CC BY
10
УДК 62-55:681.515
ГОСТЕВ В И., д.т.н., профессор (ГУИКТ); КУНАХ Н И., д.т.н., профессор (ГУИКТ); НЕВДАЧИНА О.В., аспирант (ГУИКТ); АРТЮЩИК АС., аспирант (ГУИКТ).
Исследование АОМ-системы с Р1-регулятором методом ЛЧХ
В последние годы непредсказуемый рост Интернета все более и более указывает на проблему борьбы с перегрузками. Явление перегрузок сети происходит, когда количество данных, введенных в сеть, больше чем количество данных, которые доставляются по назначению. При пакетной передаче источники данных должны уменьшать скорость передачи при наличии потери пакетов. Такой подход борьбы с перегрузками принят протоколом ТСР. Для решения проблем уменьшения высокой задержки из-за полных очередей нужны более сложные и превентивные стратегии. Такой стратегией является Активное Управление Очередью - Active Queue Management (AQM). При AQM уведомления о перегрузке производятся отбрасыванием (или маркировкой) поступающих пакетов прежде, чем очереди маршрутиза-
2
G (s) =
2 N
торов станут полными. Другими словами, AQM использует принцип обратной связи: оконечные хосты реагируют на отбрасывание/маркировку пакетов в очередях маршрутизатора, уменьшая их скорость передачи. Длина очереди в маршрутизаторах уменьшается и непрерывная задержка, испытываемая пакетами, также уменьшается. Для борьбы с перегрузками в работах [1-4] предложен пропорционально-интегральный алгоритм, который является более эффективным, чем другие известные алгоритмы, для AQM-систем.
Рассмотрим AQM-систему, скорректированную Р1- регулятором, модель которой представлена на рис.1. В этой системе автоматического управления объект управления в стационарном режиме описывается передаточной функцией [2-4]
1 2N
s( s + — )( s + )
Ro R00C
- sRo
.e o =
( RoC )3 (2 N )
2
R 2C
( Ros +1)( rNs +1)
e - sRo
(1)
C - емкость связи (пакеты/сек), N -коэффициент нагрузки-load-factor (число ТСР сессий), q - предполагаемая (средняя)
длина очереди (в пакетах), Ro = q / C + Tp
- время следования туда и обратно - round trip time (в сек), Tp - задержка распространения (в сек), p - вероятность марки-ровки/отбра-сывания пакетов, а блок AQM-алгоритма представляет собой PI-регулятор. Задача регулятора - обеспечить устойчивость и качественные показатели системы управления. Во-первых, у системы должен быть приемлемый пере-
ходный процесс. Во-вторых, регулятор должен обеспечить робастность системы к вариациям параметров модели.
Рис.1. AQM система, скорректированная PI-регулятором
Передаточную функцию PI- к (R с)3
регулятора определим как 2 (tas + 1
(2N) -sR
L(s) = -2-e"sRo . (3)
GPI (s) = K + К 1 = Ks+K- = Кг IaL+1, (2) s(Ros +1)(^s +1)
s s s ° 2 N
где za =к /Ki =1 /z сек Логарифмическая амплитудно-
Тогда передаточная функция AQM- частотная характеристика ЛАЧХ на осно-системы в разомкнутом состоянии будет вании этой передаточной функции опре-
определена как
деляется как
Ki (RoC)3 [——2
2 yjtaw)2 + 1
20 log10 |L^_7"w)| = 20 log10 {-(2N)- , }, (4)
W (Row)2 +1
(^)2 +1 2N
логарифмическая фазо-частотная характеристика ЛФЧХ определяется как
r2с 180o р = arctg(taw) - arctg(Row) - arctg(—— w) - 900 --Row.
2 N
p
(5)
При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ по оси ординат откладываются амплитуды в децибеллах, фазы в градуса, а по осям абсцисс - частоты в радиан/сек.
Введем обозначения
а1г К1 (пас)3 . _ _ п . т пос .
а1У _-2—' Т1 _ Ка' т2 _
(2N)
2 N
та _ К / КI _ 1 / г. Можно заключить, что для этой системы с астатизмом первого порядка наиболее рациональным вариантом будет следующая расстановка для
1 1 1
частот сопряжения ЛЧХ: — < — < —
Т1 та т2
1 К 2Ы
' ибо при этой рас-
или
< —- <
Ro К RoC
становке наклоны ЛАХ будут в последовательности -20, -40, -20,- 40 дБ/декаду. Последнее неравенство можно использовать для выбора параметров AQM- системы.
