CC BY
3
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 298-315
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 298-315 https://mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-298-315, EDN: LXBVIR
Научная статья УДК 519.6
Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах
А. И. Сухинов1, А. Е. Чистяков1, В. В. Сидорякина1'20, И. Ю. Кузнецова1'3, А. М. Атаян1
1Донской государственный технический университет, Россия, 344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, д. 1 2Таганрогский институт имени А. П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического университета (РИНХ), Россия, 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, д. 48
3Южный федеральный университет, Россия, 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Большая Садовая, д. 105, корп. 42
Сухинов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой «Математика и информатика», [email protected], https://orcid.org/0000-0002-5875-1523, AuthorlD: 143825
Чистяков Александр Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», [email protected], https://orcid.org/ 0000-0002-8323-6005, AuthorID: 474527
Сидорякина Валентина Владимировна, кандидат физико-математических наук, 1 доцент кафедры «Математика и информатика»; 2доцент кафедры «Математика», [email protected], https://orcid.org/0000-0001-7744-015X, AuthorlD: 124086
Кузнецова Инна Юрьевна, 1старший преподаватель кафедры «Математика и информатика»; 3старший преподаватель кафедры интеллектуальных и многопроцессорных систем, [email protected], https://orcid.org/ 0000-0003-1996-1605, AuthorlD: 650783
Атаян Ася Михайловна, старший преподаватель кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4629-1002, AuthorlD: 919484
Аннотация. Во многих странах мира отмечается ухудшение геоэкологического состояния водных объектов, связанное со значительно возросшим антропогенным воздействием на природные воды. При этом гарантированное качество водных ресурсов и его надежность обеспечиваются сопоставлением реализуемого качества и гарантированного. В настоящей статье рассматриваются модели поступления и перемещения загрязняющих веществ, содержащихся в водной среде. На основе используемых в настоящее время подходов и критериев загрязнения вод разработан комплекс параллельных программ для высокопроизводительных вычислительных систем, позволяющий моделировать рассматриваемые процессы, а также оценивать риски и уязвимость по отношению к антропогенным воздействиям, проводить районирование акватории мелководного водоема в соответствии с уровнями антропогенных нагрузок, осуществлять экологическое проектирование с позиции устойчивого развития. Ключевые слова: перенос загрязняющих веществ, модель гидродинамики, модели диффузии-конвекции взвеси, явно-неявная схема, параллельные алгоритмы
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00509).
Для цитирования: Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Сидорякина В. В., Кузнецова И. Ю., Атаян А. М. Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса загрязняющих веществ в мелководных водоемах // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 298-315. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-298-315, EDN: LXBVIR
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
Using parallel computing to evaluate the transport of pollutants
in shallow waters
A. I. Sukhinov1, A. E. Chistyakov1, V. V. Sidoryakina1'20, I. Yu. Kuznetsova1'3, A. M. Atayan1
1 Don State Technical University, 1 Gagarin Sq., Rostov-on-Don 344000, Russia
2Taganrog Institute named after A.P. Chekhov (branch) of the Rostov State University of Economics, 48 Initiativnaya St., Taganrog 347936, Russia
3Southern Federal University, 105/42 Bolshaya Sadovaya St., Rostov-on-Don 344006, Russia
Alexander I. Sukhinov, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-5875-1523, AuthorlD: 143825 Alexander E. Chistyakov, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-8323-6005, AuthorlD: 474527 Valentina V. Sidoryakina, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-7744-015X, AuthorlD: 124086 Inna Yu. Kuznetsova, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-1996-1605, AuthorlD: 650783 Asya M. Atayan, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4629-1002, AuthorlD: 919484
Abstract. In many countries of the world, there is a deterioration in the geoecological state of water bodies, associated with a significantly increased anthropogenic impact on natural waters. At the same time, the guaranteed quality of water resources and its reliability are ensured by comparing the realized quality and the guaranteed one. This article discusses models for the entry and movement of pollutants contained in the aquatic environment. Based on the currently used approaches and water pollution criteria, a set of parallel programs for high-performance computing systems has been developed, which allows modeling of the processes under consideration, as well as assessing risks and vulnerabilities in relation to anthropogenic impacts, zoning the water area of a shallow water body in accordance with the levels of anthropogenic loads, environmental design from the standpoint of sustainable development. Keywords: pollutant transport, hydrodynamics model, suspension-diffusion-convection models, explicit-implicit scheme, parallel algorithms
Acknowledgements: This work was supported by the Russian Science Foundation (project No. 23-2100509).
For citation: Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Sidoryakina V. V., Kuznetsova I. Yu., Atayan A. M. Using parallel computing to evaluate the transport of pollutants in shallow waters. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2024, vol. 24, iss. 2, pp. 298-315 (in Russian). https:// doi.org/10.18500/1816-9791-2024-24-2-298-315, EDN: LXBVIR
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
Прогнозирование процессов распространения загрязняющих веществ в природных водах необходимо для успешного управления водными ресурсами [1]. Для решения этой задачи необходимы научно обоснованные математические модели, которые не теряют свою достоверность при широком варьировании пространственных и временных масштабов.
Математические модели переноса загрязняющих веществ претерпели длительный период разработки. Они усложнялись за счет перехода от одного фактора качества воды к множеству факторов, от стационарной модели к динамической модели, от модели точечного источника к модели сопряжения точечных и неточечных источников, от одномерных к двумерным и трехмерным моделям [2,3].
Как правило, первые модели переноса загрязняющих веществ разрабатывались для речных систем, подверженных влиянию бытовых и промышленных точечных источников загрязнения. Они фокусировались на взаимодействии различных компонентов качества воды [4].
Одной из первых была разработана одномерная модель билинейной системы БПК-РК [5], которая продолжительное время успешно использовалась исследователями и позднее была неоднократно модифицирована. Так, например, появились модели Streeter and Phelps (модели S-P). Для усовершенствования стационарной модели S-P в разное время учеными были внесены корректировки: введен коэффициент флокуляции, разделен параметр БПК на карбонизированный БПК и нитрифицированный БПК, добавлены эффекты дисперсии на основе уравнения Dobbins-Camp [6,7], добавлен коэффициент скорости изменения БПК и др. Быстрое развитие исследований в области математического моделирования переноса загрязняющих веществ связано с появлением двумерных моделей и адаптации их для различных видов водоемов [6,7]. Ведется разработка моделей нелинейных систем [8]. Эти модели включали систему круговорота азота и фосфора, систему фитопланктона и зоопланктона. Данные модели преимущественно были сфокусированы на отношениях между биологической скоростью роста и питательными веществами, солнечным светом и температурой, а также фитопланктоном и скоростью роста зоопланктона [9,10]. К концу прошлого столетия количество переменных в моделях увеличилось, стал учитываться гидродинамический режим водоема и влияние наносов, осуществлен переход к трехмерным моделям [11,12]. К настоящему времени проведено множество исследований путем разработки программ моделирования для имитации пространственного и временного распределения загрязняющих веществ: QUAL, WASP, MIKE11, QUAL 2K, WASP 6, QUASAR, SWAT, MIKE 21 и MIKE 31, INCA, QUAL 2K, HEC-RAS, EFDC и др. [13].
