CC BY
30
Мир науки. Педагогика и психология / World of Science. Pedagogy and psychology https ://mir-nauki.com 2020, №4, Том 8 / 2020, No 4, Vol 8 https://mir-nauki.com/issue-4-2020.html URL статьи: https://mir-nauki.com/PDF/23PDMN420.pdf Ссылка для цитирования этой статьи:
Шевченко А. С. Использование систем компьютерной алгебры для повышения качества знаний при изучении дисциплины «Численные методы» // Мир науки. Педагогика и психология, 2020 №4, https://mir-nauki.com/PDF/23PDMN420.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.
For citation:
Shevchenko A.S. (2020). The use of computer algebra systems to improve the quality of knowledge in the study of the discipline «Numerical methods». World of Science. Pedagogy and psychology, [online] 4(8). Available at: https://mir-nauki.com/PDF/23PDMN420.pdf (in Russian)
УДК 378 ГРНТИ 14.35.09
Шевченко Алеся Сергеевна
ФГБОУ ВО «Алтайский государственный университет» Рубцовский институт (филиал), Рубцовск, Россия
Доцент
Кандидат физико-математических наук, доцент E-mail: ibragimova@rb.asu.ru РИНЦ: https://elibrary.ru/author_profile. asp?id=603476
Использование систем компьютерной алгебры для повышения качества знаний при изучении дисциплины «Численные методы»
Аннотация. Актуальность исследуемой проблемы связана со следующими факторами. С одной стороны, внедрение Федеральных образовательных стандартов третьего поколения и соблюдение Болонских соглашений в системе образования России предполагают выделение значительного числа часов на самостоятельное изучение учебных дисциплин. В результате этого произошло сокращение аудиторной нагрузки. С другой стороны, предъявляются новые более высокие требования к выпускникам вузов.
Цель статьи - показать, как можно использовать современные системы компьютерной алгебры для повышения эффективности образовательного процесса.
В статье рассмотрен опыт преподавания дисциплины «Численные методы» студентам всех форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика» в Рубцовском институте (филиале) ФГБОУ ВО «Алтайский государственный университет» с использованием системы компьютерной алгебры (или математического пакета) Maple и системы автоматизированного проектирования Mathcad Prime. Обозначено место и назначение курса «Численные методы», его связь с другими дисциплинами. Описаны особенности организации учебного процесса. Обосновано использование современных информационных технологий для реализации численных методов. На примере лабораторной работы «Приближенное вычисление определенных интегралов» авторами даны подробные методические указания использования математического пакета Maple и системы автоматизированного проектирования Mathcad Prime. На языке программирования Mathcad представлена реализация различных методов численного интегрирования (методы левых прямоугольников, трапеции и Симпсона).
Совместное использование СКА с системой дистанционного обучения LMS Moodle показало большие преимущества перед традиционным подходом преподавания дисциплины
https:// mir-nauki. com
«Численные методы». Это позволяет перейти на более качественный уровень преподавания дисциплины. В результате этого, значительно улучшилась профессиональная подготовка студентов. Применение систем компьютерной алгебры в учебном процессе позволило уделять больше времени методологии решения математических задач. Интеграция традиционных учебных занятий и систем компьютерной алгебры позволяет сделать процесс обучения более интересным, продуктивным и способствует формированию у студентов глубоких и прочных знаний, умений и навыков.
Ключевые слова: численные методы; системы компьютерной алгебры; Mathcad Prime; Maple; учебный процесс; система дистанционного обучения Moodle
Численные методы - это раздел математики, который содержит методы решения различных математических задач в численном виде, которые либо не решаются, либо трудно решаются аналитическими методами.
Численные методы, на данный момент, являются основным инструментарием решения современных прикладных задач в различных областях [1].
При обычном подходе изучения численных методов студентам приходится реализовать их, используя современные алгоритмические языки программирования высокого уровня (Pascal, C, C++, C#, Python и т. д.), в результате чего они большее время тратят на написание кода программы и ее отладки, чем на изучение самого численного метода. В результате возрастает роль использования специализированных систем компьютерной алгебры [2-9], которые позволяют получить решение задачи не менее чем тремя различными способами, провести сравнительный анализ алгоритмов, визуализировать полученные результаты и сделать выводы об эффективности использования алгоритмов.
В настоящее время существует большое количество систем компьютерной алгебры (компьютерной математики или математических пакетов). Самые распространенные это Mathcad, MatLab, Maple, Maxima и Mathematica, которые используют современный и удобный интерфейс пользователя, различные символьные и численные анализаторы, а также различные графические средства визуализации данных. Более того, СКА не требуют от студентов и преподавателей знания языков программирования, позволяют экономить огромное количество времени на отладку программ, отслеживания ошибок.
