CC BY
10ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРАВИЛА БЕРНУЛЛИ-ЛОПИТАЛЯ ДЛЯ РАСКРЫТИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Аннотация
С задачей вычисление предела, будь это самостоятельная задача или часть решения более сложной задачи, студенты технических ВУЗов сталкиваются на протяжении, как минимум, первых двух курсов. В связи с этим, обучение технике вычисления пределов является актуальной задачей при подготовке студентов технических специальностей. Работа посвящена использованию правила Бернулли-Лопиталя для вычисления
пределов с неопределенностями вида [0 -ад], [ ад-ад], [ ад0], [1е0 ], [00]. Приводятся краткие теоретические сведения и примеры, иллюстрирующие применение данного правила для раскрытия указанных типов неопределенностей.
Ключевые слова
предел, правило Бернулли-Лопиталя, тип неопределенности
АВТОРЫ
Велищанский Михаил Александрович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва velmiha@yandex.ru
Кавинов Алексей Владимирович,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва alekseyvladimirov'ch1@yandex.ru
Введение
Понятие предела - одно из важнейших в курсе математического анализа, читаемого в технических ВУЗах. В этом нет преувеличения, ведь понятие непрерывности функции, ее производной, определенного интеграла и т.п. все базируется на понятии предела и предельного перехода. Однако, к сожалению, в настоящее время в большинстве стандартных курсов математического анализа вычислению пределов не уделяется должного времени. В итоге слабый навык в вычислении пределов преследует студентов и в дальнейшем - при исследовании и построении графиков функций, несобственных интегралов, рядов и т.п.
Отметим так же, что поскольку понятие предела очень общо, то не существует единого метода его вычисления. Есть лишь более универсальные методы, как, например, рассматриваемый в данной работе, и методы узкоспециализированные, применяемые для конкретных типов пределов. Данная статья является логическим продолжением работ [1,2] и посвящена использованию правила Бернулли-Лопиталя при вычислении пределов, формально не подпадающих под условия применимости данного метода.
Методология и результаты исследования
В настоящее время для раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [да / да], часто возникающих при вычислении предела отношения двух величин, особой популярностью, как в России, так и за рубежом, пользуется метод Бернулли-Лопиталя или, как его часто называют в России, правило Бернулли (за рубежом данный метод более известен, как правило Лопиталя) [2-6]. Это объясняется с одной стороны достаточной универсальностью данного метода, а с другой - относительной простотой его применения. Ведь по сути все сводится к умению вычислять производные, что большинство студентов 1-го курса более-менее умеют делать еще со школы. Однако достаточная универсальность данного метода объясняется не только относительной простотой раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [да / да], но и тем, что к этим двум типам неопределенности можно свести и другие виды неопределенностей, а именно [0 -да], [ да-да], [ да0], [1да ] и [00]. Таким образом, правило Бернулли-Лопиталя может быть применено для раскрытия большого количества видов неопределенностей, возникающих при вычислении пределов.
При этом такая кажущаяся простота и достаточная универсальность этого метода имеет и свою «обратную сторону»: указанный метод пытаются применять практически в любой ситуации, не особо утруждая себя анализом о рациональности его использования в данной конкретной задаче. При этом данная ситуация наблюдается как в России, так и за рубежом.
Поэтому еще раз отметим, что, как уже отмечалось в работах [1,2], сам метод Бернулли-Лопиталя отнюдь не является универсальным, хотя и «работает» с широким кругом задач. Есть масса примеров когда данный метод не позволяет вычислить тот или иной предел или же его применение требует гораздо больших вычислительных затрат по сравнению с другими методам. Более того, зачастую самым удачным способом раскрытия неопределенностей при вычислении пределов является комбинация (если это возможно, конечно) метода Бернулли-Лопиталя и аппарата эквивалентных бесконечно малых (или бесконечно больших) функций [1-7].
Прежде чем перейти к рассмотрению различных примеров, иллюстрирующих применение правила Бернулли-Лопиталя к указанным типам неопределенностей, приведем некоторые известные [3-7] определения и теоремы, которые нам потребуются в дальнейшем.
Определение 1. Функцию /(х) называют бесконечно малой при х —» а е R , если при данном стремлении аргумента предел функции равен нулю, т.е.
lim f (*) = 0 .
