CC BY
22
УДК [528.225:629.783]:519.233
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНТЕЗИРОВАННОГО ВАРИАНТА АЛГОРИТМА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕРСИИ МНК-ОПТИМИЗАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ГНСС-ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ИХ СРАВНИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА
Николай Сергеевич Косарев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, тел. (913)706-91-95, e-mail: kosarevnsk@yandex.ru
Владимир Абрамович Падве
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (913)958-12-34, e-mail: evdapav@mail.ru
Станислав Андреевич Сергеев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант, тел. (982)773-22-49, e-mail: otherboyy@mail.ru
Владимир Иванович Дударев
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры геомати-ки и инфраструктуры недвижимости, тел. (383)361-07-09, e-mail: leodvi@rambler.ru
В статье рассматриваются синтезированные варианты коррелатной и параметрической версий МНК-оптимизации (уравнивания) геопространственных данных. С использованием синтезированных вариантов коррелатной и параметрической версий МНК-оптимизации выполнено уравнивание результатов обработки ГНСС-измерений пакетами Trimble и CREDO с учётом их коррелированности. В качестве объекта, на котором проводилось тестирование результатов, выступал фрагмент спутниковой сети постоянно действующих базовых станций (ПДБС) НСО, состояший из 6 пунктов: Новосибирск (NSKW), Болотное (BOLO), Искитим (ISKT), Колывань (KOLV), Коченёво (KOCH), Сузун (SUZU). Получаемые в результате такой обработки коррелированные парные данные анализируются на предмет проверки нулевых гипотез о незначимости как отдельных разностей, так и о незначимости их среднего коррелированного значения. В заключение приводятся дальнейшие пути исследований по установлению дополнительных критериев такого анализа.
Ключевые слова: синтезированный вариант МНК-оптимизации, математическая обработка ГНСС-измерений, коррелатная версия, параметрическая версия, анализ коррелированных и неравноточных геопространственных данных, спутниковая сеть.
Введение
В настоящее время на рынке геодезического оборудования и программного обеспечения присутствуют десятки коммерческих программ обработки ГНСС-измерений [1, 2]. Все программы обработки имеют схожий интерфейс, выполняют аналогичные функции, направленные на обработку и уравнивание дан-
ных, но при этом об алгоритме, который заложен в них, известно лишь то, что он оптимизирует результаты измерений по методу наименьших квадратов (МНК) [3-11]. Алгебраическая реализация такой МНК-оптимизации представляет собой «черный ящик».
При создании высокоточных геодезических сетей с использованием ГНСС-аппаратуры необходимо тщательно подходить к выбору программного продукта обработки данных, ведь зачастую основные ошибки, приводящие к «плачевным» результатам, происходят именно на этом этапе. Поэтому возникает необходимость проводить сравнение различных программных продуктов обработки и уравнивания результатов одних и тех же ГНСС-измерений.
Целью работы является сравнение синтезированных вариантов [12-15] алгоритма МНК-оптимизации геопространственных данных.
Теоретическая часть
Поставленная цель требует дать краткое описание синтезированных вариантов МНК-алгоритмов. По форме это известные комбинированные алгоритмы МНК-оптимизации данных, представленные в форме блочных матриц, многократно описанные в отечественной и зарубежной литературе, например [4-6]. В этих же работах отмечается, что в настоящее время резко возрастает объем вычислений, поэтому приходится последовательно редуцировать исходную симметричную систему функциональной модели, тем самым уменьшая ее объем до размеров классического алгоритма коррелатной или параметрической версии.
Начиная с 2006 г. одним из авторов данной статьи опубликован ряд работ [12-15], посвященных общему решению комбинированной системы, названной им «синтезированной». Такая замена определения «комбинированная» на «синтезированная» мотивирована следующим. Математическая модель геодезического построения, описываемая системой, представляет собой синтез функциональной модели (уравнений связи), обратной ковариационной матрице результатов измерений, а также свободных членов, вычисленных по результатам измерений.
Построение синтезированного варианта МНК-оптимизации геопространственных данных начинается с трансформирования коррелатного способа уравнивания. Именно алгоритм коррелатного способа, разработанного и впервые опубликованного в 1806 г. французским математиком А. Лежандром [16], является фундаментальным решением задачи компенсации случайных погрешностей измерений.
Хорошо известные линеаризованные условные уравнения коррелатного способа МНК-оптимизации геопространственных данных (в обозначениях [17]) имеют следующий вид:
ЕУ + Ж = 0. (1)
Корни V системы (1) - это МНК-оценки истинных значений случайных погрешностей V, которые в классическом алгоритме вычисляются по коррела-там Л, получаемым из решения системы нормальных уравнений ЫЛ + Ш = 0:
Г =-КВТЛ.
