Научная статья на тему 'Использование статистических критериев множественного сравнения в обогащении полезных ископаемых'

Использование статистических критериев множественного сравнения в обогащении полезных ископаемых Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

CC BY
1176
112
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА / STUDENT CRITERION / КРИТЕРИЙ НЬЮМЕНА-КЕЙЛСА / NEWMAN-KEULS TEST / КРИТЕРИЙ ТЬЮКИ / КРИТЕРИЙ ДАННЕТА / ОБОГАЩЕНИЕ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ / MINERAL PROCESSING / СТАТИСТИКА / STATISTICS / TUKEY''S TEST / DUNNETT TEST

Аннотация научной статьи по нанотехнологиям, автор научной работы — Ромашев А.О., Николаева Н.В.

Приведены результаты исследований по применению статистических критериев множественного сравнения (Критерий Стьюдента с поправкой Бонфферони, критерий Ньюмена-Кейлса, критерий Тьюки, критерий Даннета). Описаны алгоритмы расчета и сфера применения. Представлены примеры расчета и анализы результатов при исследовании влияния вспенивателя на снижение содержания органического углерода в концентрате при флотации золотосодержащей руды месторождения «Майское».

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по нанотехнологиям , автор научной работы — Ромашев А.О., Николаева Н.В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

USE OF STATISTICAL CRITERIA OF MULTIPLE COMPARISONS IN THE MINERAL PROCESSING

The results of studies on the use of of statistical criteria in the multiple comparisons are presented at article (Student criterion adjusted Bonferroni, Newman-Keuls Test, Tukey's Test, Dunnett Test). Calculation algorithms and scope are described. Examples of calculation and analysis of the results of the study of the effect of the blowing agent to reduce the organic carbon content in the concentrate in the flotation of gold ore deposits «Maiskoe» are presented.

Текст научной работы на тему «Использование статистических критериев множественного сравнения в обогащении полезных ископаемых»

© А.О. Ромашев, Н.В. Николаева, 2015

УДК 622.7

А.О. Ромашев, Н.В. Николаева

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ МНОЖЕСТВЕННОГО СРАВНЕНИЯ В ОБОГАЩЕНИИ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

Приведены результаты исследований по применению статистических критериев множественного сравнения (Критерий Стьюдента с поправкой Бонфферони, критерий Ньюмена-Кейлса, критерий Тьюки, критерий Даннета). Описаны алгоритмы расчета и сфера применения. Представлены примеры расчета и анализы результатов при исследовании влияния вспенивателя на снижение содержания органического углерода в концентрате при флотации золотосодержащей руды месторождения «Майское».

Ключевые слова: Критерий Стьюдента, критерий Ньюмена-Кейлса, критерий Тьюки, критерий Даннета, обогащение полезных ископаемых, статистика.

Постепенное истощение разрабатываемых месторождений требует, как можно скорее восполнять возникающий дефицит за счет вовлечения в переработку труднообо-гатимых руд, переработка которых «классическими» методами не эффективна. В связи с этим повышение эффективности обогащения, использование новых способов переработки, интенсификация за счет использования физико-химических воздействий, внедрение новых реагентов в процессы и т.д. являются приоритетными задачам перед исследователями-обогатителями [1].

Как правило исследования носят прикладной характер и в результате проведения каких-либо мероприятий сравнивается являются ли они эффективными и могут быть применимы для данного типа сырья. Зачастую полученные результаты статистически не проверяются, что приводит к методическим ошибкам и искажению интерпретации полученных результатов. Например, вместо того чтобы признать несколько флотореагентов равно эффективными (или неэффективными), один из них объявляют «лучшим». Между тем использо-

вание соответствующих критериев в значительной мере поможет при изучении влияния того или иного фактора на процесс обогащения, точнее позволит ответить на вопрос является ли различие в полученных результатах статистически важным (с определенной вероятностью) или полученный результат лишь случайность.

