ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВИКОРИСТАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦ1Й ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАНН1 Р1ВНЯНЬ I НЕР1ВНОСТЕЙ *

Н.М.Шунда, доктор педагог. наук, професор, м. Втниця, УКРА1НА

*) стаття Никифора Миколайовича Шунди передрукована з науково-методичного збгрника

«Методика викладання математики», який було видано у 1970potfi, вил. 6.

Поняття функци - одне з основних понять у сучаснш математищ. Опис рiзномam-тних процеав, що вiдбувaються в навколи-шньому середовищ1, за допомогою якоюь одн1е1 математичжа формули (функци, задано! аналпичним виразом) дае змогу учням бачити ц процеси в ix змЫ i взаемозв'язку, а це сприяе формуванню в них даалектико-мaтерiaлiстичного свiтогляду. Крiм того, щея функци повинна стати основою для ви-вчення iншиx важливих роздiлiв шкiльного курсу математики, зокрема рiвнянь, нерiв-ностей, тотожних i геометричних перетво-рень, математичних операцш та iн.

Проте в шкшьшй прaктицi i в навчаль-но-методичнш лiтерaтурi тд функщональ-ною направлетстю програми часто розу-мiють дослщження елементарних функцiй та побудову 1х грaфiкiв, що значно знижуе роль поняття функци на сучасному етат навчання.

Застосування поняття функци до шших роздiлiв математики, де це можливо, до-зволяе ширше розкрити учням взае-мозв'язок мiж ними, пояснити новi питання на вищому теоретичному рiвнi. Крiм того, такий тдхщ часто дае змогу знайти ращо-нальний спосiб розв'язування задач або приклaдiв, а саме поняття функци в свщо-мосп учтв при такому тдаод значно зба-гачуеться.

Розв'язуючи нерiвностi, здебiльшого використовують тaкi властивосп елементарних функцiй: неперервтсть, збереження знака значень функци на промiжку мiж двома сусiднiми ii коренями, якщо будь-яке

значення аргументу з даного прошжку входить в область визначення функцiй, та iн. Проте дуже мало використовують таю вaжливi властивосп функцш, як партсть, непартсть, обмежетсть, поняття множини значень функци, тим часом, як саме ком-плексне використання властивостей функцш, що входять в нерiвнiсть чи рiвняння, дае значт спрощення.

Покажемо на конкретних прикладах використання деяких властивостей елемен-тарних i неелементарних функцiй при розв'язувант рiвнянь.

Приклад 1. Розв 'язати нер1вн1сть 4 sin х sin 3х > 1.

До цього прикладу в [1], роздш XXVIII, § 3 даеться така вщповщь:

л ~ 3л^| I 2лк +—,2лк +— I,

^ 10 10 J

(^ 7л _ 9жЛ I 2лк +—,2лк +— I, ^ 10 10 J

(^ 11л , 13л

I 2лк +-,2лк +

\ 10

L 17л „

I 2лк +-,2лк +

\ 10 10

Як бачимо, розв'язки нерiвностi знайш-ли спочатку на промiжку [0, 2п), а пот1м, припустивши, що функцiя

f (х) = 4 sin x sin 3х -1 мае перюд 2п, записали загальний розв'язок. Легко побачити, що перiод цiеi функци дорiвнюе п, а не 2п.

Запишемо дану функцiю в такому ви-глядi:

f(x) = 2 cos 2х — 2 cos 4х — 1. Перюд i"í

2ж 2ж

T = -

■ = ж

ИСБ ( 2,4) 2

Розв'язки знайдемо на вiдрiзку, що дор> внюе за довжиною перiоду функци. Крiм того, викорисгаемо ще парнiсгь функци /(х).

