Использование системного подхода при моделировании технологических процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94

С.П. Бобков, С.С. Смирнов, Н.Р. Кокина

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

(Ивановский государственный химико-технологический университет)

e-mail: [email protected]

В статье рассматриваются возможности системного подхода к разработке математических моделей технологических процессов. Описано применение многоуровневой абстракции элементов сложных систем. Показано место дискретных динамических моделей в виде клеточных автоматов в иерархии математических моделей основных процессов химической технологии.

Ключевые слова: системный подход, математическое моделирование, дискретные модели, клеточные автоматы

Основой для разработки методов анализа сложных объектов, средством создания целостного представления о них является системный подход. Он позволяет интерпретировать целостность объекта, как совокупность составляющих элементов, связей, свойств, выражающих специфику его поведения. Рассматривая реальное явление (процесс, устройство) как систему, где каждый элемент выполняет свою определенную функцию, исследователь расширяет свои возможности, как в фундаментальных исследованиях, так и в области практических приложений.

Важнейшим моментом при использовании системного подхода является определение структуры системы: выделение элементов, связей и взаимодействий между ними [1]. Структура системы может изучаться, как с точки зрения состава отдельных элементов и отношений между ними, так и для анализа свойств элементов, позволяющих системе достигать заданной цели.

При исследовании физических процессов и объектов удобным является функциональный подход к исследованию структуры системы и ее свойств. Он предполагает рассмотрение отдельных функций и алгоритмов поведения системы, причем под функцией часто понимается целевое свойство системы. В то же время, поскольку функция отображает свойство, т.е. взаимодействие системы с внешней средой, то свойства могут быть выражены в виде некоторых характеристик элементов и системы в целом [2].

Одним из главных моментов при использовании системного подхода при математическом моделировании является создание такой формы представления моделей, которая обеспечивает несколько уровней абстракции [3]. При этом на каждом из уровней абстракции возможно выделение только наиболее существенных свойств или элементов системы.

Многоуровневая абстракция основывается на иерархии элементов, максимально взаимосвязанных по горизонтали (в пределах уровня) и минимально по вертикали. Поскольку абстракция скрывает второстепенные элементы структуры, можно пренебречь некоторыми деталями, которые не нужны на данном уровне абстракции.

Например, при исследовании физических процессов можно рассматривать вещество, как систему движущихся взаимодействующих микрочастиц - молекул, ионов и пр. Это первый - нижний уровень абстракции. Если отойти от деталей внутреннего строения вещества и перейти от рассмотрения коллектива отдельных частиц к сплошной среде, можно перейти на второй, более высокий уровень абстракции. Такой переход заключается в локальном усреднении свойств системы (плотности, давления скорости и пр.). Если исследователя не интересует зависимость свойств вещества от пространственных координат, можно подняться на следующий уровень абстракции, считая параметры вещества сосредоточенными в конкретном объеме. В зависимости от целей исследования можно выделять и другие уровни абстракции выше, ниже или между рассмотренными.

Нетрудно заметить, что каждому из уровней абстракции соответствует свой математический аппарат и свои типичные математические модели. На первом уровне можно изучать свойства газов, жидкостей и твердых тел методами статистической физики. На втором уровне абстракции можно изучать процессы переноса энергии и массы с использованием уравнений математической физики. На третьем уровне для описания исследуемой системы пригодны системы обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений.

Можно утверждать, что применение системного подхода, в частности, использование не-

скольких уровней абстракции при описании объекта исследования, приводит к образованию нескольких уровней в иерархии функциональных моделей. При этом уровни становятся родственными по характеру используемого математического аппарата.

Рассмотрим следующий пример использования системного подхода при построении математических моделей.

При исследовании процессов механического воздействия на твердое тело с использованием методов теории упругости наиболее часто используют математические модели для малых деформаций, которые, в соответствии с системным подходом, можно отнести к одному из двух уровней абстракции.

Если рассматривать тело, как сплошную среду, в которой деформации зависят от пространственных координат, то при внешнем воздействии в веществе тела будут распространяться упругие волны (продольные или сдвиговые), характеризующиеся смещением частиц среды. При этом одномерное уравнение упругой волны для неограниченной изотропной идеальной (без потерь) среды будет иметь вид:

1 Л (1)

д2и

дх'

2

с2 а2

где и- смещение (абсолютная деформация); С -скорость волны, х - координата; I - время.

С другой стороны, если целью исследования являются только результаты воздействия силы на какой-либо объект, то можно использовать более высокий уровень абстракции, отказаться от независимых переменных и использовать модель в виде законы Гука. Для тонкого однородного стержня она будет такова:

F = ки, (2)

где F - воздействующая сила; к - коэффициент упругости.

