Использование степенных рядов для формирования «Виртуальных» антенных решеток вблизи рассеивателей сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.67

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ «ВИРТУАЛЬНЫХ» АНТЕННЫХ РЕШЕТОК ВБЛИЗИ РАССЕИВАТЕЛЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

А.В. Ашихмин, В.В. Негробов, Ю.Г. Пастернак, Ю.А. Рембовский

Показано, что использование рядов Лорана для описания распределения электромагнитного поля вблизи рассеивателя произвольной формы позволяет сформировать «виртуальные» антенные решетки, использующиеся для уменьшения погрешностей при пеленговании

Ключевые слова: амплитудно-фазовое распределение, аппроксимация поля кольцевая антенная решетка

Существуют способы использования

функций комплексного переменного 2 = X + гу для описания распределения электромагнитного поля на плоскости[1, 2]. Это обстоятельство можно использовать для формирования так называемых «виртуальных» антенных решеток -аппроксимации распределения поля как внутри контура приемной антенной системы, так и вне ее, проводимой без учета (в явном виде, путем построения имитационной модели рассеяния электромагнитных волн на электродинамическом объекте «антенная система - опорная мачта - корпус носителя - подстилающая поверхность») геометрии и материальных свойств рассеивающего объекта. Такая аппроксимация позволяет компенсировать дифракционные искажения наблюдаемого с помощью антенной решетки пространственного амплитудно-фазового распределения поля.

При этом оказывается весьма эффективным использование различных методов аппарата теории функций комплексного переменного, в частности - интеграла Коши (а также - интеграла Пуассона для контуров, имеющих форму окружности).

При описании поля на плоскости х0у, в которой лежат фазовые центры элементов антенной решетки, размещенной на корпусе мобильного носителя (или вблизи опорной мачты), с помощью интеграла Коши, выполнялась следующая последовательность действий [1, 2].

1. Функция, описывающая Е2 - компоненту электромагнитного поля на окружности радиу-

са Я, на которой расположено N элементов кольцевой антенной решетки, аппроксимируется по измеренным пространственным отсчетам и 1,и2,и3,...,UN с помощью следующего полинома с коэффициентами Бп_1:

Uар(z = R • exp[/#]) =

N+1

= 2 Bn-i exp[n -/(n+

(i)

При этом для нахождения коэффициентов полинома Бп-1 может быть использован метод наименьших квадратов [3].

2. Аналогичным образом записывается поле на внешнем контуре Ь (например - окружности радиуса г):

Uвнешн. (z = r • eXP[z] =

2 Xn-1 eXP[n - 1)Z /(N + l)

n=1

(2)

3. Предполагается, что значения поля на внешнем и внутреннем контурах связаны между собою посредством интеграла Коши:

UAP (z ) =

U в

Z-z

(3)

Правомерность этого перехода обосновывается аналитическим продолжением функций

иАР = Я • ехР[#]) и иенешн(г = г • ехр[/#]) следующего вида:

Ашихмин Александр Владимирович - ВФ ЗАО «ИРКОС» (г. Москва), д-р техн. наук, тел. (4732) 39-23-00 Негробов Владимир Владимирович - ВГТУ, аспирант, тел. (903) 653-21-64

Пастернак Юрий Геннадьевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 23-12-46

Рембовский Юрий Анатольевич - ВФ ЗАО «ИРКОС»

(г. Москва), канд. физ.-мат. наук, тел. (495) 615-73-02

U АР (z = R • eXP[i Z]) =

' АР N+1

= 2 bn-1 • R(n-1)/(N+1) • exp[(n -1) • Z /(n + 1)] ]

n=1

N+1

N+1

n-1 -z(n-1)/(N+1)=2 bn-1 • z“n-1,

n=1

n=1

n=1

где

ь = б / я(п-1)/(/^+1)

°п-1~ Бп—1 ' Я ■>

я(«—1)(+1) • ехр[ (п — 1). £/^ +1)] =

= \при г = Я • ехр[ • с] = г(п—l)/(N+l)

ап—1 =(п — l)/(N + l),

N+1

где функция 2Ьп—1 • 2ап—1 удовлетворяет

п=1

условиям Коши-Римана.