Парна функцiя в симетричних вiдносно нуля точках набувае рiвних значень i на симетричних вщносно нуля промiжках мае однаковi знаки. Тому для парних функцiй досить знайти промiжки, в яких виконуеть-ся нерiвнiсть для х > 0 (або для х < 0). Знай-

демо на прошжку

значення х, для

яких f(x) > 0. Для цього спочатку визначи-мо кореш функци на цьому промiжку: 2 cos 2х - 2 cos 4х - 1 = 0.

1+ V?

4 cos 2х - 2 cos 2х - I = 0; cos 2х =

4

_ ж _3ж

—; ^2--.

10 10

0;

ц

жл

два кореш po3Í6^Tb промiжок на таю промiжки:

^ ж Л ( ж 3ж Л ( 3ж ж Л

0 '10J'^ 10' 10 J'^ 10 ' 2 J'

Нерiвнiсть виконуеться на промiжку

( ж 3жЛ

IТо'То)'

отже, вона виконуватиметься i на промiжку (—. Врахувавши перiодичнiсть

функци, запишемо загальний розв'язок:

[( 3ж ж Л (ж 3ж

К = [---ь жк,---Ь жк , —ь жк,--Ь жк

10 10 ) 1,10 10

Приклад 2. Розв 'язати ргвняння:

9

|х|

J Jx+1|+|

x-1

Наведемо повне розв'язання цього piB-няння, вмiщене в посiбнику [2] (№ 28): Перепишемо дане piвняння у виглядi

Jx

_9|x+1+| x-1|

9 1=21"

Коpенi виpазiв |x|, |х+1|, |x-1| вiдповiдно 0, -1, 1. Тому природно розглянути таю ви-

падки:

1) x < -1. Рiвняння набере вигляду

g—x_^—x—1—x+1

або 9х = 4х, звщки x = 0. Це суперечить умовi x < -1. Таким чином, piвняння не мае корешв, менших або таких, що доpiвнюють -1.

2) -1 < x < 0. У цьому випадку piвняння

набере вигляду 9-x = 2x+1-x+1 або

3-2x = 22, або 3x = 2-1 звiдки х = - logs2. Осюльки -log 2 < 0 i -logj 2 - (-1) = 1 -2

log 2 = log — > 0, то -log 2 > - 1. Отже, на 3

сегмент [-1, 0] piвняння мае коршь х = - log3 2.

3) 0 < х < 1. У цьому випадку piвняння

набере вигляду 9x = 2x+1-x+1, або 3х = 2, звщки x=log2. 0 < log 2 < 1, отже, х = log 2 — коршь даного piвняння.

4) х > 1. У цьому випадку piвняння набере вигляду 9x = 2x+1+x-1, або 3х=2х, звь дки х = 0. Таким чином, piвняння не мае корешв на шв iнтеpвалi [1,+ю).

Отже, дане piвняння мае два кореш: х1 = -log32, х2 = log3 2.

Проте це piвняння можна розв'язати значно простше. Справд^ функцiя

парна, бо

М= 9x - 2

|x+1| + x-1|

9 x| - 2 1 1

-í x-1l + -Í x+1

= 9 x| - 2

x x-1+1 x+1

= 9x - 2 i i i.

Нуль не е розв'язком даного piвняння, тому досить знайти його розв'язки на про-мiжках (0, 1], (1, +ю) або (-ю, -1), [-1, 0). Знайшовши на пpомiжку (0, 1) коpiнь х1 = log2 (випадок 3), запишемо другий коршь на пpомiжку [-1, 0) -х = - log 2. На пpомiж-ку (1, +ю) коpенiв немае (випадок 4), а значить, "х немае i на пpомiжку (-ю, -1). Вклю-чати значення -1, 0, 1 в обидва сусiднi про-мiжки не слiд.

Приклад 3. Розв 'язати нергвтсть: sin4 х -6 sin2 х + 4 >0.

Вщповщь в [1] така:

о о • V5-0

2лк, 2лк + arcsin-

(

2лк + л- arcsin

. 45 -1

2лк + л + arcsin

. 45 +1

г .45 -1 ^

2лк + 2л- arcsin-, 2лк + 2л

2

V

У

Як бачимо, i тут розв'язок знайдено на промiжку, який дорiвнюe 2п.

