CC BY
54
Математические методы анализа
УДК 330.43; 336.767
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕШАННЫХ КОПУЛА-ФУНКЦИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ И ХАРАКТЕРА ВЗАИМОСВЯЗИ РОССИЙСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА С ЗАРУБЕЖНЫМИ ФОНДОВЫМИ РЫНКАМИ РАЗВИТЫХ И РАЗВИВАЮЩИХСЯ СТРАН*
Д.В. КАНДАУРОВ,
аспирант кафедры фондового рынка и рынка инвестиций E-mail: [email protected] Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
В условиях глобализации и либерализации финансовых рынков актуальным становится взаимосвязь национальных фондовых рынков. От этого зависят решения, принимаемые относительно глобальной диверсификации инвестиционного портфеля.
Целью исследования является изучение характера (асимметрии и силы) взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными фондовыми рынками.
Для достижения поставленной цели были исследованы параметры копула-функции совместного распределения доходностей индексов российского и зарубежных фондовых рынков и произведена оценка качества аппроксимации функции совместного распределения исследуемыми копула-функциями.
Для решения этих задач рассматривается модель смешанной копулы (представляет собой
* Автор выражает глубокую признательность Дмитрию Игоревичу Бобровскому за помощь и ценные советы, а также благодарность Генриху Иозовичу Пеникасу за конструктивную критику и советы, полученные на научном семинаре «Финансовое моделирование», регулярно проводимом в НИУ ВШЭ.
функцию, осуществляющую переход от частных распределений случайных величин к их совместному распределению). Оценка параметров смешанной копулы осуществляется методом псевдомаксимального правдоподобия. Частные функции распределения доходностей фондовых рынков задаются эмпирически.
Результаты исследования подтвердили изменчивый характер взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными фондовыми рынками развитых и развивающихся стран. С января 2000 г. по май 2008 г. взаимосвязь российского фондового рынка с большинством рассматриваемых зарубежных фондовых рынков характеризовалась левосторонней асимметрией. С июня 2008 г. по декабрь 2010 г. характерен рост тесноты взаимосвязи в обоих «хвостах» совместного распределения доходностей фондовых рынков. Для третьего периода (январь 2011 г. - март 2014 г.) характерно преобладание правосторонней асимметрии взаимосвязи российского фондового рынка с большинством рассматриваемых зарубежных фондовых рынков. Смешанные копулы в большинстве случаев показали лучшую
аппроксимацию функции совместного распределения доходностей пар фондовых рынков по сравнению с простыми копулами.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что смешанные копула-функции являются более эффективным инструментом моделирования взаимосвязи фондовых рынков. Смешанные копулы могут применяться при оценке рисков инвестирования на зарубежных фондовых рынках, а также для определения оптимального хеджирующего соотношения при хеджировании валютных рисков.
Ключевые слова: копула, смешанная копула, структура, взаимосвязь, фондовый рынок, функция распределения, глобальная диверсификация портфеля
Введение
В условиях глобализации и либерализации финансовых рынков довольно актуальным вопросом является вопрос взаимосвязи национальных фондовых рынков. От ответа на этот вопрос зависят решения, принимаемые относительно глобальной диверсификации инвестиционного портфеля.
Наиболее элементарным способом оценки тесноты связи между фондовыми рынками является расчет коэффициента корреляции широких фондовых индексов. Данный подход довольно широко распространен и применяется во множестве исследований, например [13]. Тем не менее коэффициент корреляции имеет ряд существенных недостатков. Во-первых, нулевое значение коэффициента корреляции не говорит об отсутствии связи. Во-вторых, коэффициент корреляции имеет смысл лишь в том случае, если случайные величины, теснота связи которых оценивается, имеют симметричные эллиптические распределения.
Использование копул помогает в большей степени изучить структуру взаимосвязи национальных фондовых рынков, учесть асимметричный характер этих взаимосвязей.
Несмотря на то, что теоретический аппарат копул начал разрабатываться достаточно давно [ 12], использование копул в финансах началось относительно недавно в работе, посвященной вопросам страхования [14]. Применительно к рынку ценных бумаг первые работы появились в начале 2000-х гг. [3, 8].
В современной научной литературе по финансовым рынкам аппарат копул применяется для решения различных задач:
- для моделирования дюрации долговых ценных
бумаг;
- для оценки стоимости производных финансовых инструментов;
- для оценки рисков портфеля активов;
- для выбора оптимальной структуры инвестиционного портфеля;
- для хеджирования рисков и др.
В ряде исследований копулы используются для изучения характера взаимосвязи национальных фондовых рынков. Так, в работе [4] авторы использовали динамическую ¿-копулу для моделирования взаимосвязи национальных фондовых рынков развитых и развивающихся стран. Исследование показало рост взаимосвязи рынков на протяжении последних 40 лет, а также левостороннюю асимметрию тесноты связи у большинства пар развитых рынков.
Использование модели смешанной копулы для оценки структуры взаимосвязи фондовых рынков впервые было предложено в работе [9]. Аналогичная модель была рассмотрена и в работах [15, 16]. Тем не менее российский фондовый рынок в качестве объекта исследования в этих работах не рассматривался. В настоящем исследовании используется модель смешанной копулы, предложенная в работе [9], оценивается относительная эффективность использования модели смешанной копулы в сравнении с простыми копулами, входящими в нее.
Теоретический аппарат исследования
Основы теории копул. Прежде чем приступать к описанию методики исследования, рассмотрим основы теории копул. Для простоты изложения дадим определение парной копулы [11]. Парной копулой называется отображение С[0,1]2 ^ [0,1], удовлетворяющее следующим условиям:
1) Уи,V е [0,1] С(и,0) = С(0,V) = 0;
2) Ум,V е [0,1] С(м,1) = и, С(1, V) = V;
3) если м1 > и2, V > v2, то С(и1,V) - С(и1,v2) -- С(и2,v1) + С(и2,v2) > 0.
Центральной теоремой в теории копул является теорема Скляра [12].
Пусть Н - совместная функция распределения случайных величин, заданная на Rk, с частными распределениями .., Ек. Тогда существует такая копула С, что для всех хр..., хк в Я выполняется равенство:
Н(Х1,...,Хк) = Р(^(X) < ^(Х1),...,^(Хк) <
< ^ (Хк)) = С (^ ( х ),..., ^ (Хк)).. (1)
В том случае, если Н непрерывна, то С - единственная, т.е.
С Цик) = Н ((и),..., Fkl (ик)), где u = (и1,...,uk) е ,Fi-l (u) = т^х: Fi(x) > u}, i = 1,..., k.
Верно и обратное утверждение: если С является копулой, заданной на [0, 1]к и .., ¥к - функции распределения, заданные на R, то функция распределения, определяемая уравнением (1), является функцией многомерного распределения с одномерными частными распределениями .., ¥к.
Таким образом, копула представляет собой функцию, осуществляющую переход от частных распределений случайных величин к их совместному распределению.
Учитывая, что в статье рассматриваются взаимосвязи двух случайных величин, введем следующие обозначения:
х и у(x, у е R) - наблюдения случайных величин X и У;
и и v(u, V е [0,1]) - частные распределения случайных величин X и У;
С - парная копула-функция.