К настоящему времени разработано более 100 моделей переноса загрязняющих веществ, в том числе сотни модельных программ для ЭВМ, используемых для различных водоемов, различных загрязняющих веществ, в различных пространственно-временных масштабах и др. Однако каждая из моделей имеет свои ограничения, прежде всего, связанные с особенностями водоема. Таким образом, модели переноса загрязняющих веществ все еще нуждаются в дальнейшем изучении.
Авторами разработан комплекс взаимосвязанных пространственно-трехмерных моделей переноса загрязняющих веществ, включающий модели гидродинамики, динамики переноса физической субстанции (взвешенных частиц и наносов), модель эвтрофикации вод, предназначенных для мелководных водоемов. В рамках данной статьи читателю предлагается ознакомиться с параллельными алгоритмами численного решения переноса взвешенных частиц на супервычислительной системе с распределенной памятью при относительно небольшом количестве ядер (до 2048). Также авторами исследованы вопросы распараллеливания процессов численного решения данных задач на массивно-параллельных системах, обеспечивающих высокую эффективность алгоритмов для систем, содержащих многие десятки тысяч ядер. Приведены результаты численных экспериментов.
1. Комплекс взаимосвязанных 3D моделей транспорта загрязняющих веществ
Будем использовать прямоугольную декартовую систему координат Oxyz, где оси Ox и Oy проходят по поверхности невозмущенной водной поверхности и направлены на север и восток соответственно, ось Oz направлена вниз.
Пусть G с R3 — область, где происходит процесс, представляет собой параллелепипед G = {0 < x < Lx, 0 < y < Ly, 0 < z < Lz}. Обозначим нижнее основание параллелепипеда — Еь, верхнее основание — Ef, боковую поверхность — E¿.
1.1. Модель гидродинамики
В основу разрабатываемой модели расчета трехмерных полей вектора скорости движения водной среды положена математическая модель гидродинамики мелководных водоемов [1416].
Данная модель включает следующие уравнения:
- уравнения движения по трем координатным направлениям (система уравнений Навье -Стокса)
ди ди ди ди 1 дР д ( ди\ д ( ди\ д ( ди\
т + идХ + уду + ^ _ - ~Р1х + д~х) + д~у{дн дУ ' + -),
дг
д ди
дг )
ду ду ду ду _ 1 дР д ( ду\ д ( ду\ д / ду\ дЬ дх ду дг р дх дх \Н дх) ду \Н ду ° ^ ^ ,
дт дт дт дт 1 дР д / дт\ д / дт\ д дЬ дх ду дг р дг дх \дх) ду \ду) дг
дг)
дт
ж
- уравнение неразрывности (закон сохранения массы)
др д (ри) д (ру) д (рт)
дх
+
ду
+
дг
_ 0;
(1) (2)
+ 9; (3)
(4)
уравнение транспорта тепла
дТ 1
~Ж + 2
дТ дТ д (иТ) д (уТ) д (тТ)
дТ
+ у + т Л
дх ду д
+
дх
+
(д 2 Т д 2 Т\ д
_ + ду?) + згЛ ^
уравнение состояния для плотности
ро _ р (Т0) .
ду дТ
ог
+
дг
(5)
(6)
Здесь использованы следующие обозначения: и, у, т — компоненты вектора и скорости движения жидкости; Ь — временная переменная; Р — давление; 9 — ускорение свободного падения; р — плотность жидкости; , — коэффициенты горизонтальной и вертикальной диффузии соответственно; Т — температура в конкретной точке области; То — температура, при которой плотность максимальна.
Система уравнений (1)-(6) рассматривается при начальном условии
ио,
уо,
т
то,
(7)
и при следующих граничных условиях:
£ I : и _ ио, у _ уо ,
дР
дп
_0,
дУ дп
_ 0,
ди
ду
: рдндп _ -Тх, рдндп _ -Ту,
дР
дп
_ 0,
ди
дп
_ 0,
ди
ду
дР 1 дР
£ь : рЦн^ _ -Тх, рЦн^ _ -Ту, т _ -ш - — —,
дп
дп
дЬ р9 дп
(8) (9) (10)
где ш — интенсивность испарения жидкости, тх, ту — составляющие тангенциального напряжения.
1.2. Модель диффузии-конвекции-агрегирования взвесей
Для описания транспорта взвешенных частиц воспользуемся уравнением диффузии-конвекции, которое может быть записано в следующем виде:
дсг д (исг) д (усг) д ((т + тдг) сг) дЬ дх ду дг
0
д ( деЛ д ( деЛ д ( дег \
= дХ дХ) + дУ -ду) + + *, (11)
где ег — концентрация г-й фракции взвеси; шдт — скорость осаждения г-й фракции взвеси; — функция, описывающая интенсивность распределения источников г-й фракции взвеси. Уравнения (11) дополняются начальным условием
ег (х, у, х, 0) = ег0(х, у, х), (х, у, х) е (, (12)
и следующими граничными условиями:
dcr
Ег : cr = Сr, Сr = const, если un < 0; = 0, если un ^ 0, (13)
dn
где ип — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль п к границе; е'т — известные значения концентрации;
Е': 1г = 0; (14)
ЕдеГ 'д Г . .
ь : = - — ег. (15)
дх
Математические модели транспорта взвешенных частиц позволяют спрогнозировать распространение шлейфов взвеси в водной среде и изменение рельефа дна в связи с выпадением взвешенных частиц грунта в осадок. На основе модели (11)—(15) могут быть рассмотрены процессы движения и осаждения взвешенных частиц при проведении дноуглубительных работ, а также возможность оптимизации площадей существующих отвалов грунта. Оптимизация размеров областей отвалов грунта позволяет минимизировать ущерб, наносимый биотопам. Численное решение дифференциальных уравнений (11) совместно с уравнениями гидродинамики (1)—(10) позволяет моделировать разнообразные процессы стационарного и нестационарного загрязнений мелких водоемов.
