CC BY
19
ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА
УДК 681.511.42
А. В. Лысиков, Н. Б. Румянцева, Б. В. Султанов, М. С. Кирюхин, М. А. Щербаков
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СИНХРОНИЗАЦИИ (М+2)-го ПОРЯДКА С ЗАДЕРЖКОЙ
На основе метода Б -разбиения, модернизированного применительно к анализу дискретных систем, получены и проанализированы общие условия асимптотической устойчивости дискретных систем синхронизации (Ы + 2)-го порядка, в которых моменты выделения сигнала, содержащего информацию о разности фаз, и формирования на его основе выходного сигнала фазового дискриминатора разделены интервалом времени (задержкой) длительностью в N тактов дискретизации.
Введение
При разработке систем восстановления фазы несущего колебания в цифровых модемах в некоторых случаях возникает ситуация, когда моменты выделения сигнала, содержащего информацию о разности фаз и формирования на его основе _Уфд \к], оказываются разделенными интервалом времени
(задержкой) длительностью в N тактов дискретизации [1-7]. Как показано в работе [8], полная математическая модель дискретных систем синхронизации (ДСС) второго порядка с задержкой описывается следующим нелинейным стохастическим разностным уравнением (Ы + 2)-го порядка:
^ \к]- 2^\к - 1] + ^\к - 2] + кЫп (\к - N -1]) + к2sin (\к - N - 2]) =
= ф\к] - 2ф\к -1] + ф\к - 2] -к1пш [к -N -1] - к2пш \к - N -2], (1)
где ^\к] = ф\к]-ф\к]; ф\к] и ф\к] - фазы соответственно входного и подстраиваемого колебаний; пш[к] - отсчеты дискретного шума на выходе фазового дискриминатора ДСС; к1 и к 2 - коэффициенты, определяющие свойства ДСС.
На основании (1) необходимое для исследования асимптотической устойчивости линеаризованное уравнение ДСС при отсутствии шума можно записать в виде
^ \к]-^\к - 1] + ау\к - N - 1] = ф\к]-ф\к -1]. (2)
Передаточная функция по фазовой ошибке линеаризованной системы, описываемой уравнением (2), определяется как [9]
„ ( ) =_______1 - 2 г-1 + г-2__________=
^2 (г ] 1 - 2 г-1 + г -2 + к1г ^-1 + к 2 г ^-2
N+2 п N+l , N
z — 2 z + z
(З)
и, следовательно, характеристическое уравнение имеет вид
zN+2 - 2zN+1 + zN + klz + k2 = 0.
(4)
Задачей анализа является выявление области значений параметров к1 и к2 , при которых система является асимптотически устойчивой.
Условием асимптотической устойчивости дискретной нелинейной системы является расположение нулей характеристического полинома (корней характеристического уравнения) ее линейного приближения на комплексной плоскости внутри единичной окружности [10]. Поскольку характеристические уравнения ДСС с задержкой имеют высокий порядок, выражения для их корней в явном виде не могут быть получены (тем более невозможно это сделать в рассматриваемой в данной работе общей постановке задачи, когда численное значение порядка задержки N не конкретизируется). В этих условиях для определения областей асимптотической устойчивости изучаемого класса ДСС целесообразно применить разработанный в теории автоматического регулирования метод D -разбиения [11], несколько видоизменив его применительно к анализу дискретных систем, описываемых в операторной форме с помощью z -преобразования.
В соответствии с идеей данного метода подставим в (4) значения z, задаваемые уравнением единичной окружности z = exp (уюо). В результате получим:
exp [ уюо (N + 2 )] - 2exp [ уюо (N + l) + exp (7Ю0 N) + k1exp (7Ю0) + k 2 = 0.