Существенно отметить, что при
использовании логарифмических амплитудно-частотных характеристик запас по модулю определяется как величина, обратная модулю функции G(jw) на частоте
w , при которой фазовый сдвиг равен -
1800 , и показывает во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Запас по фазе - величина, которая определяется на частоте среза wc,
при которой |G(jw)| = 1, и показывает, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости. Метод ЛЧХ для определения устойчивости системы имеет то преимущество, что позволяет очень просто учесть влияние запаздывания, которое характеризует- R s
ся передаточной функцией e o , на устойчивость системы, поскольку множе-
тель e JwRo приводит к дополнительному
для системы
-Ros
сдвигу фазовой характеристики на угол Л (w) = -wRo . Таким образом, характеристики 20 logio —С/®)| будут одинаковыми имеющей звено запаздывания e "o~, и для этой же системы без звена запаздывания, а фазовая характеристика для системы, имеющей звено запазды--R s
вания e o , будет отлична от фазовой характеристики этой же системы без звена запаздывания на дополнительный фазовый сдвиг
j = -(Row) х 180o /p = -(Row) x 57,3, градусов
Используя пакет Control System Toolbox 5.0 интерактивной системы MATLAB [5], определим ЛЧХ (диаграммы Bode) системы (см. рис. 1), скорректированной PI-регулятором, по передаточной функции (3), но без звена запаздыва-
ния при следующих параметрах: Я0 = 0,246(сек), С=3750 (пакетов/сек),
К = 9,6426 • 10-6, 1/г =0,53, N = 60 .
Программа расчета ЛЧХ в системе МАТЬАБ следующая:
Я=0.246; С=3750; N=60; К=9.6426*10А(-6); 2=0.53; alf=K*(R*C)A3/(2*N)A2; b=RA2*C/(2*N); П=[1 0]; f2=[b*R b+R 1]; пит=а1Р[1/2 1]; den=conv(f1,f2); sys=tf(num,den); [mag,phase,w]=bode(sys); [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w); margin(sys)
Рассчитанные логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ЛАЧХ и логарифмическая фазо-частотная характеристика ЛФЧХ показаны на рис.2 (кривые 1).
Рис.2. ЛЧХ системы с Р1-регулятором при N= 60 без звена запаздывання (кривые 1) и со звеном запаздывания (кривая 2)
вания и теми же параметрами будет отличаться от ЛФЧХ системы без звена запаздывания на дополнительный фазовый сдвиг <р = -(Я0а) х 57,3, градусов, где а - частота, радиан/секунда, (см. рис.2, кривая 2). При Я0 = 0,246(сек) для некоторых частот этот сдвиг рассчитан в таблице 1.
Таблица!
w рад./сек j = -(Row) х 57,3, градусов.
0.01 - 0.14
0.02 - 0.28
0.03 - 0.423
0.04 - 0.56
0.06 - 0.85
0.08 - 1.135
0.1 - 1.41
0.2 - 2.82
0.3 - 4.23
0.4 - 5.64
0.6 - 8.46
0.8 - 11.28
1 - 14.1
2 - 28.2
3 - 42.3
4 - 56.4
6 - 84.6
8 - 112.8
10 - 141
скорректированной PI-регулятором, по передаточной функции (6). Вначале приведем логарифмическую фазо-частотную характеристику звена запаздывания ЛФЧХ при аппроксимации передаточной функции звена приближением Паде второго порядка для Ro = 0,246,сек. ( рис.3).
ЛЧХ характеристики (диаграммы Bode) системи (см. рис.1), скорректированной PI-регулятором, при номинальных параметрах схемы Ro = 0,246(сек), С=3750 (пакетов/сек), параметрах регулятора K = 9,6426 • 10-6,1/ z =0,53, и числе сессий N =60 приведены на рис.4.