1.3. Модель эвтрофикации вод
На основе уже рассмотренного выше уравнения диффузии-конвекции может быть построена модель эвтрофикация вод, т. е. описан процесс насыщения водоемов биогенными элементами, сопровождающийся ростом биологической продуктивности акватории. Эвтрофикация может быть результатом как естественных изменений в водоеме, так и антропогенных воздействий. Модель представляет собой совокупность уравнений для каждого вi — значения концентрации г-й примеси:
дя^ + д (пв^ + д ^) + д ((' + Wgi) в^ =
д£ дх ду <9х
д ( двг \ д ( двг \ д ( двг \ т = дХ ^дх) + ду ^ту) + дх ^+ ^, (16)
где шд — гравитационное осаждение г-й компоненты, если она находится во взвешенном состоянии; ^ — химико-биологический источник (сток) или член, описывающий агрегирование (слипание-разлипание), если соответствующая компонента является взвесью, индекс г указывает на вид субстанции, г = 1,15: 1 — сероводород (Н25); 2 — элементная сера (5); 3 — сульфаты (504); 4 — тиосульфаты (и сульфиты); 5 — общий органический азот (№); 6 — аммоний (N#4) (аммонийный азот); 7 — нитриты (N02); 8 — нитраты (N03); 9 — фитопланктон; 10 — зоопланктон; 11 — растворенный кислород (02); 12 —силикаты (5г03 — метасили-кат; 5г04 — ортосиликат); 13 —фосфаты (Р04); 14 —железо (*е2+); 15 — кремнекислота (Н25г03 — метакремневая; Н25г04 — ортокремневая).
А. И. Сухинов и др. Использование параллельных вычислений для оценки процесса переноса Уравнения (16) дополняются начальным условием
Бг (х, у, г, 0) _ Б^(х,у,г), (х,у,г) е (С, г _ 1,15, (17)
и следующими граничными условиями
дБ
£ : Бг _ 0, если ип < 0; д^п _ 0, если ип > 0, г _ 1,15, (18)
где ип — проекция вектора скорости на внешнюю нормаль п к границе, с'г — известные значения концентрации;
дБг
£f : ? (Бг), г _1,15; (19)
дг
дБ
£ь : -г _ Бг, (20)
где ев1 — коэффициент поглощения г-й примеси донными отложениями.
При штилях и близких к ним ветровых ситуациях возникают анаэробные условия в придонных слоях мелководных водоемов (например, Азовского моря). Восстановление поверхностного водонасыщенного ила влечет за собой высвобождение в раствор (кроме сероводорода) сульфатов, двухвалентного марганца и железа, органических соединений, аммония, силикатов и фосфатов. С помощью модели (16)-(20) могут быть описаны процессы аммонификации, нитрификации, нитратредукции (денитрификации), ассимиляции N#4, окисления Н2Б, суль-фатредукции, окисления и восстановления марганца, а также можно изучать механизм условий формирования заморов в результате антропогенной эвтрофикации, прогнозировать изменения кислородного и биогенного режимов.
1.4. Оценка уязвимости мелководных водоемов по отношению к антропогенным воздействиям
Поскольку целью настоящей статьи является описание результатов использования программного комплекса и проведенных численных экспериментов по переносу загрязняющих веществ, то авторы в работе не будут сосредоточены на описании методик оценок риска. Остановимся лишь на порядке проведения оценки уязвимости по отношению к антропогенным воздействиям, которая может быть описана следующим образом:
1) изучение географических, топологических, климатических, геологических, гидрологических особенностей водного объекта;
2) определение возможных источников поступления загрязняющих веществ: стоки рек, сбросы загрязняющих веществ предприятиями, судоходство и т.д. Моделирование возможных сценариев распространения загрязняющих веществ на основе моделей, описываемых выражениями (1)-(10), (11)-(15) и (16)-(20);
3) оценка токсического эффекта загрязняющих веществ, которые могут поступать из определенных выше источников;
4) расчет фактора риска Я на основе формулы
Я _ Е/в • Ев,
где Е/в — фактор эффективности воздействия загрязняющих веществ, Ев — фактор экспозиции, Ев _ РвкВА/У (с — концентрация частиц, У — способ использования химиката, Рв — характеристика скорости гидролиза, кВА — фактор биоаккумулирования). Факторы экспозиции для воды могут принимать значения 0.4-25 сг;
5) нормализация фактора риска Я:
с сшт
су
стя.х сг
где су — нормализованный фактор риска, если риск возрастает с ростом концентрации с частиц. При этом нормализованный фактор риска су е [0,1];
6) на основании полученной оценки риска делаются предварительные заключения: риск считается высоким при су > 0.55, потенциально значимым при 0.3 < су < 0.55, отсутствующим при су < 0.3.
2. Численные методы решения задачи диффузии-конвекции-агрегирования взвесей
2.1. Построение явно-неявной схемы
Уравнение (11) запишем в виде дс
—- = Асг + (х,у,х,Ъ), (х,у,х) е О, ъ е [0,Т], (21)
дЪ
где Асг — дифференциальный эллиптический оператор по пространственным переменным с младшими производными, для которого справедливо следующее представление:
Ас = д (исг) + д (усг) + д ((ад + ю9г) сг) _ г дх ду дх
д / дсЛ д / дсЛ д / дсг \
дх (л ах,)- ду (л - дх (л ж; =(А12+Аз) сг •
д (исг) д (^сг) д / дсг\ д дс
— (22)
А12 Сг дх + ду дх у ^ дх у ду у Л ду д ((ад + тдг) сг) д / дсг
Азс- =-дХ--дХ Г" аХ
На временном отрезке 0 < Ъ < Т построим равномерную сетку шт с шагом т, т.е. множество точек
= {Ъп = пт, п = 0,Лт = Т} .
Если решение с^-1 (х, у, х, Ъп-1) в некоторый момент времени Ъп-1 известно, то решение в момент времени Ъп можно выразить через это известное решение. На каждом шаге по времени решение задачи (21), (12)—( 15) представим в виде
сп+1 _ сп
г г + А12сп + Азсп+1/2 = ^гп, п = 1,N. (23)
т
Для увеличения допустимого шага по времени при аппроксимации двумерной задачи (7), (22) явной разностной схемой добавим в левую часть уравнения (23) производную по времени второго порядка с малым множителем-регуляризатором [17,18], не превосходящим характерное время распространения возмущений концентраций по горизонтальным направлениям:
т* cn+1 _ I cn-1 cn+1 _ cn
т_с_г-2cr + + ^-cL + Ai2cnr + A3cn+1/2 = Frn, n = 2,N,
2 т2 т (24)
cn+1 _ cn cn+1 _ cn v '
т * r 2 r + c!-L + A12 cn + A3 cn+1/2 = Fn, n =1,
т2 т
где коэффициент т*, т* ~ (т/с), связан с характерным шагом пространственной сетки т и характерной скоростью звука в водной среде. Было показано [19], что при т* ^ 0 решение задачи (24) стремится к решению задачи (23).
