азимутального угла ф и продольной координаты Будем считать, что продольная скорость одинакова для всех частиц пучка, а поперечные компоненты скорости много меньше .
Таким образом, фазовая плотность должна быть задана в четырехмерном фазовом пространстве поперечного движения, точка которого характеризуется парой х, V. Будем следовать развитому в работах [13, 14] подходу, в рамках которого фазовая плотность может описываться дифференциальными формами различных степеней. Рассмотрим распределения, которые описываются формой максимальной, т. е. четвертой, степени. При этом уравнение Власова может быть записано таким образом:
дп дп е дх дv т
ди .
0.
Здесь п = п(Ь, х, V) — единственная компонента формы фазовой плотности в координатах х,у,ух,уу, а е и т — заряд и масса частицы соответственно. Под v(дn/дx) понимается ух(дп/дх) + уу (дп/ду) + (дп/дг). Аналогичный смысл имеет и второй член.
Далее, и(х) — потенциал собственного поля пучка, удовлетворяющий уравнению Пуассона и краевым условиям
Дм = —е—, м |г= 0.
£0
В них р(х) = / п(х, v)dv — плотность частиц в конфигурационном пространстве, £0 — электрическая постоянная, а Г — граница области, где распространяется пучок, которая предполагается также однородной вдоль оси г. Будем считать, что Г — цилиндрическая поверхность, сечениями которой — плоскостями, перпендикулярными
оси г, — являются окружности радиуса Я с центрами на оси пучка. Если задана сила тока пучка I, то для плотности частиц можно использовать следующую нормировку:
/р(х)скх. = [ п(х, =-.
]
Характеристические линии уравнения Власова можно рассматривать как траектории движения частиц в самосогласованном поле. При этом интегралы движения можно записать в виде [3-12]
М = т2(ф + шо), (1)
Н = т2 + иО^т2 +
М2
- 2еп(т),
(2)
где М и Н — азимутальная компонента импульса и энергия поперечного движения частицы (с точностью до множителя ); е = е/т; шо = еВг/(2т).
В работах [3-12] было показано, что если частицы равномерно распределены по фазам траекторий, то плотность распределения частиц в пространстве интегралов движения, которую обозначим через I(М,Н), однозначно определяет фазовую плотность частиц стационарного пучка. Были найдены различные плотности в пространстве интегралов движения I(М, Н), которым соответствуют решения уравнения Власова, описываемые как формами высшей степени, так и вырожденные.
Для ограниченного по радиусу, т ^ Я, и равномерно заряженного пучка [5-12] пространство интегралов движения П определяется неравенствами
М2
2ш\М\ < Н < — + си2В2. Я2
(3)
Оно представлено на рис. 1.
Одно из решений, описываемое формой четвертой степени, характеризуется следующей плотностью в пространстве интегралов движения:
0
М
I (М,Н)
про
Рис. 1. Пространство интегралов движения М и Н
2ш2^М2 - НИ2 + и;2НА
(4)
В (4) и2 = - \/Я2, А = е1 /(2пе0туг), д0 — плотность распределения частиц по сечению пучка, которая в данном случае однородна.
Численное моделирование плотности распределения частиц. Для задания начального распределения удобно перейти к таким координатам, в которых единственная компонента фазовой плотности постоянна. Покажем, что в качестве таких координат можно взять М, у, фазу траектории в и некоторую величину у, которую можно выразить через М, Н, у, в.
Поскольку
у, в е [0, 2п], (5)
компонента формы плотности в координатах М, Н, у, в равна
пыи^в
1
ро
8тго;2 л/М2 - ЯД2 + ш2Я4
2
т
Записывая закон преобразования компоненты дифференциальной формы плотности при переходе к данным координатам, получим дифференциальное уравнение для координаты у
ду
пМу1рв~оц — п-мн^е-
Компонента пму^в определена с точностью до нормировочного множителя. Поэтому в качестве искомой координаты у можно взять
у = -л/М2 - НВ2 + ш2НА. Учитывая неравенства (3), находим, что координата у удовлетворяет неравенствам
»<0, ,„
Таким образом, задание начального распределения состоит в разыгрывании случайной величины (М, у, в), равномерно распределенной внутри области, определяемой условиями (5), (6).