х ^a
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми и обычно обозначают буквами греческого алфавита ((х) , ß(х) и т.д.
Определение 2. Функцию f (х) называют бесконечно большой при х ^a , если при данном стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел, т.е.
lim f ( х) = да.
х ^a
Теорема 1. Пусть
1) функции f (х) и g (х) определены и дифференцируемы в некоторой проко-
о
лотой окрестности U(а) точки а;
2) lim f (х) = 0 и lim g (х) = 0;
3) g'(x) Ф 0 Vjc e U(a);
4) Существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных, т.е.
г f" (X) л lim^^ = A.
g"(x)
Тогда существует и предел отношения самих функций, причем
r f (x) л. f" (X) . lim^^ = lim^^- = A. x^a g(x) x^a g"(x)
Замечание 1. Приведенная теорема остается верной и в случае стремления аргумента к бесконечному пределу, т.е. к ад , +ад или -ад . Теорема 2. Пусть
1) функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в некоторой проко-
о
лотой окрестности U(а) точки а;
2) lim f (x) = ад и lim g (x) = ад;
л—>а х—>а
о
3) g'(x) ф 0 \/xeU(а);
4) Существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных, т.е.
г f" (x) , lim^^ = A.
x^a g"(x)
Тогда существует и предел отношения самих функций, причем
f(x) f (x) lim^^ = lim^^ = A.
x^a g(x) x^a g"(x)
Замечание 2. Как и в случае первой теоремы, данная теорема остается верной и в случае стремления аргумента к бесконечному пределу, т.е. к ад , +ад или -ад .
Замечание 3. В некоторых случаях может понадобиться применить правило Бер-нулли-Лопиталя повторно, если производные f' (x) и g" (x) исходных функций f (x) и g (x) сами являются бесконечно малыми или бесконечно большими функциями и для них выполнены условия одной из теорем 1 - 2, т.е.
r f (x) r f" (x) r f" (x) , lim^^ = lim^^- = lim7 v 7 = A. x^a g(x) x^a g"(x) x^a g"(x)
Замечание 4. Приведенные теоремы носят лишь достаточный характер, поэтому если не существует предел отношения производных, то это не означает, что не существует предел отношения самих функций.
В случае раскрытия неопределенностей вида [ад0], [1ад] и [00] , кроме теорем 1 - 2, часто используются следующие две теоремы.
Теорема 3. Если функция y = f (x) имеет в точке a конечный предел b и не
о
принимает значения b в некоторой проколотой окрестности U(а) этой точки, а функция g(y) имеет в точке b конечный предел c, то сложная функция g(f (x)) имеет предел в точке a и он равен c .
Теорема 4. Если функция y = f (x) непрерывна в точке a, а функция g (y) непрерывна в соответствующей точке b = f (a), то сложная функция g(f (x)) непрерывна в точке a.
Следствие 1. Для непрерывных функций операция предельного перехода перестановочна с операциями по вычислению значения функции в соответствующей точке, т.е.
lim g (f (x) ) = g (lim f (x)). (1)
x—a \ x—^a J
Замечание 5. Соотношение (1) можно рассматривать как частный случай теоремы 3 о пределе сложной функции, когда внешняя функция g(y) является непрерывной. В этом случае часто говорят, что знаки предела и непрерывной функции можно переставлять местами.
Теорема 5. Если f (x) - бесконечно большая при х — а функция, то 1/f (x) -бесконечно малая при x — а функция. Если а(x) - бесконечно малая при х — а функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки а, то 1/ а( x) -
бесконечно большая при х — а.
Как следует из теорем 1 - 2, правило Бернулли-Лопиталя непосредственно применимо лишь для вычисления пределов, содержащих неопределенность вида [0/ 0] и [да / да] . Рассмотрим теперь различные примеры, иллюстрирующие приведение пределов, содержащих неопределенности вида [0 -да], [ да-да], [ да0], [1да ] и [00], к пределам содержащим неопределенность вида [0/0] и [да / да], что позволяет использовать для их вычисления правило Бернулли-Лопиталя.
