CC BY
8СХЕМОТЕХНИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
УДК 537.311.322
Использование параметрической оптимизации при проектировании библиотечных элементов СБИС и специализированных интерфейсов наноэлектронных устройств
В.Н.Перминов, С.В.Макаров ООО «Юник Ай Сиз» (г. Москва)
С.А.Кокин
НИИ Физических проблем им. Ф.В.Лукина (г. Москва) А.Е.Веселов
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Описан модифицированный алгоритм Левенберга-Марквардта, применяемый для параметрической оптимизации библиотечных элементов СБИС и специализированных интерфейсов наноэлектронных устройств.
По стилю проектирования и исполнения сверхбольшие интегральные схемы (СБИС) делятся на заказные и полузаказные. Полузаказные СБИС классифицируются на следующие: схемы на основе библиотечных элементов и на основе матричных структур. При проектировании СБИС на основе библиотечных элементов используют соответствующие библиотеки предварительно разведенных библиотечных компонентов или специализированные генераторы таких элементов, например модулей памяти, которые формируют трассировку элемента по его функциональному описанию.
Разработка на базе библиотечных элементов подразумевает использование стандартных элементов или генераторов ячеек для реализации примитивов. Традиционно генераторы используются для синтеза ячеек памяти, массивов программируемой логики, сложных устройств распределения и обработки потоков данных, таких как перемножители, мультиплексоры и т.п. Генераторы ячеек полностью параметризированы и могут обеспечить различную разрядность, различную память и другие параметры.
Разработка библиотечных элементов является ключевой проблемой для проектирования заказных цифровых СБИС. Сокращение сроков проектирования библиотеки может быть достигнуто при использовании специализированных САПР. Анализ рынка САПР библиотечных элементов показывает, что эти продукты в основном отсутствуют на рынке. Такие системы, как правило, входят в состав «in house CAD» и не продаются.
При проектировании СБИС используются следующие типы библиотечных элементов: быстродействующие; с повышенной нагрузкой; маломощные; с пониженным напряжением питания; компактные с минимальной площадью; с повышенной помехозащищенностью; повышенной радиационной стойкости.
© В.Н.Перминов, С.В.Макаров, С.А.Кокин, А.Е.Веселов, 2010
При изменении технологического маршрута изготовления СБИС необходимо перепроектировать все библиотеки элементов. Обычно такая коррекция технологического процесса происходит один или два раза в год.
При освоении фабрикой нового технологического маршрута, например при переходе с 130 на 110 или на 90 нм, также возникает потребность в новом комплекте библиотек. Поэтому задача поддержания библиотек цифровых элементов СБИС для фабрики является актуальной.
Обычно процесс проектирования библиотек цифровых элементов СБИС организуется следующим образом. По заданным электрическим схемам каждого библиотечного элемента проводится его параметрическая оптимизация для получения оптимума по ключевому для данного вида библиотеки критерию. Затем формируется топология библиотечного элемента. Завершается процесс проектирования библиотеки характери-зацией всех библиотечных элементов, которая делает возможным использование библиотеки на этапе синтеза электрической схемы СБИС. При необходимости возможен возврат на более ранние стадии проектирования для устранения возможных ошибок.
Особенностью процесса проектирования библиотек цифровых элементов СБИС является большое количество самих библиотечных элементов. Обычно их число доходит до нескольких сотен элементов, что приводит к большому объему вычислений на этапе параметрической оптимизации.
При проектировании современных наноэлектронных схем возникает проблема проектирования специализированных интерфейсов наноэлектронных схем и устройств. Суть ее заключается в том, что при использовании библиотечных элементов, работающих на новых физических принципах, необходимо обеспечить их совместное функционирование со стандартными, как правило, КМОП-схемами.
В настоящее время разработано много алгоритмов многомерной и одномерной оптимизации [1, 2], но стандартом де-факто для большинства spiee-симуляторов и программ моделирования стали такие классические алгоритмы, как методы деления отрезка пополам для одномерного случая и метод Левенберга-Марквардта для многомерной оптимизации [3]. Более крупные компании-разработчики используют свои уникальные алгоритмы, однако общий принцип у всех одинаков.
Алгоритм Левенберга-Марквардта (Levenberg-Marquardt Algorithm, LMA). Алгоритм решает задачу нелинейной минимизации методом наименьших квадратов. Это означает, что функция, которую необходимо минимизировать, выглядит следующим образом:
f(x) -1 К' (42 или F (x) -1 (г (444
где х- (xj ,x2 ,...,xn ) - вектор, а г(х) — (r1 (x), г2 (x),..., rm (x)) - вектор-функция невязки.
Производные данной функции можно представить с помощью матрицы Якоби
drL
dxi
Разложив данную функцию в ряд Тейлора до второго порядка, получим F (x) — F (x0) + VF (x)dx +1 dxV2 F (X )dx.
