Исследование автоколебаний в нелинейных системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Киселева Т.В. ©

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики,

Северо-Кавказский федеральный университет, Ставрополь

ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Аннотация

В статье исследуется механизм автоколебаний частиц дисперсной фазы магнитной жидкости, помещенной в электрофоретическую ячейку, под действием электрического и магнитного полей.

Ключевые слова: неравновесные процессы, колебания, динамические системы.

Keywords: nonequilibrium processes, fluctuations, dynamic system.

Колебательные явления возникают в неравновесных системах вследствие физических и химических особенностей протекающих в них процессов. В таких системах из хаотических состояний могут возникать высокоупорядоченные пространственно-временные структуры, в частности, в результате концентрационных колебаний. Примером возникновения таких колебаний является движение наночастиц твердой фазы в магнитной жидкости, помещенной в электрофоретическую ячейку, под действием электрического поля. Ячейка с магнитной жидкостью, в которой возникают автоволны, является удобным средством для моделирования неравновесных процессов, протекающих в приэлектродном слое магнитной жидкости в электрическом поле и магнитном полях. Большое число неравновесных систем проявляет сходство в поведении, что позволяет различные физико-химические процессы описывать универсальными математическими соотношениями, поэтому с помощью математической модели автоволнового процесса, можно изучать и другие автоколебательные динамические системы.

Рассмотренная в работе [1,7] математическая модель движения проводящей частицы в приэлектродном слое магнитной жидкости под действием электрического и магнитного полей, позволяет исследовать механизм колебаний проводящих частиц в приэлектродном слое.

Известно, что проводящую коллоидную частицу, помещенную во внешнее электрическое поле, можно рассматривать, как биполярный электрод с катодной и анодной полуповерхностями. В рассматриваемой модели частица имеет сферическую поверхность радиуса г, помещенной в плоскопараллельную ячейку, межэлектродное пространство которой заполнено слабопроводящим диэлектриком, где расстояние между электродами - х,

приэлектродный слой - /, где I «х (рис. 1).

+ -

2г

1—

1

А'

Рис.1 - Схема электрофоретической ячейки

© Киселева Т.В., 2014 г.

Рассмотренные в работах [1,7; 2,10] математические модели движения частицы от электрода и к электроду можно рассматривать как автоколебания, а совокупность частиц, притягивающихся к электроду и отталкивающихся от него, как систему связанных осцилляторов с одной степенью свободы, т.к. между рассматриваемыми частицами существует ряд связей, например, гидродинамическая, электрическая и другие.

Пусть максимальная амплитуда а колебаний частицы значительно меньше характерного размера l. То есть амплитуда колебаний поверхности гораздо меньше длины волны X. Для первой моды колебаний X ~ l. Амплитудой колебаний будем считать расстояние, пройденное частицей до «прилипания» к электроду и перезарядки. Исходя из этих предположений, можно оценить величину слагаемых в левой части уравнения движения:

—® ®

— = д) + (—V)V) dt dt

(1)

Порядок величин скорости и ~ а/Т, порядок (V V)V

V2

a

2производная — порядка

дь

э7

а

Т

„2

. Сравнивая

а а ои — —

и —, находим, что —— при а << l гораздо больше (V V)V, поэтому для Т l Т dt

малых колебаний частицы уравнение движения приобретает вид:

——

d )) —® ® ® /оч

----= -Ср + M СН + PCE+hCV (2)

dt

Число Рейнольдса Re для частицы с радиусом r < 10"4м гораздо меньше 1 (Re = ul/v ~ 10" 7), следовательно, инерционные силы гораздо меньше сил трения.

Считая, что намагниченность М не зависит от времени явно, т.к. время релаксации намагниченности т меньше периода колебаний, т.е. не зависит от суммы времени движения частицы к электроду и времени ее движения после перезарядки. В этом случае

Н

MVH = V \ MdH, то есть магнитная сила тоже потенциальна. Можно считать, что

0

электрическая сила PVE потенциальна по тем же соображениям.

В связи с потенциальностью движения частицы, интеграл Коши-Лагранжа имеет вид:

д(П 1 н E

p + p — + —pVj - JMdH - JPdE = const (3)

dt 2 0 0

Для рассматриваемых колебаний u0 = 0; p - возмущение давления при равновесном распределении давления VP0 = M 0 VH 0 + P0 VE0. Для потенциала скорости уравнение

—

неразрывности дает соотношение:

Vj = 0 (4)

Решение следует искать в виде стоячих волн с дискретным спектром частот [4; 5]. Это предположение можно сделать, учитывая, что объем ячейки с жидкостью ограничен.

Поскольку спектр частот собственных колебаний дискретен, получаем, что каждая колеблющаяся частица может рассматриваться как осциллятор, а совокупность частиц, находящихся на расстоянии l от электрода, как система связанных осцилляторов с одной степенью свободы. Физический смысл этого утверждения состоит в следующем: малые смещения частиц на расстояние х << l от электрода по абсолютной величине пропорциональны друг другу. Если в системе распространяются волны только определенной частоты (какая-

либо мода колебаний), то колебательная система может описываться одномерным уравнением малых колебаний с одной степенью свободы.

В качестве обобщенной координаты в уравнениях Лагранжа для определенной моды колебаний выберем смещение какой-либо частицы.

