Использование систем клеточных автоматов для моделирования нелинейных задач теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.688

С.П. Бобков, Ю.В. Войтко

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМ КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

(Ивановский государственный химико-технологический университет)

E-mail: bsp@isuct.ru

В статье рассмотрены вопросы применения дискретных динамических моделей для моделирования процессов теплопроводности. Показано, что модели в виде систем клеточных автоматов являются достаточно удобным инструментальным средством для исследования нелинейных задач теплопереноса.

Ключевые слова: клеточные автоматы, дискретные динамические модели, теплопроводность

Клеточные автоматы, являясь дискретными динамическими системами, могут быть удобным инструментом для исследования различных нестационарных процессов. Отход от континуального представления сплошной среды и использование дискретного описания процессов в ряде случаев позволяет существенно упростить процедуру моделирования, особенно компьютерного. Суть данного подхода заключается в рассмотрении функционально идентичных элементов пространства (клеток), которые изменяют свое состояние в дискретные моменты времени. Законы этих изменений полностью описываются в рамках локальных взаимодействий, что позволяет рассматривать каждый пространственный элемент (клетку) как детерминированный автомат [1]. Такое сведение макроскопических явлений к точно определенным локальным процессам представляет большой методологический интерес вследствие физической ясности и убедительности. Ранее нами была показана принципиальная возможность использования систем клеточных автоматов для исследования некоторых базовых процессов химической технологии, в том числе, и тепловых [2].

Согласно теории конечных автоматов, состояние отдельной клетки на каждом шаге дискретного времени изменяется в соответствие с функцией переходов:

г(^) = ф[г(1Ь1),х(1Ь1)], (1)

где г(^) - состояние клетки в момент времени X ) - вектор входных сигналов в предыдущий момент.

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности, где в качестве объекта будет выступать однородный стержень конечной длины, в середине которого в начальный момент времени локализован мгновенный тепловой импульс. Разобьем стержень на элементы (клетки) с одинаковым ша-

гом Ь и отождествим состояние клетки с ее температурой Т. Входные сигналы моделируют процесс передачи тепловой энергии от соседних клеток и от внутренних источников теплоты.

Для рассматриваемого случая одношаго-вая функция переходов 1-й клетки запишется так:

Т,(М = ВД) + ^[я,_1^) + я1+1(^) + У(^)], (2)

4i-i Оч) = Ь

4i+i(t.) = Ь

[Ti-i(tj) - Ti(tj)] h2 , [Tj+i(tj) - Ti(tj)] h2

(3)

где Т^) - температура 1-й клетки в момент времени А1 - шаг по времени; С, X и р - теплоемкость, теплопроводность и плотность материала клетки, соответственно; Ям(^) и Я1+1(^) - удельные мощности тепловых потоков от соседних клеток; у(^) - удельная мощность источника теплоты.

Процесс моделирования сводится к определению состояний клеточных автоматов на каждом шаге дискретного времени. При этом каждый автомат функционирует по определенному алгоритму. Для внутренних клеток используется функция переходов вида (2)-(3), а для крайних -данные зависимости модифицированы, исходя из гипотезы о нулевом градиенте температуры в данных точках (равенство тепловых потоков от соседних клеток).

Рассмотрим некоторые результаты моделирования с применением данного подхода. В каждом из них стержень был разбит на 41 элемент.

В примере 1 примем линейную зависимость удельной мощности источников от температуры:

у(Т) = кТ (4)

Такие условия характерны для теплопере-носа, осложненного экзотермическими явлениями. Качественные результаты моделирования

приведены на рис. 1, где показаны профили температуры в последовательные моменты времени при к = 0,9. Моменты времени ^ на рис.1 и последующих рисунках соответствуют шагам модельного времени с номерами 8, 16, 20, 24. По оси абсцисс отложены номера элементов системы клеточных автоматов, по оси ординат - температура в условных единицах.

часто присутствующих в реальных условиях. В примере 3 введем следующий закон зависимости удельной мощности источника от температуры:

у(Т) = кТ - уТ3 (7)

Влияние температуры на изменение транспортных коэффициентов будем учитывать выражением (6). Результаты моделирования при к = 0,9; у = 0,1 иллюстрируются на рис. 3.

Рис. 1. Профили температур в примере 1 Fig.1. Temperature profiles in example 1

Анализ рис. 1 показывает, что теплота распространяется от более нагретых участков к менее нагретым, но в точке воздействия начального импульса температура резко возрастает. Следует отметить, что линейная зависимость удельной мощности внутренних источников теплоты от температуры является слишком грубым приближением. Кроме того, в данном примере коэффициент теплопроводности принимался постоянным, хотя он зависит от температуры. Рассмотрим пример 2, где введены нелинейные законы изменения мощности источника и учтено влияние температуры на транспортные коэффициенты. Примем следующее:

y(T) = kTp (5)

ЦТ) = ^oTa (6)

Иллюстрация примера 2 при k = 0,9; Р = 1,3; a = 0,1 дана на рис. 2.

