CC BY
37
УДК 004.832
В. Л. Токарев, д-р техн. наук, проф., tokarev@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Д. В. Пинчер, аспирант, РтсИег. Denis@gmail.com (Росси, Тула, ТулГУ)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ДЕРЕВА ДЛЯ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ИГРЫ
Предлагается метод выбора стратегии для случая игры с противником за счет использования топологического дерева. Представлены математическая модель данного метода и обоснование целесообразности его применения.
Ключевые слова: статические игры, полная информация, оптимальная стратегия, топологическое дерево.
Современное состояние интеллектуальных систем позволяет использовать их для поддержки принятия решений в различных видах «игр с противником». Основной проблемой при этом является задача выбора оптимальной стратегии по имеющейся информации. Решение этой проблемы осложняется тем фактом, что часть наиболее существенной информации (такой, как анализируемые противником стратегии игры) скрыта от лица, принимающего решения (ЛПР). В этих условия актуальной задачей является разработка метода выбора оптимальной стратегии по косвенной, доступной информации.
Рассмотрим подкласс игр - статические игры с полной информацией. Для игр данного подкласса характерны следующие признаки: 1) соперники делают ходы по очереди один раз; 2) в любой момент времени известны все возможные варианты ходов каждого из противников; 3) из всех возможных стратегий игры необходимо выбрать ту, которая приведёт к победе.
Существующий метод выбора стратегии с помощью оценивания всех возможных позиций через определённое число «ходов» имеет следующие недостатки: пи большом количестве возможных вариантов «хода» для каждого из «противников» вычислительная сложность метода очень высока, а также велика погрешность оценивания возможных положений.
В работе предлагается метод выбора оптимальной стратегии статической игры с полной информацией на основе использования топологических деревьев. Под топологическим деревом понимается древовидная структура, состоящая из узлов (вершин), соединённых линиями (рёбрами), и составляющая фигуру, не имеющую замкнутых кривых. Каждой вершине соответствуют позиция игры и численное значение её оцени. Каждому ребру, соединяющему две вершит:, соответствует ход, приводящий из позиции первой вершины к позиции второй вершины.
Данное дерево имеет начальную вершину, соответствующую текущей позиции игры, и конечную вершину, соответствующую цели, или желаемому исходу игры. При нескольких различных желаемых исходах игры конечных вершин также может быть несколько.
Схематически данное дерево может быть представлено в следующем виде (рис. 1).
Рис. 1. Топологическое дерево. Общий вид.
Вводится понятие доминирующей и доминируемой ветвей: если ветвь А через определённое количество «ходов» N приодет к более выгодной вершине топологического дерева, чем ветвь В, то ветвь А является доминирующей ветвь В, а ветвь В - доминируемой ветвью
А. Оптимальным ходом считается ход, соответствующий одному ребру доминирующей ветви. Также вводится понятие меры М - величины, соответствующей ширине «коридора» рассматриваемых ветвей. То есть, если имеется ветвь А, доминирующая все остальные ветви графа и приводящая через N ходов к вершине со значением оценки ХА, то пи мере М вместе с ветвью А в «коридор» попадают также все ветви В, приводящие через N ходов к вершине со значением
Хв -М. (1)
Учитывая последовательный характер большинства статических игр, определяющий, что функция оценок позиции от номера хода при избранной оптимальной стратегии является постоянно возрастающей, предлагается метод отсечения лишних ветвей. Суть данного метода в том, что на каждом шаге выбора оигимаьной ветви топологического дерева исключаются доминируемые ветви.
Указанный метод преднлначен для построения дерева на N ходов с мерой M и работает по следующему лгоригму.
1. Оцениваются все возможные позиции через один «полный» ход (ход игрок и следующий за ним оитимаьный ход соперника).
2. Все ветви, полученные на предыдущем шаге и не удовлетворяющие условию (1), исключаются:
Branch(Sо ^ Sj)max = A,
Eval(So ^ S1)max = X A,
Branch(So ^ Si)poss = VB,Xa -Xb <M.
Здесь Branch(Sо ^ Si)max - ветвь, приводяща через один полный ход к позиции с максимаьным значением оценки; Branch(Sо ^ Si)poss -
люба допустима для даьнейшего рассмотрения ветвь.
3. Для оставшихся ветвей оцениваются все возможные позиции после второго полного хода.
