CC BY
0
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УЛЬТИМАТИВНЫХ МЕХАНИЗМОВ ДЛЯ СПРАВЕДЛИВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕМИЙ МЕЖДУ СОТРУДНИКАМИ КОМПАНИИ
П.С. Караваев, студент
Научный руководитель: Р.И. Яминов, канд. физ.-мат. наук, доцент Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Физтех-школа прикладной математики и информатики, кафедра анализа систем и решений (Россия, г. Долгопрудный)
DOI:10.24412/2411-0450-2024-4-2-59-63
Аннотация. В статье представлена модификация классического теоретико-игрового сценария «Ультимативный делёж». Идея заключается в недетерминированности количества ресурсов, предлагаемых для раздела игрокам. Описаны условия, при которых существует скрывающее совершенное байесовское равновесие, в котором справедливый исход реализуется с большой вероятностью. Под справедливостью понимается распределение исходной суммы денег в равных долях. Приведён пример применения модификации «Ультимативного дележа» для распределения премий между сотрудниками компании.
Ключевые слова: Ультимативный делёж, Ультиматум, теория игр, распределение ресурсов, справедливость, распределение финансирования, премирование.
Сюжет «Ультимативный делёж» из теории игр уже давно стал классическим. Его правила можно сформулировать следующим образом. Двум игрокам предлагают разделить некоторую сумму денег. Первый игрок первым ходом предлагает разделение этой суммы между двумя участниками. Второй игрок может отказаться или согласиться: в первом случае никто ничего не получит, а во втором случае денежная сумма будет соответствующим образом поделена.
Если бы функция полезности игроков учитывала только получаемые ими деньги, то в совершенном по подыграм равновесии Нэша первый игрок должен был бы получать все (почти все) деньги [1]. Однако на практике первый игрок получает
60 ± 5% от исходной денежной суммы, что подтверждают многочисленные эксперименты (научные работы) [1, 2]. Несоответствие между теоретическими и практическими наблюдениями можно объяснить тем, что функция полезности зависит не только от полученной суммы денег.
Один из подходов к корректировке теоретической модели заключается в том, что функция полезности может учитывать степень зависти игрока в виде линейной функции от количества денег, которое получает оппонент (другой игрок). В этом случае функция полезности выглядит следующим образом (основной случай ограничений: 0 < С < 1):
(выигрыш игрока) = = (денежная сумма игрока) — С • (денежная сумма оппонента).
(1)
В такой игре, если изначальную денежную сумму можно делить в любых пропорциях, существует единственное совершенное по подыграм равновесие Нэша. В
этом равновесии первый игрок получает 1
долю от исходной суммы денег; вто-
рой игрок соответственно получает долю Экспериментальным данным, в которых первый игрок получает около 60%,
г 2
соответствует с « -.
Постановка проблемы
Можно заметить, что в игре «Ультимативный делёж» у первого игрока есть преимущество: он заведомо получает большую долю, чем его оппонент, и это можно считать несправедливым. Возникает исследовательский вопрос: возможно ли с помощью ультимативных механизмов разделить исходную денежную сумму справедливо?
Будем называть исход игры справедливым, если исходная денежная сумма делится между игроками поровну. Существуют разные подходы к определению справедливого разделения ресурсов, включая денежные, но предлагаемый способ, соответствующий эгалитарным концепциям, является одним из основных общепринятых.
Модификация классического сюжета
Идея модификации классического сюжета-игры «Ультимативный делёж» заключается в недетерминированной денежной сумме. Пусть первый игрок получает небольшое или большое количество ресурсов с разными вероятностями, а второй игрок это количество не знает. Модифици-
рованный сюжет-игру можно сформулировать следующим образом.
Условие. Первому игроку с разными вероятностями предлагают разделить разное количество денег: а,1 с вероятностью рь = в и ан с вероятностью рн = 1 — в (аь < ан). Второй игрок знает только распределение вероятностей. Первый сообщает количество ресурсов, которое он предлагает получить второму. Если второй соглашается, то соответствующий делёж производится, а если не соглашается, то оба ничего не получают. В конце игры (после разделения) второму игроку сообщают, какое в точности количество ресурсов было выделено.
Анализ. На рисунке представлена схема игры со значениями функции полезности, учитывающей зависть игроков.
В рассматриваемой модификации игры, разумеется, невозможен справедливый исход с вероятностью 1, однако существует совершенное байесовское равновесие со скрывающей стратегией первого игрока, в котором справедливый исход реализуется с вероятностью в. Для реализации такой справедливости требуется выполнение следующего равенства:
ЯН = 1 | а-С) 1
aL 2С 1-в'
(2)
Для основного рассматриваемого значения С = ^ получаем:
-=1 + 1~-—а.
aL 4 1-в
(3)
Примеры. Справедливость реализуется в следующих конкретных случаях:
7
1) с вероятностью 90% при условии ан = - • аь;
9
2) с вероятностью 80% при условии ан = - • аь;
3) с вероятностью 75% при условии ан = 2 • аь.
Nature
Рис. Схема исследуемой игры с функциями выигрыша
Пример применения сюжета-игры
Пусть в некоторой ^-компании руководство хочет распределить определённую сумму денег между сотрудниками справедливым образом. Пусть в этой компании работают 10 команд программистов, каждая из которых состоит из двух людей: лидера команды и обычного работника (начальника и подчинённого).