Одним из самых широко используемых критериев является 1:-критерий Стьюдента, который является частным случаем дисперсионного анализа. Критерий предназначен для сравнения только двух выборок, но на практике он часто неправильно используется для оценки различии большего числа групп посредством попарного их сравнения. Например, при подборе более эффективного реагента пробуют х число реагентов и далее производят сравнение 1 реагента со 2, 2 с 3 и т.д. При получении достаточно высокого значения критерия : в каком-либо сравнении делается вывод, что вероятность ошибочного заключения о существовании различии не превышает 5%. Это суждении ошибочно и вероятность ошибки существенно больше и может быть рассчитана по выражению:

Р = 1 - (1 - 0,05)п или Р = 0,05п, где п - число сравнений. Нетрудно убедится, что даже при сравнении 3 различных видов реагентов ошибка при использовании /" составит порядка 15 %. В литературе это свойство получило название эффекта множественных сравнений.

Для исследования выборок количеством более двух следует применять сделать методы множественного сравнения. Простейший из них — использование неравенства Бонферрони:

а' < па (1)

где а — вероятность хотя бы один раз ошибочно выявить различия. Т.е. если к раз применить критерий с уровнем значимости а, то вероятность хотя бы в одном случае найти различие там, где его нет, не превышает произведения к на а. Из неравенства Бонферрони следует, что для обеспечения вероятность

ошибки а (как правило, для технических исследований - это значение 5 %), то в каждом из сравнений необходимо принять

уровень значимости а /п. Например, для сравнения 3 реаген-

тов уровень значимости должен быть 0,05/3=1,7%. В общем случае рационально использование неравенства Бонферрони при числе п<8, так как с увеличение числа сравнений растет шанс признать даже существенные различия статистически не значимыми.

Более точным и менее строгим является критерий Нью-мена-Кейлса (д критерий). Он дает более точную оценку вероятности, а также чувствительность его выше, чем критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони. При использовании критерия Ньюмена-Кейлса прежде всего необходимо проверить равны ли средние с помощью дисперсионного и если это не подтверждается, все средние упорядочивают по возрастанию и сравнивают попарно, каждый раз вычисляя значение я критерия:

д = Ха - Хв

5внУ 1 1

2

V пА пВ

2 ( 1 1 ^

, (2)

где А в — сравниваемые средние, вну — дисперсия внутри

выборки, пА и пв — количество элементов в выборке.

Причем для оптимизации вычисления сначала нужно сравнить наименьшее среднее с наибольшим, затем со 2-ым по значению и так далее. Затем сравнивается предпоследнее в том же порядке. Перебор всех пар может быть довольно трудоемок и не всегда необходим, так как если какие-то средние не различаются, то и все средние лежащие между ними различаться не будут.

Вычисленное значение критерия сравнивается непосредственно с табличным и на основании сравнения де-лается вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы. Табличное значение выбирается на основании принятой вероятности, числа степеней свободы V = N - т (где N - количество элементов во всех выборках, т - число выборок) и величины интервала сравнения, который определяется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами в проранжированном от меньшего к большему ряду средних.

Другой критерий, применение которого возможно при сравнении нескольких выборок называется - критерий Тьюки. Критерий Ньюмена-Кейлса был разработан как усовершенствование критерия Тьюки и соответственно по расчету они практически идентичны за исключением способа определения критического значения. В ц критерии Ньюмена-Кейлса критическое значение зависит от интервала сравнения. При расчете по критерию Тьюки при всех сравнениях вместо интервала сравнения используется число, использованных в анализе, выборок, таким образом, критическое значение ц все время одно и то же. Поскольку в критерии Тьюки при всех сравнениях используется максимальное критическое значение, различия будут выявляться реже, чем при использовании критерия Ньюмена-Кейлса.

