Использование принципа максимальной энтропии для сравнения эффективности различных ветроустановок Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ISSN 1992-6502 (Print)_

2018. Т. 22, № 2 (80). С. 82-88

Вестник УГАТУ

ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru

УДК 620.91

Использование принципа максимальной энтропии

для сравнения эффективности различных ветроустановок

Ф. Р. Исмагилов1 , И. Х. Хайруллин2 , В. Е. Вавилов3 , А. М. Якупов4 ,

Р. А.Нургалиева5

1 ismagilov137@gmail.com, 2 irekkhayrullin@yandex.com, 3 s2_88@mail.ru,4 aynurpov@mail.ru,

5Rushana39.45@ mail.ru

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)

Поступила в редакцию 14.05.2018

Аннотация. Показано практическое применение описания функции распределения скорости ветра, используя принцип максимальной энтропии. Применение принципа максимальной энтропии позволяет точно описать функцию распределения ветра и тем самым корректно выбрать тип ветроустановки и оценить прогнозируемую выработку мощности ветроустановок, что является актуальным при проектировании ветростанций и сравнить эффективности различных видов ветроустановок. В работе приведены уравнения, описывающие функцию распределения ветра принципом максимальной энтропии, и способы их решения, а также показан пример оценки эффективности ветроустановок вертикально-осевого типа и горизонтально-осевого типа не ориентирующегося по направлению ветра для г. Уфы.

Ключевые слова: принцип максимальной энтропии; ветроустановка вертикаль-осевого типа, ветроустановка горизонтально-осевого типа; функция распределения скорости ветра.

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, в настоящее время в мире очень активно развивается генерация, основанная на использовании возобновляемых источников энергии (ВИЭ), в том числе и ветроустановок (ВЭУ). При этом разрабатывается огромное количество различных конструктивных схем ВЭУ, которые необходимо эффективно сравнивать. Сравнение осуществляется в конечном итоге по годовой выработке электрической энергии. Для точной оценки выработки годовой электрической энергии необходимо точное описание функции распределения скорости ветра. Традиционно функцию распределения скорости ветра осуществляют с использованием функции распределения Вейбулла, но не во всех регионах функция распределения

скорости имеет форму сдвинутого экспоненциального распределения. Поэтому для этих целей авторы статей [1, 2] предлагают применение принципа максимальной энтропии, которая позволяет точно описать функцию распределения ветра. Но в данных работах, как и в другой литературе, не показано практическое применение или способ использования описания функции распределения скорости ветра принципом максимальной энтропии для сравнения выработки различных ВЭУ, поэтому эти сведения будут представлены авторами в данной статье. Также авторами решается актуальная проблема сравнения эффективности горизонтально-осевых и вертикально-осевых ВЭУ. Под горизонтально-осевыми принимаются ВЭУ большой мощности, без ориентации по направлению ветра.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ВЕТРА

Принцип максимальной энтропии является эффективным способом точного описания функции распределения скорости ветра. Принцип максимальной энтропии характеризуется информационной энтропией. Информационная энтропия - это мера неопределенности вероятностного распределения. Формула расчета энтропии для дискретного вероятностного распределения для хeQнезависимых случаев, где p - функция вероятности принимается в следующем виде:

H (X) = -£ p( x) • log p(x). (1)

Чем больше энтропия, тем более сложно делать прогнозы. Для случая, когда функцией вероятности является функция скорости, формула (1) запишется в виде:

b

H (X) = -j f (v) • ln f (v)dv. (2)

a

С учетом ограничений максимум энтропии Шеннона (2)

j f (v)dv

= 1;

(3)

и

00}=/V» (V) • /№ = |Д„; (4)

а

п = 0,..., N,

где N - число ограничений; |п - ^ое ограничение; = 1, если = 1; Vп - известные N функции.

Используя метод Лагранжа, функция распределения в заданным пределах примет вид:

f (v) = exp

nVn (v)

n=0

(5)

где Xп (=^0,...,Xп)N+1 множителей Лагранжа, которые определяются решением N+1 нелинейных уравнений, заданных как:

Ln (X) = jv n (v)eXP

N

ZX n V n (v)

dv = ц n; (6)

п = 0,..., N.