Решая задачу минимума VF (x) — 0, имеем
t \ °г,
J ,(x)-— 1 <i< m, 1 < j < n.
т
) = ^ г (хЩ (х) = 3 (х)Тт (х),
т
V2 Г (х) =3 (х)Т3 (х) + £т, (х У^ (х).
Отличительная особенность метода наименьших квадратов состоит в следующем. Имея матрицу Якоби 3, легко получить гессиан V2Г(х), если функции т.(х) можно
аппроксимировать линейными приближениями (т.е. V2 г^ (х) малы) или если они малы сами по себе. Тогда гессиан будет равен:
V2 Г (х) = 3 (х/3 (х). (1)
Отметим, что уравнение (1) верно только для малых невязок. Проблемы больших невязок не могут быть решены с помощью квадратичной аппроксимации и, следовательно, производительность алгоритма в этих случаях невелика.
LMA как комбинация простейшего градиентного метода и метода Гаусса-Ньютона. Простейший градиентный метод - это наиболее интуитивно понятный способ нахождения минимума функции. Вычисление параметра на очередном шаге выполняется путем сложения антиградиента функции, умноженного на заданный положительный коэффициент:
хг+1 =хг - Xг VF(х ). (2)
Однако при таком подходе имеют место различные проблемы сходимости. Желательно осуществлять большие шаги по направлению градиента там, где градиент мал, и, наоборот, маленькие шаги, где градиент большой, чтобы не пропустить минимум. Вместе с тем в формуле (2) выполняются прямо противоположные действия. Другая проблема заключается в том, что кривизна поверхности невязки может быть не одинаковой по всем направлениям. Например, если есть длинная и узкая впадина на поверхности невязки, компонент градиента в направлении, указывающем вдоль основания впадины, очень мал, а компонент градиента вдоль стенок, наоборот, велик. Это приводит к движению по направлению к стенкам впадины, тогда как необходимо перемещаться на большие расстояния вдоль основания впадины и на малые - вдоль ее стенок.
Ситуацию можно улучшить, если учитывать информацию о кривизне и градиенте, т.е. вторые производные. Один из способов - использование метода Ньютона для решения уравнения
VF (х)
= 0. Раскладывая градиент Г в ряд Тейлора вокруг текущего
состояния х , получим
VF(х) = VF(х0) + (х - х0)V2F(х0) + члены более высокого порядка (3)
Пренебрегая членами более высокого порядка (считая F квадратичной) и решая задачу минимума, приравняв левую часть уравнения (3) к нулю, получим правило вычисления параметра на очередном шаге по методу Ньютона:
х+1 = х-^Мх.))"^^). (4)
Видно, что простейший градиентный метод и метод Гаусса-Ньютона дополняют друг друга с точки зрения предоставляемых преимуществ. Основываясь на этом наблюдении, Левенберг предложил алгоритм, в котором правило вычисления параметра является комбинацией правил (2) и (4):
= л, — (Н + XI)—1 УЕ(л,), (5)
где Н - матрица Гессе, вычисленная в точке л,. Данное правило используется следующим образом: если на очередной итерации невязка сокращается, то предположение о квадратичности Е(л) работает и уменьшается X (обычно в к раз) для понижения влияния градиентного спуска. Если невязка увеличивается, то необходимо следовать направлению градиента и тогда увеличивается X (во столько же раз).
Недостатком данного алгоритма является то, что если значение X велико, то вычисленная матрица Гессе не используется. Однако можно использовать вторую производную даже в этом случае, масштабируя соответственно каждый компонент градиента согласно кривизне, что должно привести к увеличению шага вдоль направлений, где градиент мал. Таким образом, классическая проблема впадины больше не возникает. Этот ключевой момент был замечен Марквардтом. Он заменил единичную матрицу в формуле (5) на диагональ гессиана, получив таким образом следующее правило:
лт =л, — (Н + Х^[н])-1УЕ(хг). (6)
Поскольку гессиан пропорционален кривизне Е, правило (6) приведет к большим шагам при малой кривизне (для почти плоской поверхности) и к малым шагам при большой кривизне (для крутого наклона).
Необходимо отметить, что LMA является не оптимальным, а лишь эвристическим методом, он очень хорошо работает на практике.
Разработка модификации метода. Процесс моделирования схемы основан на решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в узлах схемы. Поэтому и оптимизация является процессом решения зачастую нелинейных систем. Проблема решения т уравнений с п неизвестными при т>п является предметом теории аппроксимации. Введение совокупности дополнительных ограничений на искомое решение требует совершенно иной техники; в некоторых определенных постановках эта проблема относится к нелинейному программированию, а в общем виде она пока мало разработана. Точно так же случай неизолированных решений является почти полностью открытым.
