Исследование алгоритмов глобального поиска с обобщённой характеристикой квадратичного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, N9 3 (2),с. 25-32

УДК 519.853.4+532.54+531.011

ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ГЛОБАЛЬНОГО ПОИСКА С ОБОБЩЁННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ КВАДРАТИЧНОГО ТИПА

© 2011 г. Д.Н. Добряев1, Н.В. Данилова1,2

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

dobdensoft@front.ru

Поступила в редакцию 27.01.2011

Рассматриваются многомерные задачи глобальной оптимизации. Предлагается новый алгоритм глобального поиска, основанный на характеристической структуре решающего правила с обобщённой характеристикой квадратичного типа. Приводятся результаты решения прикладной задачи гидродинамики с использованием предложенного алгоритма в рамках многошаговой схемы с применением конструктора алгоритмов.

Ключевые слова: многомерная глобальная оптимизация, решающее правило характеристической схемы, обобщённая характеристика квадратичного типа, конструирование характеристических алгоритмов, многошаговая схема редукции размерности, стационарное потокораспределение.

Введение

Задачи принятия оптимальных решений часто являются достаточно трудоёмкими, рост затрат на нахождение оптимума в них экспоненциален при увеличении размерности [1, 2]. Быстрое развитие вычислительных средств, в частности, распараллеливание, предоставляет новые возможности для решения оптимизационных проблем [3]. Но наряду с использованием новых высокопроизводительных технологий очень важное место занимает используемая методика поиска оптимума. Различные задачи часто требуют различных подходов. Поэтому создание систем, которые помимо эффективного использования вычислительных ресурсов предлагают широкий спектр возможностей по выбору или конструированию того или иного метода в зависимости от поставленной задачи, является перспективным направлением на пути получения значимых результатов. А это, в свою очередь, требует создания новых алгоритмов, адаптированных к специфике решаемой задачи.

В настоящей статье предлагается новый алгоритм глобального поиска, основанный на характеристической структуре решающего правила, в котором используются обобщённые характеристики квадратичного типа. Исследуются условия сходимости метода и достаточные условия сходимости к глобальному минимуму. Предлагается параллельный вариант реализации алгоритма. Рассматривается распростране-

ние метода на многомерный случай на основе многошаговой схемы редукции размерности. Приводятся результаты вычислительного эксперимента по прикладной задаче.

1. Характеристические методы многоэкстремальной оптимизации

Рассмотрим следующую одномерную задачу: f (x) ^ min, x е [a, b]. (1)

Алгоритм решения задачи (1) называется характеристическим [1, 4], если начиная с некоторого шага поиска выбор координаты xk+1 очередного испытания заключается в выполнении следующей последовательности действий.

1) Задать набор Л k = {x0,..., xT} конечного

числа т +1 = т(k) +1 точек отрезка [a, b], полагая, что a еЛk, b еЛk, все координаты предшествующих испытаний расположены по возрастанию: a = x0 < xl <... < xT-1 < xT = b .

2) Каждому интервалу (x._, x. ), 1 < i < т, поставить в соответствие число R(i), называемое характеристикой интервала.

3) Определить интервал (xt-1, xt ), которому

соответствует максимальная характеристика: R(t) = max{ R(i) :1 < i < т} .

4) Провести очередное испытание в точке xk+1 = D(t) e (xt_j,xt).

В вычислительную схему характеристического алгоритма можно ввести условие остановки вида х - х_1 < е, где е > 0 - заданная точность поиска (по координате), то есть прекращать вычисления, когда длина интервала с максимальной характеристикой станет меньше заданной точности 8.

В качестве примера характеристического метода можно привести информационностатистический алгоритм глобального поиска (АГП) [1, 4]:

R(i) = m(x - xi-1 ) +

(Z - zi-i)2

k+1 x =

m( xi- xi-1)

( x, + x,-1 ) ( z, - z-1 )

- 2(zi + Zi-) ■

2

2m

где zt - результаты испытании в точках xt. Величина m > 0 вычисляется:

m =

rM, M > 0,

1, M = 0,

I z — z-_, |

где M = max—‘-—, а r >1 - параметр метода.

1<‘<T x —

алгоритмы [5]. Это даёт возможность быстро менять или корректировать методы поиска при необходимости.

