Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости для оценки динамических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ольга Кирибековна Мансурова —

Евгений Юрьевич Рабыш —

Валентин Юрьевич Рюхин —

Николай Александрович Черевко —

канд. техн. наук, доцент; Северо-Западный государственный заочный технический университет, Санкт-Петербург аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected] канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики;

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой

систем управления и информатики СПбГУ ИТМО

Поступила в редакцию 18.01.11 г.

УДК 681.5

В. В. Григорьев, С. В. Быстров, А. К. Наумова, Е. Ю. Рабыш, Н. А. Черевко

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВИЙ КАЧЕСТВЕННОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Получены аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов, позволяющие для непрерывных и дискретных систем, используя достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости, создать эффективные численные процедуры конструирования регуляторов.

Ключевые слова: экспоненциальная и качественная экспоненциальная устойчивость, оценки качества, конструирование регуляторов, непрерывные и дискретные системы.

Введение. Наиболее сильные аттрактивные свойства положения равновесия системы обеспечиваются при условии экспоненциального затухания переходных процессов. Однако экспоненциальная устойчивость гарантирует только сходимость процессов к состоянию равновесия, но никак не связана с качеством их функционирования. Это обстоятельство обусловливает необходимость определения более локальных условий и понятий устойчивости, связанных с усилением ограничений на динамические свойства системы. Для этого было введено понятие качественной экспоненциальной устойчивости, тесно связанной с такими показателями качества функционирования процессов, как оценки быстродействия и перерегулирования. Это понятие является более узким, чем понятие экспоненциальной устойчивости благодаря введению дополнительных условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения вектора состояния системы [1—5].

Постановка задачи. Предположим, что поведение непрерывной динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида

х (* ) = Гх (*), (1)

а поведение дискретной системы — разностным уравнением вида

х (т +1) = Гх (т), (2)

где х е Я" — вектор состояния динамической системы; х(0) = х0 е Я" — вектор начальных состояний; Е — п х п -матрица описания системы; I > 0 — время, т = 0,1, 2 ... — номер интервала дискретности.

Приведем определения качественной экспоненциальной устойчивости для непрерывных и дискретных динамических систем [2].

Определение 1. Непрерывная система (1) в положении равновесия х = 0 называется качественно экспоненциально (в, г) устойчивой, если для любых траекторий движения

п"

системы, определяемых произвольными начальными условиями Х0 е Я , существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и в (в + г < 0), при которых в любой момент времени ^ > 0 выполняется условие

х

(' Ь

ег хг

<р(е[в+г]г -ев'

0

где норма вектора задается соотношением

х =

II х|

/=1

1/2

(3)

(4)

здесь х1 — /-я координата вектора состояния х.

Определение 2. Дискретная система (2) в положении равновесия х = 0 называется качественно экспоненциально (в, г) устойчивой, если для любых траекторий движения Отступ

темы, определяемых произвольными начальными условиями х0 е Я , существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и в (0 < в< 1 -г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие

х (т )-втх^| <р((в + г )т-вт )-|| х0

(5)

Параметры г и в имеют следующий смысл: параметр в подобен коэффициенту сноса и определяет среднюю скорость сходимости траекторий движения к положению равновесия, а параметр г подобен коэффициенту диффузии и определяет отклонения траекторий движения от усредненной траектории.

Из определений 1 и 2 непосредственно следуют оценки динамических показателей качества систем. Отметим, что эти оценки вводятся для оценочных трубок, определяемых условиями качественной экспоненциальной устойчивости, в которых и расположены все траектории движения системы.

Для оценки быстродействия непрерывных и дискретных динамических систем соответственно введем в рассмотрение параметр 5п, характеризующий некоторую относительную

5п -окрестность (5п < 0,05) положения равновесия:

х0 ь I > ¡п ;

||х (' )|<8П

||х(т|<5п -||х^|, т Т,

(6) (7)

а временем переходного процесса непрерывных и дискретных динамических систем соответственно будем называть такой момент времени ¡п, начиная с которого все траектории движения системы, определяемые начальными условиями х^ , лежат в заданной 5п -окрестности

установившегося значения для любого момента времени * > , т.е. выполняются соотношения (6) и (7) соответственно, где Т — интервал квантования.

Под оценкой значения перерегулирования непрерывных и дискретных динамических систем будем понимать величины а, определяемые соответственно уравнениями

- тЧе[0, *п ]хм ) . (8)

а=—РЛ—'

а=- т1п те[0,1п/ Т ]хм (т) (9)

где хм — миноранта ||х||, т.е. функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что хм < ||х||; перерегулирование косвенно характеризует колебательность

процессов в динамической системе.