Розв'яжемо цю HepiBHicTb, враховуючи перiод i napHicTb. Функцiя

f (х) = sin4x -6sin2x+4 мае перюд п (пеpiоди sin4x i sin2x дор1вню-ють п). Оскшьки функцiя f(x) ще й парна, то эозв'язок досить знайти на пpомiжку

0, Л j . Знайдемо корен1 функци на цьому

пpомiжку; для цього розв'яжемо piвняння:

sin4 х - 6 sin2 х + 4 = 0, sin2 х = 3 ± л/5.

Рiвняння sin2 х = э+л/5 коретв не мае. Тод1

. л/10-42 . л/То-42

sin х =-; х = arcsin-

2

2

Цей коpiнь pозiб'е пpомiжок

•TÍ0-42Л

лj » 2

пpомiжки:

0, arcsin -

arcsin

л/ÍQ-42 л

На пpомiжку

. . УГР-42л

0, arcsin-

f(.х) > 0, але тод1 i на пpомiжку

( . 410-42 лj

- arcsin-,— ](х) > 0. Тому роз-

2 2 J

в'язками нер1вност на пер1од буде пром1жок

. 410-42 . 410-42

- arcsin-, arcsin-

л

Загальним розв'язком буде

. >/10-л/2 . 710-42 л

- arcsin--+ лк, arcsin--+ лк

R = •

Ми скористалися тим, що пеpiод функци

4

sin х доpiвнюе п.

У методичних поciбникaх перюд таких функцш, як правило, знаходять способом зниження степеня функци i подання ii через суму функцш перших степетв.

Наприклад, у поабнику [3] (№ 71) пер1-од функци у = cos4 х + tg х знайдено так:

2

4 (1 + cos 2 х cos х =

= — [1 + 2 cos 2 х + cos2 2 х | = 41

1 (1,4 О , 1 + cos 4х

= — 1 + 2cos2 х +--

41 2

1U о 1 = — 2cos2х + — cos 4х + — 4 ^ 2 2

Функцiя cos2k мае пеpiод п, а функщя

л

cos 4х - перюд —.

Оск1льки найменше кратне чисел п i л

доpiвнюе п, то пеpiод функци cos4 х дор1в-нюе п. Але тому що функщя tg х мае перюд п, то i дослщжувана функщя мае перюд п.

Аналогично знаходять перюд функци у = sin х (№ 70). Постае запитання: як встановити перюд, наприклад, функци

20 , , о

у = cos х + tg х?

Як бачимо, такий споаб знаходження перюду аналопчних функцiй надто гром1з-дкий i незручний. Учн1 не бачать, що, на-

1 ••• 2 4 6

приклад, функци cos х, cos х, cos х, ... , cos2n х мають той самий перюд, який доpiв-нюе п.

Покажемо загальний споаб знаходження пеpiоду таких функцш.

Теорема 1. Функци у = sin2kx, у =

2k

cos х, де k - натуральне число, перю-дичнi, i |'х перiод дорiвнюe п.

Доведення проведемо лише для sin2^.

Припустимо, що ця функцiя пеpiодичнa.

Тодi для не' icнуе таке число ¡Ф 0, для якого

• 2k — • 2k виконуеться тотожно piвнlcть sin х = sin х,

екв1валентна р1вност1 [sin2k (х + ¡)]k =

[sln2kх]k. Оскшьки функци sin2(c+¡) i sln2х

можуть набувати лише невiд'емних зна-

чень, то остання р1вн1сть еквiвaлентнa р1в-

ност sin2 (х+l) = sin2*-. Тод1

1 -cos2(х +1) _ 1 -cos2.x 2 = 2 ; cos ( 2 х + 2l) = cos 2 х;

а)2х + 21 - 2x = 2жк;

б)2х + 2l + 2х = 2жк.