Рассмотрим предел lim f (x) g (x) и пусть lim f (x) = 0, а lim g (x) = да, т.е. мы
x—a x—a x—a
имеем дело с неопределенностью вида [0 - да]. В соответствии с теоремой 5 функция 1/f (x) будет при х — а бесконечно большой (если f (x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки a), а 1/ g (x) - бесконечно малой. Для применения правила Бернулли-Лопиталя перепишем данный предел в следующем виде:
lim f (x) g (x) = lim
g(x) f (x)
да
да
или lim f (x) g (x) = lim
f (x) g(x)
0 0
Таким образом, неопределенность вида [0 -да] может быть приведена как к неопределенности вида [0 / 0] так и к неопределенности [да / да]. Оба способа представления исходного предела в общем случае равноценны и выбор между ними зависит от удобства последующих вычислений.
Пример 1. Вычислить lim ln(x)ln(1 - x).
x—1-0
В данном примере имеем неопределенность вида [0 - да]. Представим данный предел в виде пределов имеющих неопределенность вида [0/0] и [да / да ] соответственно и воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя, поскольку все условия теорем 1 и 2 выполнены:
-1/
lim ln(x) ln(1 - x) = lim ^ x)
x—1-0 x—1-0 1/
/ln( x)
да
да
= lim (ln(1 -x)) = lim-
x—1-0 / x—1-0 ■
Щ x))
7(1 - x) =
I/
x ln2( x)
x ln (x) = lim -—^
x—1-° (1 - x )
1- lim^nM
x—1-0 (1 - x )
lim
x—1-0
(ln2( x))' (1 - x )'
lim
2ln(x)
x—1-0 —x
lim ln(x)ln(1 - x) = lim —
x—1-0 x—1-0 1
ln(x)
ln(1 - x)
= lim
x^1-0
(ln( x))"
ln(1 - x)
- = lim 1
" x—1-0 1/
(1 - x )ln2(1 - x)
= lim (1 -x)ln2(1 -x) = lim (1 -x)ln2(1 -x) = [0• ад] = lim
x—1-0 L J x—1-0 1/
/(1 - x)
x—1-0
x
ад ад
- I
(ln2(1 - x))" 2ln(1 - x)(^ r n
= lim^—---J- = lim-. , (1 x) = 2 lim (1 -x)ln(1 -x) = [0-ад] =
x—1-0
x—1-0
( У(1 - x))
x—1-0
-1
(1 - x)2
= 2 lim (ln(1 - x)) = 2 lim ¿(1 - x) =-2lim(1 - x) = 0.
x—>1—0 / \" x—1-0 1/ x—1-0
/0 - x)) /(1 - x)2
Несмотря на равноправные преобразования, вариант с неопределенностью типа [ад / ад ] оказался более простым в вычислительном плане. Более того, в случае приведения исходного предела к пределу с неопределенностью [0/0], после первого применения правила Бернулли-Лопиталя мы снова получаем неопределенность вида [0 - ад] , которую все равно пришлось преобразовывать к неопределенности вида [ад / ад]. Фактически в данном случае из двух вариантов рабочим является только один.
Пример 2. Вычислить lim x ln( x).
x—0
Как и в предыдущем примере, здесь мы имеем неопределенность вида [0 - ад]. Представим данный предел в виде пределов имеющих неопределенность вида [ад / ад ] и [0 / 0] соответственно:
" _
0
lim x ln( x) = limln( x)
x—0 x—0 1/
ад ад
lim x ln( x) = lim
x—0 x—0 1
x
ln(x)
Поскольку, как и в предыдущем примере, все условия теорем 1 и 2 выполнены, воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя для вычисления данных пределов:
1/
lim x ln( x) = limln(x)
x—0 x—0 1/
ад ад
lim(ln( x)) = lim^x = lim(-x) = 0,
x—0 '
lim x ln( x) = lim
x—0 x—0 1
x
ln( x)
0' 0
= lim
x—0
(X)"
(x)"_
>ln( x))
x—0 —1/ x—0
/ x2
= lim
x—0 -1/
x ln2( x)
lim(-jfln2(jf)) = [0 • ool =....
L J
Несмотря на равноценность в общем случае обоих способов представления исходного предела мы видим, что «сработал» только один способ. Второй вариант, даже
если не учитывать более сложную производную, вообще не позволил вычислить предел, поскольку в итоге мы лишь получили усложненный предел, с таким же типом неопределенности [0 -да] что и исходный предел.