Пусть, например, следующие обозначения используются для построения арифметического выражения: х;-1 - левая граница интервала, х. -

правая граница интервала, z—1

значение

X - X-.

2. Конструирование решающих правил в рамках характеристической схемы

Вычислительная схема характеристического алгоритма представлена пунктами 1-4 из раздела 1. Для проведения очередного испытания осуществляется разбиение отрезка [a, b] на интервалы. Затем выбирается интервал с наибольшей характеристикой R(i), и точка очередного испытания размещается внутри этого интервала в соответствии с правилом D(t ).

Таким образом, характеристический алгоритм определяется двумя правилами. Чтобы задать или сконструировать алгоритм, достаточно определить:

1) правило вычисления характеристики интервала R(i) ;

2) правило выбора очередной точки испытания D(t).

Для задания правил R(i) и D(t) можно использовать арифметические выражения. Для вычисления значений данных выражений целесообразно применить формульный транслятор. Данная схема позволит задать любые правила R(i) и D(t ), которые могут быть представлены в виде арифметических выражений, и, следовательно, сконструировать характеристические

функции на левой границе интервала, - значение функции на правой границе интервала. Тогда метод ломаных может быть сконструирован следующим образом:

R(i) = 0.5т(хі -хі_1)-(_1 )/2,

'О(ґ) = 0.5(х, + хг-1) -(г( -г(-1 )/(2т),

где т - параметр метода (константа Липшица).

3. Обобщённая характеристика квадратичного типа и условия сходимости

В данной работе предлагается новый характеристический алгоритм с обобщённой характеристикой квадратичного типа:

( - -1 )2

R(ï) = am(xi - xi_j) + p—-,--------------------^

- xi_i )

-Y( + zi_i ) + s|zi - zi_i |> (2)

xk+1 = xt + xt-1 zt _ zt-1

2 m

(3)

где а > 0, в, у, 8, ^ > 0 - параметры. Величина m вычисляется как в методе АГП.

К примеру, при параметрах а = 0.5; в = 0; Y = 0.5; 8 = 0; % = 0.5 получим метод ломаных.

Теорема 1. Пусть точка х* является предельной точкой (точкой накопления) последовательности поисковых испытаний {xk}, порождаемой характеристическим алгоритмом при решении задачи f (x) ^ inf на отрезке

[a, b], причем x* Ф а и x* Ф b . Предположим, что параметры обобщённой характеристики удовлетворяют условиям

2^/ар + 8>y, р>а, ^ <2 или

2^/ар + S> y, Р ^ а, ^ < 2. (4)

Тогда последовательность {хк} содержит две подпоследовательности, одна из которых схо-

*

дится к x слева, а другая справа.

Доказательство. Для двусторонней сходи- ( _ 1 )2

мости алгоритма требуется выполнение следу- ^(0 = ат(х,- _ х,--1) + Р ( _ ) _У(( + 2,--1 ) +

.............~ п Лл. т\Х1 Х1 -1)

m і

ющих условий [2, 4]:

а) если при k точка x є |x,-(kц, x,-(k)] и + 8|z,- - z,--i| = |z,- - zi-1x

xi(k)-i ^ x>xi(k) ^ x, тогда

R(i(k)) -^z(x) + c; (5)

^ m(x, - x,.-!) + ß |z,- - z,-_J +

a—+ p^-------------4 + °

zi - zi-і m\Z - X-і)

-Y (і + z,-і ) = = \zt - zt-і 1^+^+8)- y(zz + z-і),

A = -

Ь) в случае, когда начиная с некоторого шага поиска интервал (_х,х;), I = ¡(к) не содержит т(^ ^ )

точек поисковых испытаний, т.е. существует А =

~ > 1, такое, что для всех к > к (х,-^, х,-) I {хк} = 0, для характеристики интервала справедливо Верно, что

в

Z- — Z-_

aA +— > 2^/aß , (9)

lim R(i) > -цтіп{хг._), z(xt)} + c; (6) A

минимум, достигаемый при

- минимум, достигаемый при A = J— )-

)>

с) тах{хк+1 - х(-1,х, - хк+1}< v(xt - х,_1), (7)

где ц, с, V - некоторые константы, причём Пусть 2д/аР + 8 > у, тогда

ц > 0, 0 <v< 1.