21 = 2жк; l = жк,Т = ж;

l = -2х+кп - не перiод, бо залежить вiд аргументу. Перiод функци cos2kx встановлю-емо аналопчно.

Теорема 2. ФункцiT у = sin2k+V, у = cos2fc+1x, де k - натуральне число, nepi-одичы, i Тх пepiод доpiвнюe 2п.

Доведения проведемо для cos2k+V При-пустимо, що ця функцiя перюдична. Тодi

для не! iсиуе таке число l Ф 0, для якого ви-

2k+1 t . л

конуеться тотожно рiBИICTЬ cos (х + l) = = cos2k1 х. Оскiльки показник степеня -число непарне, то ця рiвmсть еквiвалеитна такiй: cos (х + 1) = cos х. З останньо! рiвно-ст дютанемо: х + l - х = 2кп, l = 2kn, Т = 2п; х + l + х = 2nk, l = -2х+2пк - не перюд.

Теорема 3. Функци у = tgn х, у = ctgn х, де п - натуральне число, перюдичн, i Тх пepiод доpiвнюe п.

Доводячи теорему, мiркуемо так само, як у двох попередшх випадках.

Особливi труднощi для учн1в i вступни-кiв в iнститут становлять питання побудови графiкiв, розв'язування рiвнянь i нерiвнос-тей, що мiсIять знак абсолютно! величини. Майже ихто з вступникiв не знае, як знайти перюд функци y=\f(x)\, де f(x) - перiодична. Частково це пояснюеться тим, що автори навчальних i методичних посiбиикiв, розг-лядаючи цi питання, здебiльшого захоплю-ються розкриттям знака абсолютно! вели-чини, не звертаючи уваги на iншi властивос-т1 функц1й, якi можна використати.

Приклад 4. Розв 'язати ргвняння: | cos х| = | cos 2х |.

У поабнику для вчител1в [4] на стор. 195, № 22 наведено таке розв'язання цього рiвняння:

Знайдемо всi значення х, якi задоволь-няють умову cosx > 0. При cos х>0 дане рiв-няння можна подати у вигляда cos 2х = cos х, або 2 cos2 х - 1 = cos х, 2 cos^ - cos х - 1 =0,

звщки cos х = 1 i cos х = -

1 2

Проте cos х = -1. суперечить умовi

am > 0, тому cos х = 1, звщки х=2пк, де k - довшьне цше число.

Знайдемо ва значення х, яю задоволь-няють умову cos х < 0. При Ш8х<0 з даного рiвняння дiстанемо: cos 2х = - cos х, 2cos х-1 = -cos х,

2cos х+cos х - 1 = 0, звщки cos x = - 1 i

cos x =1 . Проте cos х = 1 суперечить

умовi cos x < 0, тому cos x = - 1, звщки х = п + 2nk, де k—довшьне цше число.

Знайдеш розв'язки х = 2nk i х = п + 2nk можна записати за допомогою одие! фор-мули х = пп, де п — довiльне цiле число.

Розв'яжемо дане рiвняння, враховуючи властивосп перiодичних i парних фуикцiй.

Функщя у = cos2x - |cos х| мае перiод п, бо кожна з фуикцiй, що входить у рiзницю, мае перiод п, крiм того, вона парна. Кореш

досить знайти на промiжку

О' Ж.

де

cos х>0, тому

cos 2х - cos х = 0, cos 2х = cos х, 2кж

2х + х = 2nk, х = -

Л

х = 0

-ж? 3

3

, 2х - х

2кп,

ду

х = 2кп, х = 0. Отже, на промiжку, що дорiвнюе перю-

ж жЛ .

--,— I, е лише один коршь х= 0.

2 2 )

Врахувавши перiод, запишемо загальний розв'язок х = kn.