Параметр V0 берется в виде функции мощности V или как функция логарифма V.

Пр инимается V п (V) = Vп. Также использован метод Ньютона для решения нелинейных N+1 уравнений с множителями Лагранжа, расширенного в вид ряда Тейлора с начальным значением множителя Лагранжа; членами высокого порядка ряда Тейлора необходимо пренебречь, для нахождения множителей Лагранжа используется итерационный метод до сходимости до определенной точности.

ьп (X) = ьп (X0) + (Х-Х°у К, (Х)]х=х0 = I п ;(7) п = 0,..., N.

Вводится переменная 8 и матрицу g

5 = X - X0;

g = [|0 -^(П...,IN -LN(X0)].

(8) (9)

Матрица L задается следующим обра-dLn (X)"

зом:

L = [lnk ] =

= д n; n = о,..., n. (10)

X=X0

Уравнение (7) приводится к виду:

L5 = g; (11)

lnk = lkn =-jv n (v)V k

x exp

-ZX n V n (v)

n=0

dvn; n, k = 0,..., N. (12)

Данное уравнение решается итерационным методом и позволяет в конечном счете определить параметры функции распределения скорости ветра. На рис. 1 показан пример реализации метода максимальной энтропии (ММП).

Основная сложность метода максимальной энтропии заключается в громоздкости и невозможности решить интегральные уравнения. Для уравнения (12) 3-го порядка вычисление интеграла требует значительных расчетных мощностей. Поэтому для решения данных систем уравнений необходимо основное уравнение разложить в ряд Тейлора.

Для уравнения (12) ранее было принято, что:

Vп(V)= vn,

поэтому

Ln (X) = j vn exp n = 0,...., N.

-ZX

v

nn

dv = д n; (13)

x

n=0

n=0

Рис. 1. Функция распределения методом максимальной энтропии

Необходимо разложить в ряд Тейлора функцию, входящую в (13):

ехр

N

-Е* „

п=0

данная функция может быть разложена в ряд Тейлора, так как она находится в интервале

0 < ехр

N

-Е*«

< 1

(14)

согласно уравнению (3).

Тогда для разложения в ряд Тейлора по формуле Маклорена находятся производные функции до шестого порядка при значении V = 0 для окрестности (членами ряда Тейлора выше 6 шестого порядка нужно пренебречь), при этом принимается, что порядок уравнений метода равен п=4, тогда:

у(0) = (ехр(-*о - *1v - *2v2)) = -*1 ехр(-*о);

г (0) = (*2 -2*2)ехр(-*о);

/ш (0) = (-*3 + 6* 2*1)ехр(-* 0);

/1У (0) = (* -12*2*2 + 12*22)ехр(-*0); /у (0) = (-* + 20*2*3 - 60*22*1)ехр(-*0);

2 л2

/п (0) = (*6 - 30*2*4 +180*22*2 - 120*32)ехр(-*0); / (0) = ехр(-* 0). (15)

Ряд Тейлора по формуле Мак Лорена для окрестности точки v=0 записывается в виде:

/ (V)=/ (0)++/>>++...(16)

1! 2! 3!

Аналогично осуществляется разложение в ряд Тейлора в окрестностях других точек, принадлежащих интервалу (0,9).

Ограничения д п находятся следующим образом:

д п=Е р^п.

(17)

Далее по полученным данным заполняется матрица Ь, g и, задавшись первыми приближениями *(0), находится * с определённой точностью. Для реализации метода простой итерации был разработан код программы в программном комплексе MathСad, который позволяет находить множители Ла-гранжа более высоких порядков (в данном разделе приводится уравнение Лагранжа второго порядка лишь в качестве примера, при разложении функций с множителями Лагранжа более высокого порядка члены ряда Тейлора будут громоздкими).

В качестве примера найдем множители Лагранжа для всех месяцев для г. Уфы (табл. 1). При решении уравнений по описанному выше методу получены следующие значения для декабря месяца:

*0 = 0,59688;

* =-2,4651;

* 2 = 0,0163;

*4 =-0,0085.