(2)
Умножив уравнение (2) слева на обратную ковариационную матрицу К-1 данных измерений, получим:
К-1К + ВТ Л = 0.
(3)
Объединение данного соотношения с условными уравнениями (1) дает синтезированную систему:
К - V + В т Л = 0 ВК = - Ш
(4)
Использование блочных матриц придает системе (4) компактный вид:
( К-1 ВТ >
V В 0 ,
' V Л
чЛу
0
(5)
Блочное решение системы (5) позволяет одновременно находить: - вектор МНК-оценок поправок к данным (блок V ) и неопределенные множители Лагранжа (коррелаты, блок Л):
' VЛ
чЛу
' К-1 ВТ В 0
' 0 ^ ч-Шу
(6)
- априорные ковариационные матрицы оптимизированных (уравненных)
значений данных (блок Ку) и коррелат (блок К л = N у-1):
^-1
V
К"1 В В 0
т \
-1
К - К^ КВТыл1
V NЛ1ВК
N
л1 у
Г КУ К12 Л V К 21 -ЫЛ1 у
(7)
Доказательство результата (7) опирается на известные формулы Фробе-ниуса.
Синтезированный вариант алгоритма коррелатной версии МНК-оптимизации и оценки точности данных, ядро которого составляют уравнения (5) и (6), воспроизводится на рис. 1 в форме блок-схемы, содержащей семь этапов [12].
Рис. 1. Блок-схема синтезированного варианта коррелатной версии МНК-оптимизации и оценки точности данных
На четвертом этапе процесса (см. рис. 1) решаются две важнейшие задачи МНК-оптимизации: вычисление корней V системы (5) и получение априорной ковариационной матрицы уравненных значений данных Ку. Последующий переход к апостериорному значению этой матрицы осуществляется на заключительном, седьмом этапе простым умножением ее на масштабный показатель точности (МПТ) ц2.
Синтезированный вариант алгоритма коррелатной версии является основой, на базе которой развертываются другие версии.
Практически абсолютное большинство производственных программ МНК-оптимизации геопространственных данных опирается на параметрический способ, который представлен авторами в виде формального расширения коррелат-ного способа (для синтезированного варианта).
Линеаризованные параметрические уравнения (в обозначениях [17])
Апк ' Хк1 - Цп1 = (8)
могут быть представлены в неявной форме
~*п1 + Апк ' Хк1 ~ Цп1 = 0п1, (9)
а затем отображены формально как «условные» уравнения:
( 1пп : Апк )
'
V Хк1 у
+ (-Аи) = 0п1.
(10)
Синтезированный вариант коррелатной версии МНК-оптимизации имеет вид
К"1 В В 0
Т ^ V ^ Г 0 ^
VЛУ
V-Ш у
В представленном ситезированном варианте коррелатной версии МНК-
Г^-1 -
оптимизации К 1 =
К
У 0
К
0 1
, где К У 1 - обратная ковариационная мат-
0 -1
У
рица вектора измерений уп1, а Кх - обратная ковариационная матрица приближенных значений параметров хк1, которая, как это принято в классическом параметрическом алгоритме, является нулевой матрицей;
В = (-1: А), где I - единичная матрица, А - матрица коэффициентов линеаризованных параметрических уравнений связи (матрица плана);
чЛу
, где V - МНК-поправки к результатам измерений уп1, X -
МНК-поправки к приближенным значениям параметров хк1; X - неопределенные множители Лагранжа;
г 0 >
0 , где Ь = у - Ш(х, Z) - свободные члены уравнений связи.
0
V- Шу
V Ь у
После такой замены синтезированная система коррелатной версии (5) преобразуется в синтезированную систему параметрической версии:
Г К-1 Ку
0
-I
0 -I
0 А А 0
Т
г V ^ X
^у
Г 0 ^
V Ь у
(11)
Решение системы (11) методом обращения позволяет получить: - вектор МНК-оценок поправок к данным (блок Vnl), поправок к приближенным значениям параметров (блок Х^) и неопределенных множителей Ла-гранжа (блок Хп1);
Г У 1 Г К-1 0 -1 1 -1 Г 01 Г % Кт КГх ^ Г 01
= 0 0 АТ 0 = KX KXх 0
ЧХ) -1 V А 0 ) V Ь ) V К ху К XX - Кх) V Ь )
- априорные ковариационные матрицы оптимизированных данных (блок Ку ), оптимизированных параметров (блок КX) и неопределенных множителей Ла-гранжа (блок К х):
(12)
Система (12) объемнее системы классических нормальных параметрических уравнений. Однако при ее решении не требуются дополнительные вычисления МНК-поправок к данным УП1 по МНК-поправкам Х^ к приближенным значениям параметров. Оба вектора вычисляются одномоментно. Одновременно же вычисляются априорные значения ковариационных матриц оптимизированных данных Ку и параметров Кх.