Практическое применение этих критериев может использоваться при различных исследованиях [2, 3]. Например, в работе [4] исследовалось влияние вспенивателей на снижение содержания органического углерода в концентрате при флотации золотосодержащей руды месторождения «Майское». Основным показателем эффективности проведения процесса являлось содержание отношение содержания золота в перерабатываемом материале, выраженное в единицах г/т к содержанию органической части рудного углеродистого вещества и выраженной в кг/т (Аи/Сорг). В качестве реагентов использовались ОР Р-597, РЫапо1 7196, РЫапо1 7197. Опыт повторялся по 3 раза, результаты сведены в таблицу 1.

Стандартное отклонение тогда составит: ОР Р-597-0,2; РЫапо1 7197-0,3; РЫапо1 7196-0,5. На основе дисперсионного анализа расчетный Р критерий равен 14,59, а табличный, при уровне значимости Р = 95 %, равен 5,14. Так как Р > Ртбл, значит нулевая гипотеза о равенстве всех средних отвергается.

Таблица 1

Условия и результаты проведения эксперимента

Реагент Значение Аи/Сорг в опыте Среднее содержание Аи/Сорг

1 2 3

ОР Р-597 4,88 4,58 4,61 4,69

Р1о1апо1 7197 5,86 6,19 5,56 5,87

Р1о1апо1 7196 6,57 6,18 5,61 6,12

Рассчитаем критерий Стьюдента с учетом неравенства Бонферрони (1). Внутригрупповая оценка дисперсии:

= (0,22 + 0,32 + 0,52 )• 13 = 0,12. Число выборок 3, численность каждой выборки 3. Следовательно, число степеней свободы у=3(3 - 1)=6. Тогда попарно сравнивая все выборки получаем:

= Щ = 5,87 - 4,69 = 4,173,

V

24У 12 • 0,12

п V 3

= 612 - 4,69 = 5,02; ,3 = 5,87 - 6,12 = -0,884 2 • 0,12 2 • 0,12

где Х! — среднее содержание Аи/Сорг.

Так как всего проведено 3 сравнения, то с учетом неравенства Бонферрони, уровень значимости должен быть не менее а'=0,0 5/3=0,016. При таком уровне значимости табличный критерий Стьюдента - 5,959 [5]. Таким образом статистического различия между опытами не наблюдается.

Рассчитаем критерий Ньюмена-Кейлса и критерий Тьюки для данных таблицы 1.

Упорядоченные значения средних полученных результатов: 4,69(Х1ср) - 5,87(Х2ср) - 6,12(Х3ср), соответственно сравнение производится в следующем порядке: Сравниваем Х3ср с Хгср, Хзср с Х2ср, Х2ср с Х\ср

Табличные и рассчитанные значения критериев Ньюмена-Кейлса и Тьюки по (2) сведены в табл. 2.

Таблица 2

Табличные и расчётные значения критериев Ньюмена-Кейлса н Тьюки

Сравнение Расчетный Табличный Расчетный Табличный

выборок критерии Ньюмена-Кейлса критерии Ньюмена-Кейлса [6] критерии Тьюки критерий Тьюки[6]

Х3ср с Х1ср 7,002 4,339 7,002 4,339

Х3ср с Х2ср 1,000 5,243 1,000 4,339

Х2ср с Х1ср 6,002 5,243 6,002 4,339

Как видно анализ статистической обработки с помощью критериев Ньюмена-Кейлса и Тьюки дал иные результаты. В обоих тестах результаты опытов с РЫапо1 7197 и РЫапо1 7196 отличны от результатов с ОР Р-597, что подтверждено дальнейшими исследовании. Полученные результаты показывают, что строгость критерий Стьюдента с учетом неравенства Бонферрони чрезмерно и отвергает существование различий значительно чаще, чем необходимо. В связи с этим при исследовании в области обогащения использование я критерия Ньюмена-Кейлса предпочтительнее.

Довольно часто при проведении исследований требуется не сравнение всех полученных результатов между собой попарно, а сравнение только с одной контрольной (исходной) группой. Например, такая необходимость может возникнуть при модернизации схемы обогащения, когда необходимо сравнить показатели работы работающей технологии и после проведенной модернизации. Также такого рода исследование необходимо при выявлении различий при замене реагента в схеме флотации для выяснения существования статистически значимого различия и т.д.

