CC BY
27
© 2005 С.А. Коржакова, А.В. Коржаков УДК 004 ББК 32.81 К 66
Исследование априорной информации о расходе топлива в карбюраторных двигателях
Аннотация:
Приведены результаты исследования расхода топлива в карбюраторных двигателях после установки на них акусто-магнитного аппарата. Результаты получены на основе методов математической статистики и теории погрешности.
Ключевые слова:
Карбюраторный двигатель, критерий Шарлье, критическая точка, критерий Пирсона, абсолютная ошибка.
Рассмотрим исследования, которые были проведены на реальном физическом объекте после установки акусто-магнитного аппарата. В результате повторных измерений, проведенных с одинаковой точностью, были получены ряды различных значений. Рассмотрим ряд величин, указывающих расход топлива на сто километров для автомобилей отечественного производства с карбюраторным двигателем.
Для нахождения наиболее близкого значения к истинному значению измеряемой величины найдем среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений (выборочное среднее), являющееся
несмещенной оценкой математического ожидания (МО) случайной величины.
X
1
= - Z X, =8,61
n i=1
(1)
Результаты отдельных измерений отличаются от среднего значения. Эти отклонения носят названия абсолютных погрешностей. Проведем формирование групп результатов.
Абсолютные ошибки отдельных измерений некоторой величины в какой-то степени характеризуют точность каждого из измерений или разброс измеряемых значений. Перейдем к выборке отклонений от среднего арифметического значения (таблица 1).
В качестве количественной меры разброса выбрано математическое ожидание квадрата случайных отклонений наблюдений - дисперсия.
Точечная оценка дисперсии, определяется по формуле:
~ 1 п х] =—Г Ё (х. - X )2.
1 .=1
n -
(2)
Для исправления оценки СКО введем поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений n. Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(®) ~ 1,03. Оценка среднего квадратического отклонения
k (n)д/D[ x] = k (n)
1
У(Xi - X)2. (3)
і i
n -1
Таблица 1
№ группы Xi Ni Ах, Axf Ах? • n,
1 8,38 2 0,23 0,0529 0,1058
2 8,44 1 0,17 0,0289 0,0289
3 8,48 2 0,13 0,0169 0,0338
4 8,51 3 0,10 0,0100 0,03
5 8,54 3 0,07 0,0049 0,0147
6 8,55 2 0,06 0,0036 0,0072
7 8,59 3 0,02 0,0004 0,0012
8 8,63 6 0,02 0,0004 0,0024
9 8,69 2 0,08 0,0064 0,0128
10 8,72 3 0,11 0,0121 0,0363
11 8,76 2 0,15 0,0225 0,045
12 8,89 1 0,28 0,0784 0,0784
Полученные оценки МО и СКО являются случайными величинами. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки x и О. Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать с помощью СКО Sx и So . Оценка СКО среднего арифметического значения
Sx
■ - - (4)
SX =■
1 n
(—1)¿(X- X)2.
n(n -1) i=1
4п \
Оценка СКО среднего квадратического отклонения S^S(S,) = /(2л/п). (5)
Отсюда следует, что относительная погрешность определения СКО может быть оценена как
= 4Т-Г /(24П). (6)
Она зависит только от эксцесса и числа наблюдений в выборке и не зависит от СКО, т.е. той точности, с которой производятся измерения. Ввиду того, что большое число измерений проводится относительно редко, погрешность определения с может быть весьма существенной. В любом случае она больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня и устраняемой поправочным множителем к(п). В связи с этим пренебрегаем учетом смещенности оценки СКО
отдельных наблюдений и определяем его по формуле [2]
~ = ,/Щ
1
п -
1X(х -
1 2=1
х )2 =0,126, (7)
п 5 10 20 30 40 50 100
Кп 1,3 1,65 1,96 2,13 2,24 2,32 2,58
№ группы Хі N1 Дх2 Дх2 Л
1 8,38 2 0,22 0,049 0,097
2 8,44 1 0,16 0,026 0,026
3 8,48 2 0,12 0,014 0,029
4 8,51 3 0,09 0,008 0,024
5 8,54 3 0,06 0,004 0,011
6 8,55 2 0,05 0,003 0,005
7 8,59 3 0,01 0,000 0,000
8 8,63 6 0,03 0,001 0,005
9 8,69 2 0,09 0,008 0,016
10 8,72 3 0,12 0,014 0,043
11 8,76 2 0,16 0,025 0,051
т.е. считают к(п)=1.
Для того, чтобы определить точечные оценки закона распределения, необходимо исключить грубые
погрешности или промахи в результатах измерений.
