Использование ПЛИС в системах автоматизированного распределения частот Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.378

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛИС В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ

© 2011 П. И. Грушин1, В. И. Логинов2, Н. П. Ямпурин1

Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. Р. Е. Алексеева 2 Волжская государственная академии водного транспорта

Приводятся алгоритмы расчёта комбинационных составляющих при нелинейном преобразовании частоты на основе рядов Фарея. Рассмотрены подходы, не использующие синтез всего ряда Фарея, позволяющие решать задачи «пораженности» комбинационными частотами преобразователей частоты только на основе синтеза ближайших компонент к рабочим частотам исследуемых систем нелинейного преобразования частот. Предложены методы нахождения параметров комбинационных помех, прямые которых проходят через «поражённые» точки. Доказано, что область номограммы, свободная от комбинационных помех, является четырёхугольником.

Преобразование частоты, комбинационные составляющие, цепные дроби, ряд Фарея.

Одной из важных задач при проектировании и анализе поведения систем нелинейного преобразования частот является уменьшение влияния комбинационных гармоник на полезный сигнал.

Для решения подобных задач широко используются графические [1-3], аналитические [4, 5] и алгоритмические методы [1, 6, 7]. Одним и из эффективных методов расчёта комбинационных составляющих при нелинейном преобразовании частоты являются методы на основе рядов Фарея [6, 7].

Предлагаются эффективные методы и алгоритмы решения задач анализа ближайших комбинационных частот. Основу предполагаемых методов составляет отыскание заданного соотношения смешиваемых частот преобразователя в базисе дробей Фарея с помощью аппарата цепных дробей и процедуры, в основе которой лежит базовая теорема Фарея-Коши, связывающая соседние дроби в ряде Фарея.

Цель работы - разработать эффективные методы анализа комбинационных составляющих и получить для них уравнения прямых, проходящих через найденные «поражённые» точки.

Рассмотрим задачу отыскания ближайшей дроби Фарея R/Q к заданному соотношению смешиваемых частот q=f1/f2 $1^), минуя операцию синтеза всей последовательности Фарея [8].

Использование цепных дробей

Согласно теореме Дирихле теории диофантовых приближений [9] для заданного q всегда существует такая дробь R/Q, что разность между ними может удовлетворять любой наперед заданной точности. Последовательность дробей Фарея Ф является последовательностью всех несократимых рациональных дробей, у которых знаменатель О<к, где k - порядок ряда Фарея, поэтому для отыскания приближения заданного соотношения q дробью Фарея можно использовать аппарат цепных дробей [10].

Представим заданное соотношение смешиваемых частот q €0, 1 конечной цепной дробью

Ч = [Ьо'’Ь1,Ь2’...,ЬП]. (1)

Цепные дроби обладают тремя замечательными свойствами:

1. Любая подходящая дробь Ц/Оу цепной дроби (1) является несократимой дробью 0€1,п).

2. Знаменатель подходящей дроби, согласно [10], растет как показательная функция от индексаj подходящей дроби

у-!

= 2 2 . (2)

3. Рекуррентность в определении подходящих дробей:

^ = Ьу^'-1 + ^-2;

& = ЬУ^-1 + ^-2, (3)

где

у > 1Л_, = 1,Q_1 = 0; ^ = Ь0,20 = 1.

Из свойства 1 можно сделать вывод, что любая подходящая дробь R/Qj цепной дроби (1), являющейся приближением действительного числа q є0,1, принадлежит последовательности Фарея. Таким образом, задача отыскания приближения в базисе дробей Фа-рея состоит в разложении q в цепную дробь (1) [8, 10] с одновременным вычислением подходящих дробей R/Qj согласно (3). Разложение числа q заканчивается, когда не будет выполняться условие

<2у ^ к. (4)

При этом подходящая дробь R/2j и есть найденная ближайшая дробь Фарея R/2i, ІЄ1М [8] к ц.

На рис. 1 приведена структурная схема алгоритма приближения ц дробью Фарея. Максимальное количество итераций алго-

ритма на рис. 1 можно определить из (2) с учетом (4) по формуле

N = 2log2k +1.