Ставится задача на основе достаточных условий качественной экспоненциальной устойчивости (3) и (5) для непрерывных и дискретных динамических систем, задаваемых уравнениями (1) и (2) соответственно, определения оценок динамических показателей качества (времени переходного процесса и перерегулирования), которые позволят создать эффективные процедуры аналитического конструирования регуляторов

Основные результаты. Для оценки динамических процессов будем использовать квадратичную функцию Ляпунова вида

V (х) = хТРх, (10)

где Р = Р — положительно-определенная п х п -матрица. Для этой функции справедливо соотношение Рэлея:

||2 , II ||2

с1 II х||

< V(х)< с2||х||(11)

где с1 и с2 — минимальное и максимальное собственные числа матрицы Р соответственно.

Теорема 1. Непрерывная система (1) качественно экспоненциально (в, г) устойчива в положении равновесия х = 0, если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями х0 е Яп, существуют такая квадратичная функция Ляпунова V (х(*)) и такие параметры г (г > 0) и в (в + г < 0), при которых в любой момент времени * > 0 выполняется условие

V [|х(*)-вх(*))< гV (х(*)).

(12)

Теорема 2. Дискретная система (2) качественно экспоненциально (в, г) устойчива в положении равновесия х = 0, если для любых траекторий движения системы, определяемых произвольными начальными условиями х0 е Яп, существуют такая квадратичная функция Ляпунова V(х(*)) и такие параметры г (г > 0) и в (0 < в< 1 -г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие

V(x(m + 1)-вх(т))< г ^ ( х (т)) . (13)

Из теорем 1 и 2 следуют оценки (3) и (5) соответственно [3], при этом

р=ТсГм. (14)

Утверждение 1. Оценки показателей качества непрерывных систем имеют следующий

вид:

'п =

1 , Гбп ^

в + Г

-1п

р ;

(15)

Р+Г1 1пГ (р+1)Рч

Г j ^р(р+ГЬ-(р +1)

е1 ^

а = ре ' ч''у-(р + 1)е ' " . (16)

Утверждение 2. Оценки показателей качества дискретных систем имеют следующий

вид:

'п =

Т log(p+г)

а = р(в + г )а-(р + 1)

(17)

(18)

где а = ^

((Р+г )/ г )

(р + 1)1п в

р 1п (в + г )

Доказательство утверждений 1 и 2 см. в Приложении.

Пример. При заданных параметрах а = 0,05, = 1, 5п = 0,05, р = 1 исходя из условий качественной экспоненциальной (в, г) устойчивости задаются оценочные трубки, вид которых представлен на рисунке. Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния, лежат внутри оценочных трубок.

0 0,5 1 /, с

Заключение. Использование полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества непрерывных и дискретных динамических систем — времени переходных процессов и перерегулирования — совместно с достаточными условиями качественной экспоненциальной устойчивости позволяет создать эффективные процедуры аналитического конструирования регуляторов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Согласно определениям условием качественной экспоненциальной (в, г) устойчивости (3) непрерывных систем является соотношение

х

евх

<р е

Хв+г ] - ев*

(19)

В соответствии со свойствами нормы

•с )11

х (* )||-| |евгх.

<

ев1хг

ев*хп

= ев II х,

0 '

откуда, учитывая условие (19), получаем

х (* ) - ег х

■в*|

<Р е

,[в+г]* - ев*

Отсюда следуют неравенства

||х(*)-евЪ|| <р(е[в+г-ев* ||х(*)-евЪ|| >-р(е[в+г-ев*

0

получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем

- ев* = р/е[в+г- ев*

5П -е* = р(е

-8п - ев* =-р( е[в+г- ев* в

Решив уравнение (22) относительно ев и подставив его в (23), получим

бп

v р )

*п = * =

1 Г б 1

— 1п бп

в + г

где

Рассмотрим миноранту из неравенства (21):

ттг хм (*) - ев*а I|х0|| = -р (е[в+г- ев'°

1

= -1п

г

0

(Р + 1)в

(20) (21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

чР(в + г )

по сути является временем экстремума функции (25), т.е. временем перерегулирования системы. Подставив уравнения (25) и (26) в выражение (8), получим

Ё±г 11пГ (р+1)в

г ) Vp(в+г)

1п

(р+1)в р(в+г)

а = ре —■ "-(р + 1)еу'у . (27)

Равенства (24), (27) соответствуют равенствам (15), (16), что и требовалось доказать. Доказательство утверждения 2. Согласно определениям условием качественной экспоненциальной (в, г) устойчивости (3) для дискретных систем является соотношение

\т пт'

х (т

-в% <р((в+г)т -в

х

(28)

В соответствии со свойствами нормы

х(т) —

втх(

<

х (т)—втх(

втх0 = вт х0 при в > 0:

откуда, учитывая условие (28), получаем

||х (т)|—вт||х^| |< р((в+г )т —вт ))| ^Ц.