Замечание 6. В дальнейшем, при рассмотрении примеров, мы не будем упоминать, что условия теоремы 1 или теоремы 2 выполнены.
(1 ^^ Пример 3. Вычислить lim — - ln(x)
х-да^ x
В данном примере имеем неопределенность вида [0 - да]. Однако, в отличие от предыдущих двух примеров, особо размышлять к какому типу неопределенности [0/ 0] или [да / да ] преобразовывать исходный предел здесь не приходится:
1
lim
х^да
1 • ln(х) | = [0 да1 = lim^
V х J х^да х
да да
lim
х^да
(ln( х))
lim
х
lim1 = 0.
х^да х
x' 1
В данном примере вычисление производных в случае приведения к неопределенности вида [да / да ] гораздо проще, нежели использование неопределенности [0/0].
f 2 ^
Пример 4. Вычислить lim xln — arctg(x) .
^ ж j
В рассматриваемом примере, в отличие от предыдущих примеров, исходную неопределенность вида [0 - да] удобнее преобразовывать к неопределенности вида [0/0]:
lim х ln
х^+да
-arctg(х) |= lim
V 71 J х^+да
ln (( 27) arctg( х))
= lim
х^+да
(ln ( 27) + In ( arctg( х)))
(Й =
lim
х^+да
((1 + х2) arctg( х))
lim х2
х^+да(1 + х2) arctg( х)
- lim 7--
+ X2) arctg( х)
2 7
Рассмотрим теперь предел lim ( f (x) - g (x) ) и пусть lim f (x) = да и
x—a x—a
limg(x) = да, т.е. мы имеем дело с неопределенностью вида [да - да]. Поскольку, со-
x—a
гласно теореме 5, функции 1/ f (x) и 1/g(x) будут бесконечно малыми при х — а, то, в общем случае, исходную неопределенность можно свести к неопределенности [0 / 0] следующим преобразованием:
/ ^ 1/ - 1/ 11
lim (f(х) - g(х) ) = lim
f (х) /g (х)
=lim
g(х) / f (х) _
^f (х))(Yg (х)
Однако, как показывает следующий пример, того же результата достаточно часто удается достичь гораздо проще, не прибегая к указанным выше преобразованиям.
/
Пример 5. Вычислить lim
х^0
1
1
V
ln(1 + х) х
2
Данный предел имеет неопределенность вида [ад - ад]. Приведем дроби под знаком предела к общему знаменателю:
lim
x—0
1
ln(1 + x) 1 -1
1
x
lim
x—0
x - ln(1 + x) x ln(1 + x)
\ " 0" т.к.
) _ 0 _ ln(1 + x) ~ x л-—>0
lim
Л'—»0
(x - ln(1 + x))'
(x2)"
: lim-
x—0
1 + x
2 x
x1
: lim- = —
x—о 2x(1 + x) 2
В данном случае приведение дробей к общему знаменателю обеспечило нам требуемую неопределенность вида [0/0]. Обратим внимание, что прежде чем применить правило Бернулли-Лопиталя, для упрощения вычисления производной, мы воспользовались заменой на эквивалентные бесконечно малые функции [1,3-5,7].
f 1 ^
Пример 6. Вычислить lim ctg(x)--.
x—0 ^ x )
Как и в предыдущем примере, данный предел имеет неопределенность вида [ ад-ад]. Приведем дроби под знаком предела к общему знаменателю:
lim
x—0
ctg(x) -
1
x
: lim
x—0
cos( x) sin( x)
1
x
lim
x—0
x cos( x) - sin( x) x sin( x)
" 0" т.к.
_ 0 _ x sin(x) ~ x2 л-—>0
(x cos( x) - sin( x)) cos( x) - x sin( x) - cos( x) sin( x) -: lim--— = lim-—-—-— = lim—— = 0.
x—0
( x2)"
x—0
2 x
x—0
Способ вычисления данного предела в точности совпал с решением из примера 5.