(5)

Алгоритм цепных дробей для нахождения двойного Диофантова приближения в классе дробей Фарея

Для каждой дроби на (п - 1)-м уровне в дереве Фарея можно непосредственно вычислить две соседние дроби, или, иными словами, «прямых потомков» на п-м уровне. Непосредственного (прямого) предшественника любой дроби (предыдущего уровня) можно найти, вычитая единицу из последнего члена ее разложения в непрерывную дробь. Другой (отдаленный) предшественник данной рациональной дроби может быть найден простым выбрасыванием последнего члена [10].

Согласно [8]

Рп ' Оп-1 - Рп-1 • Оп = (-1)П 1. (6)

Рис. 1. Алгоритм приближения действительного числа дробью Фарея

Если количество членов в последовательности [Ь1,Ь2,...,Ьп-1,Ьп] для прямого

предшественника нечетно, то потомок расположится между отдалённым и прямым предшественником, а если четно - между прямым и отдалённым предшественником.

У любой дроби из ряда Фарея всегда есть два потомка. Назовем потомок, образованный прибавлением единицы к короткой записи исходной дроби, коротким потомком, а потомок, образованный прибавлением единицы к длинной записи исходной дроби, длинным потомком, и обозначим их соответственно как Р

-О- = [ь1,ь2,...,ьп-1,ьп +1];

^ s

р

2і

= [Ь1,Ь2,...,Ьп_1,Ьп _ 1,2].

р

+ Рл,

2S 2ёпо + 2ь

р

2 ■ Р;

р

21 22 епо 2 іда

(8)

дроби необходимо находить значение длинного или короткого потомка. Рассмотрим случаи, когда знаменатель полученного потомка больше порядка ряда Фарея и когда он меньше или равен порядку ряда. В обоих случаях потомок будет являться медиантой исходной дроби и дроби, являющейся отдаленным предшественником исходной. В первом случае (Огют > £) искомая дробь однозначно равна

р

Рл _ Р.,

2 2 їід 2 еп

(9)

(7)

Для обоих потомков справедливо, что один из них всегда больше, а другой всегда меньше исходной дроби. Количество членов в одном потомке всегда четно, а в другом всегда нечетно. Согласно (6) потомок с четным числом членов всегда больше своего прямого предшественника и наоборот для нечетного числа членов.

Согласно алгоритму, в зависимости от направления поиска - в сторону увеличения дробей ряда или в сторону их уменьшения и чётного или нечётного количества членов последовательности [Ь1, Ь2,...,Ьп-1, Ьп ] для исходной дроби - мы должны находить либо короткий потомок, либо длинный.

Потомки равны :

Согласно (8) для отыскания любого из потомков исходной дроби необходимо лишь знать её последнюю промежуточную дробь. Для этого достаточно использовать алгоритм приближения действительного числа дробью Фарея, приведенный на рис. 1.

В зависимости от направления поиска и чётности числа элементов в записи исходной

Во втором случае (2пют <= к) искомая дробь однозначно выражается формулой

Р = П ■ Рисх + Рпот 2 П ■ 2исх + 2пот ’ к _ 2

где П = еШ( 2 пд ). (10)

епо

Алгоритм поиска следующей дроби Фарея приводится на рис. 2.

Определение комбинационных помех, проходящих через «пораженные» точки

Нормированные уравнения прямых комбинационных частот имеют вид

Что = аЧ + с- (11)

где Ч = /1 //, - соотношение смешиваемых частот на входе преобразователя частоты; /у - меньшая из входных частот; /2 - большая из входных частот; а и с - целые числа.

При анализе на пораженность комбинационными частотами рассматриваются только такие частоты, коэффициенты которых удовлетворяют следующему ограничению:

| а | + | с | < р (12)

согласно [1] либо условию

| а | < р , | с | < р (13)

согласно [4].