Функция Лагранжа будет иметь вид:

1 * *

L = — У m, Хг Xk - k, x x,

2 гк гк г k

(5)

dx,

где хг = q, - q,0, x, = —L, q,0 - обобщенная координата частицы в равновесии, q, - обобщенная

dt

координата.

Известно, что:

E = — У minxin - кинетическая энергия,

U = 2У к mx,xn - потенциальная энергия системы.

Для одной моды колебаний:

L =1 их - kx 2

Л - обобщенная масса и уравнение движения примет вид:

d2 x dt

m~r+kx = 0 .

(6)

(7)

(8) (9)

Обратим внимание на то, что k - коэффициент, стоящий перед выражением для зависимости потенциальной энергии от смещения обобщенной координаты.

Как было показано выше, в уравнении движения (3) все члены, определяющие силы, действующие на частицу, потенциальны, именно поэтому возможно записать уравнение (2) в виде (3).

В линейном приближении уравнение вынужденных колебаний частицы в жидкости при воздействии электрического и магнитного полей и с точностью до первых членов разложения

по скорости x имеет вид:

•• • •

A x + 2ДД x+tf^Ax = f coswt + aD x, (10)

где aA X - это сила, обусловленная воздействием электрического и магнитного полей.

Коэффициенты a, w02 зависят от характеристик, приложенных электрического и магнитных полей, т.е. от электрического напряжения и магнитной индукции. На графике рисунка 2 (зависимости х от Е) показано, что при увеличении напряженности Е расстояние, на которое «отскакивают» частицы перезарядившись у электрода, так же как и расстояние, с которого начинается движение частиц к электроду, увеличивается.

Рис. 2 - Зависимость расстояния, пройденного заряженной частицей от значения напряженности

электрического поля при X = 10-8

Однако, если напряженность будет слишком мала Е < ЕКр\, частицы, подойдя к электроду и притянувшись, перезарядятся, но их заряд будет недостаточно велик, чтобы, преодолев силу вязкого трения переместится на какое-либо расстояние. В этом случае у электрода скопится слой частиц. Если же Е > ЕКр2, то достигнув электрода, частица зарядится настолько, что переместится на расстояние X. Заметим, что расстояние х, с которого начинается движение частиц к электроду не равно расстоянию X, на которое частицы «отскакивают» от электрода. Этот факт подтвержден и результатами проведенного моделирования, и экспериментально в работе [3].

Итак, X Ф х, поэтому при Е > Екр2 частицы переместятся на такое расстояние, которое они не смогут преодолеть и вблизи электрода образуется слой, очищенный от проводящих частиц. Таким образом, интересующее нас движение частиц происходит только при подаче на электроды поля напряженностью от Ер до Ер.

Воздействие магнитного поля усиливает действие электрического поля (если

E П СН

) или уменьшает его (если

E ТТ СН

).

С достижением Е и Н некоторых значений Екр и Нкр в системе возникает ситуация, когда a > 2b, т.е. диссипируемая энергия компенсируется «отрицательным» трением, появляющимся за счет движения заряженных частиц.

Решение уравнения, как показывали результаты моделирования, становится неустойчивым. В этом случае возможно наблюдение автоколебания, что в эксперименте выражалось в периодическом изменении цвета электрохимической ячейки [3].

В диапазоне Екр1 - Екр2 колебания частиц симметричны с осью проходящей через точку х/2 (рис. 1).

Следовательно, разложение F / Д х не содержит четных членов, поэтому:

F3 =аД х+ ЬД х3 (11)

и уравнение движения примет вид:

•• • • •

Д х+ 2рД х-аД х- ЬД х3 +а>1Дх = f coswt (12)

или

•• • а Ь *

Дх+ 2ВДх (1-----------Дх2) + а>1Дх = f coswt

2Ь 2b '

Обозначив 2ЬЬ / a - 2b = m и приравняв f cos Wt = 0, получим уравнение Рэлея:

•• • •

Д х— s(1 - тД х2)Д х+а^Дх = 0- (13)

Проведенное исследование показывает, что частица в приэлектродном слое электрофоретической ячейки под воздействием электрического поля начинает колебательные движения от границы фазового расслоения к электроду и обратно, которые при значениях поля порядка £=105 В/м превращаются в автоколебательные. Следовательно, механизм возникновения автоколебательного процесса в приэлектродном слое электрофоретической ячейки с магнитной жидкостью, можно рассматривать как результат синхронизации автоколебаний заряженных наночастиц.

Литература

1. Киселева Т. В., Кандауров В.С. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях: Материалы Седьмой Международной конференции «Циклы», 25-27 мая 2005 г. / Северо-Кавказский государственный технический университет. - Ставрополь, 2005. - С. 7 -10.

2. Киселева Т. В., Кандауров В.С. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое: Материалы Седьмой Международной конференции «Циклы», 25-27 мая 2005 г. / Северо-Кавказский государственный технический университет. - Ставрополь, 2005. - С. 10 -13.

3. Кандаурова Н.В. Приповерхностные и межфазные явления в магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях и их техническое применение: дисс... д-ра техн. наук. Ставрополь, 2000. - 305 с.

4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 733 с.

5. Торза С., Кокс Р., Мейсон Э. Электрогидродинамическая деформация и разрыв капель // Реология суспензии. - М. - 1975. - С. 5 - 38.