Нетрудно заметить, что вид уравнений математической модели при переходе от одного уровня абстракции к другому резко изменяется. Модель непрерывной сплошной среды, представленная на первом уровне дифференциальным уравнением с частными производными (1), при переходе ко второму уровню существенно упрощается и становится усредненной балансовой моделью в виде простейшего алгебраического уравнения (2). Однако, за счет упрощения модели теряется существенная часть информации о поведении объекта. Так, если модель нижнего уровня позволяет исследовать распространение смещения микроэлементов (частиц) вещества во времени и пространстве, то во втором случае можно опреде-

лить лишь конечную абсолютную деформацию объекта. То есть, упрощение математической модели делает ее менее адекватной, менее приближенной к реальности, но существенно упрощает математический аппарат и улучшает ее экономичность.

Стремление использовать более информативные модели традиционно заставляло исследователей представлять их дифференциальными уравнениями (или системами уравнений) с частными производными. Однако на практике оказалось, что эффективное использование таких моделей существенно затруднено. Особенно это касается случаев, когда в дифференциальные уравнения входят нелинейные функции. При этом аналитические решения получить практически невозможно, а численные методы либо плохо распараллеливаются (неявные схемы решений), либо ограничены условиями устойчивости и точности (явные схемы) [4]. Сложности при использовании моделей в виде дифференциальных уравнений с частными производными возникают также при исследовании процессов в неоднородных средах, когда свойства вещества меняются в пространстве. Кроме того, часто возникают сложности при постановке граничных условий в двух- и трехмерных задачах, особенно на границах, имеющих сложную геометрическую форму.

Применение системного подхода позволило сделать попытку создать модели, которые позволяют объединить возможность рассматривать процесс во времени и пространстве, присущую дифференциальным уравнениям с частными производными с математической простотой моделей более высокого уровня абстракции. Для этого в рассмотренном примере целесообразно ввести еще один уровень абстракции, промежуточный по отношению к описанным выше. Эта цель достигается путем рассмотрения сплошной среды, как дискретной системы, состоящей из отдельных элементов - ячеек, клеток.

Системный подход предполагает, что система останется интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных подсистем, в том случае, если сохраняется взаимная подчиненность элементов разного уровня. Выполнение этого условия при дискретизации сплошной среды означает разбиение среды на элементы по функциональному признаку. Размеры получаемых элементов (клеток) должны быть такими, чтобы параметры процессов внутри них можно было считать не зависящими от пространственных координат. При этом единственной независимой переменной для описания поведения каждой ячейки (клетки) останется время. Таким образом, образу-

ется система, состоящая из элементов, пространство внутри которых функционально однородно. Системные связи между элементами и с внешней средой могут быть определены соответствующими законами взаимодействия.

Применяя общепринятую терминологию, можно назвать рассмотренные выше модели и уровни абстракции следующим образом [5]. Модель процесса в виде дифференциального уравнения с частными производными - модель микроуровня, дискретную ячеечную модель можно отнести к макроуровню абстракции, обобщенную модель верхнего уровня вида (2) следует назвать моделью метауровня (рисунок).

Рис. Уровни абстракции при моделировании сложной системы Fig. Abstration levels at omplex system modeling

Одним из классов математических моделей, описывающих дискретные динамические системы, являются клеточные автоматы. Они могут с успехом применяться при моделировании процессов переноса энергии и массы [6]. Клеточные автоматы можно отнести к макроуровню предложенной иерархии, поскольку они по определению состоят из набора пространственных дискретных элементов (клеток, ячеек). Связи между элементами задаются путем обмена информацией (сигналами) между ними. Основной особенностью клеточного автомата является то, что его поведение полностью определяется локальными взаимодействиями его элементов.

Рассматривая функционирование отдельного элемента в терминах теории конечных автоматов [7], необходимо положить следующее.

Каждый дискретный элемент (автомат) связан своими входами с выходами соседних элементов. Выходной сигнал каждого элемента является входным для автомата-соседа.

Каждый отдельный элемент представляет собой объект, функционирующий в дискретные моменты времени t0<t\<t2< .... В каждый момент времени I, из совокупности (множества) Т элемент находится в одном из возможных состояний Z(tj).

В каждый момент ¿¡еГ, начиная с /¡. на вход элемента поступают входные сигналы х (tj). Элемент (автомат) реагирует на их поступление следующим образом:

во-первых, состояние элемента изменяется в соответствии с одношаговой функцией переходов:

= (3)

во-вторых, в каждый момент дискретного времени на выходе элемента появляются выходу), определяемые функцией вы-

ные сигналы ходов

у(Гу) = и[=(Гу_1),Щ-)] (4)

По характеру отсчета модельного времени каждый элемент системы следует считать синхронным, поскольку моменты /о. /¡. Ь- ••• (поступления входных сигналов, изменения состояний и выдачи выходных сигналов), определяются принудительно с заданным шагом. Реакция элемента на каждое значение входного сигнала заканчивается за один шаг синхронизации.