С использованием формулы Эйлера это равенство можно записать в виде
+j{sin[(N + 2)®0 ] - 2 sin [( + 1)сй0 ] + sin (N^0) + klsin (<»0 )J = 0. (5)
Приравнивая нулю действительную и мнимую части соотношения (5), получаем систему уравнений относительно к1 и к2 :
1 Вывод общих соотношений, определяющих область асимптотической устойчивости
cos [»0 (N + 2)] - 2cos [(TV + 1)ю0 ] + cos (N Ю0) + klcos (0З0) + k 2 +
fk1cos Ю0 + k 2 = - cos [(N + 2)ю0 ] + 2cos [(N + 1)ю0 ] - cos (N Ю0),
I k1sinЮ0 =-sin [(N + 2) Ю0 ] + 2sin [(N + 1)ю0 ] - sin (NЮ0). Определители данной системы имеют вид
cos Ю0 1
(6)
(7)
- cos [( + 2)ю0 ] + 2cos [(N +1) ] - cos (NЮ0) 1
- sin [(N + 2)ю0 ] + 2sin [( + 1)Ю0 ] - sin (NЮ0) 0
(8)
Ak 2 =
cos
sin
Ю0 - cos [(N + 2)ю0 ] + 2cos [(N + 1)ю0 ] - cos (NЮ0)
in Ю0 - sin [(N + 2)ю0 ] + 2sin [(N + 1)Ю0 ] - sin (N Ю0)
= 4sin2 (ro^2)sin (Nro0). (9)
На основе выражений (7)-(9) после необходимых преобразований можно записать выражения для решений системы (6):
k1 = 2sin [(N + 1)ю0 ] tg (Ю0/2); (10)
k 2 =-2sin (N Ю0 )tg ((П0/2). (11)
Соотношения (10) и (11) представляют собой параметрические уравнения кривой D -разбиения в плоскости параметров k1 и k2 при изменении Ю0 в интервале (0...Я). Ввиду четности и периодичности относительно ю0 функций, представленных в правых частях равенств (10) и (11), при изменении ю0 в диапазоне (л...2-л:) получается та же ветвь D-кривой, что и при ю0 е (0...я), пробегаемая в обратном направлении.
Кроме того, анализируя выражения (7)-(9), нетрудно заметить, что все определители обращаются в ноль при Ю0 = 0 и Ю0 = п. Это говорит о наличии на диаграмме D -разбиения двух особых прямых. Уравнение первой из них (соответствующей ^0 = 0) получается путем подстановки в (4) значения
z = exp (j 0) = 1 и имеет вид k1 + k 2 = 0 , или
k 2 = -k1. (12)
Аналогично, уравнение второй особой прямой находится на основе того же выражения (4) с помощью подстановки z = exp (j л) = -1. После несложных упрощений оно может быть записано следующим образом:
k2 = k1 - 4(-1)N . (13)
2 Построение диаграмм .D-разбиения
Из равенств (10) и (11) следует, что при Ю0 = 0 независимо от порядка задержки N k1 = 0 и k2 = 0 . Это означает, что при любом N исходной точкой
D -кривой является начало координат. При Ю0 — п на основании (10) имеем
lim k1 = 2 lim jsin[(N + 1)ю0]tg(co^2) =
Ю0 ——^ Ю0 ——^
= 2ЮИ—Jsin[(N + 1)C°0]/ ctg(ю^2)f-0].
Последнее выражение представляет собой неопределенность типа 0/0 , которая может быть раскрыта с помощью правила Лопиталя [12]:
lim k1 = 2 lim |(N + 1)cos[(N + 1)ю0]/ [-0,5csc2 (ю0/2)]| =(-1)N 4(N +1) (14)
Аналогичным образом на основе (11) может быть вычислен предел lim k2 = -2 lim {sin(jVro0)tg(co0/2)} = -2 lim {sin(Nro0)/ctg(ю0/2)} =
®o ——П
= -2 lim
^o —n
Ncos(Nroo ) -o,5csc2 (coo/2) }=(-l)N 4N.
(l5)
Из результатов (14) и (15) вытекает соотношение lim k2 =
fflo —n
= lim k1 - 4(-1)N, означающее, что при любом N «финальная» точка
В -кривой, соответствующая значению ю0 = п, находится на особой прямой, задаваемой уравнением (13).
Выражения (10)-(13), наряду с рассмотренными свойствами В -кривой, позволяют построить диаграммы В -разбиения для ДСС (Ж + 2)-го порядка с произвольной задержкой N. Это сделано на рис. 1-3 при значениях N = 0 (рис. 1); N = 1 (рис. 2); N = 2 (рис. 3).