Плотность парной копулы задается следующей формулой:
дС (и, V)
c(u, v) = -
dudv
Копула дожития Cs копулы C определяется следующим уравнением:
C(u,v) = u + v - 1 + C(1 - u, 1 - v). Плотность копулы дожития равна
c(u,v) = c(1 - u, 1 - v). Важным свойством копул является возможность моделирования хвостовой зависимости. Не все виды копул способны отражать асимметрию взаимосвязи случайных величин. Копула C(u,v) имеет левостороннюю асимметрию, если C (u, u)
lim-= ki > 0, и правостороннюю асимметрию,
u c (u u) если lim jV ' =Xi > 0.
u^ (1 - u)
Смешанная копула представляет собой сумму взвешенных простых копул.
В общем виде модель смешанной копулы можно записать в следующем виде:
n
Cmx (ui—ud; а—а; wi,..., wn) = Z wc (ui,..., udX
i=l
где up..., ud - частные распределения n-мерной случайной величины;
ap...,ak - множество параметров простых копул
C;
wp..., wn - веса простых копул в модели.
Включение в модель простых асимметричных копул позволяет моделировать структуру взаимосвязи случайных величин, имеющую различную форму «хвостов».
Применительно к финансовым рынкам первым исследованием, в котором была использована модель смешанной копулы, была работа [9]. В этом исследовании используется смешанная копула, состоящая из трех простых копул:
Сшх(u, V p,а P, щ, щ) = (u, v; р) +
Щ2Ст (и, V; а) +... + (1 - - ^2 )С"т (и, V; Р), где С^, Ст и С*т - копула Гаусса, копула Гумбеля и копула дожития Гумбеля соответственно; и, V - частные функции распределения случайных величин;
wI, щ2 е [0,1] и щ1 + щ2 < 1 - весовые параметры, отражающие структуру зависимости; р, а, в - параметры ассоциации простых двумерных копул.
Копула Гаусса симметрична. Копула Гумбеля имеет правостороннюю асимметрию и не имеет левосторонней, что позволяет моделировать асимптотическую независимость случайных величин в нижнем хвосте совместного распределения и высокую их зависимость в правом «хвосте».
Копула дожития Гумбеля, наоборот, имеет левостороннюю асимметрию, следовательно, позволяет моделировать сильную взаимосвязь финансовых рынков в части больших отрицательных доход-ностей.
В настоящем исследовании также используется смешанная копула, состоящая из трех простых (одной симметричной и двух асимметричных). В качестве симметричной копулы рассматриваются копула Гаусса Са и копула Стьюдента С^. В качестве асимметричных копул рассматриваются копулы Гумбеля С^ и Клейтона Сс1, а также их копулы дожития С и С , соответственно. Таким образом, рассматриваются следующие четыре модели:
1) Стх1 = Щ1Са + Щ2С?и + Щ3С.^и ;
2) Стх2 = Щ1Са + W2Cc/ +
3) С е.,= щС, + щС + щС ;
' тх3 1 st 2 ^и 3 '
4) С^ = + + Щз^ .
Формулы простых копул и их функции плотности приведены в табл. 1.
Построение модели смешанной парной копулы осуществляется полупараметрическим способом -частные распределения случайных величин задаются эмпирически.
Таблица 1
Простые копулы, используемые в исследовании
Копула
Формула и функции плотности
Характер асимметрии
Гаусса (нормальная)
Cga (u, vi р) =-1= f ^ f * exp I - -—2рхУ+ y I dxdy;
^ 2^Л/1ГРГ 4 2(1 -р2) J ' ;
Асимметрия отсутствует
cga (U, V Р) =
exp
р
(x2 + y2 - 2рху) + (x2 + y2 )
2(1 -Р2 )
где х = ф 1 (и);
y = ф-1 (v);
р - параметр тесноты связи копул
Стьюдента
C„ (u, v р, v) = T2 (t-1 (u),t- (v); р, v);
Асимметрия отсутствует
Г
v + 2 2
т'2
C„(U vl P>v) = — I-2
vndt( x, v)dt (y, v)^/1 - р
где x = t-1 (u); У = t- (v);
v - количество степеней свободы
1+
x2 - 2рху + y2
v(1 -р2 )
Гумбеля
Cgu (u, v a) = exp
1 л
-[(- ln u)a+ (- ln v)a ]a
Правосторонняя
^ i (ln u ln v)a ^^a-2 I^a a-1
Cgu (u, v a) = --—-— exp(-Ga )Ga | Ga-
uv
i i где C = (- ln u) a+ (-ln v)a; a - параметр тесноты связи копул
Дожития Гумбеля
C^ (u, v| ß) = u + v -1 + (1 - u,1 - v| ß); c^ (u, v| ß) = c^ (1 - u,1 - v| ß),
Левосторонняя
где ß - параметр тесноты связи копул
Клейтона
Ccl (u, vi a) = max
-1 л [u~a+ v~a-1] a ,0
ccl(u, v a) = (1 + a)(uv)-a-1 (u~a + v~a -1)
Левостороння
Дожития Клейтона
Cscl (u, v| ß) = u + v -1 + Ce (1 - u,1 - v| ß); csd (u, v| ß) = (1 - u,1 - v| ß)
Правосторонняя
1
2
2
-1 -2
A
Оценка параметров моделей. Эта оценка осуществлялась методом псевдомаксимального правдоподобия.
В качестве максимизируемой выступала функция
т
L(Ф) = £ 1п с(й, Ц 0),
I=1
где Т - число наблюдений;
с - функция плотности копулы; м, V - эмпирические функции частных распределений двумерной случайной величины;
0 - вектор параметров парной копула-функции.
В статье [6] показано, что оценки параметров, получаемых с использованием функции псевдомаксимального правдоподобия, являются состоятельными, асимптотически нормальными и эффективными.
Ввиду наличия у функции псевдомаксимального правдоподобия множества локальных экстремумов оценка параметров производилась в три этапа.
На первом этапе поиска решения методом Монте-Карло была сформирована совокупность
точек, координаты которых представляют собой полные наборы параметров модели, выбранные произвольно и независимо из области допустимых значений. Области допустимых значений для параметров приведены в табл. 2 (для того чтобы исключить возможность переопределения параметров, области допустимых значений параметров при проведении оценки были сужены).
От количества точек, сгенерированных по методу Монте-Карло, зависит вероятность определения глобального максимума функции правдоподобия.
Количество точек было выбрано исходя из условия, что для любого отрезка области допустимых значений каждого из параметров модели, длина которого составляет 10% этой области, с вероятностью 0,95, найдется по крайней мере одна точка, соответствующая координата которой содержится в этом отрезке области допустимых значений. Произведя расчеты, исходя из условия, было получено необходимое количество точек - 95 000 ед.
На втором этапе произвольным образом выбранные точки были сгруппированы методом к-средних [10]. Алгоритм кластеризации ^-средних (£-теапз) является одним из наиболее популярных методов кластеризации и широко используется в таких областях, как распознавание образов, астрономия, геостатистика и др. В основе этого метода лежит минимизация среднеквадратического отклонения точек кластеров от центров этих кластеров.
В классическом виде алгоритм представляет собой последовательность следующих действий:
1) случайным образом выбираются центры кластеров;
2) до сходимости определяется принадлежность точек к кластерам и переопределяются центры кластеров (исходя из требования минимизации суммы квадратов отклонений точек кластеров от их центров).