В области G построим связную сетку Uh. Множество узлов данной сетки состоит из внутренних и граничных узлов. Совокупность Uh внутренних узлов задаем множеством точек:
uh = IXi = ihx, yj = jhy, zk = khz; i = 0..N, j = 0..Ny, k = 0..NZ;
Nxhx = Lx, Nyhy = Ly, Nzhz = Lz},
где Нх, Ну, Нг — шаги по пространству, N, Ыу, N — количество узлов по пространственным координатам.
Через обозначена «заполненность» ячейки (г, к). Вводятся коэффициенты до, 41, 42, 43, д4, 45, 46, описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки [20].
На основе метода баланса с учетом коэффициентов заполненности контрольных областей 4т, т _ 0,..., 6 можно аппроксимировать уравнения (24), при этом дискретный аналог регуляризированного уравнения для расчета транспорта взвеси примет вид
* сП+1 _ 2сП + сП-1 сП+1 _ сП Т сг{ъ,з,к) 2сг(г,з,к) + ст(г,з,к) ст{г,з,к) ст(г,з,к) 4о(г,з,к)1^-Т22- + 4о(г,3,к)-Т-+
сп _ сп сп _ сп
+ 41(г,з,к)и(г+1/2,з,к)-2ЙХ- + 42(г,3,к) и(г-1/2,з,к)-^^Х-+
сп сп сп сп
т(г,з+1,к) т(г,з,к) г(г,з,к) ст(г,р-1,к) + 4з(г,з,к)Ъ(г,з+1/2,к)-^- + 44(г,3,к) У(г,з-1/2,к)-^-+
сп+1/2 _ сп+1/2 / , \ ст(г,з,к+1) ст(г,з,к) ,
+45(г,з,к) {Ы(г,з,к+1/2) + ™дт) -^-+
п+1/2 п+1/2 ст(г,з,к) - ст(г,з,к-1) \г,з,к-1/2) + ™дт) -^Н-
+ 4б(г,з,к) (^(г,з,к-1/2) + ™дт,
п _ п п _ п п _ п
ст(г+1,з,к) ст(гз,к) ст(гз,к) ст(г-1,з,к) . ст(г,з+1,к) ст(г,з,к)
_ 41 (г,з,к)№к-НХ--42(г,з,к)МН-^Х- + 4з(г,з,к)-^2--
хху
сп _ сп сп+1/2 _ сп+1/2 ст(г,з,к) ст(г,з-1,к) , ст(г,з,к+1) г(г,з,к) -44(г,з,к) -Н2- + 45(г,з,к) Рь(г, з,к+1/2)-^2--
сп+1/^ _ сп+1/2
„ „ т(г,з',к) т(г,3,к-1) , Рп (25)
46(г,з,к)ру(г,з,к-1/2)-Н2--Ь Ьт(г,зк)' (25)
2.2. Сеточные уравнения
Запишем сеточные уравнения для задачи (25) в канонической форме [21]:
п+1 п+1 п+1 п
Л(г,з)ст(г,з,к) - В1(г^)ст(г,з,к+1) - В2(г,з)ст(г,з,к-1) _ *т(г)к),
„ _ ( Ы(г,з,к+1/2) + ™дт Ру(г, з,к+1/2)\
ВЧьз,к) _ 45(г,з,к) ^ ^- + 2Нг2 ) ,
„ _ ( Ы(г,з,к+1/2) + ™дт Ру(г, з,к+1/2)\
ВЧьз,к) _ 45(г,з,к)[ ^- + 2Нг2 ) ,
Т + Т */2
А(гз,к) _ 4о(г,з,к)-Т2- + В1(г,з) + В2(г,з), (26)
*?(г,з,к) _ Во(г,з,к)сг(г,з,к) + ^1(г,з,к)сг(г+1,з,к) + ^2(г,з,к)с?(г-1,з,к) +
+^3(г,з,к)сп(г,з+1,к) + ^4(г,з,к) сп(г,з-1,к) + В1(г,з,к) сп(г,з+1,к) + +В2(г,з,к)сп(г,з-1,к) - Е(г,з,к) ^-¿к) + ¥г(г,зк), п _ 4 / и(г+1/2,з,к) + МП п _ 4 и(г-1/2,з,к) + РН
^1(г,з,к) _ 41 (г,з,к) ^ + НХ2у), ^2(г,з',к) _ ®(гзЧ 2Нх +
_ ( Ру(г,з+1/2,к) мн\ П _ ^ ру(г,з-1/2,к) МН
°3(зк) _ 43(г,з,к^ 2Ну + Н7у1 , ^4(г,з,к) _ 44(г,з,к) ^ 2Ну + Ну2
Т + Т * Т *
По(г,з,к) _ 4о(г,з,к)—Т22--¿2 °Р(г,з,к), Е(г,з,к) _ 4о(г,з,к) '
р=1
Для расчета правой части необходимо 16Ж арифметических операций. Для решения задачи (26) на первом временном слое необходимо 8Ж, а для последующих слоев 5Ж арифметических операций. Таким образом, всего для перехода между слоями необходимо 21Ж операций. Расчет по явной схеме выглядит
,n+1
>(i j , k)
(Bi(,j)/Ai j)) <S,k+i) + (B2(i,3)/A j) + (ij/Aw )) ■ <27>
что занимает 16Ж арифметических операций.
2.3. Построение параллельных алгоритмов для расчета двумерных задач
Рассмотрим построение параллельных алгоритмов для расчета двумерных задач. Расчетная область покрыта равномерной сеткой:
и
j = {x (ihx) = Xi, y (jhy) = yj; i e 0, Nx - 1, j e 0, Ny - 1; hxN = Lx, hyNy = Ly} ,
где г, ^ — индексы расчетной области, , — шаги по пространственным направлениям, N, N — количество шагов по пространственным направлениям, , — размеры расчетной области.