к\
к 2
Рис. 1 Диаграмма D-разбиения при N = o
к2
к\
Рис. 2 Диаграмма D-разбиения при N = 1
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион к2
к\
к\
б)
Рис. 3 Диаграмма В-разбиения при N = 2
Штриховка кривых В -разбиения и особых прямых выполнена на основании анализа знака главного определителя Д0, задаваемого выражением (7), по правилам, аналогичным приводимым в [11] для непрерывных систем (с той лишь разницей, что граничным значением Юд в данном случае является не , а л).
Областью значений параметров к1 и к 2, соответствующей устойчивому режиму работы ДСС, на рис. 1 является часть плоскости, находящаяся внутри заштрихованной зоны, ограниченная отрезками особых прямых ОА (уравнение (12)), СА (уравнение (13)) и линией В -кривой (параметрические уравнения (10) и (11) при N = 0 ).
На рис. 2, 3 область устойчивости ограничена отрезком ОА особой прямой, определяемой уравнением (12), и фрагментом В -кривой, причем на рис. 3,б изображена соответствующая этой зоне часть диаграммы на рис. 3,а в увеличенном масштабе. Штриховка отрезков ОА выполняется со стороны, находящейся внутри ограничиваемых ими областей.
3 Анализ полученных результатов
Сопоставление диаграмм, изображенных на рис. 1-3, показывает, что с ростом задержки N график В -кривой спиралевидным образом изменяется вокруг области устойчивости ОА, последняя при этом быстро сокращается.
Приравнивая с учетом знака в (12) правые части равенств (10) и (11), получаем тригонометрическое уравнение относительно юо, решения которого определяют точки пересечения В -кривой с особой прямой (12):
28Ш[( + 1)юо]ге(юо/2) = 28Ш(N0)0 ^(юо/2). (16)
Тривиальным решением (16) является значение Юо = 0, соответствующее исходной точке В -кривой - началу координат. Для нахождения остальных разделим обе части равенства (16) на ге (юо/2). В результате получим уравнение, совокупность отличных от нуля решений которого Юот определяется выражением
юот = л(1 + 2т )/(1 + 2 N), (17)
где т - любое целое число.
В диапазоне о < Юо < л существует N различных значений Юот, удовлетворяющих (17). На диаграммах В -разбиения (рис. 2, 3,а) им соответствуют N точек пересечения В -кривой с особой прямой (12). Верхняя граница зоны устойчивости определяется первым ненулевым положительным решением уравнения (16), задаваемым соотношением
Юогр2 = Т+ж ■ (18)
Выражение для граничных значений к1Тр и к2гр , являющихся координатами точки А на рис. 2, 3, легко получается путем подстановки определяемого формулой (18) значения Юогр2 , например в уравнение (Ю), и имеет вид
£1гр = -к2гр =28т[( + 1)л/(2N + 1)]ге[о,5я/^ + 1)] . (19)
При этом нужно иметь в виду следующий факт. Даже при больших N значения £1гр и к2гр, вычисленные по формуле (19), являются на первый
взгляд вполне приемлемыми. Так, при N = 28о, Юо^2 = о,оо55999 и £1гр = -к2рр = о,оо559998 . Однако использовать на практике такую систему весьма проблематично, т.к. в этом случае ширина области устойчивости
ё (юо) оказывается настолько малой, что коэффициенты £1 и к2 должны
отличаться по модулю лишь в седьмом десятичном знаке. Это накладывает жесткие требования на разрядность реализующих цифровых схем.
Выражение, определяющее зависимость ё (юо), можно получить на основе следующих рассуждений. При каждом значении абсциссы В -кривой к1(юо) верхняя граница зоны устойчивости определяется ее ординатой
к2(юо ) а нижняя - ординатой особой прямой (12), равной -к1(юо). Поэтому
ё(юо) = к2(юо) -[-к1(юо)] = к2(юо) + к1(юо). (2о)
Объединяя (20) с уравнениями (10) и (11), после необходимых преобразований получаем результат:
й(юо) = 4оо[(2^ + 1)юо/2]sin(юо/2)tg(юо/2). (21)
На рис. 4 представлен график зависимости максимальной ширины области устойчивости йтах от порядка задержки N, полученной следующим образом. При каждом N по формуле (21) определялись значения й , соответствующие различным частотам юо, последовательно выбираемым из диапазона 0 < Юо < Юрр2 с шагом Юо^/ЗбОО, и в качестве йтах принималось максимальное из них. Интересно, что при всех N значение Юотах, соответствующее величине йтах, с высокой точностью удовлетворяло условию Юотах = 0,686 , или, с учетом (18), ю01шх = 0,686 л / (1 + 2 N).