От количества кластеров зависит как качество оценки, так и требуемое для расчетов время. Чем
Таблица 2
Области допустимых значений параметров смешанных копул
больше кластеров, тем большее время потребуется как для реализации алгоритма £-теапБ, так и для осуществления последующего градиентного спуска в каждом из кластеров. Использование небольшого количества кластеров может привести к снижению качества оценки параметров при последующем осуществлении градиентного спуска в каждом из кластеров.
Эмпирическим путем определено оптимальное число кластеров, при котором достигается достаточно высокое качество оценки параметров при сравнительно небольшом времени расчетов - 950 ед.
После того как были сформированы кластеры, в каждом из них выбрана точка, в которой функция максимального правдоподобия достигает наибольшего значения.
На третьем этапе в границах каждого из кластеров методом сопряженных градиентов была получена точка, в которой функция максимального правдоподобия достигает наибольшего значения (в качестве исходных точек для осуществления градиентного спуска использовались точки, отобранные по результатам предыдущего этапа). Выбрав из полученного множества локальных максимумов функции правдоподобия точку, в которой функция достигает наибольшего значения, был получен глобальный максимум. Координаты этой точки являются искомыми параметрами модели.
Оценка качества модели. Для оценки качества моделей как простых, так и смешанных парных копул использовалась статистика Крамера -фон Мизеса [2]. Использование этой статистики обусловлено тем, что она может быть применена при оценке качества аппроксимации многомерной функции распределения различными видами копул и при этом обеспечивает сопоставимость оценок качества аппроксимации [7].
Рассчитывается статистика Крамера - фон Ми-зеса для случая парных копул по формуле
£ = £ (С(й,, V,) - С§ (й,,у)2, (2)
г=1
где С (й,, ) - эмпирическая копула-функция;
Се (й,, V,) - параметрическая копула-функция; 0 - вектор оценок параметров копула-функции (в случае рассматриваемых смешанных парных копул е = , W2, W3, а, в, р}. По сути, эта статистика представляет собой сумму квадратов расстояний между эмпирической и параметрической копулами.
Параметр Область допустимых значений
wp w2, W3 м>1, w2, w3 е [0,1] п м>1 + w2 + w3 < 1
Pga,st е [0,1; 0,9]
a gu , Pigu а, Р^ е [1,1; 10]
asl, Pid а„, р„, е [0,2; 20]
Способ построения эмпирической копула-фун-кции впервые был предложен в работе [5]:
1 T
C(U,v) = —-г£1{й < U,v < V}, T +1 t=i
(3)
где й, V - эмпирические функции частных распределений.
Алгоритм расчета значения для статистики Крамера - фон Мизеса достаточно подробно описан в работе [1]. В кратком виде его можно представить последовательностью следующих действий:
1) вычислить эмпирическую копула-функцию С (й, V) по формуле (3);
2) произвести оценку вектора параметров 9 копу-ла-функции описанным способом (см. оценка параметров моделей);
3) рассчитать статистику Крамера - фон Мизеса §0 по формуле (2);
4) осуществить для каждого целого к = 1,., К, где К - достаточно большое натуральное число, следующие действия:
- по полученным на втором шаге алгоритма значениям параметров 0 сгенерировать Т псевдонаблюдений (Т - число наблюдений в выборке, по которой осуществлялась оценка вектора 0 параметров модели смешанной парной копулы) [1] пар значений частных функций распределений случайных величин (й к, Я к X где г = 1...Т; по сгенерированной совокупности псевдонаблюдений вычислить эмпирическую копула-функцию Ск (йк, Vk) по формуле
(3);
произвести оценку вектора параметров 0к копула-функции;
- рассчитать статистику Крамера - фон Мизеса по формуле (3):
4 =1 (С (йк,V) - Сёк (йа, Vtл ))2;
г=1
5) рассчитать р-значение по формуле
_ 1 К Р = ■
K
-YJ1{Sk > S>0}.
1 k=1
Статистика Крамера - фон Мизеса была использована также для оценки относительной эффективности смешанной копулы в сравнении с простыми копулами, входящими в ее состав. Относительная эффективность смешанной копулы рассчитывалась как
Eff = -
S
S
-1
prost
100%,
где § - значение статистики Крамера - фон Мизеса для смешанной парной копулы; §ргох - значение статистики для простой копулы.
Относительная эффективность смешанной копулы показывает, на сколько процентов использование смешанной копулы позволяет снизить сумму квадратов отклонений параметрической модели от эмпирической копулы.
Поскольку наибольший практический интерес для целей управления рисками представляет моделирование левого «хвоста» совместного распределения, то относительная эффективность смешанной копулы была определена для 0,05 и 0,25-квантилей совместного эмпирического распределения (в табл. 7 представлены результаты расчета показателя Eff для 0,25-квантиля, для экономии места результаты расчета показателя эффективности для 0,05-кван-тиля в тексте статьи не приводятся).
Результаты исследования
Исходные данные. В качестве исходных данных для оценки параметров модели использовались недельные логарифмические доходности индексов MSCI пяти развитых стран и шести развивающихся стран (включая Россию) с 01.01.2000 по 31.03.2014. Использование индексов MSCI обеспечивает соблюдение единого подхода к определению доходности национальных фондовых рынков.
Оценка параметров модели осуществлялась для 10 пар стран. В каждую из пар вошла Россия и одна из следующих стран: США, Великобритания, Швейцария, Франция, Германия, Китай, Индия, Бразилия, Польша, Турция.
Оценка параметров была произведена на следующих временных интервалах:
1) январь 2000 г. - май 2008 г.;
2) июнь 2008 г. - декабрь 2010 г.;
3) январь 2011 г. - март 2013 г.
Для устранения автокорреляции исходные данные были отфильтрованы GARCH(1,1) фильтром.
Полученные результаты. В первую очередь рассмотрим результаты оценки параметров простых копул (оценка параметров тесноты связи простых копул производилась методом псевдомаксимального правдоподобия). Результаты оценки параметров тесноты связи простых копул, а также соответствующие значения функции правдоподобия представлены в табл. 3.
Таблица 3
Результаты оценки параметров простых копул
Фондовый рынок Показатель Копула
Гаусса Стьюдента Гумбеля Дожития Гумбеля Клейтона Дожития Клейтона
Период с января 2000 г. по май 2008 г.