4. Все ветви, полученные на предыдущем шаге и не удовлетворяющие условию (1), также исключаются.
5. Шаги 1-4 выполняются до тех пор, пока не будет рассмотрен N-й ход либо не будет при оигимаьной игре противника достигнута заданна цель и не будут отброшены доминируемые ветви:
Branch (So ^ Sn )max = A,
Eval (So ^ sn )max = XA,
(2)
Branch (So ^ Sn)poss = VB,B = Branch(So ^ Sn-i)poss,
Branch (So ^ Sn)poss = VB, Xa - Xb <M.
Формула (2) иоклывает, что к рассмотрению допускаются только те ветви дерева, которые являются продолжением допустимых (не исключенных на предыдущих шагах) ветвей.
6. После этого из оставшихся ветвей выбирается ветвь, доминирующа все остльные. Эта ветвь и будет соответствовать оигимльной стратегии игры:
Branch (So ^ Sn)0pt = Aadau(So ^ Sn )max .
Доклательство целесообразности метода рассматривается на конкретном примере. Пусть имеется игрова позиция (например, играется партия в шашки), в которой первый игрок может одержать побед через два хода при правильной стратегии или проиграть через один ход при не-
правильной. Пусть имеются три варианта хода первого ирок (а1, а2, а3), приём первый вариаш' ведёт к выигрышу, а последний — к поражению. Пусть на кждый вариант хода первого игрока у его соперника есть по два варианта ответа (Ь11, Ь12, Ь21, Ь22, Ь31, Ь32).
Тогда топологическое дерево будет иметь следующий вид (рис. 2).
Рис. 2. Топологическое дерево. Пример
Видно, что к выигрышу ведут ветви 0 ^ Сш и 0 ^С122. Также очевидно, что оценки Хс111 и Хс122 будут максимальными, так как соответствуют выигранным позициям. Кроме того, ветвь а1 будет доминирующей ветви а2 и а3, так как неминуемо приводит к выдранной позиции за самое короткое время , её оценк будет выше, чем оценки остальных ветвей.
Если следовать предложенному алгоритму, то произойдет следующее:
1) после шагов 1 д 2 ветвь а3 будет исключена из дальнейшего рассмотрения, ветвь а1 будет являться доминирующей. Допустим также, чго ветвь а2 не будет исключена из рассмотрения кк соответствующая заданной мере;
2) после шагов 3и 4 ветви 0 ^ Сщ и 0 ^ С122 будут являться доминирующими, так как достигают заданной цели (выигрыша) при оптимальной игре противник, остальные ветви будут исключены;
3) будет избрана стратегия а1, приводящая к выигрышу первого игрока.
Таким образом, преДставлены доказательства эффективности работы предложенного алгоритма.
Данный метод позволит существенно сократить объём рассматриваемых стратегий для статических игр с полной информацией любой сложности, минимизировав объём вычислений и погрешности оценивания позиций, при этом позволив безошибочно выбрать наилучшую стратегию игры.
Библиографический список
1. Оуэн Г. Теория игр, перевод с английского. М.: Наука, 1971. С. 24 - 56.
2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. С. 18 -35.
3. Иванов И. И. Некоторые вопросы оформления тезисов докладов // Материмы Всероссийской НТК "Интеллект 2007". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 52- 53.
V. Tokarev, D. Pincher
Using topological tree for selecting optimal strategies in static game with complete information
The paper proposes a method of selecting a strategy for the case of games with an opponent through the use of a topological tree. Here we present a mathematical model of the method and the rationale for its use.
Получено 12.11.2009
УДК 004.93
В.Л. Токарев, д-р техн. наук, проф., tokarev@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
Т.И. Горбунова, аспирант, gorbunova.tachurochka@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ)
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО МЕТОДА ОЦЕНИВАНИЯ СИТУАЦИИ В ЗАДАЧЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Предложены методы для оценивания ситуации системы, функционирующей в среде как количественных, так и разнотипных переменных. Рассмотрены преимущества использования метода распознавания образов.
Ключевые слова: система, количественные шкалы, разнотипные переменные, оценивание ситуации, лингвистические модели, фильтр Калмана, распознавание образов, кластер.
Вопрос принятия решения встает перед человеком практически во всех областях его деятельности: в технике (процесс принятия решений предшествует раработке технологи создания новых устройств), в соци-