Ще бшьше мiсця зайняло в посiбнику розв'язання прикладу № 21. Крiм того, тут довелося об'еднати чотири формули розв'язюв у двi, що становить труднощi не т1льки для учшв, а й для значно! частини студент1в i вчител1в.

Найзручн1шим способом знаходження перiоду функцi!' у = | f\) |, де f(t) перiодич-на, е такий: цю функцiю записують так: у =

| f(х) | = f2 (х) i пiсля цього знаходять

перюд функци f 2(х). Наприклад, знайдемо перюд функци у = | cos х |. Маемо: | cos х | =

1 + cos 2x

"J cos2 x = J" . Неважко впевнити-

У 2

ся, що перюд цiei функцп дорiвнюe п. Приклад 5. Розв 'язати нергвтсть:

| sin 2х\ > | sin х |. Розглянемо функцiю f(x) = |sin2x| - |sin x|. Перiод цiei функци дорiвнюe п, бо функцiя

|sin2x\ мае перюд Ж, а функцiя |sin х| —

перiод п. Тому досить знайти розв'язки на промiжку, що дорiвнюе перiоду, наприклад

— Ж ' Ж). KpiM того, дана функщя ще й

парна, тому досить знайти розв'язки на

прошжку

ж

0, ~ I. Розв'язання нерiвносгi

|sin2x|>Isinx| звелось до розв'язання нерiвностi, sin2x - sinx >0 на промiжку

ж

0,— I. Знайдемо коренi функци:

f(x) = sin 2х — sin х, х е

sin 2х - sinx = 0; sin 2х = sin х;

я я

2х + х = (2к + 1) п, х = (2к + 1) — , x = — ;

2х - х = 2kn, х = 2kn, х = 0. я

Кореш 0, - розiб'ють промiжок

0, —j на два ^ервали: |0, —j i , —j.

Розв'язком нерiвностi sin 2х > sin х буде f -j .

iнтервал I 0, — I, тодi розв'язком нерiвностi

| sin 2х\ > | sin х | буде також Сервал

0|. Загальний розв'язок запишемо

I 3' I

так: R = <|| —Ж + КЖ,КЖ

ж

КЖ,— + КЖ

3

Приклад 6. Розв'язати нер1втсть: 6 cos2 х - 5 | cos х | + 1 < 0.

Функшя f(.х) = 6 cos2 х - 5 | cos х | + 1 мае перюд п; вона парна, як сума парних функ-цш. Тому розв'язки знайдемо на промiжку

0,Ж 1. Для цього знайдемо коренi функци

М

На даному промiжку cos х > 0 знайдемо

2

кореш рпзняння 6 cos х — 5 cos х + 1 =0:

cos x =

5 + V25-24.

12

ч 1 ж

а)cos x = —, x = —;

) Т у

^ 1 1

б)cos х =—, х = arccos—. J 3 3

Ui кореш розiб'ють промiжок

ЖI

на

прошжки

1 ж 310008 з' ~2

Ж

'3 На

ж 1л

—,arccos -3 3,

прошжку

0, Ж,

f(x) > 0, на промiжку f—,arccos1j f (х) < 0

i на промiжку f arccos1,—j f (х) > 0.

Отже, розв'язком нерiвностi 6 cos2 х - 5 | cos х | + 1 < 0

на прошжку

0,

Ж

буде промiжок

Ж ,arccos1 j. Тодi розв'язком нерiвностi

2

6 cos х - 5 | cos х | + 1 < 0

Ж Ж j г

на промiжку ——,— I будуть два прошж-

ки: f—arccos1,——j i —,arccos1j. Запишемо загальний розв'язок:

D ÍÍ 1 jf^ 1

r = -¡1 - arccos— + кж, -—+ кж , — + K—,arccos- + кж

11 3 , 3 Д 3 , 3 1 При розв'язуваннi рiвнянь нас часто ш-кавить не тiльки метод або прийом, за до-помогою якого знаходимо розв'язки, а й питання про можливють встановити, не розв'язуючи рiвняння (нерiвностi), що воно розв'язку не мае. При такому шдход ми по сутi торкаемось теореми про юнування розв'язку та поняття множини значень функцй'. Нехай функци л(х) i ф(х) визначеш на промiжку [а, b] i множина значень функцй' л(х) буде Y1, а множина значень функцй' ф(х) - Y2. Тодi необхщною умовою розв'язностi рiвняннял(х) = ф(х) е така: пе-рерiз множин Y¡ i Y2 не порожня множина, тобто Yi[\Y^0. Зрозумшо, що наявнiсть

ще1 умови не дае пiдстави зробити висно-вок про iснування коретв, яю задовольня-ють рiвняння f(x) = ф(х). Тут ми часто ко-ристуемось властивостями обмежених зни-зу або зверху функцiй. Пояснимо це.

Приклад 7. Розв 'язати ргвняння: | sin х | = sin х + 3.

У поабнику [5] на стор. 127 вмщено таке розв'язання: «З рiвняння

| sin х | = sin х + 3 маемо: sin х = sin х + 3. Це рiвняння коретв не мае, i

-sin х = sin х + 3, зв1дки sin х = -

3 2 ,

отже, дане р1вняння не мае коретв».

Нам здаеться, що тут доцшьшше вико-ристати обмежен1сть, а також множини значень функц1й, що стоять в обох части-нах р1вняння. Справд1, для функци |sin х| Y¡ = [0; 1], а для функцй sin х+ 3 Y2 = [2; 4], тод1 Y¡C\Y2= 0 i тому р1вняння не мае корен1в.

Часто знання множини значень (области зм1ни) функцш, що стоять в обох частинах р1вняння, дае можлив1сть знайти розв'язки або звузити меж1, в яких вони знаходяться.

Приклад 8. Розв'язати р1вняння:

(1+4х )2^1- х2 .

Анал1тично розв'язати це р1вняння уч-ням важко. Знайдемо його розв'язок на основ! поняття множини значень функцш

(1+л/х )2 i х2 . Область визначення функцй (1+у[х )2 [0, +ю], область визначення функци ^\fl — х2 [-1; 1]. Отже, обидв1 функци можемо розглядати лише для х е [0,1]. При цих значениях х функц1я

у1=(1+у[х )2 зростае в1д 1 до 2, а функц1я

У2=

4Г-

2

х спадае в1д 1 до 0, отже,

Y¡C\Y= {1}. Тому х = 0.

Приклад 9. Розв 'язати ргвняння: 20 20 cos х - sin х = 1.

Перепишемо це р1вняння так:

cos20 х = 1 + sin20 х. 0 < cos20 х < 1; 1<1+sin20 х <2.

Отже, р1вняння можуть задовольняти лише

20

т значення х, при яких одночасно cos х = 1 i sin20 х = 0. А це можливо тод1, коли х = kn. Приклад 10. Розв 'язати ргвняння: | sin22 | х | - cos22 | х || = 1.

У пос1бнику [4] д1брано розв'язок кл .

х = , а полм досить гром1здкими м1р-

куваннями доведено, що шших розв'язк1в р1вняння не мае.

Краще розв'язати це р1вняння поперед-н1м способом (б1льш загальним):

а) sin22| х | - cos22^;

б) sin22| x | - cos22х = - 1;

0 < sin22| х | <1; 0 < sin22| х | <1;

1 < 1 + cos22 х < 2. -1 < cos22 х - 1 < 0;

sin х = + Ц л ín |П

I х =—[ 2к+1); cos х = 0; I 2

sin х = 0; I л

I х2 =кл = --2к;

cos х = ± 1;J 2

Отже, х =л n, де n = 0, ±1, ±2, ... 2

Приклад 11. Розв 'язатиргвняння:

4

log х5^5 + = -V6

Оск1льки беремо лише арифметичне значення кореня, то

log х5у/5 + log>/5^V5 >0, a <0, очевидно, повинно бути log^^ <0; у[5 >0,

отже, 0 < х < 1.