Россия - США р, а, в 0,35 0,36 1,26 1,28 0,47 0,38
LLH* 28,77 30,21 25,17 27,86 25,52 18,31
p-value** 1,00 1,00 0,87 0,98 0,78 0,4
Россия - Франция р, а, в 0,36 0,37 1,26 1,30 0,51 0,37
LLH 29,49 30,95 24,05 31,00 29,03 16,26
p-value 1,00 1,00 0,72 1,00 0,92 0,22
Россия - Германия р, а, в 0,35 0,37 1,26 1,29 0,49 0,37
LLH 29,17 30,46 23,96 29,13 27,02 17,05
p-value 1,00 1,00 0,77 0,98 0,89 0,32
Россия - Швейцария р, а, в 0,25 0,25 1,15 1,18 0,33 0,21
LLH 13,69 13,92 9,58 13,41 14,20 5,86
p-value 1,00 1,00 0,94 1,00 0,97 0,52
Россия - Великобритания р, а, в 0,39 0,39 1,29 1,32 0,54 0,41
LLH 36,46 36,61 28,13 33,94 32,72 20,28
p-value 1,00 0,99 0,81 1,00 0,74 0,2
Россия - Бразилия р, а, в 0,43 0,44 1,34 1,39 0,64 0,49
LLH 44,55 47,63 38,02 46,42 41,40 28,59
p-value 1,00 1,00 0,71 1,00 0,81 0,22
Россия - Китай р, а, в 0,26 0,27 1,17 1,22 0,38 0,24
LLH 15,50 19,64 12,02 19,55 17,05 9,04
p-value 0,97 0,99 0,74 1,00 1,00 0,4
Россия - Индия р, а, в 0,21 0,23 1,12 1,18 0,34 0,15
LLH 9,45 14,86 6,59 16,31 14,46 3,66
p-value 1,00 1,00 0,76 1,00 1,00 0,51
Россия - Польша р, а, в 0,38 0,38 1,28 1,32 0,54 0,40
LLH 33,55 37,54 29,32 35,88 31,21 22,78
p-value 1,00 1,00 0,86 1,00 0,99 0,37
Россия - Турция р, а, в 0,35 0,35 1,23 1,29 0,52 0,32
LLH 28,75 31,36 21,41 32,63 31,21 15,97
p-value 0,98 1,00 0,62 1,00 1,00 0,35
Среднее значение р, а, в 0,33 0,34 1,24 1,28 0,48 0,33
Среднее значение (развитые страны) р, а, в 0,34 0,35 1,24 1,27 0,47 0,35
Среднее значение (развивающиеся страны) р, а, в 0,33 0,33 1,23 1,28 0,48 0,32
Период с июня 2008 г. по декабрь 2010 г.
Среднее значение р, а, в 0,64 0,65 1,73 1,89 1,43 0,99
Среднее значение (развитые страны) р, а, в 0,64 0,66 1,76 1,92 1,44 1,02
Среднее значение (развивающиеся страны) р, а, в 0,65 0,63 1,71 1,86 1,41 0,96
Период с января 2011 г. по март 2014 г.
Среднее значение р, а, в 0,58 0,57 1,57 1,60 0,89 0,87
Среднее значение (развитые страны) р, а, в 0,61 0,59 1,63 1,63 0,92 0,99
Среднее значение (развивающиеся страны) р, а, в 0,55 0,54 1,50 1,56 0,86 0,74
* Значения функции псевдомаксимального правдоподобия. ** Значения статистики Крамера - фон Мизеса.
Примечание: жирным шрифтом выделены наибольшие для каждой из пар стран значения функции максимального правдоподобия, а также значения параметров, при которых эти значения достигаются.
С января 2000 г. по май 2008 г. для 6 из 10 пар наибольшее значение функции максимального правдоподобия достигается копулой Стьюдента. Для 4 пар наибольшее значение функции максимального правдоподобия достигается копулой дожития Гумбеля или копулой Клейтона, что говорит о левосторонней асимметрии структуры взаимосвязи российского фондового рынка с фондовыми рынками этих стран. Следует обратить внимание на то, что значение функции максимального правдоподобия копулы Гумбеля для каждой из пар меньше значения функции правдоподобия копулы дожития Гумбеля, что также свидетельствует о преобладании левосторонней асимметрии взаимосвязи между доходностями фондовых рынков.
Рассматривая средние значения параметров тесноты связи (см. табл. 3), можно отметить два очевидных факта:
1) средние значения параметров тесноты связи российского фондового рынка с развитыми
и развивающимися рынками практически не отличаются;
2) параметры тесноты связи достаточно значительно выросли с июня 2008 г. по декабрь 2010 г., в следующем рассматриваемом периоде эти параметры снизились, но не достигли предкризисного уровня.
Анализ данных табл. 3 свидетельствует, что р-значения статистики Крамера - фон Мизеса для копулы Гаусса и копулы Стьюдента равны либо близки к 1, в то время как р-значения статистки для асимметричных копул в большинстве своем существенно меньше единицы. Видимо, это связано с редким характером сильных взаимных движений отечественного и зарубежных фондовых рынков.
Перейдем к рассмотрению результатов оценки параметров смешанных копул. Результаты оценки параметров смешанных копул представлены в табл. 4-6.
Таблица 4
Результаты оценки параметров смешанных копул с января 2000 г. по май 2008 г.
Фондовый рынок Параметр C ., C v, mix! C . 3 mv3 C . 4 mv4
C ga C gu C sgu Cst C, cl C , scl C ga C gu C sgu Cst C, cl C , scl
Россия - США W1,2,3 0,44 0,10 0,46 0,28 0,59 0,13 0,44 0,10 0,46 0,28 0,59 0,13
р, а, в 0,47 3,36 1,10 0,55 0,28 2,46 0,46 3,35 1,10 0,55 0,28 2,46
Россия - Франция W 1,2,3 0,18 0,11 0,71 0,17 0,70 0,13 0,18 0,11 0,71 0,17 0,70 0,13
р, а, в 0,77 1,86 1,16 0,80 0,35 1,22 0,77 1,86 1,16 0,80 0,35 1,22
Россия - Германия W 1,2,3 0,33 0,06 0,61 0,21 0,64 0,14 0,33 0,06 0,61 0,21 0,64 0,14
р, а, в 0,67 1,67 1,13 0,71 0,32 1,08 0,66 1,67 1,13 0,71 0,32 1,08
Россия - Швейцария W 1,2,3 0,32 0,02 0,67 0,23 0,74 0,03 0,32 0,02 0,66 0,23 0,74 0,03
р, а, в 0,47 10,00 1,10 0,50 0,22 17,20 0,47 10,00 1,10 0,50 0,22 17,19
Россия - Великобритания W 1,2,3 0,58 0,09 0,33 0,41 0,48 0,11 0,58 0,09 0,33 0,41 0,49 0,11
р, а, в 0,42 2,16 1,22 0,46 0,47 1,84 0,42 2,16 1,22 0,46 0,47 1,83
Россия - Бразилия W 1,2,3 0,43 0,03 0,54 0,45 0,53 0,02 0,44 0,03 0,54 0,45 0,53 0,02
р, а, в 0,67 5,41 1,16 0,68 0,30 20,00 0,67 5,41 1,16 0,68 0,30 20,00
Россия - Китай W 1,2,3 0,21 0,00 0,79 0,21 0,79 0,00 0,21 0,00 0,79 0,21 0,79 0,00
р, а, в 0,82 2,22 1,10 0,83 0,20 3,15 0,82 2,68 1,10 0,83 0,20 16,90
Россия - Индия W 1,2,3 0,07 0,05 0,89 0,72 0,23 0,04 0,07 0,05 0,89 0,73 0,23 0,04
р, а, в 0,85 10,00 1,11 0,10 1,69 10,57 0,85 10,00 1,11 0,10 1,69 10,60
Россия - Польша W 1,2,3 0,41 0,06 0,53 0,44 0,51 0,05 0,41 0,06 0,53 0,44 0,50 0,05
р, а, в 0,53 10,00 1,14 0,56 0,23 20,00 0,53 10,00 1,14 0,55 0,24 20,00
Россия - Турция W 1,2,3 0,23 0,00 0,77 0,27 0,72 0,01 0,23 0,00 0,77 0,27 0,72 0,01
р, а, в 0,62 1,11 1,21 0,63 0,38 9,36 0,62 3,16 1,21 0,62 0,38 9,35
Среднее значение W 1,2,3 0,32 0,05 0,63 0,34 0,59 0,07 0,32 0,05 0,63 0,34 0,59 0,07
р, а, в 0,63 4,78 1,14 0,58 0,44 8,69 0,63 5,03 1,14 0,58 0,44 10,06
Среднее значение (развитые страны) W 1,2,3 0,37 0,08 0,56 0,26 0,63 0,11 0,37 0,08 0,55 0,26 0,63 0,11
р, а, в 0,56 3,81 1,14 0,61 0,33 4,76 0,56 3,81 1,14 0,60 0,33 4,76
Среднее значение (развивающиеся страны) W 1,2,3 0,27 0,03 0,70 0,42 0,56 0,03 0,27 0,03 0,70 0,42 0,56 0,03
р, а, в 0,70 5,75 1,14 0,56 0,56 12,62 0,70 6,25 1,14 0,56 0,56 15,37
Примечание: жирным шрифтом выделены параметры модели, функция максимального правдоподобия которой достигает наибольшего значения среди всех рассматриваемых моделей смешанной копулы для соответствующей пары рынков.