Обзор отечественной и зарубежной литературы показал, что существует огромное количество учебников и учебных пособий по численным методам с использованием систем компьютерной алгебры.
Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков и М.М. Шульц в книге [3] особое внимание уделяют работе в среде Matlab, проектированию и отладке графического интерфейса разрабатываемого приложения, решению задач вычислительной математики. Основным минусом данной книги является отсутствие описания самих численных методов. Использование данной среды для решения инженерных задач можно найти в книге [4] «Численные методы проектирования с помощью Matlab» автора Jaan Kiusalaas. Каждый численный метод автором подробно обсуждается и сопровождается решением большинства задач. Решение задачи содержит как ручные вычисления, так и вычисления, полученные в системе Matlab.
Автор Laurene V. Fauset в интересной и понятной форме представил фундаментальные численные методы, используемые в технике, прикладной математике, информатике, а также в физике [5]. Данная книга содержит широкий спектр примеров и задач, решаемые с помощью функций и рабочих таблиц MathCAD.
https:// mir-nauki. com
Книга [6] авторов Е.Р. Алексеева и О.В. Чеснокова отличается от остальных тем, что в каждой главе книги содержится описание численных методов, представлены блок-схемы алгоритмов и возможности СКА Mathcad, Matlab, Maple для решения вычислительных задач, приведены советы по использованию той или иной СКА.
Пособие [7] С.В. Поршнева, И.В. Беленковой состоит не только из лекционного материала, но и содержит готовые лабораторные задания с подробным решением примеров в пакете Mathcad. Каждая лабораторная работа содержит 40 вариантов заданий. Более того, к учебному пособию прилагается компакт-диск, содержащий программную реализацию каждого рассмотренного примера в лабораторной работе.
Б.А. Жуков, Ю.Ю. Андреева уделяют внимание алгоритмизации численных методов, рассматривают решение вычислительных задач с использованием пакета Maple [8].
Учебное пособие [9] А.А. Бастрона, Е.П. Охапкиной содержит решение задач вычислительной математики с помощью двух СКА Matlab и Mathcad, комплект заданий к лабораторным работам, а также методические указания по их выполнению.
Роль систем компьютерной алгебры в образовании с каждым годом возрастает. Например, А.П. Лащенко, И.К. Асмыкович [10] используют систему Mathcad при изучении математических дисциплин, информационно-компьютерных технологий и программных средств. Самую полную информацию о применении СКА Maple в математике, физики и образовании можно найти в монографии В.П. Дьяконова [11]. К ней прилагается диск, который содержит огромное количество реализованных в Maple примеров.
Более того, СКА внедряются не только для изучения численных методов, но для изучения различных математических дисциплин: математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, дискретная математика, теория вероятностей и методы оптимизации.
Работа Е.А. Кочегуровой и Е.С. Гороховой [12] посвящена рассмотрению двух подходов в обучении дисциплины «Численные методы». Авторы предлагаю использовать не только средства компьютерной математики (СКМ), но и языки программирования. Они приводят обзор СКМ и обоснование использования двух подходов для эффективного обучения студентов.
В статье А.С. Котюргиной и Ю.Б. Никитина [13] рассматривается использование математических пакетов Maple и Mathcad для решения различных задач из общего курса математики. Внедрение данных пакетов связано с сокращением аудиторных часов при неизменном объеме тем и разделов математики.
Ш.Ш. Шавкатбекова [14] показывает в системе Mathcad реализацию методов численного интегрирования и дифференцирования. Г.А. Клековкин обсуждает проблему интенсификации практических занятий в курсе линейная алгебра за счет использования СКА Maxima [15]. А.А. Цыганкова и С.В. Гузенко решают дифференциальные уравнения первого порядка с использование Mathcad [16].
Использование пакета Maple при изучении дискретной математике можно найти в работе В.В. Красильникова, А.А. Оленева, В.С. Тоискина, К.Т. Тынчерова [17]. Опыт использования Mathcad в преподавании дисциплин вероятностного характера представлен в работах О.Н. Ие [18] и Е.А. Власовой, Н.М. Меженной, В.С. Попова, О.В. Пугачева [19].
Также Mathcad широко используется для решения задач оптимизации. Н.Д. Химочкина использует САПР Mathcad Prime 4.0 для решения транспортных задач линейного программирования [20]. Л.С. Выговская применяет Mathcad для решения кейс-задач линейного
программирования [21]. А.В. Михеев использует его для обучения решению различных задач линейного программирования [22].