Переход от априорных значений ковариационных матриц к их апостериорным значениям осуществляется простым умножением первых на масштабный показатель точности (МПТ) ц2. На рис. 2 представлена блок-схема синтезированного варианта алгоритма параметрической версии МНК-оптимизации и оценки точности данных [13].
1. Моделирование
1 = 3^ к );
у; Е(у) = 1 ; Ку = К
2. Линеаризация
Апк Хк1 - Ьк1 = Ук1
3. Синтезирование гиперсистемы
Г К-1
0 -1
0
К-1 =а-1
-1
АТ 0
г у 1 Г 01
X = 0
Л г
\ / V /
5. МНК-оптимизация
у = у +У X = х + X
4. Решение системы
X
/
Ку КУ
Ку лЛ
KXY KX KXЛ
VКлУ KлX -Кл)
0
Л
6. МПТ
ц2 =
У ТК-1У
п - к
7. Ковариации а ро81епоп
Ку = ц2 • Ку
^ =ц2 • К
X
Рис. 2. Блок-схема синтезированного алгоритма параметрической версии МНК-оптимизации и оценки точности данных
Практическая часть
Для исследования возможности применения синтезированного алгоритма параметрической версии МНК-оптимизации при уравнивании ГНСС-измерений авторами использованы суточные данные на даты 25.12.2016 и 26.12.2016, полученные с 6 пунктов сети ПДБС НСО: Болотное (BOLO), Искитим (ISKT), Ко-ченёво (КОСН), Колывань (К^У), Сузун ^ШЦ) и Новосибирск (Ш^). На рис. 3 представлена схема взаимного положения указанных пунктов [18].
Суточные данные позволили сформировать два блока по десять триад измеренных значений приращений координат (АХ АУ А2)15^1 по каждой линии сети и ковариационные матрицы КАТ и КАС этих приращений.
Jjf К' / \ >LV > BOLO
косы___ \.v ... ^ l&NSKW
и ISKTT а / Ж
< Ísuzüji -50000
Рис. 3. Фрагмент спутниковой сети ПДБС НСО
Коррелированные приращения координат (АХ АУ А2)15^, выданные каждым коммерческим пакетом и дополнительно характеризуемые соответствующими ковариационными матрицами КАТ и КАС, в дальнейшем проходили математическую обработку в соответствии с алгоритмом синтезированного варианта параметрической версии МНК-оптимизации данных (см. рис. 2).
Результатом такой обработки стали два массива координат, содержащие по 15 элементов (X у Z)T и (X у ZZ)C„ а также ковариационные матрицы этих массивов Кт и Кс:
Кс = (А+ • Кд • (А+)т)с; Кт = (А+ • Кд • (А+)т)т. (13)
Разности триад координат (X у Z)т и (X у Z)с образовали собой ряд коррелированных разностей = (X у2)т- (X у2)с [17, 19].
Ковариационная матрица К разностей - это сумма ковариационных матриц Кт и Кс массивов координат (X у Z)т и (X у Z)с [6]:
К = Кт + Кс. (14)
Обработка парных данных обычно ограничивается лишь оценкой точности выполненных измерений и оценкой точности действительных (уравненных) значений пар наблюдений. Важнейшие практические вопросы «Значима ли каждая отдельная разность ^ ?» или «Значима ли в среднем разность d первичных и вторичных данных?» не ставятся. Эти вопросы можно перефразировать в форме соответствующих статистических гипотез: гипотеза о незначимости отдельной разности
Н0 = {ЕЦ) = 0} (15)
и гипотеза о незначимости разностей в среднем
Н = {Е(В) = 0}. (16)
Разности dj по сути являются «невязками», допустимые значения которых устанавливаются классическим способом:
dд0П = = ^1-а/2 •-^КЪ . (17)
Здесь ?1-а/2 - это квантиль стандартного нормального распределения на уровне значимости а. Если |<^| > dJ■on, то первая основная гипотеза (15) - отвергается,
то есть данная разность признается величиной, значимо отличающейся от нуля.