Найдём параметры а, в, у, 8, %, при кото- ^(0- К - ^-1|(2VаР + ^)-У( + ^-1 ):

рых выполнены условия теоремы. Для рассмот- >у|z. - z¡^ — у(; + z¡-1 ) = -2у min{Zг,

рения условий теоремы сделаем предположение,

что минимизируемая функция z(x) удовлетворяет т.е. при ограничении на параметры 2Л/ар + условию Липшица с константой Ь > 0, т.е. ~

■’ + о > у условие (6) выполнено.

\г(х')- г(х") < Ь\х- х'", х',х " е [а,Ь]. (8) Из выражения для вычисления т следует,

что

A = Хг. - Хг.> 1 , (10)

Z- — Z-_1

а) В силу липшицевости функция г(х) непре- т(х - х )

рывна, и следовательно, при стягивании интер- А = 1 1

вала (х;-х,хі) к точке х характеристика интервала будет стремиться к величине - 2уг(х), т.е. [р

поэтому при -I — < 1, Р < а, минимум функции

для выполнимости условия (5) можно положить V а

Ц = 2у, с = 0. ß ß

,, _ ss-, „ал +— не достигается, т.е. aA +—> zJ aß

b) Для проверки условия (6) рассмотрим 2 A A

случая. Пусть сначала для интервала (x; _j, xi) всегда, и условие (6) выполнено при нестрогом

справедливо z;-1 = z;. Тогда характеристика неравенстве 2y/aß + 8 > у.

R(г) = am(х, - х,_!)- у(г, + г,ч) > -у(г, + z,._!) = c) xt - xk+1 = xt - 0.5(хг + xt_j) + ^ ^Z‘ Z‘-1 ^ =

= -2y min{z, _!, z,}, Z _ ) ^

( ) = 0.5(xt _ xt_i ) + ^■ZZ^—Z^ <

поскольку длина интервала _1? xt) начиная с m

некоторого шага поиска kA перестаёт изменять- < о 5(x - x ) + (x — x )_

ся, т.е. существует константа Д> 0, такая, что m

при к > кА имеет место X,. - X,.- > А > 0. Г0.5 + ЖЪ - xt) = ( 1 + i](x - xt)

Предположим теперь, что z;-1 ф Zj. . Восполь- V m ) V1 r )

зуемся соотношением: Для выполнения условия теоремы требуется

1 1 % 1 % 1 f r т

. f I i\ — + — < 1 — %<—. Теорема доказана.

mmtzi'-i>zi} = -\zi-1 + zi -|zi-i -z,|j. 2 r ’ r 2 2

Имеем характеристику

x

Следствие. В вычислительную схему алгоритма с обобщённой характеристикой квадратичного типа при выполнении ограничений (4) можно ввести условие остановки вида

X - xt-1 <Е,

где t - из определения характеристического алгоритма в разделе 1, £> 0 - заданная точность поиска по координате, т.е. прекращать вычисления, когда длина интервала с максимальной характеристикой станет меньше заданной точности s.

Доказательство. Справедливость данного утверждения вытекает из следствия теоремы о двусторонней сходимости [2, 4] в силу её выполнимости для алгоритма при заданных ограничениях на параметры.

Теорема 2. Пусть функция z(x) удовлетворяет на отрезке [a,b] условию Липшица с константой L. Тогда точка х* глобального минимума функции z(x) на данном отрезке является предельной точкой последовательности поисковых испытаний, порождаемой алгоритмом с обобщённой характеристикой, если выполняются следующие условия

m >-, (11)

а 2

Доказательство. Для сходимости к глобальному минимуму требуется выполнение условий (5) и (7) теоремы о двусторонней сходимости [2,

4], а для интервала (_х,xt) со свойством

(XiXi)П {xk} =0 выполнение условия

lim R(i) > ^(l(x, - x,-!)- zi_i - z,) + c. (12) k 2

Имеем характеристику

Z - )

R(i) = am(Xi - xi_1) + ß-4—Z±) - Y(z,. + zi_l)+ ЩХ - x_i)

+ 8|z, - z,_i | ^ am(X - xi_i) - y(z, + z,_i)

Выражение для характеристики должно быть больше величины

-2 (L(x, - x,-!)- z,-! - z,)+ c.