Дисциплина «Численные методы» изучается на втором курсе студентами, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика» по профилям «Прикладная информатика в экономике», «Прикладная информатика в юриспруденции». Максимальная учебная нагрузка обучающегося составляет 108 часов, где 42 часа отводится на аудиторную нагрузку, а 66 часов - на самостоятельную работу.
Дисциплина состоит из трех разделов: «Численные методы решения уравнений и систем», «Аппроксимация функций», «Численное интегрирование и дифференцирование».
Успешное изучение дисциплины строится на интеграции полученных знаний, умений и навыков, которые формируются предшествующими дисциплинами (математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, информатика и программирование). Более того, необходимы навыки использования систем компьютерной алгебры.
В результате изучения данной дисциплины студенты должны знать:
• роль и место численных методов в системе наук;
• источники возникновения погрешностей и методы их устранения;
• принципы построения численных методов решения задач;
• основные приемы программирования и использования современных систем компьютерной алгебры для автоматизации решения инженерно-технических задач на ЭВМ;
уметь:
• оценивать область применения численных методов, эффективность и погрешность численного решения;
• применять численные методы в решении различных задач;
• разрабатывать программы и использовать современные СКА для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата;
владеть:
• основными численными методами решения различных задач;
• навыками работы с СКА.
Изучение численных методов основывается на таких важных элементах как лекционные занятия, лабораторные занятия, текущий контроль (контрольная работа и тестирование).
Лекционные занятия представляют собой систематическое, последовательное изложение преподавателем учебного материала, какого-либо вопроса, темы, раздела, предмета.
Лабораторные занятия, предназначенные для закрепления полученных теоретических знаний, выступают важным элементом в образовательном процессе. Они позволяют развить у студентов навыки самостоятельной работы при решении вычислительных задач.
Лабораторные работы проводятся после изучения каждого теоретического материала. За каждым студентом закрепляется вариант с индивидуальным заданием.
Для оценивания результатов обучения студентов используется балльно-рейтинговая система. За семестр по дисциплине студент может набрать 100 баллов.
За учебную работу баллы распределяются следующим образом:
• решение контрольных работ - 30 баллов (10 баллов за одну контрольную работу);
• защита лабораторных работ - 35 баллов (5 баллов за одну лабораторную работу);
• выполнение тестов - 35 баллов (5 баллов за один тест).
Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета по всему изученному курсу.
Студент, успешно освоивший курс и набравший в течение семестра не менее 61 балла, получает зачет автоматически.
На зачете выясняется усвоение основных теоретических и прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания на занятиях к решению различных задач.
Зачет проводится в устной форме. В билет включено два теоретических вопроса и практическое задание, соответствующие содержанию формируемых компетенций. На ответ и решение задачи студенту отводится 35 минут. За ответ на два теоретических вопроса студент может получить максимально 16 баллов, за решение практической задачи 24 балла. Преподавателю предоставляется право задавать студентам дополнительные вопросы в объеме содержания дисциплины. Оценка «зачтено» ставится при наборе от 25 до 40 баллов; «не зачтено» - менее 25 баллов.
Традиционно при выполнении лабораторных работ необходимо программировать изучаемые численные методы, используя современные алгоритмические языки программирования высокого уровня (Pascal, C, C++, C#, Python и т. д.). Поскольку данная дисциплина изучается на втором курсе, и у студентов отсутствует хорошее владение алгоритмическими языками, то поэтому было принято решение о внедрении в образовательный процесс с 2015 года СКА Maple [23-24], а с 2017 года - систему автоматизированного проектирования Mathcad Prime [25; 26]. Такой выбор обусловлен тем, что:
1. СКА Мaple имеет встроенный язык программирования похожий по синтаксису на язык высокого уровня Pascal.
2. Символьный анализатор СКА Maple включен в Mathcad и Matlab.
3. Mathcad Prime имеет бесплатную версию, называемую Mathcad Express.
Более того, Mathcad Prime содержит мощный текстовый редактор, вычислительный и символьный процессоры, справочную информацию.
Mathcad Prime обладает следующими достоинствами:
1. Система меню базируется на технологии «ribbon» («ленте») (см. рис. 1).
2. Поле для ввода различных математических операторов является линованным.
3. Система меню, всевозможные подсказки представлены на русском языке.
4. Mathcad Prime построен по принципу «Что вы видите, то и получите».
5. Рабочие формулы размещаются в пределах текста.
Более того, в 2018 году для данной дисциплины был разработан электронный учебно-методический комплекс дисциплины (ЭУМКД) в системе дистанционного обучения LMS Moodle для повышения качества профессиональной подготовки студентов, увеличения доли контролируемой самостоятельной работы студентов высшего образования (рис. 2). В ЭУМКД содержатся все лекции, лабораторные работы, тесты, необходимый справочный материал.