Вторая основная гипотеза (16) проверяется путем выполнения более сложных вспомогательных вычислений. Случайная величина В в формуле (16) - это вероятностная модель разностей dj, которые рассматриваются как элементы спектра величины В. В таком случае среднее значение d разностей dj будет несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания Е(В).
Нахождение среднего значения d коррелированных разностей dj, ковариационная матрица которых К определяется выражением (14), решается следующим образом. Параметрические уравнения связи для ряда разностей d15•1 = dk1 -это линейные функции, объединяемые в систему с помощью единственного параметра к^, представляющего собой неизвестное истинное значение средней
разности: кц = Щ= Е(П). Это равенство отражает предположение об отсутствии постоянной погрешности в одном из массивов (Х У 7)Т или (Х У Т)С. Уравнения связи Щ = ки, количество которых равно числу разностей к, зависят от этого параметра и образуют вектор
Щи = 1к1 • къ (18)
Матрица плана 1к1 линейной системы (18) - это вектор-столбец, каждый элемент которого равен единице:
1 = ЭЩ7 дкм = 1. (19)
Приближенное значение х11 параметра кп полагается равным нулю. Преобразование параметрических уравнений связи, с учетом того, что кп = х11 + Х11 = Х11, приводит к параметрическим уравнениям поправок:
1к1 • Хи - 1к1 = Ук1, (20)
свободные члены которых ^ = — - х11 равны самим разностям —■, так как х11 = 0.
Нормальное уравнение (единственное!) на матричном уровне сохраняет стандартное обозначение:
Уп хи - Оп = 011. (21)
Коэффициент У11 и свободный член G11 этого уравнения определяются формулами параметрического способа [17]. Они могут быть выражены с использованием гауссовых обозначений оператора суммы:
Т — 1 —1
У11 = 1 1к К— 1к1 = [К— ] - сумма всех элементов обратной априорной ковариационной матрицы разностей К—1; —1
G11 = 1 1к К— —к1 = [к— - сумма произведений столбцовых сумм к = К— }
)
)
обратной матрицы К—1 на соответствующие разности —¡.
Неизвестное Хц нормального уравнения (21) - это и есть искомая оценка среднего значения коррелированных разностей — :
Х~11 = — = У—1 • Оп = [к— / [к—1]. (22)
Для проверки гипотезы (16) о незначимости среднего значения — коррелированных разностей используется следующий тест:
—
tэ =-. (23)
т—
Точность найденного параметра d = X!! характеризуется его средней
квадратической погрешностью т^ , квадрат которой - это величина, обратная
коэффициенту Ы11 нормального уравнения (21), умноженному на апостериорное значение масштабного показателя точности:
т| = ц2 • Л^1 = ц2/[КД (24)
Апостериорное значение масштабного показателя точности ц ряда коррелированных разностей, объем которого равен к, вычисляется по исправленным разностям d' к1 = dk1 - d = - Ук1:
ц2 = 1 . (25)
к -1
Тест (23) сопоставляется с квантилью стандартного нормального распределения на уровне значимости а:
Ь = ¿1-а/2. (26)
Если 1Э > ¿т, то нулевая гипотеза (16) «о незначимости среднего значения коррелированных разностей» отвергается, т. е. использованные технологии приводят к результатам, имеющим систематические отличия.
Анализ результатов
Практическое использование изложенной теории иллюстрируется на вычислительном примере, реализованном в среде Excel по материалам ГНСС-измерений, полученным на пунктах сети ПДБС НСО, приведенной выше (см. рис. 3) [18].
Десять линий этого объекта обработаны с помощью двух коммерческих пакетов Trimble и CREDO. Для анализа были использованы 15 пар координат внешних пунктов объекта, поскольку координаты центрального пункта NSKW принимались в обоих пакетах за опорные константы и не имели разностей. Разности координат пяти внешних пунктов, выраженные в миллиметрах, приведены в таблице.
Разности координат (мм)
BOLO ISKT KOCH KOLV SUZU
АХ А7 AZ АХ А7 AZ АХ А7 AZ АХ А7 AZ АХ А7 AZ
-71,8 -24,2 33,5 -7,2 25,6 -11,3 24,6 2,8 6,1 2,2 -15,5 13,1 33,0 60,6 -42,2
Все разности, кроме Д Y и AZ для станции KOCH, недопустимо велики на уровне значимости а = 0,05.