Отсюда следуют неравенства

х (т

-втЫ <р ((в+г )т -вт

Хп

, .. .. (29)

||х(т|-Г||х^| >-р ((в+г)-Г )Ы (30)

получив из которых мажоранту и миноранту соответственно, с учетом условия (6) имеем

5П -вт = р ((в+г )т-вт), -5П -вт =-р((в+г )т -вт

(31)

(32)

Решив уравнение (31) относительно рт и подставив его в (32), с учетом '=тТ получим

5п (33)

(34)

'п = ' = Т •log(p+г Рассмотрим миноранту из неравенства (30):

ш1пт хм(т)-вт ¡Х0\| = -р((р+г)т -вта)х

0

где

та = log|

(в+г )/г

(р+1)1п в

= а

(35)

^ р 1п (в+г)

по сути является временем экстремума функции (34), т.е. временем перерегулирования системы. Подставив уравнения (34) и (35) в выражение (9), получим

а = р (в+г )а -(р+1)ва. (36)

Равенства (33), (36) соответствуют равенствам (17), (18), что и требовалось доказать.

Исследования по рассматриваемой тематике выполнены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 09-08-00857-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ. Л: Машиностроение, 1983. 245 с.

2. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1—2.

3. Бойков В. И., Григорьев В. В., Мансурова О. К., Михайлов С. В. Качественная экспоненциальная стохастическая устойчивость дискретных систем // Там же. 1998. Т. 41, № 7. С. 5—8.

4. Бобцов А. А., Быстров С. В., Григорьев В. В. и др. Качественная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Тр. 2-й Рос. мультиконференции по проблемам управления. СПб: ЦНИИ „Электроприбор", 2008.

5. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость динамических систем // Тез. Междунар. конф. „Нелинейные науки на рубеже тысячелетий". СПб: СПбГУ ИТМО, 1999.

Валерий Владимирович Григорьев

Сергей Владимирович Быстров

Сведения об авторах

д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; Б-шаИ: [email protected] канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; Б-шаП: [email protected]

Алла Константиновна Наумова — канд. техн. наук, доцент; Северо-Западный государственный заочный технический университет, Санкт-Петербург Евгений Юрьевич Рабыш — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; Б-шаП: [email protected] Николай Александрович Черевко — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики СПбГУ ИТМО 18.01.11 г.

УДК 681.5.013

В. Ф. Антонов, С. В. Быстров, В. В. Григорьев УТИЛИЗАЦИЯ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ ПРИ КОНТАКТНОЙ СВАРКЕ

Рассматривается система утилизации тепловой энергии при контактной сварке. Представлены математические модели тепловых процессов и приведены количественные оценки расхода тепловой энергии при различных мощностях на электродах.

Ключевые слова: контактная сварка, математическая модель, тепловые процессы.

Для решения технологических задач при контактной сварке, как правило, требуется определить количество теплоты, выделившейся в зоне сварки, и найти распределение температуры в этой зоне. Характер температурного поля в зоне формирования сварного соединения определяется в основном двумя процессами, одновременно протекающими и противоположно направленными: тепловыделением при сварке и теплопередачей в металл и на электроды [1, 2].

В настоящей статье рассматривается процесс утилизации тепловой энергии при контактной сварке на сварочном агрегате АТМС-14х75. Сварочный агрегат АТМС-14х75

(рис. 1) состоит из электрической и механической частей, пневмосистемы и системы водяного охлаждения. В состав электрической части агрегата входят силовой сварочный трансформатор с переключателем ступеней его первичной обмотки, с помощью которого регулируется вторичное напряжение; вторичный сварочный контур для подвода сварочного тока к деталям; прерыватель первичной цепи сварочного трансформатора и регулятор цикла

сварки, обеспечивающий заданную по-Рис. 1

следовательность операций цикла и регулировку параметров режима сварки. Мощность, потребляемая рассматриваемым агрегатом, составляет примерно 75 кВт.