Используем Критерий Шарлье, число наблюдений в ряду велико (п > 20). Тогда, по теореме Бернулли, число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину К^, будет п[1 - Ф( Кш)] где Ф(Кш) - значение нормированной
функции Лапласа для Х=Кш [3].
Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то п[1-Ф(Кш)]=1. Отсюда Ф(Кш)=(п-1)/п. Значения критерия Шарлье приведены в таблице2.
Таблица 2
Найдем среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений (1).
_ 1 п
X = — V X, =7,60.
п г=1
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение (7):
к(п)^Цх] = к(п) Х(Х - х)2 =0,105.
\П-1 2=1
Пользуясь критерием Шарлье, отбрасываем результат, для значения которого в ряду из п наблюдений
выполняется неравенство | X^ X | > Кш Хх.
Если, Кш =0,269, то необходимо отбросить
результат 8,89.
После исключения грубой погрешности перейдем к формированию нового ряда и групп результатов. Запишем полученные данные в таблицу 3.
Таблица 3
Приступим к определению закона распределения результатов измерения. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения, возможно с использованием специального
критерия X - Пирсона. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариантов, приняв в *
качестве варианты X; среднее арифметическое концов
интервала: X; = (X, + хг+1) / 2 . В итоге получим
распределение, представленное в таблице 3.
Выполнив выкладки по методу произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее
“* О Г' *
квадратическое отклонение: X = 8,6 , с =0,099. Определим шаг по формуле Стерджеса:
X - X ■
к = 1+3,32 ^ п=4,8, И = -----— =0,076. (9)
к
Найдем интервалы (2,, 2,+1) , учитывая, что
X* = 8,6 , с* =0,099, V * =10,05.
/а
Для этого составим расчетную таблицу 4 (левый конец первого интервала примем равным — да, а правый конец последнего интервала да).
Таблица 4
Номер интервала і Граница интервалов Частота * хі * * хі - х * * хі+1 - х Границы интервалов
Хі Хі+1 пі * ІК 1 1 і * . Хі+1 -х 2і+1 = * С7
‘-і * сг
1 8,38 8,46 3 8,420 -0,22 -0,14 - -1,400
2 8,46 8,54 5 8,5 -0,14 -0,06 -1,400 -0,596
3 8,54 8,62 8 8,580 -0,06 0,02 -0,596 0,208
4 8,62 8,70 8 8,66 0,02 0,10 0,208 1,012
5 8,7 8,78 5 8,740 0,10 0,18 1,012 -
Сумма 29 8,60 -0,30 0,10
Найдем теоретические вероятности Р2 и теоретические частоты п' = п • Рі = 29 • Р2. Для этого составим расчетную таблицу 5.
Таблица 5
Номер интервала і Граница интервалов Ф( 2) + О Р = Ф( г.) - Ф( 2+1) П = 29 • р
Г 2+1
1 - -1,40 -0,500 -0,4192 0,0808 2,3432
2 -1,40 -0,60 -0,4192 -0,2257 0,1935 5,6115
3 -0,60 0,21 -0,2257 0,0832 0,3089 8,9581
4 0,21 1,01 0,0832 0,3438 0,2606 7,5574
5 1,01 - 0,3438 0,5000 0,1562 4,5298
Сумма 1,000 29
2
По таблице критических точек распределения Хнабл ,
по уровню значимости ОС = 0,05 и числу степеней
свободы к = 5 — 3 = 5 — 3 = 2, находим критическую точку правосторонней критической области
X (0,05;2) =6.
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную
таблицу 6. Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле
хіаб* = У (п2/ О - п. (10)
Контроль: У (п2 / Ю - п =29,43-29=0,43= Х^л .
Вычисления произведены правильно.
Таблица 6
І п п і - П (п - П)2 1 •А п.2
1 3 2,34 0,657 0,43139 0,18 9 3,84
2 5 5,61 -0,612 0,37393 0,07 25 4,46
3 8 8,96 -0,958 0,91796 0,10 64 7,14
4 8 7,56 0,443 0,19589 0,03 64 8,47
5 5 4,5298 0,470 0,22109 0,05 25 5,52
сумма 29 29,00 0,43 187 0,43
2 2
Так как Хнабл < Х^, то принимаем гипотезу о
нормальном законе распределения генеральной совокупности. Расхождение между эмпирическими
частотами и теоретическими частотами незначимо.
Проверка по критерию Пирсона показывает, что распределение величин подчиняется нормальному закону Гаусса. Зная закон распределения можно перейти к нахождению квантильного множителя 2 р при заданном
значении доверительной вероятности Р=0,95. Доверительные границы случайной погрешности можно
записать как А = ± • 5х .