На рис. 4 показана ковариационная матрица вышеприведенных разностей, элементы которой выражены в квадратных миллиметрах. Далее по формулам (22)-(26) были выполнены необходимые вычисления и проведен анализ среднего значения ряда коррелированных разностей. Затем было принято заключение по гипотезе (16). Основные результаты показаны на рис. 5.
0,62 0,76 0,69 0,20 0,25 0,33 0,08 0,14 0,17 0,14 0,28 0,31 0,08 0,12 0,18
0,76 6,12 7,51 0,27 2,32 2,91 0,14 1,16 1,43 0,27 2,31 2,85 0,14 1,18 1,45
0,69 7,51 11,43 0,33 2,93 4,28 0,17 1,42 2,13 0,33 2,84 4,29 0,17 1,46 2,16
0,20 0,27 0,33 0,44 0,70 0,78 0,07 0,12 0,17 0,07 0,12 0,17 0,14 0,26 0,36
0,25 2,32 2,93 0,70 6,15 7,41 0,13 1,11 1,42 0,12 1,10 1,40 0,28 2,49 2,94
0,33 2,91 4,28 0,78 7,41 10,97 0,17 1,42 2,08 0,17 1,39 2,05 0,35 2,95 4,42
0,08 0,14 0,17 0,07 0,13 0,17 0,40 0,70 0,92 0,18 0,28 0,36 0,17 0,30 0,32
0,14 1,16 1,42 0,12 1,11 1,42 0,70 5,83 7,21 0,29 2,33 2,87 0,28 2,29 2,88
0,17 1,43 2,13 0,17 1,42 2,08 0,92 7,21 10,83 0,36 2,88 4,32 0,33 2,89 4,27
0,14 0,27 0,33 0,07 0,12 0,17 0,18 0,29 0,36 0,42 0,65 0,84 0,09 0,15 0,16
0,28 2,31 2,84 0,12 1,10 1,39 0,28 2,33 2,88 0,65 5,67 7,15 0,14 1,14 1,42
0,31 2,85 4,29 0,17 1,40 2,05 0,36 2,87 4,32 0,84 7,15 10,77 0,17 1,43 2,12
0,08 0,14 0,17 0,14 0,28 0,35 0,17 0,28 0,33 0,09 0,14 0,17 0,47 0,87 0,85
0,12 1,18 1,46 0,26 2,49 2,95 0,30 2,29 2,89 0,15 1,14 1,43 0,87 6,62 7,43
0,18 1,45 2,16 0,36 2,94 4,42 0,32 2,88 4,27 0,16 1,42 2,12 0,85 7,43 11,37
Рис. 4. Ковариационная матрица Kd = KT + KC
Nd = 1TK/l = 5,63 а = 0,05 dcp= NilG = 1,22 мм
tT = 1,96
Gd = 1TKd ld = 6,85 ¿3 = 0,08 2 2 1 m dcp = Ц 'Nd = 240 2 мм
mdcp = 16 мм
d'TKJld' = 18 953 2 Ц = 1 354
Ц = 37
- d'TKd'ld = 18 953
Гипотеза Ho={ E(D) =0}
Решение: Гипотеза не отвергается
Рис. 5. Анализ ряда коррелированных разностей координат
Из результатов анализа следует, что среднее значение коррелированных разностей й = 1,22 мм характеризуется средней квадратической погрешностью ш^ = 16 мм. В связи с этим проверяемая гипотеза о незначимости среднего значения коррелированных разностей Н0 = [Е(П) = 0} не отвергается, так как эмпирическое значение теста ^ = | й | / ш^ = 0,08 меньше допустимого значе-
ния tT = 1,96 на уровне значимости а = 0,05. Тем не менее 87 % разностей dj (см. таблицу) превышают допуск (17) на том же уровне значимости.
Практически это означает, что по параметру «разности» пакеты Trimble и CREDO не могут быть признаны эквивалентными. Дополнительно каждый из пакетов может быть охарактеризован и другими параметрами, отражающими, например, соответствие между значениями средних квадратических погрешностей mt = yjKii выдаваемых приращений координат и скрытых (т. е. неизвестными) в этих приращениях истинных погрешностей позиционирования. Таким параметром может служить масштабный показатель точности данных [15], анализируемый с помощью синтезированного варианта алгоритма параметрической версии МНК-оптимизации (уравнивания) данных [13].