В узлах расчетной сетки вычисляются значения поля м(х, у): м«^ при г е — 2,
] е — 2, при этом по периметру (г е 0, N — 1, ] е 0,Жу — 1) находятся фиктивные
узлы. Выполним декомпозицию расчетной области вдоль пространственного направления Оу прямыми, параллельными оси Ох, при этом обозначим — подобласть с номером г, 0 < г < р — 1, где р — количество подобластей, на которые разбита исходная область. Расчетными узлами области являются элементы при г е — 2, ] е 1,Ж2 — 2.
Разбиение исходной области выполнено таким образом, чтобы смежные области и пересекались в двух узлах вдоль направления, перпендикулярного линиям разбиения, и имели место равенства _2 = м^1, щ_1 = МГ+1. На рис. 1 представлена декомпозиция расчетной области, где белые круги обозначают фиктивные узлы расчетной сетки, синие — узлы, в которых осуществляется расчет первым вычислителем, красные — узлы, в которых осуществляется расчет вторым вычислителем.
Вычислительный фрагмент 1
Вычислительный фрагмент 2
Рис. 1. Декомпозиция расчетной области (цвет онлайн) Fig. 1. Decomposition of the computational domain (color online)
Для представления значения поля м(х, у) в векторной форме паре индексов г, ] можно поставить в соответствие значение т, описывающее порядковый номер элемента вектора м: т = г + , 0 < т < п — 1, п — длина вектора м = (м0, м1,)т. Данное представление
удобно использовать при описании и исследовании алгоритмов решения сеточных уравнений итерационными методами.
Для фрагментов , полученных в результате декомпозиции расчетной области по одному пространственному направлению, необходимо знать два параметра: начальный индекс ] = N в исходной расчетной области и ширину фрагмента N2. Номер индекса N, с которого начинается соответствующий фрагмент расчетной области, можно рассчитать по формуле
N = [г • № - 2)/р ].
Здесь и далее [ж] — функция «пол» определяется как наибольшее целое, меньшее или равное ж, [ж] — функция «потолок» определяется как наименьшее целое, большее или равное ж. Ширина подобласти вдоль оси Оу рассчитывается по формуле
N2 = Кг + 1) • № - 2)/р ]- N + 2.
Для теоретической оценки работы вычислительных систем используют следующие параметры:
- £а — время выполнения одной арифметической операции;
- — время организации передачи данных (латентность);
- £ж — время передачи одного данного.
На рис. 2 приведен график зависимости времени передачи от объема данных для разного количества обменов между узлами вычислительной системы. На графике видно, что функция зависимость времени передачи имеет скачок при объемах передаваемых данных, равных примерно 512 числам с плавающей точкой. Обозначим данное значение Nmax = 512.
1-10
5-10
Количество узлов 2 4 8 12 16 24
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Рис. 2. Зависимость времени передачи данных от объема при работе с разным числом вычислительных узлов (цвет онлайн)
Fig. 2. Dependence of data transfer time on volume when working with different numbers
of computing nodes (color online)
Расчет данных на многопроцессорной вычислительной системе позволяет в значительной мере сократить время вычислений. Однако эффективность времени работы вычислительной системы не всегда может быть ожидаемой. В этом случае корректно провести теоретический анализ расчета времени вычислений на основе регрессионного анализа.
Рассмотрим модель множественной регрессии. Вектор ¿г — итоговое время работы вычислительной системы (секунды), векторы п, р — объясняющие факторы: объем передаваемых данных и количество используемых вычислительных узлов. Для времени латентности имеет место формула
t (p, n) =
5.21 • 10-6 + 1.53 • 10-7p, если n < 512,
6.733 • 10-6p,
если n > 512.
(28)
Время передачи одного данного = 3.3 х 10
-9
Временные траты на одну итерацию в случае последовательного варианта алгоритма
составят
t — 21ta(Nx - 2)(Ny - 2).
(29)
При расчете параллельным алгоритмом на многопроцессорной вычислительной системе время расчета составит
I = 421 (Щ - 2) тах (Щ - 2) + 2 (Ьг (р, Щх - 2) + (Щ - 2) 1Х),
Ny - 2 . Р .
< max (NJ - 2) <
'Ny - 2■ Р
max N
r
Ny - 2. Р '
В случае если объем передаваемых данных больше Щх - 2 > Щтах, то выполняется к = [(Щх - 2) /Щтах] обменов, тогда временные траты параллельного алгоритма равны
t — 21t
(Nx - 2) (Ny - 2)
Р
+ 2 (t (p, [(Nx - 2) /k]) k + (Nx - 2) tx).
Ускорение параллельной работы алгоритма равно
Sp —
21pta (Nx - 2) (Ny - 2)
21ta (Nx - 2) (Ny - 2) + 2p (tlat {p, [N—] ) k + (Nx - 2) tx) '
(30)
(31)
На рис. 3 представлены результаты работы параллельного варианта алгоритма для различного числа процессоров при варьируемой декомпозиции расчетной области. Здесь изображены графики ускорения параллельной версии алгоритма схемы расщепления на двумерную явную и одномерную неявную на основе технологии MPI и линейного ускорения в зависимости от числа задействованных вычислителей (с учетом различных вариантов декомпозиции расчетной области). Максимальное число использованных вычислителей — 24, размер расчетной сетки составил 1000x1000x60 узлов.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Количество процессоров Количество процессоров
а / a б / b
Рис. 3. Результаты работы параллельного варианта алгоритма для различного числа процессоров при варьируемой декомпозиции расчетной области: а — концентрация взвеси в воде; б — поле
плотности водной среды Fig. 3. Results of the parallel version of the algorithm for different numbers of processors with varying decomposition of the computational domain: a — concentration of suspended matter in water;
b — density field of the aquatic environment
3. Численные эксперименты моделирования переноса загрязняющих веществ
Описанный выше подход к оценке качества вод является частью разрабатываемого в коллективе прогнозного комплекса «АгоуЭё». Данный комплекс использовался для расчета трехмерного вектора скорости течения водной среды в акватории Азовского моря, учитывает
такие физические параметры, как сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, сгонно-нагонные явления, ветровые течения и трение о дно, и обеспечивает расчет гидростатического давления и трехмерного поля скорости. С помощью внедрения новых расчетных функций были встроены параллельные программные блоки, предназначенные для моделирования переноса загрязняющих веществ. Разработанный программный комплекс может применяться для расчета переноса как для тяжелых примесей так и для примесей, которые легче воды, таких как микропластик. Численная реализация предложенных математических моделей осуществлена на основе параллельных алгоритмов, ориентированных на многопроцессорную вычислительную систему.