Абсциссы пересечения комбинационных с прямыми основного преобразования в интервале 0 < Ч < 1 представляют собой последовательность рациональных дробей вида

В общем случае структура номограммы некоторое число k, и такая последователь- в окрестности I -ой "пораженной" точки (рис. ность является последовательностью Фарея 3) представляет собой узел пересечения ком-

R / О со знаменателем, не превышающим нек нос [8].

бинационных частот, крайними из которых На рис. 3 изображена номограмма в ок- будут комбинационные частоты с индексом рестности /-ой "пораженной" точки. у = 1, имеющие наименьший порядок.

Рис. 2. Алгоритм поиска следующей дроби Фарея

ч,=Ш< 9

Рис. 3. Номограмма комбинационных частот в окрестности «поражённой» тючки

В случае ограничения (12) максимальное число прямых комбинационных частот

J max , проходящих через l -ую "пораженную" точку номограммы при суммировании частот, равно

І = ent

J max

P

■ (14)

RI + 2і

а при вычитании разбивается на два случая: для комбинационных частот с положительной производной

Р + 2

j = ent

J max

(15)

. Ri + Qi

и комбинационных частот с отрицательной

производной

J

ent

P-2

(16)

RI +

В случае ограничения (13) для суммирования частот при положительных производных комбинационных частот

Jr.

ent

Jm

ent

при отрицательных производных

P + 1

(17)

(18)

Для вычитания частот при положительных производных

P + 1

J = ent

J max

при отрицате оизводных

J = ent

J max

(19)

(2О)

Для суммирования частот имеем следующие выражения для определения коэффициентов комбинационной частоты (11) с положительной производной по ч :

+ 1; С1,у =- jRI + 1, (21а) с отрицательной производной

= - + 1; С1,у = jRI + 1 (21б)

Для вычитания частот с положительной производной

а/,у = - 1; С/,у = - JRi + 1, (22а)

с отрицательной производной

°г,у = - - 1; Сг,у = JRi + 1 (22б)

Подставив в (11) выражения из (21), (22), получим общее уравнение для определения комбинационных частот, проходящих через / -ую "пораженную" точку:

Ри = + су (23)

Г еометрия областей номограммы, свободных от помех

Особый интерес составляет вопрос о форме области, ограниченной ближайшими комбинационными частотами, проходящими через соседние "пораженные" точки с номерами / и / + 1 . Исходя из выводов предыдущего пункта и рис. 3, можно сделать предположение, что область, ограниченная комбинационными частотами р/,1 и р/+11 , образует четырехугольник ABCD (рис. 4).

Докажем это предположение путем следующих рассуждений: четырехугольник ABCD не пересекают комбинационные

частоты р/ -1,1 и р/+21, проходящие через

соседние "пораженные" точки __ 1 и +2 . Следовательно, для абсцисс точек пересечения комбинационных прямых р/,1 и р/+11

с прямыми Р/-1,1 и Р/ + 2,1 должны выполняться следующие соотношения:

В < В < В ;

,, (24)

D < D < D , v '

при условии, что

Ч/-1 < Ч/ < Ч/+1 < Ч/+2. (25)

Так как последовательность "пораженных" точек, заданных неравенством (25), можно заменить последовательностью дробей Фа-рея, то неравенство (25) перепишется следующим образом:

З2

R

_1

<

Я R

<

і+1

2-1 2г 2

<

R

і+2

і+1

2

(26)

В = D

& + R

і+2

(29)

і+2

Рис. 4. Номограмма комбинационных частот

Рассмотрим значения абсцисс точек пересечения В и О комбинационных прямых р/,1 и рі+1,1 . Приравняв уравнения

комбинационных прямых (21), (22), (23), после преобразований получим

Я + Я,

(27)

В = О

і+1

+1

То есть абсцисса пересечения двух комбинационных прямых, проходящих через соседние "пораженные" точки, является медиантой дробей Фарея Ri/ и

Ri+11+1 . Следовательно, исходя из основного свойства медиант дробей Фарея [8], будет выполняться следующее неравенство:

Я,

<

Я + R

і+1

<

R

і+1

(28)