Заключение
В заключение авторы хотели бы подчеркнуть тот факт, что теоретической основой проведенных исследований послужил метод наименьших квадратов, современная форма функционала которого легко учитывает коррелированность и неравноточность данных [20-21]. Кроме того, проблемы и вопросы анализа результатов ГНСС-измерений являются предметом исследований следующих научных работ [22-26].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. RTKLIB: An Open Source Program Package for GNSS Positioning [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.rtklib.com/.
2. Bernese GPS Software Version 5.0 / Edited by U. Hugentobler, S. Schaer, P. Fridez. - Astronomical Institute University of Berne, 2006. - 640 p.
3. Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений: учебное пособие. - М. : Академический Проект; Альма Матер, 2010. - 247 с.
4. Wells D. E., Krakiwsky E. J. The Method of least squares. - Canada : University of New Brunswick, 1971. - 192 р.
5. Leick A. GPS Satellite Surveying. - New York: A Willey-Interscience Publication, 2004. - 464 p.
6. Teunissen P. J. G. Adjustment theory (an introduction). - Delft University Press, 2000. -
193 p.
7. Gilbert S., Borre K. Linear algebra, Geodesy, and GPS. - Wellesley-Cambridge Press, 1997. - 638 р.
8. Kubacek L. Statistical theory of geodetic networks. - Zdiby : Vyzkumny ustav geodeticky, topograficky a kartograficky, 2013. - 286 p.
9. Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Wasle E. GNSS - Global Navigation Satellite Systems GPS, GLONASS, Galileo and more. - Wien, New-York : Springer, 2008. - 516 p.
10. Seeber G. Satellite Geodesy. - 2-nd edition - Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2003. - 589 p.
11. GPS for geodesy. Teunissen P. J. G., Kleusberg A. (Eds.). / P. J. G. Teunissen, Y. Bock, G. Beutler [et al.]. - Berlin : Springer, 1998. - 650 p.
12. Падве В. А. Синтезированный алгоритм коррелатной версии МНК-оптимизации геопространственных данных // ГЕ0-Сибирь-2006. Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 24-28 апреля 2006 г.). - Новосибирск : СГГА, 2006. Т. 6. - С. 62-64.
13. Падве В. А. Синтезированный алгоритм параметрической версии МНК-оптимизации геопространственных данных // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 2. - С. 3-5.
14. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-опти-мизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. - № 4. -С. 34-39.
15. Падве В. А. Показатель точности геопространственных данных // Геодезия и картография. - 2005. - № 1. - С. 18-19.
16. Legendre A. M. Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Sur la methode des moindres carrés. - Paris : Appendice, 1806. - P. 72-80.
17. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений: монография. В 2 ч. Ч. 1. Основы теории погрешностей измерений и фундаментальные алгоритмы точностной МНК-оптимизации результатов измерений. - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. - 163 с.
18. Падве В. А., Косарев Н. С., Сергеев С. А. Обработка и сравнительный анализ результатов ГНСС-измерений с учетом их коррелированности // Регулирование земельно-имущественных отношений в России: правовое и геопространственное обеспечение, оценка недвижимости, экология, технологические решения. Национальн. науч.-практич. конф. : сб. материалов в 2 ч.. (Новосибирск, 14-15 декабря 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2018. Ч. 1. -С.198-205.
19. Падве В. А., Асташенков Г. Г. Обработка и анализ коррелированных парных данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2015. - № 5/С. - С. 71-76.
20. Мазуров Б. Т., Падве В. А. Метод наименьших квадратов (статика, динамика, модели с уточняемой структурой) // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 2. - С. 22-36.
21. Teunissen P. J. G. Springer Handbook of Global Navigation Satellite Systems. Teunissen P. J. G., Montenbruck O. (Eds.). - Springer International Publishing AG, 2017. - 1335 p.
22. Шевчук С. О., Косарев Н. С. Исследование коммерческих программ постобработки измерений ГНСС в режиме кинематики для геодезического обеспечения аэрогеофизических работ. Первые результаты // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2016. XII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 18-22 апреля 2016 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. Т. 2. -C. 69-77.
23. Шевчук С. О., Косарев Н. С., Антонович К. М. Сравнение коммерческих программ постобработки измерений ГНСС в режиме кинематики для геодезического обеспечения аэрогеофизических работ // Вестник СГУГиТ. - 2016. - Вып. 3 (35). - С. 79-102.
24. Малютина К. И., Шевчук С. О. Сравнение бесплатной программы RTKLib с коммерческим программным обеспечением для постобработки ГНСС-измерений // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2017. XIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 17-21 апреля 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. Т. 2. - С. 113-125.
