CC BY
90УДК 681.3.06
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ MATHCAD ПРИ ОБУЧЕНИИ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Ие Ольга Николаевна, кандидат физ.-мат наук, доцент e-mail: olgaie@mail.ru ГОУ ВПО «Луганский национальный университет
им. Т. Шевченко», г. Луганск
Ie Olga
Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate professor Luhansk Taras Shevchenko National University, Luhansk
•%.......&■
В статье рассматривается применение среды Mathcad при обучении математике студентов технических специальностей. Приводятся рекомендации по решению задач теории вероятностей и математической статистики с помощью этого программного продукта.
Ключевые слова: Mathcad, информационные технологии, инженер, теория вероятностей, математическая статистика.
$.......&
Постановка проблемы. Новые цели образования предполагают формирование творческой личности, конкурентоспособной на рынке труда, поэтому к подготовке студентов технических специальностей вузов предъявляются высокие требования. Одним из важных показателей степени квалификации современного инженера является его профессиональная грамотность, и в настоящих условиях практически нереально подготовить компетентного специалиста без применения средств компьютерных технологий.
Программные средства и оболочки позволяют в значительной мере с помощью вычислительной техники ускорить вычислительные аспекты решения сложных технических задач. Реальные задачи прикладного характера, решение которых требует использование методов и приемов теории вероятностей и математической статистики, характеризуются необходимостью осуществления значительных объемов вычислений, алгоритмической сложностью. Получение результатов в подоб-
ных задачах без применения компьютерных технологий тяжело или практически невозможно [3].
Анализ актуальных исследований. Ранее эта проблема рассматривалась И.В. Детушевым и В.П. Добрицей при обучении теории вероятностей студентов экономических специальностей [1].
Цель статьи - показать необходимость наряду с традиционными методами обучения теории вероятностей и математической статистики использования компьютерных технологий при практическом решении задач.
Изложение основного материала. Математические дисциплины в системе подготовки инженера являются фундаментом для формирования высокого уровня математической культуры; построения математических моделей процессов и объектов; подготовки к ведению исследовательской деятельности в областях, использующих математические методы; разработки эффективных математических
®
методов решения задач техники, естествознания, экономики и управления.
Использование математического аппарата теории вероятностей и математической статистики позволяет применять методы сбора, систематизации, обработки статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия на их основе решений. Обычно исследователь многократно повторяет свой опыт, получая большое количество однотипных данных, которые сначала необходимо обработать, а затем сделать существенные выводы, которые позволят не только продвинуться глубже в изучении предмета, но и сделать выводы, прогнозы, принять важные управленческие решения и т.д. Решение подобного рода проблем влечет за собой потребность использования сложного математического аппарата, и осуществлять довольно трудоемкие вычисления. Поэтому для статистической обработки данных часто применяют вычислительную технику.
Одним из программных средств, предназначенных для выполнения на компьютере разнообразных численных и инженерно-технических расчетов, является Mathcad. Он снабжен простым в освоении и в работе графическим интерфейсом, который предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. Система Mathcad обладает большими возможностями для решения задач математической статистики и теории вероятностей. Обусловлено это, прежде всего, универсальностью, приспособленностью к численному, символьному и графическому решению широкого круга математических задач. Кроме того, в программе имеется и немалое количество специальных статистических функций, которые позволяют значительно сократить время решения расчетных задач. Используя возможности Mathcad, можно проводить обработку выборочных данных, строить различные графики, осуществлять проверку статистических гипотез благодаря имеющимся
встроенным функциям всех теоретических распределений.
В отличие от программного обеспечения, которое используется для редактирования текстов, подготовки электронных таблиц и разработки презентаций, Mathcad позволяет легко вводить текст, формулы, данные и изображения в одном документе, что значительно упрощает сбор информации, повторное использование данных и верификацию проектов. Более того, решение вероятностных задач с использованием вычислительной техники дает возможность студентам приобретать новые знания и проанализировать зависимость результатов решения задач от различных исходных данных, параметров, факторов.