Недостатком использования алгоритма ЬМЛ при параметрической оптимизации библиотек со множеством параметров является не только необходимость в обращении матрицы на каждом шаге, что может быть затруднительным для моделей с несколькими тысячами параметров. Несмотря на то что нахождение обратной матрицы выполняется с использованием быстрых методов псевдообращения, время одной итерации становится неприемлемым. Для моделей же средних размеров (с несколькими сотнями параметров) LMA работает даже быстрее, чем простейший градиентный метод.
На каждой итерации ЬМЛ существует необходимость вычисления матрицы Якоби. Это ведет к катастрофическому росту числа запусков, приходящихся на итерацию (не меньше 2п раз запусков схемы на расчет и зависит от точности вычисления производ-дЕ
ной функции-).
дл,
Одно из решений этой проблемы - аппроксимация матрицы Якоби. Поскольку метод Ньютона напрямую использует предположение о квадратичности Г (пренебрегая членами более высоких порядков при разложении в ряд Тейлора), нет необходимости точно вычислять гессиан. Главное достоинство такого подхода - быстрая сходимость. Однако скорость сходимости зависит от начального положения, т.е. от линейности функции относительно начального положения.
Процесс является итерационным, а вследствие нелинейности невязки аппроксимация функции может не привести в глобальный минимум. В результате чего нужно оценить степень квадратичности функционала и в дальнейшем использовать для линейных участков.
Для эвристики пересчета матрицы Якоби возьмем отношение полученного и предсказываемого изменения Г, т.е.
Pk
F (xk) - F (xk+p)
m(o) - m (p) '
(7)
где m - модель аппроксимирующей функции в окрестности точки xk.
Формула (7) предполагает, что направление антиградиента функции F соответствует направлению антиградиента m, который чаще всего представляет собой квадратичную функцию, полученную разложением функции F в ряд Тейлора (рисунок):
1 9
mk (p) = F (xk ) + VF (xk )p + ^ pV2 F (Xk ) p.
Управляя соотношением pk, можно
достигнуть необходимой точности при Квадратичная функция F(x) и ее аппротстмация в ряд
„ ~ Тейлора m(x)
пересчете матрицы Якоби.
Вычислительные эксперименты показывают, что при точности порядка 98% (т.е. pk > 0,98) количество запусков по отношению к классическому алгоритму уменьшилось на 30%. В данном примере матрица Якоби оставалась без изменений на протяжении выполнения условия pk > 0,98, при этом использовалось предположение о квадра-тичности функционала и линейности невязки.
При заданных ограничениях для поиска минимума функции невязки приходится решать задачу нелинейного программирования.
Данная модификация метода используется в качестве базовой для нахождения локальных минимумов в системе автоматизированного проектирования интегральных и наноэлектронных схем AVOCAD [4].
Результаты сравнения разработанного алгоритма с известным симулятором HSPICE показали хорошую корреляцию как по точности, так и по времени вычислений.
Литература
1. Ортега Дж., Рейнбодт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. - 558 с.
2. Дэннис Дж., Шнобель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 440 с.
3. HSPICE® User Guide: Simulation and Analysis / A-2008.03
4. www.avocad.com
Статья поступила 10 сентября 2009 г.
Перминов Владимир Николаевич - кандидат технических наук, технический директор ООО «Юник Ай Сиз» (г. Москва). Область научных интересов: исследование в области численных методов решения ультрабольших систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Макаров Сергей Викторович - кандидат технических наук, руководитель сектора разработки ПО для моделирования ИС ООО «Юник Ай Сиз» (г. Москва). Область научных интересов: моделирование и проектирования нано- и микроэлектронных схем.
Кокин Сергей Александрович - кандидат физико-математических наук, руководитель НИИ Физических проблем им. Ф.В. Лукина. Область научных интересов: исследование в области численных методов моделирования наносхем.
Веселов Андрей Евгеньевич - аспирант кафедры проектирования и конструирования интегральных микросхем МИЭТ. Область научных интересов: разработка и исследование методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. E-mail: scarg@mail.ru
Издательско-полиграфический комплекс Московского государственного института электронной техники
информирует
Вышло в свет учебное пособие
Воробьёв Н.В., Якунин А.Н.
Схемотехника ЭВМ: в 2-х частях. Часть 2: Последовательностные узлы.■ М.: МИЭТ, 2009. - 284 е.: ил.
Н.В. Воробьёв, А.Н. Якунин
Схемотехника ЭВМ
Послед®ательностные узлы
Учебное пособие
По единой методике рассмотрены базовые операционные структуры цифровых последовательностных узлов, являющихся основой построения устройств самого различного назначения и, прежде всего, вычислительной техники. Все узлы классифицируются по функциональному назначению. Подробно изложена методика проектирования узлов с использованием математического аппарата теории конечных автоматов.
Учебное пособие предназначено для студентов факультета МП и ТК МИЭТ, обучающихся по специальности 230101 65, а также может быть полезно для студентов других специальностей.
ISBN 987-5-7256-0554-9 Формат 60 х 841/16, объем 284 е.: ил.