Тогда уравнение (6) запишется в виде: /(V) = V4 ехр[0,59688 - 2,4651v + 0,0163v2 + + 0,0582v3 -0,0085v4].

Таблица 1

Множители Лагранжа по месяцам для распределения методом максимальной энтропии для г. Уфы

Месяц * 4 * 3 * 2 *1 * 0

Янв. -0,047 0,599 -2,393 1,263 -0,874

Фев. -0,029 0,261 -0,585 -2,272 1,356

Мар. -0,030 0,239 -0,337 -2,763 1,329

Апр. 0,074 -0,976 4,506 -10,182 4,735

Май -0,042 0,392 -1,010 -1,616 0,822

Июн. -0,084 0,895 -2,938 0,709 0,448

Июл. 0,049 -0,674 3,199 -8,205 4,276

Авг. -0,040 0,407 -1,337 -1,054 0,988

Сен. -0,022 -0,227 1,891 -7,417 4,972

Окт. -0,022 0,074 0,316 -3,325 1,315

Нояб 0,096 -1,155 4,802 -10,597 5,862

Дек. -0,009 0,058 0,016 -2,465 0,597

г=1

Когда диапазон скоростей не превышает 5 м/с, 4-й порядок уравнений по методу максимальной энтропии дает достаточную точность, но при большем диапазоне необходимо использовать более высокие порядки. Для продемонстрированного примера

п

V

диапазон средней скорости ветра не превышает 3-4 м/с, поэтому 4-й порядок вполне применим.

УРАВНЕНИЯ МОЩНОСТИ ВЭУ

Плотность мощность ВЭУ в общей форме определяется уравнением:

Р

ЖЭУУ

1 / pv

(18)

где р - плотность воздуха, V - скорость ветра, /(V) - функция распределения скорости ветра, полученная методом максимальной энтропии.

ВЭУ обладает минимальной скоростью ветра, при которой она начинает вырабатывать электрическую энергию, обозначим ее как v0. Также ВЭУ обладает номинальной скоростью vН, при которой ВЭУ вырабатывает номинальную мощность:

1

Рвэу = 2 pv $,

(19)

где $ - ометаемая площадь. Также ВЭУ имеет максимальную скорость ветра, так называемую скорость среза уС. Учитывая вышеуказанные параметры ВЭУ, энергия, извлекаемая ВЭУ, определяется по следующей формуле:

У" 1

ЕВЭУ = Т( / - р • V3 • $ • /^ +

V,2

Уар 1

+ / 2 Р • ^ • $ • /00^, (20)

уи 2

где Т - рассматриваемое время эксплуатации, в данном примере принимается равным 8760 ч.

При подстановке уравнений, полученных для принципа максимальной энтропии, уравнение (20) преобразуется в следующий вид:

Е = —

^ВЭУ 2

Уг,

1 1 2 Р™(/2

V • ехр

+ 1 К • ехР

-ZX п V п (v)

-ZXпVп

п=0 ).

п=0

^ +

(21)

СРАВНЕНИЕ МОЩНОСТИ ВЕРТИКАЛЬНО-ОСЕВОЙ И ГОРИЗОНТАЛЬНО-ОСЕВОЙ ВЭУ

Отличие вертикально-осевой и горизонтально-осевой ВЭУ при оценке выработки

мощности ВЭУ заключается в том, что ве-рэтикально-осевой ВЭУ воспринимает энергию ветра независимо от направления ветра, а горизонтально-осевой воспринимает энергию ветра только с одной стороны. Для учета данного фактора используется роза ветров (рис. 2, 3).

Рис. 2. Роза ветров для г. Уфы на месяц январь

Рис. 3. Роза ветров для г. Уфы на месяц июль

Данные о повторяемости направлении ветра в г. Уфе приведен в табл. 2, 3.

Оценим выработку электрической энергии для г. Уфы по табл. 1 и выражению (21). При этом определяется общий ветропотен-циал для г. Уфы с учетом ометаемой площади энергии 1 м2 и не учитывается тип ВЭУ (табл. 4, рис. 4).