Для этих целей возможно применение способов, описанных выше, но это приводит к значительному увеличению трудоемкости процесса, из-за необходимости сравнивать все выборки. При этом резко возрастает риск пропуска реальных различий и ошибочного принятия нулевой гипотезы. Более корректным, при таких исследованиях будет применение специально разработанных методов. Наибольшее распространение получили: модифицированный критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони и критерий Даннета.

Применение модифицированного критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони производится по тому же алгоритму, как и при множественном сравнении, но с уменьшенным на единицу числом сравнений. Соответственно уровень значимости будет рассчитываться как а' /(п - 1), что приведёт к смягчению критерия. За счет снижения критического уровня 1 чувствительность метода повышается, при этом корректно делать выводы только о различии (или совпадении) выборок с контрольной. Вывод о различии не контрольных выборок, при использовании данного метода, невозможен.

Критерий Даннета является модификацией критерия Ньюмена-Кейлса. Алгоритм расчета следующий. Средние ранжируются по возрастанию их абсолютного отличия от среднего исходной выборки. Затем начинают процедуру сравнения исходной выборки с остальными начиная с имеющей наиболее отличной от контрольной значение. Если различия с очередной выборкой не найдены вычисления прекращают, так, как и остальные выборки, заключенные между ними различий иметь не будут. Интервал сравнения постоянен и равен числу выборок включая исходную. Число степеней свободы вычисляют как в критерии Ньюмена-Кейлса. Сам критерий Даннета вычисляется как:

X - X

4 =

V

контр А (3)

52

вну

1 >

^ Пконтр ПА

и сравнивается с табличным значением.

В табл. 3 приведен расчет модифицированного критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони и критерия Даннета по формуле (3). В качестве исходной выборки приняты опыты с вспенивателем ОР Р-597.

Анализ показал, что по модифицированному критерию Стьюдента с поправкой Бонферрони различия с контрольной выборкой отсутствуют, между тем критерий Даннета показал прямо противоположный результат.

Таблица 3

Табличные н расчётные значения модифицированного критерия Стьюдента с поправкой Бонферрони и критерия Даннета

Сравнение Расчетный модифицированный критерий Стьюдента с поправкой Бон-феррони Табличный модифицированный критерий Стью-дента с поправкой Бонферрони [5] Расчетный критерий Даннета Табличный критерий Даннета [7]

РЫапо1 7197 с ОР Р-597 4,173 5,059 4,244 2,86

РЫапо1 7196 с ОР Р-597 5,057 5,059 4,952 2,86

Сравнивая модифицированный критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони и критерий Даннета можно отметить, что критерий Даннета более чувствительный и дает более точный результат при сравнительно небольшом числе выборок.

В заключении хочется отметить что, наличие статистически различных результатов еще не означает что доказано действие именно изучаемых факторов (это вопрос прежде всего планирования эксперимента) или найдено какое-то оптимальное сочетание, проверка по данным критериям призвана прежде всего подтвердить, что результат закономерен на допустимом уровне значимости, а не обусловлен случайностью.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 15-17-00017).

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чантурия В.А., Козлов А.П. Прогрессивные технологии комплексной и глубокой переработки природного и техногенного минерального сырья \ \ Сборник научных трудов Международной научно-технической конференции «Комбинированные процессы переработки минерального сырья: теория и практика» 19—20 мая 2015 г, Санкт-Петербург, с. 12

2. Khanchuk A.I. Natural and technological typomorphic associations of trace elements in carbonaceous rocks of the Kimkan noble metal occurrence, Far East / Khanchuk A.I. Rasskazov I.Y., Aleksandrova T.N., Komarova V.S. // Russian Journal of Pacific Geology. 2012. T. 6. № 5. pp. 339-348.

3. Александрова Т.Н. Исследование возможности извлечения редких элементов из черносланцевых пород / Александрова Т.Н., Ромашев А.О., Янсон У.М.// ГИАБ, № 4, 2015, 124 -128 с.