Таблица 5
Результаты оценки параметров смешанных копул с июня 2008 г. по декабрь 2010 г.
Фондовый рынок Параметр C ., mv1 C v mix! C ■ 3 mv3 C ■ 4 mv4
C ga C gu C sgu c< Ccl C , scl C ga C gu C sgu Cst Ccl Csclt
Россия - США W1,2,3 0,37 0,22 0,40 0,71 0,04 0,25 0,36 0,22 0,42 0,71 0,04 0,25
р, а, в 0,82 1,10 2,29 0,80 20,00 0,20 0,82 1,10 2,29 0,80 20,00 0,20
Россия - Франция W 1,2,3 0,67 0,08 0,25 0,67 0,25 0,08 0,68 0,08 0,25 0,68 0,25 0,08
р, а, в 0,83 10,00 1,10 0,83 0,20 18,68 0,82 10,00 1,10 0,83 0,20 18,65
Россия - Германия W 1,2,3 0,57 0,14 0,29 0,62 0,28 0,10 0,57 0,14 0,29 0,62 0,28 0,10
р, а, в 0,90 10,00 1,10 0,90 0,20 20,00 0,90 10,00 1,10 0,90 0,20 20,00
Россия - Швейцария W 1,2,3 0,00 0,23 0,77 0,34 0,41 0,25 0,22 0,00 0,78 0,33 0,41 0,25
р, а, в 0,10 1,10 2,26 0,83 2,07 0,20 0,10 1,10 2,27 0,83 2,07 0,20
Россия - Великобритания w 1,2,3 0,57 0,15 0,29 0,65 0,29 0,06 0,56 0,15 0,28 0,65 0,29 0,06
р, а, в 0,83 4,37 1,10 0,84 0,20 7,28 0,82 4,35 1,10 0,84 0,20 7,27
Россия - Бразилия W 1,2,3 0,24 0,39 0,37 0,55 0,39 0,05 0,24 0,39 0,37 0,56 0,39 0,05
р, а, в 0,10 2,54 3,54 0,90 0,57 20,00 0,10 2,54 3,54 0,90 0,57 20,00
Россия - Китай W 1,2,3 0,48 0,18 0,34 0,41 0,36 0,23 0,48 0,18 0,34 0,41 0,36 0,22
р, а, в 0,15 4,51 3,32 0,10 3,67 4,60 0,15 4,51 3,32 0,10 3,67 4,61
Россия - Индия W 1,2,3 0,01 0,20 0,79 0,33 0,47 0,20 0,02 0,20 0,78 0,33 0,46 0,20
р, а, в 0,10 4,48 1,62 0,43 1,59 5,19 0,10 4,47 1,63 0,42 1,62 5,19
Россия - Польша W 1,2,3 0,00 0,07 0,93 0,19 0,79 0,01 0,00 0,07 0,93 0,19 0,79 0,01
р, а, в 0,62 3,60 1,90 0,83 1,57 20,00 0,12 3,60 1,90 0,83 1,57 20,00
Россия - Турция W 1,2,3 0,36 0,13 0,51 0,60 0,40 0,00 0,35 0,14 0,52 0,61 0,39 0,00
р, а, в 0,78 1,10 1,80 0,78 0,66 15,20 0,77 1,10 1,82 0,78 0,66 15,61
Среднее значение W 1,2,3 0,33 0,18 0,49 0,51 0,37 0,12 0,35 0,16 0,49 0,51 0,37 0,12
р, а, в 0,52 4,28 2,00 0,72 3,07 11,14 0,47 4,28 2,01 0,72 3,08 11,17
Среднее значение (развитые страны) W 1,2,3 0,44 0,17 0,40 0,60 0,25 0,15 0,48 0,12 0,40 0,60 0,25 0,15
р, а, в 0,69 5,31 1,57 0,84 4,53 9,27 0,69 5,31 1,57 0,84 4,53 9,26
Среднее значение (развивающиеся страны) W 1,2,3 0,22 0,20 0,59 0,42 0,48 0,10 0,22 0,20 0,59 0,42 0,48 0,10
р, а, в 0,35 3,25 2,43 0,61 1,61 13,00 0,25 3,25 2,44 0,61 1,62 13,08
Примечание: жирным шрифтом выделены параметры модели, функция максимального правдоподобия которой достигает наибольшего значения среди всех рассматриваемых моделей смешанной копулы для соответствующей пары рынков.
Таблица 6
Результаты оценки параметров смешанных копул с января 2011 г. по март 2014 г.
Фондовый рынок Параметр C ■, mv1 C v mix! C ■ 3 mv3 C ■ 4 tmx4
C ga C gu C sgu Ct C, cl C , scl C ga C gu C sgu c< C, cl Cscl
Россия - США W 1,2,3 0,12 0,63 0,25 0,24 0,29 0,47 0,12 0,63 0,25 0,24 0,29 0,47
р, а, в 0,81 1,64 1,33 0,81 0,68 1,04 0,81 1,64 1,33 0,81 0,68 1,04
Россия - Франция W 1,2,3 0,62 0,38 0,00 0,72 0,00 0,28 0,63 0,37 0,00 0,73 0,00 0,27
р, а, в 0,66 1,61 1,39 0,67 6,12 0,99 0,66 1,62 2,30 0,66 14,49 1,01
Россия - Германия W 1,2,3 0,29 0,53 0,18 0,47 0,21 0,32 0,29 0,53 0,18 0,47 0,21 0,32
р, а, в 0,78 1,95 1,19 0,79 0,43 1,55 0,78 1,95 1,19 0,79 0,43 1,55
Россия - Швейцария W 1,2,3 0,59 0,41 0,00 0,60 0,00 0,40 0,60 0,40 0,00 0,60 0,00 0,40
р, а, в 0,62 1,31 7,19 0,63 3,43 0,59 0,62 1,31 1,39 0,63 12,51 0,59
Россия - Великобритания W 1,2,3 0,31 0,31 0,38 0,46 0,32 0,22 0,32 0,30 0,37 0,46 0,32 0,22
р, а, в 0,73 1,71 1,60 0,74 0,99 1,17 0,73 1,71 1,60 0,74 0,99 1,17
Россия - Бразилия W 1,2,3 0,77 0,23 0,00 0,79 0,00 0,21 0,78 0,22 0,00 0,79 0,00 0,20
р, а, в 0,75 1,29 7,45 0,75 20,00 0,44 0,74 1,30 4,37 0,75 20,00 0,44
Россия - Китай W 1,2,3 0,50 0,04 0,45 0,61 0,34 0,04 0,52 0,04 0,44 0,63 0,33 0,04
р, а, в 0,58 10,00 1,49 0,59 0,81 20,00 0,56 10,00 1,51 0,58 0,86 20,00
Россия - Индия W 1,2,3 0,20 0,80 0,00 0,30 0,00 0,70 0,20 0,80 0,00 0,30 0,00 0,70
р, а, в 0,85 1,42 7,44 0,84 9,96 0,66 0,85 1,42 2,29 0,84 0,21 0,66
Примечание: жирным шрифтом выделены параметры модели, функция максимального правдоподобия которой достигает наибольшего значения среди всех рассматриваемых моделей смешанной копулы для соответствующей пары рынков.