и

Таблица 2

Повторяемость направлений ветра для г. Уфы на месяц январь

Направление Повторяемость, %

Северное 9

Северо-Восточное 4

Восточное 2

Юго-Восточное 8

Южное 42

Юго-Западный 20

Западный 6

Северо-Западный 9

Таблица

Повторяемость направлений ветра

для г. Уфы на месяц июль

Направление Повторяемость, %

Северное 19

Северо-Восточное 9

Восточное 5

Юго-Восточное 6

Южное 13

Юго-Западный 14

Западный 14

Северо-Западный 20

Таблица 4

Ветропотенциал для г. Уфы

Месяц Е, Вт*ч

Январь 13141,3

Февраль 8483,73

Март 21958,1

Апрель 20440,3

Май 11064,1

Июнь 8348,80

Июль 8625,23

Август 6589,28

Сентябрь 3706,23

Октябрь 8193,41

Ноябрь 5147,51

Декабрь 12478,46

I 128176,5

„ з- ■ -X V-

Л л ее л ц

Рис. 4. Выработка электрической энергии по месяцам для г. Уфы

Из рис. 2, 3 и табл. 2, 3 видно, что выгодным направлением для установки горизонтально-осевых ВЭУ является южное, а для лета - северо-западное. При установке горизонтально-осевого ВЭУ в сторону юга мощность воспринимается с юга с коэффициентом 1, а с юга-запада и юга-востока -

1 / 42. При установке горизонтально-осевого ВЭУ в сторону северо-запада мощность воспринимается с северо-запада с коэффициентом 1, а севера и запада -

Определим энергию, которую выработает ВЭУ горизонтально-осевого типа с учетом вышесказанного (табл. 5).

Таблица 5

Оценка энергии, вырабатываемой ВЭУ горизонтально-осевого типа

Месяц Направление Пов- ть, % Часов Е, Вт*ч 1 Вт *ч

Январь Юго-Восточное 8 59,52 17841,22

Южное 42 312,48 132464,3 о

Юго- Западное 20 148,8 44603,05

Западное 14 104,16 31222,14 го

Июль СевероЗападное 20 148,8 63078,24 го 7 ю ю

Северное 19 141,36 42372,9 ^

Из табл. 5 видно, что для горизонтально-осевого ВЭУ выгодным направлением установки является южное, и энергия, прилагаемая на ВЭУ, составляет 194908,6 Вт*ч с учетом КПД вертикально-осевых ВЭУ, который составляет в среднем 40%, энергия, получаемая от горизонтально-осевого ВЭУ, составляет 77963,44 Вт*ч для месяца январь.

Для вертикально-осевого типа результаты расчетов для января и июля представлены в табл. 6.

Из табл. 6 видно, что для вертикально-осевого ВЭУ энергия, прилагаемая на ВЭУ, составляет 315391,2 Вт*ч с учетом КПД вертикально-осевых ВЭУ, который составляет в среднем 15%, энергия, получаемая от вертикально-осевого ВЭУ, составляет 47308,68 Вт*ч для месяца январь.

Таким образом, по результатам расчетов, представленных в табл. 5, 6 для г. Уфы эффективнее установка горизонтально-осевых ВЭУ.

Таблица 6

Оценка энергии, вырабатываемой ВЭУ вертикально-осевого типа

Месяц Направление Пов- ть,% Часов E, Вт*ч Ъ Вт *ч

Северное 9 66,96 28385,21

СевероВосточное 4 29,76 12615,65

Восточное 2 14,88 6307,824

л & Юго-Восточное 8 59,52 25231,3 (N 91

Южное 42 312,48 132464,3

Юго- Западное 20 148,8 63078,24

Западное 6 44,64 18923,47

СевероЗападное 9 66,96 28385,21

Северное 19 141,36 39331,05

СевероВосточное 9 66,96 18630,5

Восточное 5 37,2 10350,28

j 4 Юго-Восточное 6 44,64 12420,33 (N Т 5,

1 Южное 13 96,72 26910,72 о о

Юго- Западное 14 104,16 28980,77 (N

Западное 14 104,16 28980,77

СевероЗападное 20 148,8 41401,1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Авторами показано практическое применение описания функции распределения скорости ветра принципом максимальной энтропии на примере г. Уфы. В статье показаны уравнения, которые позволяют полу-