Характеристика ЛАЧХ для системы (см. рис. 1), скорректированной Р1-регулятором, с передаточной функцией (3) со звеном запаздывания и теми же параметрами будет такой же как и у системы без звена запаздывания. Но характеристика ЛФЧХ для системы, скорректированной Р1-регулятором, с передаточной функцией (3) со звеном запазды-
Если передаточную функцию звена запаздывания аппроксимировать приближением Паде второго порядка, то передаточную функцию AQM системы в разомкнутом состоянии можно определить в виде (см. формулу (1))
к Щ- (1 *+*2+1)
вд = (2N)2 z-* - (6)
R2C t2 о
s(-^- s + 1)(Ros +1)(— s 2 +1) v 2 n А о 3
Используя пакет Control System Toolbox 5.0 интерактивной системи MATLAB [5], определим ЛЧХ характеристики (диаграммы Bode) системи ( рис.1),
п1 кп 1С Г п'
Рю^испс^ (гас/гсс^
Рис.3. ЛФЧХ звена запаздывания при аппроксимации передаточной функции звена приближением Паде второго порядка ( Я0 = 0,246,сек)
Рис.4. ЛЧХ системы с Р1-регулятором при N= 60 при аппроксимации передаточной функции звена запаздывания приближением Паде второго порядка
Программа расчета ЛЧХ в системе МАТЬАБ:
R=0.246; С=3750; N=60; К=9.6426*10А(-6); 2=0.53; a1f=K*(R*C)A3/(2*N)A2; b=RA2*C/(2*N); f1=a1f*[1/z 1]; ^=[(0.123^2/3 -0.123 1]; f3=[1 0]; f4=[b*R b+R 1]; f5=[(0.123)A2/3 0.123 1];
num=conv(f1,f2); den=conv(f3,conv(f4,f5)); sys=tf(num,den); [mag,phase,w]=bode(sys); [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w); mar-gin(sys)
Приведем еще один вариант про-
граммы расчета ЛЧХ в системе МАТЬАБ c Р1-регулятором:
R=0.246; C=3750; N=60; K=9.6426*10A(-6); 2=0.53;
a1f=K*(R*C)A3/(2*N)A2; b=RA2*C/(2*N); [np,dp] =pade(R,2); sysp=tf(np,dp); f1=[1 0]; f2=[b*R b+R 1];
num= a1f*[1/z 1]; den=conv(f1,f2);
sysg=tf(num,den); sys=series(sysp,sysg);[mag,phase,w]=bode(sys); [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w); mar-
gin(sys)
В этой программе имеется специ-
альная подпрограмма для функции Паде. Эта функция образует неминимально-фазовую систему.
По ЛЧХ находим: запас устойчивости системы по амплитуде Gm=18,9 деци-белл на частоте оп =3,5 радиан/сек, запас устойчивости по фазе Pm=75,3 градусов на частоте среза wc =0,521 радиан/сек.
Весьма важно отметить, что звено, имеющее передаточную функцию полученную аппроксимацией звена чистого запаздывания приближением Паде второго порядка, преобразует передаточную функцию AQM системы из минимально-фазовой в неминимально-фазовую путем добавления к ЛФЧХ минимально-фазовой системы приведенную на рис.3 характеристику дополнительного сдвига по фазе.
По этим результатам видно, что система (рис.1) обладает достаточной устойчивостью.
Литература
1. Hollot C.V., Misra V., Towsley D., Gong W.B. "A Control Theoretic Analysis of RED," in Proceedings of IEEE/INFOCOM, April, 2001, pp. 1510-1519.
2. Hollot C.V., Misra V., Towsley D., Gong W.B. "Analysis and design of controllers for AQM routers supporting TCP flows". IEEE/ACM Transactions on Automatic Control, vol. 47, no.6, pp. 945-959, June 2002.
3. Hollot C.V., Misra V., Towsley D., Gong W.B., "On Designing Improved Controllers for Routers Supporting TCP Flows", in Proceedings of IEEE INFOCOM'2001, April 2001, 1726-1734.
4. Гостев В.И., Скуртов С.Н. Фаз-зи-системы активного управления очередью в сетях TCP/IP: монография. - Нежин: ООО "Видавництво " Аспект-Пол ^раф", 2011. - 464 с.
5. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / Пер. с англ. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002.- 832 с.
Аннотации:
В работе исследована методом логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) система активного управления очередью пакетов (AQM-система) в сетях TCP/IP с пропорционально-интегральным алгоритмом управления (PI-регулятором).
Анотащя. В робоп дослщжена методом ло-гарифм1чних частотних характеристик (ЛЧХ) система активного управлшня чергою пакепв (AQM-система) в мережах TCP/IP с пропорцшно-штегральним алгоритмом управлшня (PI-регулятором).
The summary. In work it is investigated by a method of logarithmic frequency characteristics the system of active queue management of packages (AQM- system) in networks TCP/IP with proportional-integrated algorithm of management (PI-regulator)