Применение модификации «Ультимативного дележа» с недетерминированным количеством ресурсов для распределения выделенной денежной суммы может быть реализовано следующим образом. Пусть одна из десяти команд, выбранная из всех случайным образом, получает 45 000 руб-
лей в виде премии, а остальные девять команд получают премию в размере 20 000 рублей.
Соответствующую сумму денег сообщают каждому лидеру команды, который на правах руководителя распределяет по своему усмотрению выделенную сумму между им самим и подчинённым. Фактически каждый лидер делит сумму денег ультимативным образом.
В описанной ситуации второй участник (подчинённый) в каждой команде не имеет доступа к данным о конкретной выделенной сумме денег, но знает о возможных вариантах (то есть знает распределение вероятностей: возможные суммы денег и
их вероятности предоставления его команде). У него остаётся единственная потенциальная возможность повлиять на ситуацию - подать официальную претензию на несправедливое распределение премиальных средств. В рассматриваемой ситуации будем для упрощения считать, что в этом случае премиальные деньги соответствующей команды изымаются, то есть и начальник, и подчинённый ничего не получают.
Согласно результатам, полученным из анализа теоретической модели, если выполняются соотношения между параметрами из уравнения (3), то можно ожидать, что лидеры команд предложат подчинённым получить ровно 10 000 рублей, с чем обычные работники согласятся.
Использование ультимативных механизмов в подобных случаях обусловлено тем, что решение о распределении финансирования в подобных случаях обычно принимает ограниченный круг лиц. Так, часто наблюдается ситуация, когда ответственно лицо — лидер команды, начальник отдела или финансовый управляющий — самостоятельно решает вопрос распределения имеющихся ресурсов (в том числе вопрос распределения финансирования), и соответствующий план по распределению ресурсов реализуется, если заявлений о его фундаментальной некорректности не поступило.
Таким образом, с помощью предложенной модификации «Ультимативного дележа» потенциально возможно распределить премии между сотрудниками справедливым образом в 80% случаев. Для компании это может быть важно, например, в случае утечки данных о распределении премий: около 80% сотрудников узнают, что премии распределялись справедливо.
Актуальность ультимативных игр
Ультимативные механизмы позволяют избежать навязанного распределения ресурсов. С помощью ультимативных игр
агенты самостоятельно распределяют ресурсы между собой, что позволяет учесть ситуации, в которых «справедливо» распределить ресурсы в других пропорциях. Например, если в команде программистов 1Т-компании из примера применения модификации «Ультимативного дележа» подчинённый взял отпуск или больничный, то начальник закономерно получает всю выделенную для команды премию единолично (то есть при ультимативном разделении денежной суммы обычный работник не возражает против такого исхода).
Руководство компании не всегда способно точно определить все особые случаи, поэтому делегирование принятия решения о распределении премии является приемлемым решением. «Кроме того, эффективная система премирования должна положительно восприниматься как лицами, к которым она применяется, так и остальными сотрудниками, для которых справедливое премирование может стать стимулом, вызывающим стремление повысить эффективность своей профессиональной деятельности» [4].
Заключение
Таким образом, с помощью рассмотренной модификации «Ультимативного дележа» потенциально возможно распределить премии между сотрудниками справедливым образом в большинстве случаев. Предложенный механизм также может быть применён для распределения финансирования между отделами, организациями, департаментами и т.п.
В перспективе эту модификацию можно обобщить на случай распределения денежных сумм между большим количеством игроков, в том числе на случай различных по количеству сотрудников команд (отделов, департаментов), а также на случай более сложных распределений вероятностей на множестве возможных сумм финансирования.
Библиографический список
1. Schuster S. A new Solution concept for the ultimatum game leading to the golden ratio // Scientific reports. - 2017. - V. 7. - № 1. - P. 1-11. - DOI: 10.1038/s41598-017-05122-5.
2. Федоров Е.А. Возможности применения поведенческой теории игр при анализе взаимоотношений индивидуумов // Наука и общество. - 2012. - № 6 (9). - С. 116-120.
3. Автономов Ю.В. Современные подходы к экономическому моделированию чувства справедливости // Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2006. - Т. 10. № 4. - С. 620-637.
4. Быковская, Ю.В. Мотивация и стимулирование профессиональной служебной деятельности сотрудников органов внутренних дел: вопросы теории и практики // Экономика и управление: проблемы, решения. - 2013. - № 4. - С. 75-83.
ULTIMATIVE GAMES FOR FAIRLY DISTRIBUTING BONUSES
WITHIN EMPLOYEES
P.S. Karavaev, Student
Supervisor: R.I. Yaminov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Moscow Institute of Physics and Technology, Phystech School of Applied Mathematics and Informatics, Chair of Systems and Decision Analysis (Russia, Dolgoprudny)
Abstract. The article presents a modification of the classic game-theoretical scenario the «Ultimatum Game». The idea revolves around the indeterminacy of the amount of resources offered for division among players. It describes the conditions under which a pooling perfect Bayesian equilibrium exists, in which a fair outcome is realized with high probability. Fairness here means the distribution of the initial sum of money in equal shares. An example of applying the «Ultimatum Game» modification for distributing bonuses among company employees is also provided.
Keywords: Ultimatum Game, Game Theory, fairness, employee bonuses, fair distribution.