Рисунок 1. Интерфейс пользователя, основанный на технологии «ribbon» (составлено автором)
^t Рубцовский институт Русский (ги) - *
Алеся Сергеевна Шевченко I
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ 00
, .l'.i'I^JL'V
Lahm
у f га ч -.1.'U ■
V ab Л
Щтш
Powered by WordArt.com
Новостной форум ^ Рабочая программа по дисциплине "Численные методы" Инструкция по использованию ЭУМКД для студентов Балльно-рейтинговая система Учебно-методические материалы 0 Глоссарий
Н Системы компьютерной алгебры
ОЦЕНКИ ЗА ЭЛЕМЕНТ КУРСА
ТЕСТ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
3 самых высоких оценок:
Алексей Геннадьевич
Волков 2 Дарья Анатольевна
Трубчанинова 3. Виктор Быков
97,78% 96,44%
ТЕМА 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
Форум "Численные методы решения нелинейных уравнений и систем"
Историческая справка
Лекция 3.1. Постановка задачи
Лекция 3.2. Отделение корней
лекция 3.3. Алгоритмы уточнения корней уравнения
Ф
» Опрос
лекция 3.4. Решение систем двух нелинейных уравнений
Мар1ею^
Ь Ь
Двумерная графика в Maple
Использование Мар1едпя решения нелинейных уравнений и систем
sj- Лабораторная работа №2. Методы отделения корней уравнений с одной переменной
ü Лабораторная работа №3. Приближенное вычисление корней системы нелинейных уравнений
й Тест: Численные методы решения нелинейных уравнений и систем
Рисунок 2. Главная страница курса «Численные методы» (составлено автором) Страница 6 из 17
Каждая лабораторная работа содержит цель, задание, варианты заданий и вопросы.
Рассмотрим выполнение лабораторной работы №7 «Приближенное вычисление определенных интегралов» [27].
Целью данной работы является освоение численных методов вычисления определенных интегралов, получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ и анализа полученных результатов.
Задания:
1. Вычислите интеграл аналитически в СКА Maple, используя встроенную функцию int.
2. Вычислите приближенное значение интеграла в СКА Maple, используя команды пакета student.
3. Вычислите интеграл аналитически и приближенно, используя САПР Mathcad Prime. По результатам расчётов составьте таблицу, содержащую поведение
погрешностей
J - J g ( x ) dx
каждого метода в зависимости от числа N = 10, 20, 40, 80. А также проведите сравнение точностей используемых методов.
4. Сделайте выводы о применимости и целесообразности использования того или иного метода к приближенному вычислению данного интеграла.
Рассмотрим ход выполнения работы на примере первого варианта:
0-5 О \
J
=У —+-
JA1+x i-
-0.5 V 1 + x 1 Х J
dx
Ход выполнения задания 1. Вычисление определенного интеграла в Maple с помощью встроенной функции int осуществляется в три шага.
Шаг 1. Задание подынтегральной функции в области ввода рабочего листа:
> f:=1/(1+x)+2/(1-xA2);
Результат команды в области вывода рабочего листа:
Шаг 2. Задание левого и правого конца отрезка интегрирования:
> a:=-0.5; b:=0.5;
Результат команды:
Шаг 3. Вычисление определенного интеграла с помощью команды ^(функция, переменная интегрирования=левый конец отрезка интегрирования..правый конец отрезка интегрирования):
> Int(f,x=a..b)=int(f,x=a..b);
b
Результат команды:
Т. о., аналитическое значение интеграла равно 3,295836867.
Ход выполнения задания 2. Вычисление интеграла приближенно в СКА Maple с помощью команд пакета student осуществляется за семь шагов.
Пакет student содержит команды, которые предназначены для приближенного интегрирования функций одной переменной на конечном отрезке, а также для иллюстрации различных аппроксимаций интегралов.