4. С целью выполнения процедуры регуляризации по Тихонову [4] к левой части выражения (3) прибавляется малое слагаемое

М • ивнешн. (г) :

М и внешн. (г) + иАР (г ) = и ~(с ^ , (5)

2т * с — г

Ь

где м - малый параметр процедуры регуляризации.

Выражение (5) представляет собой интегральное уравнение фредгольмовского типа 2го рода (а выражение (3) - интегральное уравнение фредгольмовского типа 1-го рода) относительно неизвестной функции, описывающей поле на внешнем контуре ивнешн..

5. Выражения (1) и (2) подставляются в (5), полученное в результате интегральное уравнение 2-го рода решается с помощью метода кол-локаций [4] (сводится к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений).

Так как измерение комплексных амплитуд напряжений на выходах элементов антенной решетки и1,и2,U3,...,UN сопровождается неизбежными погрешностями, возникающими в результате действия шумов и неидентичности каналов приемной антенной системы (антенная решетка - высокочастотные усилители - многоканальный коммутатор (из N каналов выбирающий любые 2 канала) - двухканальный аналоговый приемник), при реализации данной процедуры, позволяющей сформировать «виртуальную» антенную решетку на окружности радиуса г > Я, приходится искать непростой компромисс между устойчивостью и точностью решения исходного уравнения (3).

В настоящей работе была поставлена цель создания процедуры формирования «виртуальной» антенной решетки с помощью аппарата теории аналитических функций комплексного переменного г = X + гу , не требующей использования регуляризации уравнений 1-го рода, решение которых относится к классу некор-

ректных задач (при наличии погрешностей в измерении величин и 1, и 2, и 3,..., и N).

Учитывая, что измеренные значения напряжений и1,и2,и3,...,UN можно трактовать как отсчеты ип = и(рп) (рп = 2ж(п — 1)/ N,

п = 1,2,..., N) периодической функции и(р) с периодом 2п, описывающей непрерывное распределение поля по окружности радиуса Я , взятые через промежутки 1/(2^) (где

^ = 1/(4 п/ N)), функцию и р) можно представить в виде ряда Котельникова [3], принимая во внимание при этом, что расстояние между соседними элементами антенной решетки

й = т](хп — хп—1 )2 +(Уп — Уп—1 )2 а также то

обстоятельство, что антенная система расположена вблизи относительно гладкой поверхности (крыша автомобиля, днище летательного аппарата) и поле, в соответствии с условиями Мейк-снера [5] на типовых острых ребрах, достаточно удаленных от вибраторов антенной системы, изменяется достаточно медленно:

^ и 5ш(2п(р — Рп)) (6)

= 2ип 2*^,) • (6)

Такое описание электромагнитного поля является весьма точным, даже на тех частотах, на которых наиболее ярко выражены резонансы корпуса носителя.

Как уже говорилось ранее, в результате действия шумов и несовершенства приемной аппаратуры, использующейся для измерения амплитуд и фаз колебаний на выходах активных элементов антенной решетки, неизбежно появление погрешностей, величина которых может достигать до ±(4 + 5)0 для измеренных значений фаз и ±(1 ^ 1.5) дБ - для измеренных значений амплитуд.

Максимально возможное значение сдвига фаз напряжений на выходах соседних элементов антенной решетки (при игнорировании дифракционных эффектов и распространении падающей волны вдоль прямой линии, соединяющей центры вибраторов) на частоте 40 МГц составляет, приблизительно, 22.490, а на частоте 170 МГц - 95.590. Даже в случае продольного падения волны значение погрешностей измерения фазы, особенно на нижних частотах, может приводить к существенным погрешностям измерения пеленгов источников радиоизлучения, так как отношение погрешности изме-

рения фазы к ее истинному значению может достигать (18 ^ 22)%.

При поперечном же падении волны, когда ее фазовый фронт параллелен линии, соединяющей вибраторы (в любом случае для каких-то пар вибраторов это условие будет весьма близко), подобные погрешности тем более недопустимы. Поэтому для уменьшения величины погрешностей измерения амплитуд и фаз принимаемых сигналов используется фильтрация высших гармоник спектра величины и (р)

(так как погрешности измерений являются случайными величинами, которые могут быстро изменяться от одного вибратора к другому), основанная на представлении ее в виде следующего ряда Фурье:

к

и(р) = + 2 (ак • ^(кр) + Ьк • 8ш(кр)), (7)

2 к=1

где

% = — ^ (7(ір)со^(кр)Др,

-П

1 П

Ьк = — 17 р)8Іп(кр)іір,

К +1 - число учитываемых гармоник.