3.1. Моделирование транспорта взвеси при дампинге грунта
В качестве модельного примера рассмотрим моделирование процесса осаждения взвеси при проведении дноуглубительных работ [22] на основе модели (11)-(15).
Входные данные по акватории и взвеси: длина водоема — 3 км; ширина водоема — 1.4 км; глубина водоема—10 м; скорость течения — 0.2 м/с; объем загрузки —741 м3; скорость осаждения взвеси (по Стоксу) — 2.042 мм/с; плотность грунта— 1600 кг/м3; процентное содержание пылеватых частиц (^ < 0.05 мм) в песчаных грунтах — 26.83%.
Параметры расчетной области: шаг по горизонтальным пространственным координатам — 20 м; шаг по вертикальной пространственной координате — 1 м; расчетный интервал — 2 ч; шаг по времени — 1 мин.
На рис. 4 приведена динамика изменения концентрации взвешенных частиц (мг/л) с течением времени.
-10
0 0
-5 -10 ■
500
1000
а / a
М
Л
500
1000
в/ c
58900 44175
29450 14725 0
1500
227 170
в 113 57 0
1500
-10
-5
-10
500
1000
б / b
ж
500
1000
г / d
1500
491 368
245
123
0
56 42
28
14 0
1500
Рис. 4. Поле концентрации взвешенных частиц в разные моменты времени: а — начальный момент; б — через 15 мин.; в — через 30 мин.; г — через 45 мин. после момента выгрузки
(цвет онлайн)
Fig. 4. Concentration field of suspended particles at different times: a — initial moment; b — after 15 min; c — 30 min; d — 45 min after the moment of unloading (color online)
0
0
0
Приведены значения поля концентрации взвеси в сечении расчетной области плоскостью, проходящей через точку выгрузки и образованной векторами, направленными вертикально
и вдоль течения. Течения направлены слева направо. Исходя из полученных материалов, рассчитываем общее количество загрязненной воды при отвалах грунта (таблица).
Объемы загрязненной воды при сбросе грунта Table. Volumes of contaminated water during soil discharge
В том числе воды с Общий объем воды
№ Общий объем концентрациями Кол-во с концентрациями
участка загрязненной воды ЗВ, млн м3 сбросов ЗВ , млн м3
при разовом сбросе, >0.25 >20 >100 >0.25 >20 >100
млн м3 мг/л мг/л мг/л мг/л мг/л мг/л
1 1.285 0.890 0.245 0.150 124 110.360 30.38 18.6
2 1.120 0.813 0.202 0.105 50 4.650 10.10 5.25
3 1.279 0.889 0.240 0.150 45 40.005 10.80 6.75
На основе разработанного программного комплекса, включающего в себя модули расчета гидродинамических процессов, транспорта возвещенных частиц и биологической продуктивности фито- и зоопланктона, определен объем вод, загрязненных при отвалах грунта; рассчитаны площади областей, в которых наблюдается гибель донной растительности на отвалах и в районах дноуглубительных работ. Данный программный комплекс позволяет спрогнозировать как распространение шлейфов взвеси в водной среде, так и изменение рельефа дна в связи с выпадением взвешенных частиц грунта в осадок. На основе разработанного программного комплекса установлено, что уменьшение размеров областей отвалов грунта позволяет минимизировать ущерб, наносимый биотопам.
3.2. Моделирование транспорта взвешенных частиц в устьевом районе
Рассмотрим результаты работы программного комплекса на примере водного участка, расположенного в устьевом районе. Входные данные по акватории и взвеси: длина водоема — 50 м; ширина водоема — 50 м; глубина водоема — 2 м; скорость течения —0.2 м/с; скорость осаждения взвеси (по Стоксу) — 2.042 мм/с; плотность пресной воды при нормальных условиях — 1000 кг/м3; плотность взвеси — 2700 кг/м3; объемная доля взвеси — 1/17. Параметры расчетной области: шаг по горизонтальным пространственным координатам — 0.5 м; шаг по вертикальной пространственной координате — 0.1 м; расчетный интервал — 5 мин, шаг по времени — 0.25 с. На рис. 5 представлена геометрия расчетной области в виде карты глубин.
На рис. 6, 7 представлены результаты моделирования процесса транспорта взвеси в результате смешения и движения вод в устьевом районе при наличии существенного градиента плотности водной среды (слева показана средняя концентрация по глубине, справа — плотность в сечении плоскостью Охг, проходящей по центру расчетной области (при у = 25 м)). На вертикальных срезах справа можно наблюдать изменение концентрации взвеси в стратифицированных слоях водной среды при меняющейся плотности с течением времени.
0 20 40 60 80
Рис. 5. Карта глубин расчетной области (цвет онлайн) Fig. 5. Depth map of the computational domain (color online)
а/a б /b
Рис. 6. Движение вод в устьевом районе при наличии существенного градиента плотности водной среды через 1 мин: а — концентрация взвеси в воде; б —поле плотности водной среды
(цвет онлайн)
Fig. 6. Movement of water in the mouth area in the presence of a significant density gradient of the aquatic environment after 1 min: a — concentration of suspended matter in water; b — density field
of the aquatic environment (color online)
а/ a б / b
Рис. 7. Движение вод в устьевом районе при наличии существенного градиента плотности водной среды через 5 мин: а — концентрация взвеси в воде; б — поле плотности водной среды
(цвет онлайн)
Fig. 7. Movement of water in the mouth area in the presence of a significant density gradient of the aquatic environment after 5 min: a — concentration of suspended matter in water; b — density field
of the aquatic environment (color online)
Разработанный программный комплекс может применяться для расчета переноса как для тяжелых примесей, так и для примесей, которые легче воды. При выявлении зон экологического бедствия и риска использовались «Критерии оценки экологической обстановки территорий для выявления зон чрезвычайной экологической ситуации и зон экологического бедствия»1, а также работы Г. Г. Винберга [23,24]. Оценка экологического состояния проводилась по уровню антропогенной нагрузки в соответствии с Р 52.24.661-20042, оценивались доля и степень антропогенного воздействия по формулам
D = (N/N) • 100%, C = (N2/N1) • 100%,
1 Руководящий документ РД 52.24.643-2002. Метод комплексной оценки степени загрязненности поверхностных вод по гидрохимическим показателям. Приложение Г. URL: https://meganorm.ru/Data2/1/4293831/4293831806. htm#i238828 (дата обращения: 05.04.2023).