Для равномерно заряженного пучка потенциал и(г) — квадратичная функция радиальной координаты г: и(т) = и(0) — д0т2/(4е). Тогда уравнение радиального движения (2) может быть проинтегрировано. Действительно, выбирая г в виде
V2
имеем
г = Цг - Scos2e, S= Л^Я2 -4uj2M2, (7)
Su sin 20
(8)
А/2 л/H/uj2 -Scos2в'
Подставляя (7), (8) в (2), видим, что уравнение (2) удовлетворяется.
Азимутальная скорость ф определяется из уравнения (1):
ф = M/r2 - (9)
Используя также ф, из выражений (7)—(9) находим декартовы координаты начального положения и декартовы компоненты начальной скорости, которые и берутся как начальные условия при интегрировании уравнений динамики крупных частиц.
Вычисление поля. В качестве основного метода вычисления поля взят сеточный метод конечных разностей. Расчетная область разбивается на квадратные ячейки. Выбор в пользу прямоугольной сетки обусловлен тем, что программная реализация указанного метода значительно проще по сравнению с методом конечных элементов. Кроме того, такой подход был применен для решения проблемы, возникающей при моделировании решений уравнения Власова для пучка заряженных частиц, определенных в работах [3-12]. Эта проблема заключается в резком изменении плотности частиц на границе пучка, что приводит к накоплению погрешности вычислений для приграничных узлов. Чтобы уменьшить погрешность, был предложен адаптивный метод решения краевой задачи для уравнения Пуассона [15], представляющий собой модификацию метода конечных разностей и предполагающий использование на начальном этапе исходной регулярной сетки.
-¡Ти^-
—о—о——Р—
г,3
Опишем алгоритм нахождения потенциала поля для случая сетки с локальным измельчением. Сначала строится регулярная расчетная сетка первого приближения. Затем объемный заряд распределяется в сеточные узлы следующим образом. Для каждой из частиц определяется ячейка, в которую попала эта частица. Для всех узлов, лежащих на границе данной ячейки, плотность заряда, которая к нему приписана, увеличивается на величину
Рис. 2. Узлы исходной регулярной сетки 1 — ячейка, содержащая границу пучка; 2 — ячейка внутри пучка. Белыми квадратами обозначены узлы, в которых плотность для моделируемого решения отлична от нуля. Граница пучка изображена в виде окружности.
5р1 = К1/(Шг Б),
где К = ¿,
-1
7-1
¿Ь
1,
, 4, — расстоя-
4
7 £
г=1
ния от частицы до соответствующего узла; г — номер узла; Б — площадь ячейки; N — общее число крупных частиц.
Если граница пучка проходит через рассматриваемую ячейку (рис. 2), то, согласно приведенному алгоритму, часть плотности будет приписана узлам, в которых заряда не должно быть. В результате вычисленные значения напряженности поля на границе пучка по абсолютной величине будут всегда меньше теоретических. Для уменьшения погрешности и был использован адаптивный метод, позволяющий более точно описать распределение плотности.
После того как плотности в узлах найдены, методом релаксации рассчитываются узловые значения потенциала пгц, где г,] — индексы узла. Кроме того, для каждого узла вычисляется критерий точности [15], в зависимости от величины которого происходит дробление сетки в окрестности этого узла. Если значение критерия меньше допустимого, то дальнейшее дробление сетки не производится. Для тех узлов, которые не прилегают к границе области или к границе дробления, критерий имеет следующий вид:
Пг-2,ц — 2пг-1ц — Пг+2,ц + 2>Щ+1,.
+
Пгц-2 — 2щц-1 — Щц+2 +
Если узлы прилегают к границе области или к границе дробления, то имеются различные варианты критерия, зависящие от положения границы относительно рассматриваемого узла. Так, если узел прилегает с двух сторон к границе дробления, то для одного из вариантов прилегания критерий можно записать как
= \Пг+2,Ц — 3щ+1ц + 3щц — П—1ц | + \щц+2 — 3Щц+1 + — Щц-1\ ,
если узел прилегает к границе дробления с одной стороны, то один из вариатов критерия имеет вид
=
щ-2,] ~ 2щ— щ+2^ +
+ \пг,ц+2 — + 3щц — Щц-1\.