<'„,/10^
ю 20 зо ю $о $0 ;о
Рис. 4
При использовании 16-разрядных микропроцессоров можно обеспечить различие в значениях коэффициентов с точностью до четвертого десятичного знака. Из графика, изображенного на рис. 4, видно, что соответствующая ширина зоны устойчивости достигается лишь при N ~ 70 и ниже.
Иллюстрируемая графиком величина йтах соответствует не любым желаемым, а вполне конкретным значениям к1 и к2, получаемым путем подстановки Ю0 = Ю0тах в (10) и (11). Для того чтобы рассчитать максимальный порядок задержки Nm , при котором система с заданными коэффициентами остается устойчивой, необходимо, определив предварительно требуемое значение й = к1 + к2, найти Nm и Ю0 как решения системы уравнений (21) и (10) ( или (11)). Отметим, что при использовании современных ма-
тематических программных пакетов процедура численного решения данной системы уравнений является быстрой и безошибочной. Осуществив такие вычисления, можно, в частности, показать, что при к1 = 0,032 и к1 + к2 = 0,0001 соответствующая ширина зоны устойчивости имеет место лишь при N < Nm = 45 , с ростом величины d = к1 + к2 значение Nm уменьшается.
Заключение
Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего анализа характеристик рассмотренного класса ДСС с учетом их нелинейности и наличия шума.
Список литературы
1. Патент России № 2147791. Дуплексный модем / Бочков В. К., Кирюхин М. С., Лысиков А. В., Миронов Н. П., Овчинкин Г. М., Оськин В. А., Прохоров А. Д., Султанов Б. В., Шутов С. Л.; Опубл. апрель, 2000.
2. Патент России № 2218666. Цифровой модем / Агапова В. Н., Александров С. В., Бочков В. К., Захаренков В. Е., КашловВ. В., Кирюхин М. С., Кольчюгин А. И., Котлов В. Ф., Лавров Г. И., Лысиков А. В., Миронов Н. П., Прохоров А. Д., Султанов Б. В., Фунтиков В. А., Шутов С. Л.; Опубл. декабрь, 2003.
3. Quatieri, T. F. Far-echo cancellation in the presence of frequency offset / T. F. Quatieri, G. C. O Leary // IEEE Trans. on Commun. - 1989. - V. 37. - № 6. -Р. 635-644.
4. Патент США №3675131. Coherent single side-band phase locking technique / Pickoltz R.; July, 1972
5. Патент США № 3667050. Coarse carrier phase correction system / Gibson E. D.; May, 1972.
6. Патент США № 4813073. Echo-cancellation / Ling F.; March 14, 1989.
7. Бочков, В. К. Двухпроводный дуплексный модем / В. К. Бочков, М. С. Кирюхин, А. В. Лысиков [и др.] // Электросвязь. - 2000. - № 7. - С. 35-38.
8. Лысиков, А. В. Математические модели дискретных систем синхронизации с разделенными моментами выделения и использования синхроинформации /
A. В. Лысиков, В. А. Фунтиков, М. С. Кирюхин, Б. В. Султанов // Специальная техника средств связи : научно-технический сборник. - Вып. 2. - Пенза : ФГУП «ПНИЭИ», 2005.
9. Султанов, Б. В. Основы цифровой обработки сигналов : учебное пособие / Б. В. Султанов. - Пенза : Изд-во Пенз. политехн. ин-та, 1991. - 84 с.
10. Иванов, В. А. Теория дискретных систем автоматического управления /
B. А. Иванов, А. С. Ющенко. - М. : Наука, 1983. - 336 с.
11. Егоров, Н. В. Основы теории автоматического регулирования / Н. В. Егоров. -М. : Энергия, 1967. - 648 с.
12. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1968. - 720 с.