2Руководящий документ РД 52.24.661-2004. Оценка риска антропогенного воздействия приоритетных загрязняющих веществ на поверхностные воды суши. URL: https://meganorm.ru/Data2/1/4293834/4293834036.pdf (дата обращения: 05.04.2023).
где D, C — доля и степень антропогенного воздействия соответственно; N — общее число нормируемых приоритетных загрязняющих веществ; Ni — число ингредиентов, превышающих предельно допустимую концентрацию; N2 — число ингредиентов, превышающих 10 предельно допустимых концентраций. Оценка экологического состояния Азовского моря может проводиться также по системообразующим показателям на основе статистических характеристик вариационного ряда значений концентраций легкоокисляемых органических веществ (по биологическому потреблению кислорода БПК5), соединений азота аммонийного и значений содержания растворенного в воде кислорода.
Для оценки качества морской воды использовались наиболее информативные комплексные показатели качества воды [25], включая удельный комбинаторный индекс загрязненности воды (УКИЗВ) и класс качества воды (ККВ).
Учет основных внешних факторов в моделях гидродинамики и биологической кинетики позволил воспроизвести положительный тренд солености в бассейне Азовского моря [26]. Выявлено, что на всей акватории отмечено формирование стратификации водных масс по содержанию кислорода во все сезоны года. В период роста солености и снижения среднегодового стока реки Дон в Таганрогском заливе отмечено снижение концентрации биогенных элементов, хотя при этом сохраняется высокая интенсивность продуктивности фитопланктона. Концентрации биогенных элементов в современный период осолонения в собственно море остаются на уровне среднемноголетних значений, однако увеличение солености, приводящее к смене таксономических групп фитопланктона, снижает уровень первичного продуцирования органического вещества. Увеличение доли органической формы азота и фосфора в период осолонения в Таганрогском заливе связано с развитием первичной продукции фитопланктона, а в собственно море — с поступлением аллохтонного органического вещества с материковым стоком. В целом экологическое состояние Азовского моря улучшается, но улучшается по индексу ИЗВ, морская вода в последние годы относится к классу умеренно загрязненной.
Заключение
Для мониторинга и оценки рисков антропогенного воздействия на водные объекты необходима оценка качественного и количественного состава сбрасываемых загрязняющих веществ, а также прогнозирование неблагоприятных явлений, вызванных антропогенным воздействием [27]. Известно, что вдали от стока рек в водоем из атмосферы поступает более 60% загрязняющих веществ, оказывающих существенное влияние на процессы развития и гибели биоты. Вследствие увеличения антропогенной нагрузки на прибрежные системы возникает острая необходимость анализа и прогноза распространения загрязняющих веществ в акватории водоема [28].
Разработанный программный комплекс учитывает такие немаловажные для моделирования ситуации в водоеме параметры, как характеристики загрязнения вод по доле и степени антропогенного воздействия, фактор риска и др. Разработанный алгоритм позволяет моделировать динамику процессов распространения загрязняющих веществ, поступающих в Азовское море со стоками рек и из приземного слоя атмосферы, с учетом метеорологических условий, процессов взаимодействия и оседания загрязняющих примесей.
Программный комплекс позволяет моделировать условия развития экологической обстановки мелководного водоема в ускоренном масштабе времени для дальнейшего предотвращения негативных последствий, связанных с материальным ущербом и угрозой здоровью и жизни людей.
Список литературы
1. Moriasi D. N., Wilson B. N., Douglas-Mankin K. R., Arnold J. G., Gowda P. H. Hydrologie and water quality models: Use, ealibration, and validation // Transactions of the ASABE. 2012. Vol. 55, iss. 4. P. 1241-1247. http://dx.doi.org/10.13031/2013.42265
2. Bristeau M. O., Perthame B. Transport of pollutant in shallow water using kinetie sehemes // ESAIM Proeeedings. 2001. Vol. 10. P. 9-21. http://dx.doi.org/10.1051/proc:2001002
3. Hang Z. Commentary on study of surface water quality model // Journal of Water Resources and Architectural Engineering. 2006. Vol. 4, iss. 4. P. 18-21.
4. Burn D. H., McBean E. A. Optimization modeling of water quality in an uncertain environment // Water Resources Research. 1985. Vol. 21, iss. 7. P. 934-940. https://doi.org/10.1029/WR021i007 p00934
5. Rinaldi S., Soncini-Sessa R. Sensitivity analysis of generalized Streeter-Phelps models // Advances in Water Resources. 1978. Vol. 1, iss. 3. P. 141-146. https://doi.org/10.1016/0309-1708(78)90024-6
6. Dobbins W. E. BOD and oxygen relationships in streams // Journal of Sanitary Engineering Division. 1964. Vol. 90, iss. 3. P. 53-78. https://doi.org/10.1061/JSEDAI.0000495