Висновок: корен! даного р1вняння, як-що вони е, будуть т1льки на пром1жку 0 < х < 1.

Розв'язавши р1вняння, д1станемо два значення х: х1=1 i х2=>/5. Коренем р1в-

няння буде лише х = 1, бо -s/5 лежить

поза пром1жком 0 < х < 1.

Спинимося ще на однш важлив1й влас-тивост1 елементарних функций, яку можна використати, розв'язуючи нер1вност1. При переход! через нуль непарного порядку значення функци змнюють знак на протилеж-ний; при переход! через нуль парного порядку знак значень функци не зм1нюеться.

У методичнш л1тератур1 користуються ц1ею властивютю при розв'язуванн! дробо-во-рац1ональних нер1вностей.

Покажемо на прикладах використання ц1е'' властивост до розв'язування тригоно-метричних нер1вностей.

Приклад 12. Розв 'язати нергвтсть: cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х < 2. У поабнику [6], стор. 65 наведено до-сить громiздке розв'язання цiеi нерiвностi. Автор розглядае функцш F(х) = cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х - 2. П1сля перетворень мае:

F(х) = 2 cos х cos 2х cos 5х. Знайшовши кореш на промiжку

Л < х < 11л 10 10

що дорiвнюе перюду функци F(х), дiстaе 7

промiжкiв, на кожному з яких встановлюе-

мо знак функци.

Розв'яжемо дану нерiвнiсть зручшшим

способом. Функщя F(х) парна, перiодичнa i

визначена для будь-якого дiйсного числа.

Перюд функци дорiвнюе п. Врахувавши

паршсть функци, знайдемо ii кореш на

л 3л

0 — \. Ось вони: 2) 10

промiжку Кореш розiб'ють промiжок

0, л

0, л '10

ри прошжки:

(3л л|

t Ю'1 J.

Оскшьки на промiжку

л л 10'i

4 10

на чоти-

л 3л

4'То"

0'лJ т > 0'

то функщя не мае кратних корешв i ii зна-чення змiнюють знак на протилежний при переxодi через коршь. Отже,

на промiжку

л л | F(х) < 0;

10' 4 J

л 1лJ FM > 0; 4'10 J

лJ F(х) < 0.

10 '2 J

Розв'язками нерiвностi на промiжку

'2

будуть промiжки (л л

3л л ,

--, а отже, на промiжку

10 ' 2

10'4

—л,»:

вiдповiдно так1 прошжки:

л _ 3л4 "2' 10

_л _л\. Щоб встановити, чи входить

4' 10 J л

точка — — у розв'язок, пiдстaвимо в F(х) зaмiсть х _ л . Загальний розв'язок жр1в-

ност1: r:

л 3л

---h KTt,---h Кл

2 10

л л

--hКл,--hK

10 4 j

л л

---h кл,---h кл

,4 10 j

'3л л |]

--hKЛ'—hKT >■.

,10 2 \

1. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики / П.С.Моденов. -М.: Высшая школа, 1960.

2. Александров Б.И. Пособие по математике для подготовительных курсов МГУ / Б.И.Александров, П.С.Моденов. - М.: изд-во Московского университета, 1967.

3. Сивашинский Х.С. Элементарные функции и графики /Х.С.Сивашинский. - М.: Наука, 1966.

4. Шваецький М.Г. Абсолютн величини в шюльному кура математики /М.Г.Шваецький. - К.:Радянськашкола, 1967.

5. Спатару К. С. Абсолютная величина / КС.Спатару. - Кишинев: изд-во Лумина, 1966.

6. Каплан Я.Л. Розв 'язування нер1вностей / Я.Л.Каплан. - К.: Радянська школа, 1967.