Проведенные численные эксперименты показали, что амплитуды гармоник, начиная с четвертой, в рассматриваемой полосе частот являются пренебрежимо малыми, рис. 1. При формировании скорректированного амплитудно-фазового распределения, используемого для аппроксимации поля вне контура антенной решетки, далее использовались только три гармоники разложения в ряд (7): к = 0,1,2.

/ \\ у = 170 МГц

■■'А ^ \ \

//У а 1. %'ЧЧЧЧ\ч

і / / = 110 МГц / 1''''’^^ N. "\ "1 / = 135 МГц V"

г / \ ' / = 40 МГц\

номер гармоники,

Рис. 1. Нормированные амплитудные спектры величины и (р) на ряде частот рабочего диапазона

Другим простым способом снижения погрешности измерения амплитуд и фаз принимаемых сигналов является поочередное использование каждого вибратора антенной решетки в качестве опорного. Далее производится нормирование измеренных N амплитудно-фазовых распределений, заключающееся, например, в том, что в каждом из них фазы колебаний на выходе 1-го вибратора обнуляются, а амплитуды - фиксируются. Затем производится усреднение амплитуд и фаз измеренных в N N -мерных реализациях колебаний.

Скорректированное амплитудно-фазовое распределение и(р) (7), записанное для окружности с центром в точке (х = 0; у = 0) используется для аппроксимации поля в кольце Я — 8 < г < Я + 8 (где 8 << Я) с помощью ряда Лорана [3]:

7 ( )= 2 °к2к

(8)

к=-о)

где

и (сН

- — Гк 2П Гк+1

г ь

Г - окружность с центром (х = 0; у = 0) и

радиусом Я .

Рассмотрим кольцо г2 < г < г1, где г2 < Я и Я <г1, а также г1 — Я >8 и Я — г2 >8, в котором погрешность описания поля с помощью ряда Лорана (8) не превышает Дф - для фазы и ДА -

для амплитуды. Значения величин Дф и ДА

могут быть оценены путем проведения серии численных экспериментов для анализируемой полосы частот / е [/т1П; /тах ], значений азимута р е [0;2п] и свойств антенной системы и ее носителя.

Согласно [3], при оценке величины остаточных членов ряда (8) для учитываемых значений индексов к = 0,1,..., п — 1, можно использовать следующее выражение:

•м (г1)

(9)

где

М(г1) - верхняя граница для величины и (г) при г = г1,

а при к = —(п — 1),—(п — 2)...,—1 справедлива следующая оценка:

-П

П

Г

г - г

( V

г2 г2 ^

N VI 1/ N

М (г2 )

(10)

где

М(г2) - верхняя граница для величины \и() при г = г2.

Тогда для окружности с радиусом г = Я + 8 справедлива следующая грубая оценка остаточного члена ряда Лорана:

К (*)

(11)

а для окружности с радиусом г = Я - 8:

| Яп (г )|

Я-8

(12)

и т.д., и оценка значении

Проведенные численные эксперименты показали, что использование разложения в ряд Лорана Ег - компоненты поля внутри круга с радиусом, равным удвоенному радиусу антенной решетки р = 2Я), позволяет повысить инструментальную точность радиопеленгатора мобильного базирования до 1.4 ^ 1.5 раз.

Более эффективным способом формирования «виртуальной» антенной решетки является численная оценка, проводимая с использованием ряда Лорана (8), нескольких производных функции ир) в радиальных направлениях

ди (р, г) д 2и (р>, г) дг ’ дг2

функции и(р, Я + Ь), где величина Ь может превышать значение радиуса антенной решетки Я , с помощью отрезка ряда Тейлора:

и рр, я + ь)» и^лу^рг! .Ь + ^^1 А +... (13)

дг дг 2

На рис. 2, 3 показаны частотные зависимости измеренных пеленгов и абсолютных погрешностей пеленгования, соответствующих традиционному использованию «реальной» антенной решетки с радиусом Я = 0.54 м и числом элементов N = 7 (сплошные жирные линии) и «виртуальной» антенной решетки с радиусом г = 1.24 ми числом «элементов» (аппроксимированных точечных отсчетов поля) N = 12 (линии с кружками). При проведении численного моделирования ряд Тейлора (13) был усечен до его первых трех членов.