4. Александрова Т.Н. Минералого-технологические аспекты и перспективные методы интенсификации обогащения сульфидной золотосодержащей руды / Александрова Т.Н., Ромашев А.О., Семенихин Д.Н. // Металлург, № 4, 2015, с. 53-59

5. Zar J.H. Biostatistical analysis (2 ed.). // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1984.

6. На^ег H.I. Order statistics and their use in testing and estimation. Vol. 1: Tests based onrange and studentized range of samples from a normal population // U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1970.

7. Dunnett. C. W. New tables for multiple comparisons with a contro // Biometrics, 20, 1964, p. 482—491. ИШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Ромашев А.О. - кандидат технических наук, ассистент кафедры обогащения полезных ископаемых, romashevao@yandex.ru, Николаева Н.В. — кандидат технических наук, доцент, nadegdaspb@mail.ru,

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный».

UDC 622.7

USE OF STATISTICAL CRITERIA OF MULTIPLE COMPARISONS IN THE MINERAL PROCESSING

Romashev A.O., Ph.D, Assistant of Mineral Processing Department of National Mineral Resources University «Mining», Russia,

Nikolaeva N.V., Ph.D, Associate Professor of Mineral Processing Department of National Mineral Resources University «Mining», Russia.

The results of studies on the use of of statistical criteria in the multiple comparisons are presented at article (Student criterion adjusted Bonferroni, Newman-Keuls Test, Tukey's Test, Dunnett Test). Calculation algorithms and scope are described. Examples of calculation and analysis of the results of the study of the effect of the blowing agent to reduce the organic carbon content in the concentrate in the flotation of gold ore deposits «Maiskoe» are presented.

Key words: Student criterion, Newman-Keuls Test, Tukey's Test, Dunnett Test, mineral processing, statistics.

ACKNOWLEDGEMENTS

The study was performed by the grant of Russian scientific Foundation (project No. 15-17-00017).

REFERENCES

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Chanturiya V.A., Kozlov A.P. Progressivnye tehnologii kompleksnoi i glubokoi pererabotki prirodnogo i tehnogennogo mineralnogo syr'ya (Progressive technologies of complex and deep processing of natural and technogenic mineral raw materials) \\ Sbornik nauchnyh trudov Mezhdunarodnoi nauchno-tehnicheskoi konferencii «Kombiniro-vannye processy pererabotki mineral'nogo syr'ya: teoriya i praktika». 2015, Sankt-Peterburg, p. 12.

2. Khanchuk A.I. Natural and technological typomorphic associations of trace elements in carbonaceous rocks of the Kimkan noble metal occurrence, Far East / Khanchuk A.I. Rasskazov I.Y., Aleksandrova T.N., Komarova V.S. // Russian Journal of Pacific Geology. 2012. T. 6. № 5. pp. 339-348.

3. Aleksandrova T.N., Romashev A.O., Yanson U.M. Issledovanie vozmoxhnosti izvlecheniya redkikh elementov iz chernoslanchevikh porod (Study on the possibility of extracting rare elements from black shale rocks). Moscow: GIAB, No 4, 2015, 124 - 128 p.

4. Aleksandrova T.N. Mineralogo-tehnologicheskie aspekty i perspektivnye metody in-tensifikacii obogasheniya sul'fidnoi zolotosoderzhashei rudy (Mineralogical-technological aspects and perspective methods of intensifying the beneficiation of sulfide gold ore) / Alek-sandrova T.N., Romashev A.O., Semenihin D.N. // Metallurg, No 4, 2015, pp. 53-59.

5. Zar J. H. Biostatistical analysis (2 ed.). // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.,

1984.

6. Harter H. I. Order statistics and their use in testing and estimation. Vol. 1: Tests based onrange and studentized range of samples from a normal population // U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1970.

7. Dunnett. C. W. New tables for multiple comparisons with a contro // Biometrics, 20, 1964, p. 482—491.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.