Шаг 1. Подключение пакета student:
> with(student):
Шаг 2. Задание числа интервалов n:
> n:=10;
Шаг 3. Вычисление и аппроксимация интеграла с помощью метода правых прямоугольников (рисунок 3):
> Ir:=rightsum(f,x=a..b,n); Ir:=evalf(Ir,5);
> rightbox(f, x=a..b, n, labels=[x,y], font=[TIMES, ITALIC, 13], labelfont=[TIMES, ITALIC, 13]);
Рисунок 3. Аппроксимация интеграла по методу правых прямоугольников (составлено автором)
23PDMN420
Шаг 4. Вычисление и аппроксимация интеграла с помощью метода левых прямоугольников (рисунок 4):
> П:=1еШит(£х=а..Ь,п); 11:=еуаЩТ1,5);
> leftbox(f, x=a..b, n, labels=[x,y], font=[TIMES, ITALIC,13], labelfont=[TIMES, ITALIC, 13]);
Рисунок 4. Аппроксимация интеграла по методу левых прямоугольников (составлено автором)
Шаг 5. Вычисление и аппроксимация интеграла с помощью метода центральных прямоугольников (рисунок 5):
> 1т1ё:=т1ёё1е8ит(£,х=а..Ь,п); 1т1ё:=еуаЩ!т1ё,5);
> middlebox(f,x=a..b,n,labels=[x,y],font=[TIMES,ITALIC,13],labelfont=[TIMES, ITALIC, 13]);
Рисунок 5. Аппроксимация интеграла по методу центральных прямоугольников (составлено автором)
23PDMN420
Шаг 6. Вычисление интеграла по методу трапеции:
> Itrap:=trapezoid(f,x=a..b,n); Itrap:=evalf(Itrap,5);
Шаг 7. Вычисляем интеграл по методу Симпсона:
> Isimpson:=simpson(f,x=a..b,n); Isimpson:=evalf(Isimpson,5);
bimpson = .2666666666+ 1333333333
1 2
5 ,
I
,! = 1 V
.4000000000 +■ .2000000000 г
1 - (-.6000000000 + .2000000000 О
.,2
4- .06666666666
4
X
= 1 Ч
1
.5 +■ .2000000000 г
1 -(-.5 + .2000000000?) Isimpson := 3.2960
Ход выполнения задания 3. В данном задании необходимо разработать mcdx файл, содержащий следующую информацию: исходные данные, точное значение интеграла, вычисление интеграла с помощью приближенных методов (методы правых, левых, центральных прямоугольников, трапеции и Симпсона), выводы.
На рисунке 6 представлено наполнение mcdx файла.
Лабораторная работа №7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Исходные данные:
Точное значение интеграл а:
Вычисление интеграла с помощью приближенных методов: 1. Метол ппавых пиямоугольников:
2.Метод левых прямоугольников:
3.Метод нентоальных пиямоугольников:
4. Метод трапепии:
5. Метод Симпсона:
Выводы
Рисунок 6. Разработанный шедх файл (составлено автором)
Данный файл имеет восемь сворачиваемых областей. Внутри области можно выполнять различные операции, такие как определение переменных, выполнение расчетов и построение графиков по данным.
Область «Исходные данные» содержит номер варианта, подынтегральную функцию, левый и правый концы отрезка интегрирования (рис. 7).
Исходные данные:
Вариант № 1 ( \ 1 2 П IT :— -+. 0 5 b-~ 0 5
1+а? 1-х2
Рисунок 7. Область «Исходные данные» (составлено автором)
Область «Точное значение интеграла» содержит аналитическое значение интеграла (рис. 8).
Точное значение интеграл a:
ь J-.= J dx a = 3.2958
Рисунок 8. Область «Точное значение интеграла» (составлено автором)
В области «Метод правых прямоугольников» содержатся процедура для вычисления определенного интеграла методом правых прямоугольников и результаты расчетов интегрирования при различном количестве узлов (рис. 9). Данная процедура написана на языке программирования Mathcad. Для этого используется соответствующая вкладка «Программирование» (рис. 10).
1. Метод правых прямоугольников:
M_rp(a,b,N,h,g) >=
J^O
for i e 1 ..N
I J*— J-i- g(a+i-h) J-h
Узлы Шаг интегрирования Значение интеграла Погрешность
JVT i= 10 hlZ iЬ~а) =0Л Jjr :=M_rp (а, Ь, JVl, /il, g) = 3.238 ¡J-J_r\ =0.0578
m
iV2:=20 h2 ■■= ^ т ^ =0.05 Jjr -.=Mjrp (a, b,N2,h2,g) = 3.2647 \J-Jjr\ =0.0311
N2
N3 := 40 ft.3== t6 т =0.025 Jjr;=M_rp (а,b, JV3,h3,g) = 3.2797 |J-J_r\ =0.0161
№
N480 ft4== ra^ =0.0125 Jjr--Mjrp(a,b,N4,h4,g) = 3.2876 ¡J-J_r| =0.0082
N4
Рисунок 9. Область «Метод правых прямоугольников» (составлено автором)
Г ß
Операторы w Символы
if
П ро грам м и ра вани е
7Г х-*
Константы т Символьные т _операции
smy m ........... □
Стиль EM Буфер обмена
- ProseJu
Программирование
1— if else else if
also if while for break continue
return try
Рисунок 10. Вкладка «Программирование» в Mathcad Prime (составлено автором) Страница 11 из 17
Область «Метод трапеции» содержит процедуру для вычисления определенного интеграла методом трапеции и результаты расчетов интегрирования при различном количестве узлов (рис. 11).