В программе Mathcad формулы всегда находятся в поле документа и имеют естественный для инженерного восприятия вид, что делает математику Mathcad более наглядной и простой, а также позволяет достаточно быстро найти ошибки в расчетах. Использование в Mathcad принципа «Что видишь, то и получаешь» позволяет студенту создавать максимально документированный расчет. Вследствие наличия в Mathcad мощного математического инструмента и средства обработки текстов инженер может документировать свои источники данных, допущения, методы, а средства форматирования использовать для того, чтобы акцентировать внимание пользователя документа на важных этапах расчета [2].
Рассмотрим примеры решения вероятностных задач технического характера с применением среды МаШсаё.
Пример 1. Оператор делает в среднем одну опечатку на странице. Допустив, что вероятность опечатки каждого символа одна и та же и не зависит от опечаток других символов, найти вероятность того, что на данной странице будет менее четырех опечаток.
Очевидно, что вероятность того или иного числа опечаток на странице определяется формулой Бернулли, однако нам неизвестно ни точное число п символов на данной странице, ни вероятность р
©
опечатки каждого символа. Но, поскольку число символов на странице велико, а вероятность опечатки одного символа мала, то эту вероятность можно приближенно вычислить по формуле Пуассона
Рп ( к ) =
о к -Л
Л • е к!
с параметром Л = 1 (среднее число опечаток на странице). Тогда вероятность того, что страница содержит менее четырех опечаток
Р (к < 2 ) = Р (к = 0) + Р (к = 1) +
+Р ( к = 2 ) + Р ( к = 3).
Покажем решение данной задачи в среде Mathcad.
Х:= 1
к:=0 фо1$( к,л) = 0.368 к := 1 фо^кд) = 0.368
к := 2 фой(кд) = 0.184 к := 3 фоЦкД) =0.061
Искомая вероятность равш
0.368 + 0.36В + 0.184 + 0,061 = 0.981
Рисунок 1 - Использование функции ёро1Б ( к,Х )
Функция ёро1Б (к,Х) возвращает вероятность Р (X = к), когда случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром X.
Важное место среди числовых характеристик распределений занимают квантили, определяющие связь вероятностей с соответствующим значением случайной величины на числовой оси. Квантили широко используются в практике вероятностных вычислений при решении задач генерации случайных чисел с заданными законами распределения, при проверке гипотез и т.д. Решение, в общем случае, нетривиальной задачи вычисления квантиля может быть получено интерактивным путем, что становится доступным при использовании средств Mathcad. Рассмотрим пример.
Пример 2. Определить квантили для биномиального (дЬ) и пуассоновского (др) распределений при п = 150, к = 70, р = 0,4.
В системе Mathcad решение выглядит следующим образом
к := 70 п := 150
АЬ := рЫпош(к, и, р) <зЬ(АЪ) := дЬшош( АЬ. п, р)
Ар := рро15(к, б - р) Чр(Ар) := яро1<Ар,л ■ р)
р:= 0.4
АЬ = 0.959 qЬ{AЬ) = 70
Ар = 0.91 ЧР(Ар) - 70
Рисунок 2 - Определение квантилей
Предварительно для к = 70 с помощью встроенных функций рЫпот и ppois найдены кумулятивные вероятности АЬ и Ар соответственно. Полученные значения
введены в аргументы функций дЫпот и qpois в качестве исходных данных.
В Mathcad имеются встроенные функции, которые задают законы распределения, используемые в математической ста-
тистике. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины X, так и некоторые сопутствующие функции. Все они являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Приведем пример проверки статистической гипотезы.
Пример 3. У животных одной группы летальные дозы препарата А составляют: X. = 1,65; 1,78; 1,8; 1,64; 1,54; 2,0; 2,34. У
животных второй группы летальные дозы препарата В составляют: Хв = 2,42; 1,85; 2,0; 2,27; 1,7; 1,47; 2,20. Определить, существенно ли различие в силе токсического действия средних летальных доз обоих препаратов при а = 0,05 .