На первый взгляд, полученные данные по форме несущественно отличаются от приведенных выше. Однако можно заметить, что температура в центральной зоне возрастает более резко и, главное, нагретые участки более локализованы.

Следует сказать, что оба примера могут иллюстрировать процесс горения, но только на начальных этапах, поскольку неограниченное возрастание температуры противоречит физической картине реального процесса. Исследуем процесс с учетом эндотермических эффектов, достаточно

Рис. 2. Профили температур в примере 2 Fig.2. Temperature profiles in example 2

Эти данные значительно отличаются от полученных ранее. Прежде всего, видно, что температура в центральной зоне стремится к предельному значению, а распространение теплоты имеет вид, близкий к волне, поскольку обладает достаточно ярко выраженным фронтом. В реальных процессах такая ситуация может иметь место, например, при выгорании топлива.

Рис. 3. Профили температур в примере 3 Fig.3. Temperature profiles in example 3

Можно отметить, что приведенные результаты, полученные с использованием дискретной

n

n

n

динамической модели, вполне соответствуют классическим представлениям о протекании данных процессов. Ранее публиковались данные о моделировании нелинейной теплопроводности [3], но их авторы использовали для исследований параболические дифференциальные уравнения переноса с нелинейными членами и коэффициентами. Описанный в данной работе подход представляется не только физически более ясным, но и более простым в реализации. В частности, при переходе от одного рассмотренного примера к другому, не приходилось существенно перестраивать вычислительный алгоритм, а только вводились новые зависимости для вычисления встроен-

Кафедра информационных технологий

ных функций. Более того, использование данного подхода позволяет легко перейти от одномерного случая к многомерным. Для этого нужно всего лишь добавить в функцию переходов (2) члены, учитывающие сигналы (тепловые потоки) от вновь появившихся соседних элементов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бусленко В.Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем. М.: Наука. 1977. 240 с.

2. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т.52. Вып. 3. С.109-114.

3. Курдюмов С.П. и др. Структуры в нелинейных средах. В кн.: Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание. М.: Наука. 1988. 192 с.

УДК 66.066.66.048

А.В. Базанов*, В.Н. Блиничев*

ПУЛЬСАЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ВЫПАРИВАЕМОГО РАСТВОРА В РЕЖИМЕ ПЕРЕХОДНОГО КИПЕНИЯ

(*Институт химии растворов РАН, Ивановский государственный химико-технологический университет) E-mail: bazanov@hotbox.ru

В работе приведены результаты экспериментального исследования пульсаций температуры на поверхности испарения и в паровом объеме лабораторной выпарной установки. Проведено исследование основных факторов, влияющих на пульсации температуры в самом растворе, на поверхности раздела фаз и в парогазовой среде.

Ключевые слова: пульсации температуры, поверхность испарения, паровая фаза

При нестационарном кипении растворов в выпарных аппаратах возникают пульсации температуры в самом растворе, на поверхности раздела фаз и в парогазовой среде [1]. Это явление до настоящего времени мало изучено. Вместе с тем, его изучение представляет существенный научный интерес, так как позволяет выявить «тонкие» механизмы явлений тепло- и массопереноса в выпарных, дистилляционных и теплоэнергетических установках. Одновременно, исследование этого явления представляет и значительный практический интерес, поставляя ценный исходный материал для прочностных расчётов оборудования, так как пульсации температуры в сочетании с коррозионным воздействием среды могут вызывать преждевременное разрушение конструкционных материалов, из которых оно изготовлено. В настоящей статье приведены результаты экспери-

ментального исследования пульсаций температуры на поверхности испарения и в паровом объеме теплоизолированной лабораторной выпарной установки.

Она представляла собой вертикально установленную на подставке теплоизолированную кварцевую стеклянную трубу диаметром 54 мм и высотой 900 мм, обогреваемую электрическим ленточным элементом (на рис. 1 теплоизоляция условно не показана). Температура на поверхности кипения и в паровом объеме контролировалась термометрами с точностью ±0,1°С Измерительная аппаратура была теплоизолирована от влияния внешних температурных воздействий.

Методика эксперимента состояла в следующем. К выпариваемому раствору подводилась одинаковая тепловая мощность. При этом температура раствора в объеме выпарной установки со-