Область «Метод Симпсона» содержит процедуру для вычисления определенного интеграла методом Симпсона и результаты расчетов интегрирования при различном количестве узлов (рис. 12).
4. Метод трапеции:
M_tr[a,b,N,h,g).= Jt- 0
for г е 1 ..N— 1
■| J<— J+g(a+i'h) |g(0) + g(bl+J|.ft
Узлы Шаг интегрирования Значение интеграла Погрешность
N1 = 10 hl-.= aI = 0.1 J_tr t=M_tr(a,b,Nl ,ftl = 3.3047 \J-J_tr\ =0.008'
N2 = 20 ft2 = =0-05 J tT~М_Ща,b,N2,h2,g) =3^BSJl |j-j_tr| =0.002
N3 = 40 h3-= =0.025 J tr:=M tr(a,b,N3,h3,g)=3.29G4 |j-J tri =0.0006
№ ~ ~ v ' I - I
iV4:= 80 h4--= =0.0125 J_tr-.=M_tr(a,b,N4.h4,g)=3.296 \J-J_tr\ =0.000
Рисунок 11. Область «Метод трапеции» (составлено автором)
5. Метод Симпсона: 1
M. sim а. b,N,h,g) = Sl<- 0
S2<—0 for i e 1 ,.2-N-l
if mod(i,2) = 0 if mod(i,2)^=0
(s fk 52<-S2+g(a+i-h) + g(b) + 2-Sl + 4-S2 ) h 3
Узлы ] llar интегрирования Значение интеграла Погрешность
JV1 := 10 ill = ' ' =0.05 2-JV1 J_s M_sim (a, b, JV1 ,hl,g) = 3.296 1J-J _s| = 0
JV2 =20 N3 = 40 h2;=(b"a) =0.025 2*iV2 = 0.0125 2-JV3 J s'.=M_sim(a, b,N2 J_si=M_sim(a,b,N3 ,h2,g) = 3.296 \J-J ,h3,g) =3.296 \J—J с о II II Л 1
iV4 = 80 mJVL^I =0.0063 2-JV4 J_S'=M_sim (a, b, N4 ,Л4,Й) = 3.296 1J-J _s| = 0
Рисунок 12. Область «Метод Симпсона» (составлено автором) Область «Выводы» содержит выводы о точности используемых методов.
https:// mir-nauki. com
Выводы
Метод леЕых прямоугольников имеет первый порядок точночти относительно шага, метод трапеции - второй, метод порабол - четвертый.
Следуя полученным результатам можно сделать вывод, что формула левых прямоугольников дает приближенное значение.
Хорошую точность дал метод трапеций.
Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла.
В методе левых прямоугольников при увеличении числа интервалов разбиения по оси .V вдвое погрешность решения уменьшается примерно в 2 раза. Для метода трапеции при уменьшении шага по х вдвое погрешность уменьшится примерно в 4 раза. В методе Симпсона при уменьшении шага вдвое погрешность решения уменьшится примерно в 16 раз.
Как видно, из лабораторной работы, язык программирования Mathcad является достаточно простым для решения задач как в аналитическом, так и в численном в виде. Совместное использование функций PTC Mathcad и операторов программирования позволяют разрабатывать достаточно сложные программы.
Поскольку СКА наделены встроенными алгоритмическими языками, то использование современные СКА на лабораторных работах позволяет студентам создавать собственные программы, в которых можно получить решение вычислительной задачи различными численными методами. Также можно провести оценку погрешности полученных решений и сделать соответствующие выводы об эффективности того или иного численного метода.
Большинство студентов, выполнив все расчеты лабораторной работы с использованием СКА, переходят к программированию на языке высокого уровня, тем самым улучшают профессиональную подготовку.
Более продвинутые студенты для системы автоматизированного проектирования Mathcad Prime создают собственные пользовательские функции на С++ [28].
Педагогический эксперимент продлился 7 лет:
1. В 2014 году использовалась традиционная форма обучения (ФО).
2. В 2015 году - традиционная ФО с использование СКМ Maple.
3. В 2016 году - традиционная ФО с использование СКМ Maple.
4. В 2017 году - традиционная ФО с использование СКМ Maple, САПР Mathcad Prime.
5. В 2018 году - традиционная ФО с использование СКМ Maple, САПР Mathcad Prime и системы дистанционного обучения LMS Moodle.