Окончание табл. 6
Фондовый рынок Параметр C ., C v rmxl C ■ 3 пихЪ C ■ 4 tmx4
C ga C gu C sgu Cst C, cl C l sd C ga C gu C sgu Cst Cl cl Cscl
Россия - Польша W1,2,3 0,36 0,10 0,54 0,56 0,31 0,13 0,35 0,10 0,55 0,57 0,30 0,13
р, а, в 0,70 1,10 1,67 0,70 1,24 0,20 0,70 1,10 1,68 0,70 1,24 0,20
Россия - Турция W1,2,3 0,97 0,00 0,03 0,96 0,04 0,00 0,97 0,00 0,03 0,96 0,04 0,00
р, а, в 0,37 2,23 8,79 0,37 11,24 6,41 0,37 1,63 8,83 0,37 11,22 12,28
Среднее значение W1,2,3 0,47 0,34 0,18 0,57 0,15 0,28 0,48 0,34 0,18 0,58 0,15 0,28
р, а, в 0,69 2,43 3,95 0,69 5,49 3,30 0,68 2,37 2,65 0,69 6,26 3,89
Среднее значение (развитые страны) W1,2,3 0,39 0,45 0,16 0,50 0,16 0,34 0,39 0,45 0,16 0,50 0,16 0,34
р, а, в 0,72 1,64 2,54 0,73 2,33 1,07 0,72 1,65 1,56 0,73 5,82 1,07
Среднее значение (развивающиеся страны) W1,2,3 0,56 0,24 0,21 0,64 0,14 0,22 0,56 0,23 0,20 0,65 0,14 0,21
р, а, в 0,65 3,21 5,37 0,65 8,65 5,54 0,65 3,09 3,74 0,65 6,71 6,72
Результаты оценки параметров смешанных
копул различных тип°в (стм,Си,См,С1*4) свидетельствуют о схожести результатовы, поэтому рассмотрим динамику структуры взаимосвязи фондовых рынков на примере смешанной копулы, состоящей из копул Гаусса, Гумбеля и дожития Гумбеля (модель С^ ).
С января 2000 г. по май 2008 г. структура взаимосвязи российского фондового рынка с рассматриваемыми зарубежными фондовыми рынками характеризовалась левосторонней асимметрией для большинства пар (в 9 из 10 пар в модели Спреобладала копула дожития Гумбеля). Единственной среди рассматриваемых парой рынков, взаимосвязь которой характеризовалась преобладанием копулы Гаусса на этом временном промежутке, является пара фондовых рынков России и Великобритании (тем не менее и для этих рынков весовой коэффициент копулы дожития Гумбеля больше весового коэффициента копулы Гумбеля).
С июня 2008 г. по декабрь 2010 г. в модели в пяти парах (Россия - США, Россия -Швейцария, Россия -Индия, Россия -Польша и Россия - Турция) преобладала копула дожития Гумбеля, при этом среднее значение доли копулы дожития Гумбеля снизилось с 0,63 в первом рассматриваемом периоде до 0,49 в период с июня 2008 г. по декабрь 2010 г. Тем не менее выросло среднее значение параметра тесноты связи копулы дожития Гумбеля с 1,14 до 2,00, что говорит о росте силы взаимосвязи российского фондового рынка с рассматриваемыми зарубежными рынками в части экстремальных отрицательных доходнос-тей. Тем не менее характер изменения структуры взаимосвязи российского фондового рынка с зару-
бежными рынками различен. Так, для пары Россия -США в модели С^ рост весового коэффициента копулы Гумбеля во втором периоде сопровождался снижением параметра тесноты связи этой копулы, и, наоборот, снижение весового коэффициента ко-пулы дожития Гумбеля сопровождалось ростом ее параметра ассоциации. Взаимосвязь рынков России и Франции на втором временном интервале характеризовалась снижением весовых коэффициентов как копулы Гумбеля, так и копулы дожития Гумбеля, и ростом весового коэффициента копулы Гаусса. При этом параметр ассоциации копулы Гумбеля вырос до предельно допустимого значения - 10. Для 7 из 10 пар рынков рост весового коэффициента копулы Гум-беля во втором временном интервале сопровождался снижением весового коэффициента копулы дожития Гумбеля. Это связано с периодом восстановления после финансового кризиса 2008 г., в течение которого реакция инвесторов на хорошие новости из-за рубежа усилилась.
Интересно, что в последнем из рассматриваемых периодов только у двух пар рынков (пар Россия - Польша и Россия - Китай) наблюдалось явное преобладание левосторонней асимметрии. Весовые коэффициенты всех трех простых копул, входящих в модель С^, для пары рынков России и Великобритании приблизительно равны. Взаимосвязь других пар рынков (в том числе Россия -США и Россия - Германия) на третьем временном интервале имела в большей степени правостороннюю асимметрию.
Анализ данных табл. 4-6 свидетельствует о том, что для определенной группы рынков (развитых или развивающихся) невозможно выделить характерный
Таблица 7
Показатели эффективности моделей смешанной копулы
Фондовый рынок Показатель Январь 2000 г. -май 2008 г. Июнь 2008 г. -декабрь 2010 г. Январь 2011 г. -март 2014 г.