После этого распределение плотности заряда происходит уже по узлам адаптивной сетки, которая строится при помощи формирования четырех новых ячеек вокруг узла, не удовлетворяющего критерию точности. В таком случае при расчете потенциала для всех узлов используется обычная схема с пятью узлами. Снова вычисляются значения критерия [15]. Если полученные оценки не удовлетворяют заданной точности, то процесс повторяется заново.
Компоненты напряженности электрического поля определяются по следующему правилу. Для каждой частицы находится ближайший сеточный узел. Затем в нем строится кусочно линейная интерполяция
Уп У
«0-
«-0 «00 «+0
Н «0+ -г 1 1 1 1 1
1 1
Рис. 3. Построение кусочно-линейной интерполяции по значениям в ближайшем узле
Ех ах ахХ(х Хп ^ Еу ау ауу(у уп)1
где х,у — координаты частицы; хп,уп — координаты узла. Выражения ах, ахх и ау,
уу
вычисляются через соседние узловые значения (рис. 3):
_ и+р - 2црр + и-о
(!.г.г I (,л
_ ир+ - 2црр + ир-о,уу — 2 , ау
и+о ~и—о 2 /?.
ир+ - ир-2 Н
Полученные значения компонент напряженностей подставляются в уравнения динамики
х = -х,
у = Уу, Ух = пЕх + -у (2шо/ш), Vу = пЕу - -х{2шо/ш),
в которых п = е/(тш2Я).
Интегрирование осуществляется при помощи метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Результаты исследования. Результаты численного решения уравнения Власова, полученные в настоящей работе, представляют собой дискретные распределения. В связи с трудностями оценки того, насколько то или иное дискретное распределение отличается от непрерывного распределения, для которого оно является аппроксимацией, оценка погрешности численного решения рассчитывалась по вычисленным узловым значениям потенциала электрического поля «^. Применялась среднеквадратичная оценка погрешности
5и = \ - и(щ>з^))2/М.
Здесь и(хг,з) — значение потенциала для рассматриваемого точного решения уравнения Власова, М — общее количество узлов, а суммирование производится по всем узлам, где вычисляется электрическое поле.
У
х
хп х
В тестовой задаче моделировался пучок протонов в канале транспортировки. Были взяты следующие параметры структуры: ток пучка I = 1 Л, продольная скорость = 4 • 104 м/с, магнитное поле Бг = 2 Тл, радиус пучка К = 1 см, длина канала Ь = 20 см.
В табл. 1 и 2 представлены величины относительной среднеквадратичной погрешности 5п, полученные для равномерной и адаптивной сеток соответственно.
Они позволяют сравнить различные комбинации параметров и выбрать лучшую с точки зрения эффективности. Так, если требуется погрешность 1 • 10~3, можно ограничиться числом крупных частиц N = 105, числом узлов М = 1521 и шагом интегрирования Н = 7 • 10~2 для регулярной сетки. При этом повышение какого-либо из параметров не дает существенного улучшения точности. Для достижения погрешности 3 • 10~4 требуется увеличить число частиц до N = 106, а число узлов — до М = 6421.
Адаптивная сетка дает улучшение, если число частиц не слишком велико. Так, погрешности 1 • 10~3 можно достичь для адаптивной сетки с числом крупных частиц N = 105, числом узлов М = 608, что существенно меньше, чем для регулярной сетки, и шагом интегрирования Н = 7 • 10~2.