6. В 2019 году - традиционная ФО с использование СКМ Maple, САПР Mathcad Prime и системы LMS Moodle.
7. В 2020 году - дистанционная ФО с использование СКМ Maple, САПР Mathcad Prime и системы LMS Moodle.
Рисунок 13. Область «Выводы» (составлено автором)
Эффективность эксперимента подтверждается следующими данными (рис. 14-15).
60
Успеваемость студентов по уровням
50
о4
О Н
1 30
н о
S 20
о ЧД
10
44
46,67
50
53,33
40 40
43,33
1 ,зз Ю
l|1 Ш\ зк
000
2014 2015
2016
2017 Год
2018 2019
2020
(Повышенный уровень) 91-100 баллов "(Базовый уровень) 76-90 баллов (Пороговый уровень) 61-75 баллов ■ (Уровень не сформирован) 0-60 баллов
0
Рисунок 14. Успеваемость студентов по уровням за семь лет (составлено автором)
Рисунок 15. Качество знаний студентов за семь лет (составлено автором)
Из рисунка 14 видно, что при традиционной формы обучения 44 % студентов не могли набрать более 60 баллов. Качество знаний студентов составляло 32 %, успеваемость - 56 %.
В 2020 году качество знаний студентов составило 96,67 %, успеваемость - 100 %.
Результаты педагогического эксперимента показали, что использование различных возможностей СКА Maple и САПР Mathcad Prime в учебном процессе вуза позволили осуществить переход на более новый, высокий и качественный уровень преподавания дисциплины «Численные методы», в результате чего произошло повышение эффективности учебного процесса.
Опыт работы совместного использования СКА с системой дистанционного обучения LMS Moodle показал большие преимущества перед классическими подходами преподавания дисциплины. У студентов происходит повышение интереса к изучаемой дисциплине. Они с удовольствием изучают новый теоретический материал, с использованием систем компьютерной алгебры выполняют все задания лабораторных работ, решают дополнительные задачи повышенной сложности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зализняк В.Е. Численные методы. Основы научных вычислений: учебник и практикум для академического бакалавриата. - М.: Издательство Юрайт, 2019. -356 с.
2. Аладьев В.З. Системы компьютерной алгебры: Maple: искусство программирования. - Москва: Лаб. Базовых Знаний, 2006. - 791 с.
3. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB: программирование, численные методы. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 с.
4. Jaan Kiusalaas. Numerical methods in engineering with Matlab. Second Edition. Cambridge University Press, 2009. - 444 p.
5. Laurene V. Fauset Numerical Methods Using MathCAD. Pearson Education (US), 2001. - 720 p.
6. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, Matlab 7, Maple 9/ - М.: НТ Пресс, 2006. - 496 с.
7. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad: учебное пособие. - СПб.: БХВ-Петербург, 2010. - 464 с.
8. Жуков Б.А., Андреева Ю.Ю. Численные методы. Теория и практика в системах Maple и MathCad: учебное пособие. - Волгоград: ВолгГТУ, 2018. - 60 с.
9. Бастрон А.А., Охапкина Е.П. Практикум по численным методам в вычислительных средах matlab и mahhcad: учебное пособие. - Москва: РГГУ, 2019. - 162 c.
10. Лащенко А.П., Асмыкович И.К. Система mathcad в учебном процессе технического университета // Дистанционное и виртуальное обучение, 2018. -№3(123). - С. 116-122.
11. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10/11 в математике, физике и образовании. М.: ДМК Пресс, СОЛОН-ПРЕСС, 2011. - 752 с.
12. Кочегурова Е.А., Горохова Е.С. Информационные аспекты преподавании вычислительной информатики для студентов технических университетов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. - Т. 15. - С. 6-10.
- URL: http://e-koncept.ru/2015/95143.htm.
13. Котюргина А.С., Никитин Ю.Б. О возможности обучения студентов основному курсу математики с применением пакетов прикладных программ // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - Т. 2. - С. 147-153. -URL: http://e-koncept.ru/2017/570032.htm.
14. Шавкатбекова Ш.Ш. Реализация методов численного интегрирования и дифференцирования в системе Маткад // Kazakhstan Science Journal, 2019. - Т. 2.
- №1(2). - С. 57-63.
https:// mir-nauki. com
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21. 22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Клековкин Г.А. Применение систем компьютерной математике при обучении линейной алгебре. // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона, 2017. - № 19. - С. 285-293.
Tsygankova G., Guzenko S. Applying Mathcad software package for solving differential equations // Мiжнародний науковий журнал, 2016. - №4-2. - С. 27-29.