чить выработку электрической энергии для ВЭУ и осуществить выбор типа ВЭУ. Для г. Уфы было получено, что установка горизонтально-осевого ВЭУ выгоднее.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Liu F. J.; Chang T. P. Validity analysis of maximum entropy distribution based on different moment. Energy. 2011, 36, pp. 1820-1826. [ F. J. Liu, T. P. Chang, Validity analysis of maximum entropy distribution based on different moment, Energy, 2011. ]

2. Hierarchical control of droop-controlled AC and DC mi-crogrids—A general approach toward standardization, J. M. Guerrero et. al. EEE Trans. Ind. Electron. 2011, P. 158172. [ J. M. Guerrero et. al, Hierarchical control of droop-controlled AC and DC microgrids—A general approach toward standardization. IEEE Trans. Ind. Electron. 2011. ]

3. Wu X. Calculation of maximum entropy densities with application to income distribution. J. Econom. 2003, P. 347354. [ X. Wu, Calculation of maximum entropy densities with application to income distribution. J. Econom. 2003. ]

ОБ АВТОРАХ

ИСМАГИЛОВ Флюр Рашитович, д-р техн. наук, проф., зав. каф. э/мех. УГАТУ. Дипл. инженер э/мех. (УАИ, 1973). Иссл. в обл. э/мех. преобразователей энергии.

ХАЙРУЛЛИН Ирек Ханифович, д-р техн. наук, проф. каф. э/мех. УГАТУ. Дипл. инженер э/мех. (ИЭИ, 1963). Иссл. в обл. э/мех. преобразователей энергии.

ВАВИЛОВ Вячеслав Евгеньевич, канд. техн. наук, доц. каф. э/мех. УГАТУ. Иссл. в обл. э/мех. преобразователей энергии.

ЯКУПОВ Айнур Махмутович, асп. каф. э/мех. УГАТУ. Дипл. инженер ЭСиС (УГАТУ, 2014). Иссл. в обл. возобновляемых источников энергии.

НУРГАЛИЕВА Рушана Азатовна, маг. каф. э/мех. Дипл. бакалавра ЭСиС (УГАТУ, 2016). Иссл. в обл. возобновляемых источников энергии.

METADATA

Title: Using the principle of maximum entropy for comparison

of the efficiency of various wind turbines. Authors: F. R. Ismagilov1, I. H. Hayrullin2, V. Е. Vavilov3,

А. M. Yakupov4, R. A. Nurgalieva5 Affiliation: Ufa State Aviation Technical University

(UGATU), Russia. Email:1ismagilov137@gmail.com,2irekkhayrullin@yandex.com, 3s2_88@mail.ru,4aynurpov@mail.ru, 5Rushana39.45@mail.ru Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 22, no. 2 (80), pp. 82-88, 2018. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: This paper shows the practical application of the description of the wind speed distribution function using the maximum entropy principle. The use of the principle of maximum entropy allows you to accurately describe the

distribution function of the wind and thus correctly select the type of wind turbine. Equations describing the wind distribution function with the maximum entropy principle and methods for solving them are given, and an example of an estimation of the efficiency of a vertical-axis and horizontal-axial wind turbine for Ufa city is shown.

Key words: Principle of maximum entropy; wind turbine vertical-axial type, wind turbine of horizontal-axial type; wind speed distribution function.

About authors:

ISMAGILOV, Flur Rashitovich, doctor of technical Sciences, Professor, the head of dept. of electromechanics USATU.

HAYRULLIN, Irek Khanifovich, doctor of technical Sciences, Professor of dept. of electromechanics USATU.

VAVILOV, Vacheslav Evgenievich, candidate of technical Sciences, Lecturer of dept. of electromechanics USATU.

YAKUPOV, Aynur Machmutovich, post-graduate student of dept. of electromechanics USATU.

NURGALIEVA, Rushana Azatovna, grad. Student, dept. of electromechanics USATU.