+1 +1

Теперь рассмотрим значения абсцисс

точек пересечения В и D , В и D соответственно комбинационных прямых р/ -11

и Р/+1,1 , Р/д и р/+21 . Приравняв уравнения комбинационных прямых (21), (22), (23), после преобразования получим

В' = п = ^-1 + А+1 ■

2,-1 + 2

і+1

+2

Подставив значения абсцисс точек пересечения комбинированных прямых из (27), (29) в неравенство (24), получим вместо двух неравенств (24) одно:

Ri-1 + Ri +1 < ^+1 + Ri < Ri + ^+2 (30)

О/-1 + 2+1 2+1 + О О + 2+2'1 )

Таким образом, доказательством того, что область, ограниченная комбинационными частотами, проходящими через соседние "пораженные" точки, суть четырехугольник, есть доказательство выполнения неравенства (30), если выполняются

(25), (26).

Для этого рассмотрим попарно соседние дроби Фарея: Ri_х/, Rl|Ql и

R,IQ,, R,+1/1 в одном случае и пары

к,12,, X,+,/ 2,+1 и ц +,/ 2,+,, 2/2,

і+2

другом случае. Согласно основному свойству дробей Фарея (6) для рассматриваемых пар в

первом солучае имеем

1

(31)

(32)

ОА1 +1

О-А - а,-О = 1,

во втором случае имеем

+А,+2 - +°/+2 = 1 ;

О А+1 - АО,= 1.

Разрешив системы уравнений (31), (32) относительно центральных дробей рассматриваемых пар, получим

+1 + -1 .

+1 + -1

+7 _ +2

2+, 2, + 2+2 (33)

Подставив (33) в неравенство (28), получим неравенство

Я_1 + ^+1 < Rl+l + Я < Я + Я

+2

О,-, + О,+1 О/+1 + О., О, + О,+2 (34)

Неравенство (34) всегда выполняется вследствие основного свойства медиант соседних дробей Фарея. Таким образом, утверждение, что область, ограниченная комбина-

в

ционными частотами, проходящими через соседние "пораженные" точки, является четырехугольником, доказана.

Реализация на ПЛИС

Одним из преимуществ программируемых логических интегральных микросхем (ПЛИС) над микропроцессорами является возможность распараллеливания выполняемых операций. При реализации алгоритма на ПЛИС уменьшается вычислительная сложность за счет того, что выполнение любой основной операции (сложение, умножение, присваивание) занимает один такт в отличие от реализации алгоритмов на микропроцессорах или микроконтроллерах. Ограничением является только частота тактирования ПЛИС (250.. ,500МГц). Алгоритм на основе только цепных дробей имеет максимальное количество тактов (5) .

Для целого числа, меньшего 232=4 294 967 296, количество тактов не будет превышать 65. Максимальное время выполнения алгоритма будет постоянно и для частоты 250МГ ц не превысит 260 нс, для частоты 500МГц не превысит 130 нс.

В качестве ПЛИС была выбрана Altera Cyclone II со встроенным сигнальным процессором Nios II. ПЛИС является ядром лабораторного стенда DE2-70 Terasik, обладающего большими функциональными возможностями и архитектурой для построения и отладки законченных цифровых устройств. Встроенный процессор синхронизирован со всеми компонентами ПЛИС и обеспечивает однотактное выполнение основных операций над числами.

Выводы

В статье предложены и реализованы методики поиска двойного диафантового приближения комбинационных составляющих в ряде Фарея произвольного порядка, приведены формулы для нахождения уравнений прямых комбинационных помех, проходящих через «поражённые» точки, и доказано, что область номограммы, свободная от комбинационных помех, является четырёхугольником. Произведена оценка использо-

вания ПЛИС для алгоритма нахождения двойного диофантового приближения на основе только цепных дробей.

Библиографический список

1. Манассевич, В. Синтезаторы частоты (теория и проектирование): пер. с англ. [Текст] / В. Манассевич / Под ред. А. С. Галина. - М.: Связь, 1979. - 384 с.

2. Лобенстейн. Номограмма для расчёта значений комбинационных частот [Текст] / Лобенстейн // Электроника: 1973. - Т. 46. -№16.