Остановимся теперь на неопределенностях вида [ ад0], [1ад ] и [00], которые могут быть сведены к уже рассмотренной нами неопределенности вида [0 - ад]. Для этого выражения полезно предварительно прологарифмировать и воспользоваться тождеством а = eta(a) . Рассмотрим эту процедуру подробнее. Пусть есть предел limf(x)g(x) имеющий одну из трех указанных неопределенностей, т.е. либо
x—a
lim f (x) = 1 и lim g(x) = ад , либо limg(x) = 0 , а lim f (x) = 0 или lim f (x) = ад .
x—a x—a x—a x—a x—a
Прологарифмируем выражение f (x)g (x) и рассмотрим предел от полученного выражения: limg(x)ln(f (x)) = [0-ад] . Если данный предел существует (конечный или
бесконечный), то поскольку функция логарифма и экспоненты непрерывны на все области определения, то, согласно следствию 1, получим:
lim f (x)g (x) = lim e
x—a x—a
Пример 7. Вычислить lim (sin(x))
g ( x )ln( f( x)) _ J—ag ( x )ln( f( x ))
= e
cos( x)
ж
x—— 2
Данный предел имеет неопределенность вида [1ад]. Предварительно прологарифмируем данное выражение и вычислим предел от полученного выражения:
52 Modern European Researches No 3 (Т.1) / 2021 limln (sin(х))х> = lim—1—ln (sin(х)) = [да • 0] = lim ln (Sin(х))
х^— 2
х^7 cos( х)
х^7 cos( х)
cos( х).
lim
х 2
0.
(ln ( sin( x))) = __/sin(x)
(COS( x))' x—>f - sin(x) Тогда исходный предел будет равен:
lim ( sin( x) )^Cos( x) = e° = 1.
7
х^— 2
Пример 8. Вычислить lim
х^+0
sin( х)
1/
' 1—cos( х)
Л Х У
Как и в предыдущем примере, данный предел имеет неопределенность вида [1е0 ] . Вычислим предел от предварительно прологарифмированного выражения:
1п (х)/
lim ln
х^+0
sin(х) У1-cos( х) 1
= lim-
1 — cos( х)
х
ln
J
sin( х)
х
х
= [0 •да] = lim *
х^+0 1 - cos(х)
cos( х)
1
(ln(sin(х))- ln(х)) _ /sin(х) 7х _ Цт х cos(х) - sin(х)
lim
х^+0
т.к.
xsin2(x) ~ X
(1 - cos(х))' х"+0 sin(х) х"+0 х sin (х)
(х cos^) - sin(x)) cos(х) - х sin(х) - cos(х) _
й =im "
= lim
Л'—>+0
х ^+0
3х2
- х sin( х) ^ lim-г^
х^+0 3х
т.к.
xsin(x) ~
лг->0
х
lim
з.г
1 3'
Следовательно, исходный предел будет равен:
lim
x—+0
sin( х)
V
'1-cos( х)
Г X
' ln(х)
V x J
Пример 9. Вычислить lim (arcctg(x)
x—+да
Данный предел неопределенность вида [00]. Как и в случае примеров 7 и 8, предварительно прологарифмируем данное выражение и вычислим предел от полученного выражения:
lim ln (arcctg(х))^n(х) = lim —1—ln (arcctg^)) = [0 • да] = lim
х^+да v ' х^+да ln( х) х^+да
= lim (In(arcctg(х))) = lim ~У(1 + х2)arcctg(х) = - lim
ln ( arcctg( х)) ln( х)
да да
х
х^+да
(ln( х))
х^+да
х^+да
(1 + х )arcctg(х)
lim
х^+да
' x л
у 1 + X2 j _
arcctg( x)
1 - x2
= - lim
x—+<»
' X л
у 1 + x 2 j =-lim
( arcctg( x))
(1 + x2) r 1-x2
—— = lim--
-W 1 + x
1+x2
да да
= lim
x —+да
tXl = lim _2i = _-. '(l + х2)' 2х
Вместо третьего применения правила Бернулли-Лопиталя можно было воспользоваться правилом вычисления предела отношения двух многочленов на бесконечности [3-5,7]. Исходный предел будет равен:
lim (arcctg( х))х) = e _1.
х^+да
Пример 10. Вычислить lim (Эх2 + 3х)-х.