Таблица 1. Среднеквадратичная погрешность вычисления потенциала электрического поля 5п для равномерной сетки
N | М = 81 | М = 361 | М = 1521 | М = 6241
/1=7 - 10-'2
103 1.25 • 10~2 0.79 • 10~2 0.85 • 10~2 1.39 • 10~2
104 0.86 • 10"^ 0.35 • 10"^ 0.28 • 10"^ 0.30 • 10"^
10ь 0.84 • 10-'2 0.32 • 10-'2 0.09 • 10-'2 0.06 • ю-'2
10ь 0.84 • 10-'2 о.зз • ю-'2 0.08 • 10-'2 0.03 • ю-'2
/1=7 - 10~л
10л 1.24 • 10"^ 0.90 • 10"^ 0.91 • 10"^ 0.89 • 10"^
104 0.87 • 10-'2 0.33 • ю-'2 0.27 • 10-'2 0.27 • 10-'2
10ь 0.84 • 10-'2 0.33 • ю-'2 0.09 • 10-'2 0.06 • ю-'2
10ь 0.84 • 10"^ 0.33 • 10"^ 0.07 • 10"^ 0.02 • 10"^
Таблица 2. Среднеквадратичная погрешность вычисления потенциала электрического поля 5п для адаптивной сетки с одним дроблением
N | М = 205 | М = 608 | М = 2380 | М = 9382
Н= 7- 10-'2
10л 0.98 • 10"^ 1.00 • 10"^ 1.45 • 10"^ 2.80 • 10"^
ю4 0.57 • 10"^ 0.36 • 10"^ 0.37 • 10"^ 0.42 • 10"^
10ь 0.45 • 10-'2 0.12 • 10-'2 0.06 • ю-'2 0.11 • ю-'2
10ь 0.42 • 10-'2 0.12 • 10-'2 0.03 • ю-'2 0.03 • ю-'2
/1=7 - 10~л
10л 1.27 • 10"^ 0.97 • 10"^ 1.05 • 10"^ 1.03 • 10"^
104 0.49 • 10-'2 0.40 • 10-'2 0.47 • 10-'2 0.28 • 10-'2
10ь 0.45 • 10-'2 0.12 • 10-'2 0.06 • ю-'2 0.11 • ю-'2
10ь 0.40 • 10"^ 0.10 • 10"^ 0.03 • 10"^ 0.04 • 10"^
Заключение. Полученные результаты говорят о том, что представленный подход позволяет определять оптимальные параметры численных методов, которые могут быть применены в задачах моделирования динамики пучков заряженных частиц. Наконец, отметим, что проведенное численное исследование можно считать
подтверждением правильности методов анализа самосогласованных распределений, использованных в работах [3-12].
Литература
1. Хокни Р., Иствуд Д. Численное моделирование методом частиц / пер. с англ. А. С. Липатова, А. Н. Полюдова; под ред. Р. З. Сагдеева, В. И. Шевченко. М.: Мир, 1987. 638 с.
2. Рошаль А. C. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979. 224 с.
3. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Об определении стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1987. Т. 27, вып. 3. C. 416—427.
4. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1989. Т. 29, вып. 8. C. 1245—1250.
5. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994. Т. 33, вып. 3. C. 284—287.
6. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.
7. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в продольном магнитном поле. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. № 1—2. С. 3—15.
8. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в продольном магнитном поле. II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2004. № 1—2. С. 70—81.
9. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Modelling of self-consistent distributions for longitudinally non-uniform beam // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. 2006. Vol. 558, N 1. P. 112-118.
10. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Self-consistent distributions for charged particle beam in magnetic field // Intern. Journal of Modern Phys. A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 816-842.
11. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Методы анализа самосогласованных распределений для пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во ВВМ, 2013. 116 с.
12. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Решения уравнения Власова для пучка заряженных частиц в магнитном поле // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. Т. 6, вып. 4. С. 2-22.
13. Drivotin O. I. Covariant formulation of the Vlasov equation // Proc. Intern. Particle Accelerators Conf. IPAC'2011. San-Sebastian, Spain, 2011. P. 2277-2279 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/ IPAC2011/papers/wepc114.pdf; дата обращения: 15.07.2015).
14. Drivotin O. I. Degenerate Solution of the Vlasov equation // Proc. RuPAC'2012. St. Petersburg, 2012. P. 376-378 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/rupac2012/papers/ tuppb028.pdf; дата обращения: 15.07.2015).
15. Овсянников Н. В. Адаптивный метод решения краевой задачи для уравнения Пуассона с быстро меняющимся потенциалом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. № 1. С. 64-75.