25. Шевчук С. О., Малютина К. И., Липатников Л. А. Перспективы использования свободного программного обеспечения для постобработки ГНСС-измерений // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2017. XIII Междунар. науч. конгр. : Пленарное заседание : сб. материалов (Новосибирск, 17-21 апреля 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. -С. 74-90.
26. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии : монография. В 2 т. Т. 2. - М. : Картгеоцентр, 2006. - 360 с.
Получено 25.05.2018
© Н. С. Косарев, В. А. Падве, С. А. Сергеев, В. И. Дударев, 2018
THE USE OF A SYNTHESIZED ALGORITHM VARIANT OF THE PARAMETRIC VERSION OF LSM-OPTIMIZATION OF THE RESULTS OF GNSS MEASUREMENTS FOR THEIR COMPARATIVE ANALYSIS
Nikolay S. Kosarev
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Space and Physical Geodesy, phone: (913)706-91-95, e-mail: kosarevnsk@yandex.ru
Vladimir A. Padve
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Applied Informatics and Information Systems, phone: (913)958-12-34, e-mail: evdapav@mail.ru
Stanislav A. Sergeev
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Graduate, phone: (982)773-22-49, e-mail: otherboyy@mail.ru
Vladimir I. Dudarev
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, D. Sc., Associate Professor, Professor, Department of Geomatics, Property and Infrastructure, phone: (383)361-07-09, e-mail: leodvi@rambler.ru
The paper considers synthesized variants of the correlate and parametric versions of the least squares method (LSM)-optimization (adjustment) of geospatial data. Using synthesized variants of the correlate and parametric versions of the least squares method (LSM)-optimization was carried out equalization of GNSS measurement results by using software packages Trimble and CREDO, considering their correlation. As a test object was used a fragment of the satellite network of permanent base stations of the Novosibirsk Region consisting of 6 points: Novosibirsk (NSKW), Bolotnoe (BOLO), Iskitim (ISKT), Koluvan (KOLV), Kochenevo (KOCH), Suzun (SUZU). The correlated pair-data obtained as a result of such processing have been analyzed to test the zero hypotheses regarding insignificance of both individual differences and of their mean correlated value. In conclusion the paper proposes further ways of study to establish additional criteria for such analysis.
Key words: synthesized variant LSM-optimization, GNSS-measurements computer processing, correlate version, parametric version, analysis of correlated geospatial data and unequal accuracy geospatial data, satellite network.
REFERENCES
1. RTKLIB: An Open Source Program Package for GNSS Positioning. (n. d.). Retrieved from http://www.rtklib.com/.
2. Hugentobler, U., Schaer, S., Fridez, P., etc. (2006). Bernese GPS Software Version 5.0. Astronomical Institute University of Berne, 640 p.
3. Markuze, Yu. I., & Golubev, V. V. (2010). Teoriya matematicheskoy obrabotki geodezicheskikh izmereniy [Theory of mathematical processing of geodetic measurements]. Moscow: Academic Project: Al'ma Mater, 247 p. [in Russian].
4. Wells, D. E., & Krakiwsky, E. J. (1971). The Method of least squares. University of New Brunswick, 192 p.
5. Leick, A. (2004). GPS Satellite Surveying. New York: A Willey-Interscience Publication,
464 p.
6. Teunissen, P. J. G. (2000). Adjustment theory (an introduction). Delft University Press,
193 p.
7. Strang, G. & Borre, K. (1997). Linear algebra, Geodesy, and GPS. Wellesley-Cambridge Press, 638 p.
8. Kubâcek, L. (2013). Statistical theory of geodetic networks. Zdiby: Vyzkumny ustav geodeticky, topograficky a kartograficky, 286 p.
9. Hofmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H. & Wasle, E. (2008). GNSS - Global Navigation Satellite Systems GPS, GLONASS, Galileo and more. Wien, New-York: Springer, 516 p.
10. Seeber, G. (2003). Satellite Geodesy (2nd ed.). Berlin, New York: Walter de Gruyter, 589 p.
11. Teunissen, P. J. G., Bock, Y., Beutler, G., etc. (1998). GPS for geodesy. Berlin: Springer,
650 p.
12. Padve, V. A. (2006). Synthesized variant of the correlative version of the LSM-optimization of geospatial data. In Sbornik materialov GEO-Sibir'-2006: T. 6 [Proceedings of GEO-Siberia-2006: Vol. 6] (pp. 62-64). Novosibirsk: SSGA Publ. [in Russian].