C ., mv1 C v mix! C . 3 mv3 C . 4 mv4 C . 1 mv1 C v m.v2 C . 3 mv3 C . 4 mv4 C ., mv1 C v m.v2 C . 3 mv3 C . 4 mv4
Россия - США p-value 1,oo 1,oo o,99 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Efmax* 62 83 62 83 53 83 54 83 61 86 61 86
EC? ** 76 91 76 91 83 95 83 95 57 78 57 78
Россия - Франция p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Efax 73 89 73 89 61 86 61 86 68 89 68 89
Eff0™ 82 94 82 94 81 94 81 94 6o 84 6o 84
Россия - Германия p-value i,oo i,oo i,oo i,oo o,99 i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Effax 69 86 69 86 52 78 52 78 4o 84 4o 84
Effo™ 79 91 79 91 81 94 81 94 54 88 53 88
Россия -Швейцария p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo o,98 o,98 i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
EfT* 67 83 67 83 63 84 64 84 62 85 62 85
Eff™ 82 92 82 92 93 97 93 97 56 87 56 87
Россия -Великобритания p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo o,99 1,oo
Effax 72 89 72 89 59 87 59 87 48 77 48 77
Eff™ 78 92 78 92 87 97 87 97 6o 9o 6o 9o
Россия - Бразилия p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Efrsx 75 9o 75 9o 48 81 48 81 58 85 58 85
Eff™ 84 95 84 95 67 95 67 95 57 86 57 86
Россия - Китай p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Ef^ 71 85 71 85 53 74 53 74 38 73 38 73
Eff™ 83 92 83 92 77 92 77 92 28 73 29 74
Россия - Индия p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Effax 7o 81 7o 81 42 8o 42 8o 69 87 69 87
Eff™ 85 88 85 88 76 92 76 92 61 53 61 53
Россия - Польша p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Ef^ 69 86 69 86 64 87 64 87 7o 89 7o 89
Effo™ 88 96 88 96 93 99 93 99 84 95 84 95
Россия - Турция p-value i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo i,oo 1,oo 1,oo 1,oo 1,oo
Ef^ 77 9o 77 9o 66 88 66 88 57 76 57 76
Effo™ 88 96 88 96 93 98 93 98 59 81 59 81
* Максимальное значение показателя для каждой модели смешанной копулы. ** Максимальное значение показателя Е/о™™ Д™ каждой модели смешанной копулы.
тип той или иной асимметрии. Стоит отметить, что тип асимметрии взаимосвязи национальных фондовых рынков не устойчив и меняется с течением времени.
Тем не менее во взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными фондовыми рынками прослеживаются общие черты. Так, в период кризиса 2008 г. усилилась взаимосвязь российского фондового рынка практически со всеми рассматриваемыми зарубежными рынками в части больших отрицательных доходностей, о чем свидетельствует рост параметра ассоциации копулы дожития Гумбеля в модели Сво втором временном интервале. Период послекризисного восстановления
российского фондового рынка (приблизительно с осени 2009 г. по декабрь 2011 г.) был отмечен ростом взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными рынками в части больших положительных доходностей, о чем свидетельствует как рост весового коэффициента копулы Гумбеля в модели С^, так и рост параметра ассоциации этой простой копулы.
Результаты оценки эффективности моделей смешанной копулы представлены в табл. 7.
Для смешанных копул ^-значение1 статистики Крамера - фон Мизеса для большей части пар рын-
1 Принимает значения от 0,6 до 0,97 для различных моделей.
ков равно либо близко к единице. Это говорит о том, что смешанные копула-функции аппроксимируют крайние значения доходностей фондовых индексов стран лучше простых асимметричных копул, р-зна-чения большей части которых существенно ниже единицы (см. табл. 3).
Анализ данных табл. 7 свидетельствует, что использование смешанных копул по сравнению с простыми позволяет существенно снизить значение статистики Крамера - фон Мизеса для большинства пар фондовых рынков. Статистика Крамера - фон Мизеса, рассчитанная для смешанных копул на основе наблюдений, входящих в 0,25 и 0,05-квантили совместного распределения доходностей фондовых рынков, в основном ниже статистики, рассчитанной на основе тех же наблюдений для простых копул.
Тем не менее для некоторых пар рынков смешанные копулы показали более низкое качество аппроксимации совместных распределений доход-ностей по сравнению с простыми копулами (показатель ¿^принимает отрицательное значение). Такой результат можно объяснить тремя причинами.
Во-первых, метод псевдомаксимального правдоподобия, который использовался для оценки параметров как простых, так и смешанных копул, не гарантирует достижения минимума квадратов отклонений (метод наименьших квадратов (МНК) и метод максимального правдоподобия (ММП) -разные методы оценивания).
Во-вторых, при осуществлении оценки параметров смешанных копул были установлены ограничения на область допустимых значений этих параметров, что могло привести к обнаружению не глобального, а локального максимума функции правдоподобия.
В-третьих, так как статистика Крамера - фон Мизеса является квадратичной функцией, то она достаточно чувствительна к сильным выбросам, в результате чего показатель Eff для некоторых пар простых и смешанных копул может иметь отрицательное значение.
Отрицательная эффективность смешанной копулы (Eff0) 25(0 05) принимают отрицательное значение), рассчитанная для левых квантилей совместного распределения, объясняется помимо перечисленных причин еще и тем, что оценка параметров смешанных и простых копул производилась на всех наблюдениях двумерной случайной величины, а не на наблюдениях, входящих в соответствующие левые квантили совместного распределения.
Выводы
Структура взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными фондовыми рынками развитых и развивающихся стран носит изменчивый характер. С января 2000 г. по май 2008 г. структура взаимосвязи характеризовалась левосторонней асимметрией. В кризисный период с июня 2008 г. по декабрь 2010 г. структура взаимосвязи изменилась. Для этого периода характерен рост правосторонней асимметрии, а также значительное увеличение параметров тесноты связи всех простых копул, входящих в смешанные, для большинства пар стран. С января 2011 г. по март 2014 г. характерна правосторонняя асимметрия взаимосвязи, сочетающаяся со снижением средней тесноты связи российского фондового рынка с зарубежными.
Проведенное исследование не позволяет говорить о том, что какая-либо из рассмотренных моделей смешанной копулы является наболее подходящей, по сравнению с остальными, для какой-либо пары или группы рынков.
Смешанные копулы являются удобным инструментом оценки структуры взаимосвязи случайных величин. Например, большое значение весового параметра простой асимметричной копулы (в составе смешанной копулы) в сочетании с низким значением параметра тесноты связи этой копулы можно трактовать как ярко выраженную (но слабую) асимметрию (в зависимости от вида копулы - правостороннюю или левостороннюю), и, наоборот, относительно большое значение параметра тесноты связи в сочетании с низким значением весового параметра говорит о редком характере совместных крахов (бумов).
При проведении оценки параметров моделей смешанных копул методом максимального правдоподобия стоит учитывать довольно большое количество локальных максимумов функции, а также накладывать дополнительные ограничения на область допустимых значений параметров тесноты связи для исключения возможности их переопределения параметров модели.
Смешанные копулы зарекомендовали себя достаточно эффективным (по сравнению с простыми копулами) инструментом аппроксимации функции совместного распределения случайных величин. Дальнейшее повышение качества аппроксимации совместных распределений возможно путем совместного использования моделей смешанной копу-лы и элементов теории экстремальных значений.
Список литературы
1. Фантаццини Д. Моделирование многомерных распределений с использованием копула-фун-кций. Ч. 3 // Прикладная эконометрика. 2011. N° 24. С. 100-130.
2. Berg D. Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison // The European Journal of Finance. 2009. № 15. Р. 675-701.
3. Breymann W., Dias A., Embrechts P. Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance // Quantitative Finance. 2003. № 3. Р. 1-14.
4. Christoffersen P., Errunza V., et al. Is the potential for international diversification disappearing? A dynamic copula approach // Review of Financial Studies. 2012. № 25. P. 3711-3751.