В данной постановке клеточный автомат можно рассматривать, прежде всего, как модельную альтернативу дифференциальным уравнениям в частных производных. Общая методика использования данного подхода заключается в следующих этапах.

Прежде всего, непрерывное модельное пространство разбивается на элементы (клетки, ячейки) по функциональному признаку. Разбиение может быть равномерным, с получением одинаковых элементов, но это не обязательно и часто делается лишь для удобства моделирования. Основной целью дискретизации пространства является получение функционально однородных элементов (клеток).

Затем следует описать поведение во времени клеток (элементов) как автоматов, т.е. с помощью функций переходов и выходов вида (3) и (4). При этом используются общие законы моделируемого процесса. В качестве состояний клеток (ячеек) целесообразно взять потенциальные фазовые переменные соответствующего процесса -температуру, концентрацию, скорость и пр. В этом случае выходными сигналами элемента (автомата) будут потоковые фазовые переменные -поток тепла, поток массы, механическая сила и т.д. Таким образом, будет получен взаимосвязанный массив элементов (клеток), поведение которых в дискретном времени будет подчиняться законам моделируемого процесса.

Условия на границах модельной области следует задать путем использования клеток, пове-

дение которых несколько отличается от основных, составляющих моделируемую среду. Если основные клетки можно назвать «рабочими клетками» то в рассмотрение можно ввести «граничные клетки», «клетки - стенки», «клетки - источники» и пр. Теперь нетрудно заметить, что клеточно-автоматный подход можно представить, как некий модельный аналог дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс.

Из локальных правил поведения клеток автомата следует, что объем вычислений при моделировании зависит только от общего количества клеток в автомате, но не зависит от их типов. Поэтому усложнение граничных условий, появление в модельной области участков с разными физическими свойствами и другие моменты, существенно усложняющие решение дифференциальных уравнений, здесь не приводят к увеличению времени моделирования. Можно сделать вывод, что клеточные автоматы следует использовать как для исследования процессов, описываемых сложными дифференциальными уравнениями, не имеющими аналитического решения, так и для процессов, не позволяющих описать их такими уравнениями. Требуется лишь корректно описать клетки модели необходимыми свойствами (состояниями) и определить правила их локального взаимодействия.

ЛИТЕРАТУРА

Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. / Под ред. С.В. Емельянова. М.: Мир. 1978.312 с.;

Mesarovich M., Takakhara Ya. Systems general theory: Mathematical foundations. / Ed. S.V. Emelyanov. M.: Mir. 1978. 312 p. (in Russian).

Анфилатов В. С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А

Системный анализ в управлении. М.: Финансы и статистика. 2009. 368 е.;

Anfilatov V.S., Emelyanov A.A., Kiikiishkiii A.A System analysis in a management. M.: Finansy i statistika. 2009. 368 p. (in Russian).

Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа. Томск : НТЛ. 2001. 389 с.

Peregudov F.I., Tarasenko F.P. Fundamentals of Systems Analysis. Tomsk: NTL. 2001. 389 p. (in Russian). Бандман O.Jl // Программирование. 2001. №4. С. 1-17; Bandman O.L. // Programirovanie. 2001. N 4. P. 1-17 (in Russian).

Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2009. 430 е.; Norenkov I.P. Fundamentals of computer-aided design. M.: MGTU. 2009. 430 p. (in Russian).

Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. С. 109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V 52. N 3. P. 109-114 (in Russian) Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука. 1978. 356 е.;

Buslenko N.P. Simulation of complex systems. M.: Nauka. 1978. 356 p. (in Russian).

Кафедра информационных технологий,

кафедра машин и аппаратов химических производств

УДК 66.011.001:681.51

A.B. Кукушкин, Ю.В. Семенов, А.Н. Лабутин

ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРОМ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ

РЕАКЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

(Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

В работе решена задача синтеза векторного алгоритма управления реакторами идеального смешения для проведения реакций последовательного, параллельно-последовательного и обратимого типов. Имитационное моделирование замкнутой системы "объект-управляющее устройство" показало эффективность синтезированных законов автоматического регулирования с астатической составляющей для случая не полной наблюдаемости объекта.

Ключевые слова: векторный алгоритм управления, реактор идеального смешения, синтез системы управления, синергетический подход

Реакции последовательного (I), парал- промышленности и часто реализуются в реакто-лельно-последовательного (II) и обратимого ти- pax идеального смешения (РИС) или каскаде ре-пов (III) широко распространены в химической акторов [1].