Из рис. 2, 3 видно, что наиболее эффективным является использование «виртуальной» антенной решетки в полосе частот, соответствующих наиболее интенсивным резонансным явлениям корпуса носителя антенной решетки: от 80 до 145 МГц.

При истинном значении азимута источника радиоизлучения рИРИ = 300 максимальная погрешность измерения пеленга источника радиоизлучения в полосе частот от 40 до 170 МГц, благодаря использованию «виртуальной» антенной решетки, уменьшается в 1.778 раза (с 160 до 90); среднеквадратическая погрешность пеленгования уменьшается в 1.47 раза (с 7.1830 до 4.8870).

При значении рИРИ = 600 максимальное значение погрешности пеленгования в полосе частот от 40 до 170 МГц уменьшается в 2.5 раза (с 200 до 80); среднеквадратическая погрешность пеленгования уменьшается в 2.38 раза (с 6.8010 до 2.8580).

а)

б)

Рис. 2. Частотные зависимости измеренных пеленгов (а) и абсолютных погрешностей пеленгования (б) для истинного значения азимута источника радиоизлучения

Фирм = 300: «реальная» антенная решетка - сплошные жирные линии; «виртуальная» антенная решетка - линии с кружками

2

V г1 У

п

г

2

а)

б)

Рис. 3. Частотные зависимости измеренных пеленгов (а) и абсолютных погрешностей пеленгования (б) для истинного значения азимута источника радиоизлучения

рИРИ = 600 : «реальная» антенная решетка - сплошные жирные линии; «виртуальная» антенная решетка - линии с кружками

Таким образом, в настоящей работе предложен и апробирован, с использованием данных натурных измерений, проведенных с помощью мобильного радиопеленгатора производства НПП ЗАО «ИРКОС» (г. Москва), способ описания пространственного распределения электромагнитного поля вблизи кольцевой антенной решетки радиопеленгатора мобильного базирования, основанный на гипотезе воз-

можности использования аппарата теории аналитических функций комплексного переменного г = х + 1у .

Предложенный способ аппроксимации поля не требует учета в явном виде геометрии и материальных свойств корпуса носителя антенной решетки и базируется на применении ряда Лорана для описания поля в кольцевой окрестности окружности, на которой лежат элементы антенной решетки, и дальнейшем использовании нескольких первых членов ряда Тейлора для экстраполяции значений поля в радиальных направлениях.

Экстраполированные значения поля можно трактовать как «виртуальную» антенную решетку, использующуюся для повышения разрешающей способности по азимуту и точности пеленгования источников радиоизлучения в широкой полосе частот: в полосе частот с более, чем четырехкратным перекрытием, в среднем, в два раза, удается уменьшить максимальную и среднеквадратическую погрешность пеленгования источников радиоизлучения.

Литература

1. Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Структура поля в области расположения кольцевой антенной решетки мобильного базирования / Антенны. 2007. № 1(116). С. 30-34.

2. Пастернак Ю.Г., Рембовский Ю.А. Метод восстановления электромагнитного поля на плоскости вблизи трехмерного рассеивателя / Антенны. 2007. № 7(122). С. 43-48.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. -832 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука. - 1987. 598 с.

5. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы в теории волноводов. М.: Мир. 1974. 327 с.

Воронежский государственный технический университет Научно-производственное предприятие ЗАО «ИРКОС», г. Москва

USE OF POWER SERIES FOR GENERATION "VIRTUAL" ANTENNA ARRAYS NEAR SCATTERERS WITH A COMPLEX FORM

A.V. Ashihmin, V.V. Negrobov, J.G. Pasternak, J.A. Rembovsky

It is shown, that use of of Laurent series for the description of electromagnetic field’s distribution near the scatterer of arbitrary form allows to generate "virtual" antenna arrays used for reduction of errors at direction finding

Key words: amplitude-phase distribution, field approximation, circular array