5. Deheuvels P. La fonction de dependence empirique et ses proprietés: Un test non paramétriqued'-indépendence // Bulletin de l'Académie Royale de Belgique, Classe des Sciences. 1979. № 65. P. 274-292.
6. GenestC., Ghoudi K., RivestL. A Semiparametric Estimation Procedure for Dependence Parameters in Multivariate Families of Distributions // Biometrika. 1995. № 82. P. 543-552.
7. Genest С., RümillardB., Beaudoin D. Goodness-of-fit tests for copulas: A review and a power study // Mathematics and Economics. 2009. № 44. P. 199213.
8. Hennessy D.A., LapanH.E. The use of archime-
dean copulas to model portfolio allocations // Mathematical Finance. 2002. № 12. P. 143.
9. Hu L. Dependence patterns across financial markets: a mixed copula approach // Applied Financial Economics. 2006. № 16. P. 717-729.
10. LloydS. Least square quantization in PCM's // Bell Telephone Laboratories Paper. 1957.
11. Nelsen R.B. An introduction to copulas: Lecture Notes in Statistics, 2nd Edition. New York: SpringerVerlag, 2006.
12. Sklar A. Fonctions de répartition â n dimensions et leurs marges // Publ. Inst. Statis. Univ. Paris. 1959. № 8. P. 229-231.
13. SolnikB., Boucrelle C., Le Fur Y. International market correlation and volatility // Financial Analysts Journal. 2012. № 52. P. 17-34.
14. Tibiletti L. Beneficial changes in random variables via copulas: An application to insurance // The GENEVA Papers on Risk and Insurance Theory. 1995. № 20. P. 191-202.
15. Torres J.M. Essays on international capital markets // ProQuest Dissertations and Theses, 2008. URL: http://search.proquest.com/docview/ 304603073?accountid=45451.
16. Turgutlu E., Ucer B. Is global diversification rational? Evidence from emerging equity markets through mixed copula approach // Applied Economics. 2010. № 42. P. 647-658.
Financial analytics: science and experience Mathematical methods of analysis
ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)
THE USE OF MIXED COPULA FUNCTIONS TO ASSESS THE DEGREE AND NATURE OF THE RELATIONSHIP OF RUSSIAN STOCK MARKET WITH FOREIGN STOCK MARKETS
OF DEVELOPED AND DEVELOPING COUNTRIES
Dmitrii V. KANDAUROV
Abstract
Importance In the context of globalization and liberalization of financial markets, the mutual relations between the national stock markets become more relevant. Herewith decisions depend, and they were made regarding to the global diversification of the investment portfolio.
Objectives The research aims to study the nature (asymmetries and powers) of the mutual relationships of the Russian stock market with foreign stock markets. Methods To achieve this goal, I have researched the pa-
rameters ofthe copula functions of the joint distribution of returns of indexes of the Russian and foreign stock markets and assessed the quality of approximation of functions of the j oint distribution of the copula functions under study. To meet these challenges, I consider the model of mixed copulas (which is a function of making the transition from private distributions of random variables to their joint distribution). An estimation of the parameters using the mixed copulas is performed by the method of pseudo-maximum likelihood. The private functions of distribution of returns of stock
markets are set empirically. The study confirmed the changeable nature of the relationship of the Russian stock market with foreign stock markets of developed and developing countries. From January 2000 to May 2008, the relationship of the Russian stock market with most of the foreign stock markets has seen a left-handed bias. The period from June 2008 to December 2010 is characterized by increased tightness of the relationship in both "tails" of the j oint distribution of returns of stock markets. The third period (January 2011 to March 2014) was characterized by the predominance of right-handed asymmetry in the Russian stock market relationship with the majority of the foreign stock markets. Mixed copulas in most cases have shown a better approximation to the function of the joint distribution of returns pairs of stock markets compared to simple copulas. Results The results suggest that mixed copula functions are more efficient modeling of the relationship of the stock markets with regard to the simple copulas. Relevance Mixed copulas may be applied when assessing the risks of investing in foreign stock, as well as to determine the optimal hedge ratio while hedging currency risks.
Keywords: copula, mixed copula, structure, interrelation, stock market, distribution function, global portfolio diversification
References
1. Fantatstsini D. Modelirovanie mnogomernykh raspredelenii s ispol'zovaniem kopula-funktsii. Ch. 3 [Modeling multivariate distributions using copula functions. Part 3]. Prikladnaya ekonometrika - Applied econometrics, 2011, no. 24, pp. 100-130.
2. Berg D. Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison. The European Journal of Finance, 2009, no. 15, pp. 675-701.
3. Breymann W., Dias A., Embrechts P. Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance. Quantitative Finance, 2003, no. 3, pp. 1-14.
4. Christoffersen P., Errunza V., et al. Is the potential for international diversification disappearing? A dynamic copula approach. Review of Financial Studies, 2012, no.25, pp.3711-3751.
5. Deheuvels P. La fonction de dependence empirique et ses proprietés: Un test non paramétriqued'indé-pendence. Bulletin de l'Académie Royale de Belgique, Classe des Sciences, 1979, no. 65, pp. 274-292.
6. Genest C., Ghoudi K., Rivest L. A Semiparamet-ric Estimation Procedure for Dependence Parameters
in Multivariate Families of Distributions. Biometrika, 1995, no.82, pp. 543-552.
7. Genest C., Rémillard B., Beaudoin D. Good-ness-of-fit tests for copulas: A review and a power study. Mathematics and Economics, 2009, no. 44, pp.199-213.
8. Hennessy D. A., Lapan H. E. The use of archimedean copulas to model portfolio allocations. Mathematical Finance, 2002, no. 12, pp. 143.
9. Hu L. Dependence patterns across financial markets: a mixed copula approach. Applied Financial Economics, 2006, no. 16, pp. 717-729.
10. Lloyd S. Least square quantization in PCM's. Bell Telephone Laboratories Paper, 1957.
11. Nelsen R. B. An introduction to copulas. Lecture Notes in Statistics, 2nd Edition. New York, Springer-Verlag, 2006.
12. Sklar A. Fonctions de répartition â n dimensions et leurs marges. Publ. Inst. Statis. Univ. Paris, 1959, no. 8, pp. 229-231.
13. Solnik B., Boucrelle C., Le Fur Y. International market correlation and volatility. Financial Analysts Journal, 2012, no. 52, pp. 17-34.
14. Tibiletti L. Beneficial changes in random variables via copulas: An application to insurance. The GENEVA Papers on Risk and Insurance Theory, 1995, no.20,pp.191-202.
15. Torres, J. M. Essays on international capital markets. ProQuest Dissertations and Theses, 2008. Available at: http://search.proquest.com/docview/ 304603073?accountid=45451.
16. Turgutlu E., Ucer B. Is global diversification rational? Evidence from emerging equity markets through mixed copula approach. Applied Economics, 2010, no.42, pp. 647-658.
Dmitrii V. KANDAUROV
National Research University - Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation [email protected]
Acknowledgments
I express my deep gratitude to Dmitrii I. Bobrovskiy for the support and valuable advice and to Henry I. Penikas for the constructive criticism and advice obtained at the scientific seminar "Financial modeling", which is regularly held in the National Research University -Higher School of Economics (Moscow).