Красильников В.В., Оленев А.А., Тоискин В.С., Тынчеров К.Т. Использование системы компьютерной алгебры Maple при изучении дискретной математики // Актуальные вопросы инженерного образования-2016: cборник научных трудов международной научно-методической конференции, посвященной 60-летию филиала УГНТУ в г. Октябрьском, 2016. - С. 310-319.
Ие О.Н. Использование среды Mathcad при обучении студентов технических специальностей теории вероятностей // Дидактика математики: проблемы и исследования. 2017.- №45. - С. 44-49.
Власова Е.А., Меженная Н.М., Попов В.С., Пугачев О.В. Использование математических пакетов в рамках методического обеспечения вероятностных дисциплин в техническом университете // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика, 2017. -№ 4. - С. 114-128.
Химочкина Н.Д. Использование САПР MATHCAD PRIME 4.0 для решения транспортных задач линейного программирования // Роль технических наук в развитии общества: сборник материалов III Международной научно-практической конференции (15 марта 2018 года). Выпуск 3. - Кемерово: ЗапСибНЦ, 2018. - с. 40-43.
Выговская Л.С. Система Mathcad для решения кейс-задач линейного программирования // Вестник Московской международной высшей школы бизнеса МИРБИС. - 2015.- № 4 (4). - С. 54-57.
Михеев А.В. Применение программного пакета Mathcad для обучения решению задач линейного программирования // Современное образование: содержание, технологии, качество. 2018. - Т. 2. - С. 55-56.
Шевченко А.С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы» // Молодой ученый. - 2015. -№ 9. - С. 1222-1225.
Шевченко А.С. Использование систем компьютерной алгебры в учебном процессе // Научно-методический электронный журнал «Концепт», 2016. - Т. 15. - С. 206-210. [Электронный ресурс]. URL: http://e-koncept.ru/2016/86942.htm.
Абдуразаков М.М., Есаян А.Р., Чубариков В.Н., Добровольский Н.М., Якушин А.В. PTC MATHCAD PRIME 3.1: монография. - Тула: Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого (Тула), 2016. -399 c.
Кирьянов Д.В. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. - СПб.: БХВ-Петербург, 2012. -432 с.
Шевченко А.С. Численные методы. - Барнаул: Изд-во Алт. Ун-та, 2016. - 388 с.
Гребенников А.В., Гумеров К.А. Разработка пользовательских функций на С/С++ для САПР Mathcad Prime // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2017): Материалы Всероссийской научно-практической конференции. - Кемерово, 2017. - С. 350-351.
https:// mir-nauki. com
Shevchenko Alesya Sergeevna
Altai state university Rubtsovsk institute (branch), Rubtsovsk, Russia E-mail: ibragimova@rb.asu.ru PHH^ https://elibrary.ru/author profile. asp?id=603476
The use of computer algebra systems to improve the quality of knowledge in the study of the discipline «Numerical methods»
Abstract. The relevance of the studied problem is associated with the following factors. On the one hand, the introduction of third-generation federal educational standards and the observance of the Bologna agreements in the educational system of Russia involve the allocation of a significant number of hours for independent study of academic disciplines. As a result of this, the classroom load is reduced. On the other hand, new, higher requirements are imposed on university graduates.
The purpose of the article is to show how modern computer algebra systems can be used to increase the effectiveness of the educational process. The experience of teaching the discipline «Numerical Methods» by students of all forms of training in the direction of preparation «Applied Informatics» at the Rubtsovsk Institute (branch) of the Altai State University using the computer algebra system (or mathematical package) Maple and the computer-aided design Mathcad Prime are considered in this article. The place and purpose of the course «Numerical Methods» is designated, its connection with other disciplines. The features of the organization of educational process are described. The use of modern information technologies for the implementation of numerical methods are substantiated. Detailed methodological instructions of using the mathematical package Maple and the computer-aided design system Mathcad Prime are given the authors on example of the laboratory work «Approximate calculation of definite integrals». The implementation of various methods of numerical integration (methods of left-hand rectangles, trapezium, and Simpson) are presented in the programming language Mathcad.
The joint use of SKA with the LMS Moodle distance learning system has shown great advantages over the traditional approach to teaching the discipline "Numerical Methods". This allows you to move to a higher level of teaching discipline. As a result of this, student training has improved significantly. The use of computer algebra systems in the educational process allowed us to devote more time to the methodology for solving mathematical problems. Integration of traditional studies and computer algebra systems allows to make process of training more interesting, productive and promotes formation at students of profound and strong knowledge, skills.
Keywords: calculus of approximations; computer algebra systems; Mathcad Prime; Maple; educational process; Moodle distance learning system
23PDMN420