3. Gandhi D, Lyons C. Mixer Spur Analysis with Concurrently Swept LO, RF and IF: Tools and Techniques Vol. 46, No. 5, May 2003, 212 p.

4. Шарапов, Ю. И. Преобразование сигнала без комбинационных частот [Текст] / Ю. И. Шарапов, Г. М. Крылов, Ю. П. Пантелеев. - М.: ИПРЖР, 2001. - 288 с.

5. Шарапов, Ю. И. Преобразование сигнала без комбинационных частот в специальных приемниках [Текст] / Ю. П. Шарапов. - М.: Издательство «САЙНС-ПРЕСС», 2009.256 с.

6. Логинов, В. И. Номограмма комбинационных частот - алгоритмический подход [Текст] / В. И. Логинов, С. А. Маркова // Радиотехника. - 1989.- № 1.- С. 44-46.

7. Логинов, В. И. Программа расчёта

номограммы комбинационных частот // WWW.VGAVT-NN.RU: сервер волжской

государственной академии водного транспорта, 2009. RL: http://www.vgavt-nnov.ru: 100/informatika/ downloads.php?cat_id= 1 &dow nload_id=10 (дата обращения: 25.12.2009).

8. Бухштаб, А. А. Теория чисел [Текст] / А. А. Бухштаб. - М.: Учпедгиз, 1960.-375 с.

9. Шмидт, В. Диофантовы приближения [Текст] / В. Шмидт. - М.: Мир, 1983.232с.

10. Хинчин, А. Я. Цепные дроби [Текст] / А. Я. Хинчин. - М.: Наука, 1978. -112с.

11. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные ряды. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск [Текст] / М. Шредер. - НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 2001.528 с.

FPGA USING IN SYSTEMS OF AUTOMATED FREQUENCY DISTRIBUTION

© 2011 P. I. Grushin1, V. I. Loginov2, N. P. Yampurin1

1Arzamas polytechnic institute (department) NSTU named after R. Y. Alekseev 2 Volga state academy of water transportation

Algorithms for calculating the combination components in nonlinear frequency conversion based on Farey series. The approaches that do not use the synthesis of the entire series Farey, allowing to solve the problem of "failure" combination frequencies frequency converter only on the basis of the synthesis of the next component of the nonlinear frequenc operating frequencies conversion systems. Methods for finding the parameters of Raman noise, straight pass through the "failure" point are proposed. We prove that the area of the nomogram, free from interference of combination, is a quadrangle.

Frequency conversion, combinational components, infinite fractions, Farey series.

Информация об авторах

Г рушин Павел Игоревич, аспирант Арзамасского политехнического института НГТУ им. Р. Е. Алексеева. E-mail: grushin@tecomgroup.ru. Область научных интересов: преобразователи частоты.

Логинов Вячеслав Иванович, к.т.н., доцент кафедры ИАПП, Волжская государственная академия водного транспорта. E-mail: loginov@aqua.sci-nnov.ru. Область научных интересов: проектирование систем нелинейного преобразования частоты.

Ямпурин Николай Петрович, д.т.н., профессор, зав. кафедрой КиТРЭС Арзамасского политехнического института НГТУ им. Р. Е. Алексеев. E-mail: yampurin@arzamas.nnov.ru. Область научных интересов: синтезаторы частоты радиоэлектронных систем.

Grushin Pavel Igorevich, post-graduate student of Arzamas polytechnic institute NSTU named after R. Y. Alekseev. E-mail: grushin@tecomgroup.ru. Research interests: frequency converters.

Loginov Vyacheslav Ivanovich, Ph. D, docent of Volga state academy of water transportation. E-mail: loginov@aqua.sci-nnov.ru. Research interests: design of nonlinear frequency conversion.

Yampurin Nicolay Petrovich, doctor of technical sciences, professor of Arzamas polytechnic institute (department) NSTU named after R. Y. Alekseev. E-mail: yampurin@arzamas.nnov.ru. Research interests: synthesis frequency electronic systems.