Решение оформим в среде Mathcad.
Проверим гипотезу о равенстве силы токсического действия средних летальных доз препаратов А и В.
Абсолютное знан зги е разности средних контрольной и опытной групп
ТУ := |ХАзг- ХВзг| О = 0.166
Значен ж ьсэф^ыци^тя Стьюдента, вычисленного по данным выборки
Йак± :=
О
МБ
Йак± = 1.012
Табличное значение коэффициента Стькнента
Гак какЙакКйаЫ. тонет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних. Рисунок 3 - Проверка статистической гипотезы о равенстве средних
Таким образом, различие в силе токсического действия средних летальных доз обоих препаратов несущественно.
®
Выводы. Таким образом, с помощью программы Mathcad можно быстро решать трудоемкие задачи по теории вероятностей и математической статистике на ПК.
Важно отметить, что не следует заменять традиционные методы обучения математических дисциплин изложением только правил взаимодействия с программой Mathcad при решении математических задач технического содержания. Незнание сути самой задачи, методов ее решения может привести к неподготовленности студентов к выбору алгоритмов и средств ее решения в системе Mathcad. Решить эту проблему можно разумным сочетанием традиционных и компьютерных подходов. При этом обучению основам взаимодействия с компьютерными программами при практическом решении задач должна предшествовать теоретическая математическая подготовка.
Благодаря представленному подходу возможно продуктивное овладение навыками решения задач теории вероятностей
-----3.......L -
Abstract. Ie O. Using the Mathcad environment in the training of students of technical specialties of the probability theory. The new goals of education assume the formation of a creative personality that is competitive in the labor market, therefore, high standards are imposed on the preparation of students of technical specialties of higher educational institutions. One of the important indicators of the degree of qualification of a modern engineer is his professional literacy, and under present conditions it is almost impossible to train a competent specialist without using computer technology tools.
Software tools and shells allow you to accelerate, to a large extent, with the help of computer technology, the computational aspects of solving complex technical problems. Real problems of an applied nature, the solution of which requires the use of methods and techniques ofprobability theory and mathematical statistics, are characterized by the need to implement significant amounts of computation, algorithmic complexity. Obtaining results in similar tasks without the use of computer technology is difficult or almost impossible.
One of the software tools designed to perform a variety ofnumerical and engineering calculations on the computer is Mathcad. It is equipped with an easy-to-learn and easy-to-use graphical interface that provides the user with tools for working with formulas, numbers, graphs and texts. The Mathcad system has great potential for solving problems in mathematical statistics and probability theory. This is due, first of all, to the universality, the adaptation to the numerical, symbolic and graphic solution of a wide range of mathematical problems. In addition, the program has a considerable number of special statistical functions that can significantly reduce the time ofsolving the computational problems. Using the capabilities of Mathcad, it is possible to process selective data, build various graphs, and test statistical hypotheses due to the built-in functions of all theoretical distributions.
The article deals with the application of the Mathcad environmentfor teaching students of technical specialties to mathematics. Recommendations are given for solving problems in probability theory and mathematical statistics with the help of this software product.
Key words: Mathcad, information technology, engineer, probability theory, mathematical statistics.
Статья представлена профессором ЕИ.Скафою.
Поступила в редакцию 11.01.2017 г.
и математической статистики и использование компьютерных технологий при их реализации.
1. Детушев И.В. Использование современных информационных технологий при обучении студентов экономических специальностей теории вероятностей / И.В. Детушев, В.П. Добрица // Вестник РУДН Серия «Информатизация образования». - 2013. -№4.
2. Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad / Р.И. Ивановский. - СПб.: БХВ-Петербург. - 2008. - 528 с.
3. Реутова 1.М. 1нтенсифтащя навча-льног дiяльностi студентiв nid час практич-них занять з теорИ' ймовiрностей та мате-матичног статистики засобами тформа-цШно-комуткацтних технологт / 1.М.Реу-това // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ. - Вып. 41. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2014. - С. 44-50.
(49)