В доказательстве теоремы 1 мы положили, что m = 2y, c = 0 , поэтому должно быть выполнено

ат(х, - х,_j) -y(x + zM )>

>YL{xt - x,_i )-y(z, + z,_i).

Неравенство верно, если am > уL , т.е.

m >— L • (13)

а

Теорема доказана.

4. Многошаговая схема редукции

размерности и конструктор алгоритмов

Рассмотрим многоэкстремальные задачи оптимизации, т.е. задачи, в которых целевая функция в области D может иметь несколько локальных экстремумов. На сложность решения данных задач существенное влияние оказывает размерность.

Многие подходы к конструированию численных методов анализа многомерных многоэкстремальных задач основаны на идее редукции сложности.

Одним из наиболее эффективных является подход, связанный с редукцией размерности, когда решение многомерной задачи сводится к решению одной или нескольких одномерных подзадач. В качестве примеров можно привести следующие схемы такого рода: многошаговая схема (схема вложенной оптимизации) [3, 4] и редукция размерности на основе кривых, заполняющих пространство (кривых Пеано) [1].

Рассмотрим в качестве исходной задачу

f (x) ^ min, x е D с Rn,

D = [x е Rn: a < xt < b, i = 1,n}. (14)

В силу отсутствия функциональных ограничений исходное соотношение можно представить в виде [4]:

min f (x) = min min ...

xeD Xj €[ßj ,bj ] %2 e[«2 ,^2 ]

... min f (xi, X2 xn ). (15)

xn eK ,bn ]

Введем семейство функций:

f'(xl,...,xt) = min{fi+1(xt,xI+l): xI+l e [ö,.+1,bI+l]j, 1 < i < n — 1.

Для решения исходной задачи достаточно решить одномерную задачу:

f1 (x1) ^ min, x1 e [а1, b1 ].

При этом каждое вычисление функции /'(xj) в некоторой фиксированной точке x1 е [aj, b1 ] представляет собой решение одномерной задачи:

f2 (xt, x2) ^ min, x2 e[a2, b2 ].

Эта задача является одномерной задачей минимизации по х2, так как x1 фиксировано. Каждое вычисление значения функции f2 (x1; x2 ) при фиксированных Xj, x2 требует решения одномерной задачи, и т.д. вплоть до решения задачи

fn(X,...,хп) = f(xl,х2хп) ^min, хп 6 [а„,Ъп] при фиксированных x1,..., xn-1, т.е. решение задачи (15) сводится к решению семейства вложенных одномерных подзадач вида:

f (xx,) ^ min, x, e [a,,è, ], (16)

где Xj,...,x_j - фиксированный вектор.

Решение исходной задачи (14) через решение системы одномерных рекурсивно связанных подзадач называется многошаговой схемой редукции размерности.

Каждая одномерная подзадача данной системы должна быть решена, и по каждой переменной должен использоваться какой-либо алгоритм поиска. Пусть система одномерных подзадач решается с использованием характеристических алгоритмов. В этом случае по каждой переменной можно сконструировать свой характеристический алгоритм поиска, задавая соответственно R(i) и D(t) в виде арифметических выражений.

Принцип конструирования по каждой переменной своего характеристического метода поиска лёг в основу разработки программной системы PSoDI, описанной здесь.

5. Система оптимизации PSoDI и конструктор широкого класса характеристических алгоритмов

В рамках подхода с использованием многошаговой схемы редукции размерности наряду с конструированием характеристических методов была реализована программная система PSoDI [5], позволяющая осуществить следующую последовательность действий, необходимую для решения многомерных задач многоэкстремальной оптимизации.

1) Постановка задачи и выбор методов поиска. Целевую функцию, координатные и функциональные ограничения можно задавать аналитически. Также предусмотрена возможность задания оптимизируемых функций в виде подключаемых DLL библиотек. Далее по каждой переменной необходимо задать метод поиска. Алгоритм поиска может быть выбран как из списка, предлагаемого программой, так и опре-

делен самостоятельно путем задания правил вычисления характеристики и точки следующего испытания аналитически.

2) Решение поставленной задачи. Процесс поиска оптимального значения осуществляется на основе многошаговой схемы редукции размерности с использованием сконструированных алгоритмов решения одномерных подзадач.