V х
Находим среднее квадратическое отклонение от
среднего значения (4):
Перейдем к вычислению границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерения. Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из неисключенных погрешностей метода, средства измерения, погрешностей поправок. При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. Данные о виде неисключенных составляющих систематических погрешностей отсутствуют, поэтому их распределение считаем равномерным. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей границы неисключенной систематической погрешности результата измерения 0 вычисляют по формуле [3]:
в = к.
=
і
п(п -1)
у (X . - X )2 =0,0194. л .
1у 1 ' где в - граница і
І=1 1
у в2
(12)
1=1
й не исключенной составляющей
Так как гипотеза о нормальности распределения не противоречит опытным данным, доверительный интервал определяется по формуле [3]:
Р(0,95) = 2Ф( гр ). (11)
Отсюда Ф( ) =0,475. Из таблицы значений
функции Лапласа, находим, что =1,96.
Подставляем полученные значения в формулу
А = ±г„ • 5х =1,96 • 0,0194 = 0,038.
систематической погрешности;
к - коэффициент, определяемый заданной доверительной вероятностью (при Р(0,95) к = 1.1); т - количество неисключенных составляющих.
Определим границы неисключенной составляющей метода измерения. Для нахождения ошибки метода измерения нужно использовать формулу для вычисления исходной величины
100 • О
где V - расход топлива на сто километров;
в - доза топлива, используемого для прохождения пути до полной остановки двигателя автомобиля;
8 - расстояние, пройденное автомобилем от момента начала измерения до полной остановки.
Необходимо найти формулу для абсолютной или для относительной ошибки измеряемой величины [1]. Абсолютная ошибка:
учитывая- что автомобиль останавливается не сразу после остановки двигателя. Относительная ошибка равна ± 0-014. Aбсoлютная ошибка равна 0-195.
Найдем границы неисключенной систематической погрешности результата измерения О по формуле (2.2S):
AN = ±
BAA + A AB 100 -1-105
= 0-635.
В2
Относительная ошибка:
АМ .АЛ АВ. 0,635
-----= ±(— +----------------------------) = ±—-= 0,048.
N Л В 13,15
Подставим в полученные формулы вместо ошибок измерений точность приборов (класс точности - 0,5), которые использовались для измерения, а вместо значений непосредственно измеренных на опыте величин - их приближенные значения, тогда получим ошибку метода
0,5
измерения —— = ±0,071.
Определим погрешности при проведении измерений,
A = KS Z =■
tpS + О
S+
Z02/3
SZ =
где SZ =
Z02/3 + s 2 - оценка суммарного СКО
z..
,=1
суммарной погрешности.
Однако данный подход приводит к заниженным оценкам. Согласно рекомендациям Сергеева А.Г. [3], возможно, рассмотреть этот вопрос с другой точки зрения. Если систематическая составляющая постоянна, то ее модуль должен суммироваться с доверительным
интервалом случайной составляющей Доверительный интервал суммарной погрешности
А = 2(|0| + ) =2(0,095+0,038)=0,266. (14)
Результат измерений записывается в виде V=8,6 ± 0,266
tpS.
О = k
,=1
О2 =
1-1 -40-04S2 + 0-0712 + 0-0142 = 0-095 .
Границы неисключенной составляющей систематической погрешности и оценки СКО результата измерений S связаны соотношением
0-0152<О <0-152.
При невыполнении неравенств 0<0.SS и 0>SS границу суммарной погрешности ГОСТ S.207-76 предписывает находить путем композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей- рассматривая как случайные величины. Допускается границы погрешности результата измерений определять по формуле:
1-96 - 0-105 + 0-095 0-105 + 0-049
- 0-0526 = 0-1027.
(13)
при доверительной вероятности P = 0,95 . Полученный результат соответствует контрольным замерам, данным в технической документации на данный вид автотранспорта.
Примечания:
1. Зайдель А.Н. Элементарные оценки ошибок измерения. Изд. 2-е испр. И доп. - Л.: «Наука», Ленинградское отд., 1967.
2. Коржаков А.В. Исследование эффективности акусто-магнитной
обработки жидкого топлива. / А.В. Коржаков, В.И. Лойко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ 2004.- №2 (02). - Режим доступа:
http//www.ej .kubagro.ru/2004/20/02/p02.asp.
3. Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебное пособие. / Латышев М.В. Терегеря В.В. / - М.: Логос, 2003. - 536 с.: ил.
=1