References
1. Hockney R. C., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. New York, McGraw Hill, 1981, 540 p. (Russ. ed.: Hockney R. C., Eastwood J. W. Chislennoe modelirovanie metodom chastits. Moscow, Mir Publ., 1987, 638 p.)
2. Roshal A. C. Modelirovanie zarjazhennyh puchkov [Modeling of the bunohes]. Moscow, Atomizdat Publ., 1979, 224 p. (In Russian)
3. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. A. Ob opredelenii stacionarnyh reshenij uravnenija Vlasova dlja aksial'no-simmetrichnogo puchka zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole [On determination of stationary solutions of the Vlasov equation for an axially-symmetric charged particles beam in longitudinal magnetic field]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [Computational mathematics and Mathematical Physics Journal], 1987, vol. 27, issue 3, pp. 416-427. (In Russian)
4. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. A. O novyh klassah stacionarnyh reshenij uravnenija Vlasova dlja aksial'no-simmetrichnogo puchka zarjazhennyh chastic s postojannoj plotnost'ju [On new classes of stationary solutions of the Vlasov equation for an axially-symmetric charged particles beam with uniform density]. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki [Computational mathematics and Mathematical Physics Journal], 1989, vol. 29, issue 8, pp. 1245-1250. (In Russian)
5. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. A. O samosoglasovannyh raspredelenijah dlja puchka zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole [On self-consistent distributions for a charged particle beam in a
longitudinal magnetic field]. Dokl. RAN [Proceedings of the RAN], 1994, vol. 33, issue 3, pp. 284-287. (In Russian)
6. Ovsyannikov D. A., Drivotin O. I. Modelirovanie intensivnyh puchkov zarjazhennyh chastic [Modeling of high-current charged particle beam]. St. Petersburg, St. Petersburg State University Press, 2003, 176 p. (In Russian)
7. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. A. Samosoglasovannye raspredelenija zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole. I [Self-consistent distributions of charged particles in longitudinal magnetic field. I]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2004, issue 1-2, pp. 3-15. (In Russian)
8. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. A. Samosoglasovannye raspredelenija zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole. II [Self-consistent distributions of charged particles in longitudinal magnetic field. II]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2004, issue 1-2, pp. 70-81. (In Russian)
9. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Modelling of self-consistent distributions for longitudinally non-uniform beam. Nucl. Instr. Meth. Phys. Res, 2006, vol. 558, no. 1, pp. 112-118.
10. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Self-consistent distributions for charged particle beam in magnetic field. Intern. Journal of Modern Phys. A., 2009, vol. 24, no. 5, pp. 816-842.
11. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Metody analiza samosoglasovannyh raspredelenij dlja puchkov zarjazhennyh chastic [Methods of analysis of self-consistent distributions for a charged particle beam]. St. Petersburg, VVM Publ., 2013, 116 p. (In Russian)
12. Drivotin O. I., Ovsyannikov D. А. Reshenija uravnenija Vlasova dlja puchka zarjazhennyh chastic v magnitnom pole [Solutions of the Vlasov equation for a charged particle beam in magnetic field]. Izv. of Irkutsk. State University. Series Mathematics. 2013, vol. 6, issue 4, pp. 2-22. (In Russian)
13. Drivotin O. I. Covariant formulation of the Vlasov equation. Proc. Intern. Particle Accelerators Conf. IPAC'2011. San-Sebastian, Spain, 2011, pp. 2277-2279 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/ IPAC2011/papers/wepc114.pdf; accessed 15.07.2015).
14. Drivotin O. I. Degenerate Solution of the Vlasov equation. Proc. RuPAC'2012., 2012, pp. 376-378 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/rupac2012/papers/ tuppb028.pdf; accessed 15.07.2015).
15. Ovsyannikov N. V. Adaptivnyj metod reshenija kraevoj zadachi dlja uravnenija Puassona s bystro menjajushhimsja potencialom [Adaptive method for solving boundary value problems for the poisson equation with rapidly changing potential]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2015, issue 1, pp. 64-75. (In Russian)
Статья поступила в редакцию 10 сентября 2015 г.