х^+да' '
Данный предел неопределенность вида [ да0]. Как и в предыдущих примерах, предварительно прологарифмируем данное выражение и вычислим предел от полученного выражения:
/ . \У l / . ч г п ln (Эх2 + 3х) limln (Эх2 + 3х Vх = lim-ln (Эх2 + 3х ) = Г0-да1= lim —^-
х^+да ^ ' х^+да v ^ ' х^+да v
да да
= lim
x^+да
(ln (
3x + 3-
)) 6x + 3xln3 3 (' /3x . л „ -У- = lim---= lim —\-¿-W- = ln3.
3x (ln3+6x3x)
x
x^+да 3 x + 3x
x^+да ^x M +
(1+3x23x)
При вычислении последнего предела мы воспользовались теоремой о сравнении роста на бесконечности показательной степенной и логарифмической функций [6]. Так же можно было еще раз воспользоваться правилом Бернулли-Лопиталя. Таким образом, исходный предел будет равен:
lim (3x2 + 3x )1x = eln3 = 3.
Заключение
Работа посвящена использованию метода Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида [0-да], [да-да], [1да], [да0], [00], которые не были рассмотрены в предыдущей работе [2]. Данный метод является одним из наиболее популярных методов раскрытия различных типов неопределенностей при вычислении пределов, как в России, так и за рубежом. В работе рассмотрены способы сведения указанных типов неопределенностей к неопределенностям вида [0/0] и [да / да ], к которым непосредственно может быть применен рассматриваемый метод. Приведены примеры, иллюстрирующие использование данного метода для каждого из указанных типов неопределенностей. Там, где это было необходимо с целью упрощения вычислений, метод Бернулли-Лопиталя комбинировался с методом на основе аппарата эквивалентных бесконечно малых функций.
В заключении еще раз отметим, несмотря на большую популярность и возможность использования для достаточно широкого класса задач по вычислению пределов, рассматриваемый метод Бернулли-Лопиталя не является универсальным. Есть масса
примеров, когда указанный метод не позволяет вычислить тот или иной предел или же его применение требует очень больших вычислительных затрат по сравнению с другими методами вычисления пределов. В итоге, зачастую, наилучшие результаты дает комбинация различных методов и поэтому при изучении пределов студентов необходимо обучать разнообразным методам их вычисления, не концентрируя все внимание на каком-либо одном из них.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Велищанский М. А., Кавинов А. В. Вычисление пределов с использованием аппарата бесконечно малых функций // Modern European Researches. - Salzburg, 2020. - Т. 1. № 2. - P. 56-66. - URL: https://www.eli-brary.ru/item.asp?id=43596993
2. Велищанский М. А., Кавинов А. В. Вычисление пределов с использованием правила Бернулли-Лопиталя // Modern European Researches. - Salzburg, 2021. - Т. 1. № 2. - P. 66-75. https://www.eli-brary.ru/item.asp?id=46114862
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 416 с.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982. - 616 с.
5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 1. - М.: Высшая школа, 1988. - 718 с.
6. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 408 с.
7. Морозова В.Д. Введение в анализ. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 408 с.
Mikhail A. Velishchanskiy,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia velmiha@yandex. ru Alexey V. Kavinov,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia alekseyvladimirovich1@yandex. ru
Using the Bernoulli-L'Hopital rule to disclose various types of uncertainty
Abstract. Students of technical universities face the task of calculating the limit, whether it is an independent task or part of solving a more complex problem, during at least the first two courses. Therefore, teaching the technique of calculating the limits is an urgent task in the preparation of students of technical specialties. The paper is devoted to the use of the Bernoulli-L'Hopital rule for calculating the limits with uncertainties of the form [0 , [ro — ro], [m°| , [1°°], [00]. Brief theoretical information and examples illustrating the application of this rule for the disclosure of these types of uncertainties are provided. Key words: limits, Bernoulli-L'Hopital rule, type of uncertainty.
ПРИМЕНЕНИЕ SKYPE И ОНЛАЙН-ДОСКИ IDROO ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ДИСТАНЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
Аннотация
Актуальность исследуемой проблемы обусловлена выбором методов обучения и технических средств, направленных на достижение цели обучения, при проведении дистанционных занятий. Актуальность исследуемой проблемы также тесно связана с формированием и развитием математической культуры студентов технических специальностей. Содержание статьи представляет интерес для преподавателей, студентов технических и педагогических специальностей.
Ключевые слова
дистанционное обучение, онлайн-доска