3) Визуализация исходной задачи и процесса поиска. Средства программной среды позволяют строить целевую функцию (сечения функции, если количество переменных больше двух), линии уровня и отображать точки испытаний. Визуализация делает возможным наглядно представить минимизируемую функцию и процесс поиска, а также качественно оценить правильность работы вычислительной схемы.

Возможности гибкого определения метода поиска с использованием конструктора широкого класса характеристических алгоритмов для каждой конкретной задачи делают систему абсолютно открытой для пользователя при выборе желаемой методики решения задачи.

6. Параллельный алгоритм с обобщённой характеристикой квадратичного типа

Алгоритм с квадратичной характеристикой можно обобщить на случай, когда имеется возможность использования многопроцессорных или многоядерных вычислительных комплексов путём распараллеливания его решающего правила, которое заключается в выборе нескольких интервалов (по количеству процессоров) с максимальными характеристиками и независимого вычисления в них значений целевой функции

[3, 6].

Вычислительная схема параллельного алгоритма с обобщённой характеристикой квадратичного типа для решения задачи (1) может быть описана следующим образом.

Пусть имеется р > 1 вычислительных узлов (процессоров, ядер), каждый из которых независимо и параллельно с другими процессорами может вычислять значение минимизируемой функции f (х).

Шаг 1 (инициализация). Первые р > 1 испытаний алгоритма проводятся в произвольных внутренних точках х1,х2хр отрезка [а,Ь]. Вычисляются значения гі = /(хі), 1 < і < р. Полагаем количество к испытаний равным р , номер п текущей параллельной итерации устанавливается в единицу.

Шаг 2 (начало итерации - формирование системы интервалов). Координаты испытаний х1,х2хк, к = к(п), вместе с граничными точками а и Ь области одномерной оптимизации перенумеровываются нижним индексом в порядке возрастания:

a = x0 < x1 <... < xT-1 < xT = b,

(17)

где т = k(n)-1. Точки множества (17) формируют на отрезке [a, b] систему интервалов

X)> 1 < і <т.

Шаг 3 (вычисление характеристик интервалов). Каждому интервалу (x , x{), 1 < і <т,

ставится в соответствие число

( - )2

R(i) = ат(х,- - х,-_) + Р ( Z‘~l \ - Y( + z-) + mlx, - X _ і)

+ 8|z - zi_i |,

называемое его характеристикой.

Шаг 4 (выбор интервалов с р максимальными характеристиками). Среди характеристик R(i) выбираются р максимальных и соответствующие им интервалы.

Шаг 5 (формирование координат новых испытаний). В выбранных р интервалах с наибольшими характеристиками формируются

точки испытаний xk +1,...,xk+p новой (п + 11-й итерации согласно выражениям

(п + 1)-й

, xt + xt ,

,k+s _ К К_

2

't Zt _,

-s-s— для 1 < s < p .

m

Шаг 6 (проверка условия остановки). Если выполняется условие остановки

ggjU. - Я -і)

(18)

где є > 0 - заданная точность поиска по координатам, то вычисления заканчиваются и в качестве (приближенного) решения задачи рассматривается минимальное вычисленное значение функции. В случае невыполнения условия (18) осуществляется вычисление значений функции в точках хк+1,...,хк+р - каждое испытание на своём процессоре. После этого номер итерации п увеличивается на единицу и происходит переход к шагу 2.

Алгоритмическая схема описанного алгоритма является синхронной, т.е. процессор, завершивший своё испытание, ожидает окончания работы остальных процессоров, участвующих в параллельной итерации методов. Предложенная схема может быть обобщена на асинхронный

случай, если при выборе координат новых испытаний не использовать интервалы, в которых не завершено вычисление значений функции.

Из [6] следует, что условия сходимости метода с обобщённой характеристикой совпадают с условиями сходимости его последовательного прототипа, т.е. если целевая функция / (х) удовлетворяет в области [а, Ь] условию Липшица с

“ГА 1- Г

константой Ь > 0, то при т >J—, ^ <— метод

а 2

будет сходиться ко всем точкам глобального минимума функции f (х) и только к таким точкам.

Также следует отметить, что многошаговая схема редукции размерности в сочетании с алгоритмами описанного типа обладает высоким потенциалом распараллеливания [3].