13. Padve, V. A. (2008). Synthesized variant of the parametric version of the LSM-optimization of geospatial data. In Sbornik materialov GE0-Sibir'-2008: T. 1 [Proceedings of GE0-Siberia-2008: Vol. 1] (pp. 3-5). Novosibirsk: SSGA Publ. [in Russian].
14. Padve, V. A. (2012). Potential of a universal synthesized algorithm for geodetic data OLS-optimization. Izvestia vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotography], 4, 34-39 [in Russian].
15. Padve, V. A. (2005). The indicator of precision of geospatial data. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 1, 18-19 [in Russian].
16. Legendre, A. M. (1806). Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Sur la methode des moindres carrés (pp. 72-80). Paris: Appendice.
17. Padve, V. A. (2015). Matematicheskaya obrabotka i analiz rezul'tatov geodezicheskikh izmereniy: Ch. 1, Osnovy teorii pogreshnostej izmerenij i fundamental'nye algoritmy tochnostnoj MNK-optimizacii rezul'tatov izmerenij [Mathematical processing and interpretation of the results of geodetic measurements : Part 1, Fundamentals of the theory of measurement errors and the fundamental algorithms of the precision OLS optimization measurements]. Novosibirsk: SSUGT Publ., 162 p. [in Russian].
18. Padve, V. A., Kosarev, N. S., & Sergeev S. A. (2018). Processing and comparative analysis of GNSS measurements based on their correlation. In Sbornik materialov Nacional'noj nauchno-prakticheskoj konferencii: Regulirovanie zemel no-imushchestvennykh otnosheniy v Rossii: pravovoe i geoprastranstvennoe obespechenie, otsenka nedvizhimosti, ekologiya, tekhnologicheskiy resheniya: T. 1 [Proceedings of National Scientific and Practical Conference: Regulation of Land and Property Relations in Russia: Legal and Geospatial Support, Real Estate Valuation, Ecology, Technological Solutions: Vol. 1] (pp. 198-205). Novosibirsk: SSUGT Publ. [in Russian].
19. Padve, V. A. & Astashenkov G. G. (2015). Processing and analysis of correlated paired data. Izvestia vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestia Vuzov. Geodesy and Aerophotography], 5/S, 71-76 [in Russian].
20. Mazurov, B. T. & Padve, V. A. (2017). The method of least squares (statics, dynamics, and models with updated structure). VestnikSGUGiT[Vestnik SSUGT], 22(2), 22-36 [in Russian].
21. Teunissen, P. J. G. (2017). Springer Handbook of Global Navigation Satellite Systems. P. J. G. Teunissen & O. Montenbruck (Eds.). Springer International Publishing AG, 1335 p..
22. Shevchuk, S. O., & Kosarev, N. S. (2016). Comparing results of GNSS kinematic postprocessing by commercial program products for geodetic support of aerial geophysical works. The first conclusions. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2016: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: T. 1. Geodeziya, geoinformatika, kartografiya, marksheyderiya [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2016: International Scientific Conference: Vol. 1. Geodesy,
Geoinformation, Cartography, Mine Surveying] (pp. 69-76). Novosibirsk: SSUGT Publ. [in Russian].
23. Shevchuk, S. O., Kosarev, N. S., & Antonovich, K. M. (2016). Comparison of the Commercial Software Performance of GNSS Kinematic Measurement Postprocessing for Aerial Geophysics Geodetic Support. VestnikSGUGiT[VestnikSSUGT], 3(35), 79-10 [in Russian].
24. Malutina, K. I., & Shevchuk, S. O. (2017). Comparing commercial GNSS postprocessing software with RTKLIB. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2017: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: T. 2. Geodeziya, geoinformatika, kartografiya, marksheyderiya [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2017: International Scientific Conference: Vol. 2. Geodesy, Geoinformation, Cartography, Mine Surveying] (pp. 113-125). Novosibirsk: SSUGT Publ. [in Russian].
25. Shevchuk, S. O., Malutina K. I., & Lipatnikov L. A. (2017). Prospects of using free software for GNSS measurements post-processing. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2017: Mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: Plenarnoe zasedanie [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2017: International Scientific Conference: Plenary session] (pp. 74-89). Novosibirsk: SSUGT Publ.[in Russian].
26. Antonovich, K. M. (2006). Ispol'zovanie sputnikovyh radionavigacionnyh sistem v geodezii: T. 2 [Using satellite radio-navigation satellite systems in geodesy: Vol. 2]. Moscow: Cartgeocentr, 360 p. [in Russian].
Received 25.05.2018
© N. S. Kosarev, V. A. Padve, S. A. Sergeev, V. I. Dudarev, 2018