7. Пример использования методики при решении задачи стационарного потокораспределения в гидросистеме

Спектр применения методов оптимизации очень широк. Одной из задач, решение которых можно свести к поиску экстремума функции, является задача нахождения стационарного по-токораспределения в гидросистемах [7, 8]. Поиск стационарных режимов гидросистем можно свести к поиску минимумов функции Ляпунова, которые совпадают с устойчивыми состояниями равновесия системы [9, 10].

Применение данной методики продемонстрировано на примере решения задачи нахождения равновесных режимов системы циркуляции теплоносителя (СЦТ) ядерной энергетической установки, являющейся частным видом гидросистемы.

СЦТ первого контура предназначена для съема выделяющегося в реакторе тепла, переноса его в теплообменники, где оно передается теплоносителю второго контура. На рис. 1 представлена расчетная схема СЦТ, характерная для водо-водяного реактора. В частности, первый контур системы охлаждения типовой энергетической установки ВВЭР-440 содержит 6 параллельных подключенных к реактору петель циркуляции, практически идентичных по составу и параметрам оборудования.

Прошедший через реактор 1 нагретый теплоноситель поступает по трубопроводам в несколько параллельных петель 2 с теплообменниками 3, где он охлаждается, и, пройдя главные циркуляционные насосы 4, снабженные электродвигателями 5, возвращается в реактор.

Рис. 1

Стрелками показано направление течения теплоносителя в нормальном эксплуатационном режиме. Нарушение нормальной, предусмотренной проектом, работы СЦТ недопустимо с точки зрения безопасности реактора.

Анализ структуры фазового пространства математической модели течения теплоносителя, предполагающегося несжимаемым, показывает, что система диссипативна, а её состояния равновесия являются стационарными точками соответствующей функции Ляпунова [8, 9]. Для рассматриваемой СЦТ задача нахождения устойчивых состояний равновесия в шестимерном фазовом пространстве сводится к поиску минимумов этой функции.

Минимизируемая функция для данной схемы имеет вид [7, 8]

и

/(х) = X )+ (х)

здесь

$ (х, ) =

і=1

а,, х3 Ь,ю, х, 2

- С®2X, х > 0;

3

2

а2і х,3 Ь,ю,х, 2 а

. -2^-і_і_^_ - С,ю2 х,, х, < 0;

- ( 6 V 6

і І *, • ІX- * 0;

3 Vі=і ) і=1

- ( 6 ^

і = 1,6,

^7 (х) =

3

V і'=1

і = 1

где хг- - расход теплоносителя в /-й петле, і = 1,6 ; функции £/• (х/), і = 1,6, представляют собой интегралы от гидравлических характеристик участков с теплообменниками, £7(х) - интеграл от гидравлической характеристики участка активной зоны; ац, а2/, Ъ/, С/, йц, йц - положительные коэффициенты, величины которых зависят от

гидравлических сопротивлений участков и гидравлических характеристик насосов; юг- - угловая скорость вращения главного циркулярного насоса в /-й петле.

Расчеты проводились при следующих заданных параметрах:

= ©2 = Ш3 = ш4 = ш5 = ш6 = 1;

«и =14; ап = 4; Ъ1 = 4; с =6;

= ё2 = 0.03; г = 1,6.

Поиск минимумов шестимерной функции / (х) был проведен с использованием алгоритма с обобщённой характеристикой в рамках многошаговой схемы редукции размерности. Были найдены следующие устойчивые состояния, совпадающие с экстремумами:

х1 =-0.90; х2 = 2.93; х3 = 2.93; х4 = 2.93; х5 = 2.93; х6 = 2.93.

/т;п =-84.30.

х1 = 2.93; х2 = -0.90; х3 = 2.93; х4 = 2.93; х5 = 2.93; х6 = 2.93.

/т;п =-84.30.

х1 = 2.93; х2 = 2.93; х3 = -0.90; х4 = 2.93; х5 = 2.93; х6 = 2.93.

/тп =-84.30.

х1 = 2.93; х2 = 2.93; х3 = 2.93; х4 =-0.90; х5 = 2.93; х6 = 2.93.

/тп =-84.30.

х1 = 2.93; х2 = 2.93; х3 = 2.93; х4 = 2.93;

х5 = -0.90; х6 = 2.93.

/тп =-84.30.

х1 = 2.93; х2 = 2.93; х3 = 2.93; х4 = 2.93;

х5 = 2.93; х6 = -0.90.

/т\п =-84.30.

х1 = 2.55; х2 = 2.55; х3 = 2.55; х4 = 2.55;

х5 = 2.55; х6 = 2.55.

/тп = -87.58.

Глобальный минимум этой функции соответствует равновесному режиму циркуляции, направление течения теплоносителя в котором обозначено стрелками на рис. Наличие других режимов работы, соответствующих остальным минимумам функции f (х), недопустимо с точки зрения безопасности работы, и задача конструктора состоит в выборе гидравлических характеристик, при которых состояние равновесия

минимально и устойчиво «в целом». Проверка полученного решения, основанная на результатах работ [7, 8], показала правильность полученного решения и работоспособность предложенного алгоритма.

Заключение

В настоящей работе предложен новый алгоритм глобального поиска, основанный на характеристической структуре решающего правила, в котором используются обобщённые характеристики квадратичного типа. Найдены условия сходимости метода и достаточные условия сходимости к глобальному минимуму. Предложен параллельный вариант реализации метода. Рассмотрено распространение метода на многомерный случай в рамках многошаговой схемы редукции размерности. Показаны принципы конструирования характеристических алгоритмов глобального поиска. Представлены результаты решения прикладной задачи по нахождению стационарного потокораспределения в гидросистеме, которые показали работоспособность предложенного подхода.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, госконтракт № 02.740.11.5018, и Совета по грантам Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (грант № НШ-64729.2010.9).

Список литературы

1. Strongin R.G., Sergeyev Ya.D. Global Optimization with Non-Convex Constraints Sequential and Parallel Algorithms. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2000. 728 p.

2. Городецкий С.Ю., Гришагин В.А. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимиза-

ция. Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 489 с.

3. Sergeyev Ya.D., Grishagin V.A. Parallel asynchronous global search and the nested optimization scheme // Journal of Computational Analysis & Applications. 2001. № 3(2). P. 123-145.

4. Стронгин Р.Г., Гергель В.П., Городецкий С.Ю., Гришагин В.А., Маркина М.В. Современные методы принятия оптимальных решений. Учебник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2002. 189 с.

5. Добряев Д.Н., Гришагин В.А. Программная система конструирования и исследования характеристических методов многоэкстремальной оптимизации / Материалы конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования». Н. Новгород, 3-4 апреля, 2007. 68-71 с.

6. Strongin R.G., Sergeyev Ya.D., Grishagin V.A. Parallel Characteristical Algorithms for Solving Problems of Global Optimization // Journal of Global Optimization. 1997. № 10. P. 185-206.

7. Смирнов Л.В., Данилова Н.В. Основы прикладной аналитической гидромеханики напорного течения несжимаемой жидкости. Учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2009. 65 с.

8. Смирнов Л.В. Математические модели динамики и устойчивость систем принудительной циркуляции теплоносителя. М.: Энергоатомиздат, 1992. 128 с.

9. Смирнов Л.В., Гришагин В.А., Добряев Д.Н., Данилова Н.В. Применение прикладной аналитической гидромеханики и методов принятия оптимальных решений в задаче нахождения потокораспреде-ления в гидросистемах // Вестник ННГУ. Сер. Ма-тем. моделирование. Опт. управление. 2010. № 2(1).

С. 144-154.

10. Добряев Д.Н., Кассина Н.В. Использование методов принятия оптимальных решений при изучении процессов в гидросистемах / Материалы конференции «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», Н. Новгород, 11-12 марта, 2009. 123-128 с.

INVESTIGATION OF GLOBAL SEARCH ALGORITHMS WITH A GENERALIZED QUADRATIC

CHARACTERISTIC

D.N. Dobryaev, N.V. Danilova

Multidimensional problems of global optimization are considered. A new global search algorithm based on a characteristic structure of the decision rule with a generalized quadratic characteristic is proposed. The results of applied hydrodynamic problem solution are given obtained with the help of the algorithm proposed in the frame of a multistep scheme using an algorithm constructor.

Keywords: multidimensional global optimization, decision rule of characteristic scheme, generalized quadratic characteristic, design of characteristic algorithms, multistage dimension reduction scheme, stationary flux distribution.