7. Camp T. R. Water and Its Impurities. New York : Van Nostrand Reinhold Inc., 1963. 368 p.
8. Mujumdar P. P., Subbarao Vemula V. R. Fuzzy waste load allocation model: Simulation-optimization approach // Journal of Computing in Civil Engineering. 2004. Vol. 18, iss. 2. P. 120-131. https: //doi.org/10.1061/(ASCE)0887- 3801(2004)18:2(120)
9. Yih S.-M., Davidson B. Identification in nonlinear, distributed parameter water quality models // Water Resources Research. 1975. Vol. 11, iss. 5. P. 693-704. https://doi.org/10.1029/WR011i005 p00693
10. Jirka G. H. Large scale flow structures and mixing processes in shallow flows // Journal of Hydraulic Research. 2001. Vol. 39, iss. 6. P. 567-573. https://doi.org/10.1080/00221686.2001.9628285
11. Murillo J., Burguete J., Brufau P., Garcia-Navarro P. Coupling between shallow water and solute flow equations: Analysis and management of source terms in 2D // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2005. Vol. 49, iss. 3. P. 267-299. https://doi.org/10.1002/fld.992
12. Vasilachi I. C., Asiminicesei D. M., Fertu D. I., Gavrilescu M. Occurrence and fate of emerging pollutants in water environment and options for their removal // Water. 2021. Vol. 13. Art. 181. https://doi.org/10.3390/w13020181
13. Wang Q., Li S., Jia P., Qi C., Ding F. A review of surface water quality models // The Scientific World Journal. 2013. Vol. 2013. Art. 231768. https://doi.org/10.1155/2013/231768
14. Сидорякина В. В., Сухинов А. И. Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 6. С. 985-1002. http://doi.org/10.7868/S0044466917060138, EDN: YRWNQH
15. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А., Сидорякина В. В., Проценко C. B. Комплекс объединенных моделей транспорта наносов и взвесей с учетом трехмерных гидродинамических процессов в прибрежной зоне // Математическое моделирование. 2020. T. 32, № 2. С. 3-23. https://doi.org/10.20948/mm-2020-02-01
16. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Проценко Е. А., Сидорякина В. В., Проценко C. B. Параллельные алгоритмы решения задачи динамики изменения рельефа дна в прибрежных системах // Вычислительные методы и программирование. 2020. Т. 21, вып. 3. С. 196-206. https://doi.org/10.26089/NumMet.v21r318, EDN: UHVOOQ
17. Четверушкин Б. Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Математическое моделирование. 2012. Т. 24, № 11. С. 33-52. EDN: RXPNZB
18. Д'Асчензо Н., Савельев В. И., Четверушкин Б. Н. Об одном алгоритме решения параболических и эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55, № 8. С. 1320-1328. https://doi.org/10.7868/S0044466915080037, EDN: UDEXPJ
19. Четверушкин Б. Н., Д'Асчензо Н., Савельев А. В., Савельев В. И. Кинетическая модель для магнитной газовой динамики // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 3, С. 3-15. EDN: YIXTTB
20. Сухинов А. И., Проценко Е. А., Чистяков А. Е., Шретер С. А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16, вып. 3. С. 328-338. https://doi.org/10.26089/NumMet.v16r332, EDN: YTTYNN
21. Sukhinov A., Chistyakov A., Sidoryakina V. Investigation of nonlinear 2D bottom transportation dynamics in coastal zone on optimal curvilinear boundary adaptive grids // XIII International Scientific-Technical Conference "Dynamic of Technical Systems" (DTS-2017) (September 1315, 2017). Rostov-on-Don : EDP Sciences, 2017. Art. 4003. https://doi.org/10.1051/matecconf/ 201713204003, EDN: ZWFGPV
22. Ковтун И. И., Проценко Е. А., Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Расчет воздействия на водные биоресурсы дноуглубительных работ в Белом море // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2016. Т. 9, № 2. С. 27-38. EDN: XENHWZ
23. Биологические процессы и самоочищение на загрязненном участке реки: (на примере верх. Днепра) / под ред. Г. Г. Винберга. Минск : Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1973. 192 с.
24. Винберг Г. Г., Алимов А. Ф., Балушкина Е. В., Никулина В. Н., Финогенова Н. П., Цало-лихин С. Я. Опыт применения разных систем биологической индикации загрязнения вод // Научные основы контроля качества поверхностных вод по гидробиологическим показателям. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1977. С. 124-132.
25. Данилов-Данильян В. И., Готовцев А. В., Никаноров А. М. Проблемы мониторинга БПК // Водные ресурсы. 2012. Т. 39, № 5. С. 510-520. EDN: PBWDDP
26. Джамалов Р. Г., Мягкова К. Г., Никаноров А. М., Решетняк О. С., Сафронова Т. И., Трофимчук М. М. Гидрохимический сток рек бассейна Оки // Вода и экология: проблемы и решения. 2017. № 4 (72). С. 26-39. https://doi.Org/10.23968/2305-3488.2017.22.4.26-39, EDN: YPORLZ
27. Никаноров А. М., Брызгало В. А., Решетняк О. С. Изменчивость экологического состояния речных зон устьевых экосистем крупных рек России // Вода: химия и экология. 2013. № 12. С. 15-21. EDN: RPYDUF
28. Матишов Г. Г., Степаньян О. В., Григоренко К. С., Харьковский В. М., Поважный В. В., Сойер В. Г. Особенности гидролого-гидрохимического режима Азовского и Черного морей в 2013 г. // Вестник Южного научного центра. 2015. Т. 11, № 2. С. 36-44. EDN: UCBKRJ
References
1. Moriasi D. N., Wilson B. N., Douglas-Mankin K. R., Arnold J. G., Gowda P. H. Hydrologic and water quality models: Use, calibration, and validation. Transactions of the ASABE, 2012, vol. 55, iss. 4, pp. 1241-1247. http://dx.doi.org/10.13031/2013.42265
2. Bristeau M. O., Perthame B. Transport of pollutant in shallow water using kinetic schemes. ESAIM Proceedings, 2001, vol. 10, pp. 9-21. http://dx.doi.org/10.1051/proc:2001002
3. Hang Z. Commentary on study of surface water quality model. JournaI of Water Resources and ArchitecturaI Engineering, 2006, vol. 4, iss. 4, pp. 18-21.
4. Burn D. H., McBean E. A. Optimization modeling of water quality in an uncertain environment. Water Resources Research, 1985, vol. 21, iss. 7, pp. 934-940. https://doi.org/10.1029/WR021i007 p00934
5. Rinaldi S., Soncini-Sessa R. Sensitivity analysis of generalized Streeter - Phelps models. Advances in Water Resources, 1978, vol. 1, iss. 3, pp. 141-146. https://doi.org/10.1016/0309-1708(78)90024-6
6. Dobbins W. E. BOD and oxygen relationships in streams. Journal of the Sanitary Engineering Division, 1964, vol. 90, iss. 3, pp. 53-78. https://doi.org/10.1061/JSEDAI.0000495
7. Camp T. R. Water and Its Impurities. New York, Van Nostrand Reinhold Inc., 1963. 368 p.
8. Mujumdar P. P., Subbarao Vemula V. R. Fuzzy waste load allocation model: Simulation-optimization approach. Journal of Computing in Civil Engineering, 2004, vol. 18, iss. 2, pp. 120-131. https: //doi.org/10.1061/(ASCE)0887-3801(2004)18:2(120)
9. Yih S.-M., Davidson B. Identification in nonlinear, distributed parameter water quality models. Water Resources Research, 1975, vol. 11, iss. 5, pp. 693-704. https://doi.org/10.1029/WR011i005p00693
10. Jirka G. H. Large scale flow structures and mixing processes in shallow flows. Journal of Hydraulic Research, 2001, vol. 39, iss. 6, pp. 567-573. https://doi.org/10.1080/00221686.2001.9628285
11. Murillo J., Burguete J., Brufau P., Garcia-Navarro P. Coupling between shallow water and solute flow equations: Analysis and management of source terms in 2D. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2005, vol. 49, iss. 3, pp. 267-299. https://doi.org/10.1002/fld.992
12. Vasilachi I. C., Asiminicesei D. M., Fertu D. I., Gavrilescu M. Occurrence and fate of emerging pollutants in water environment and options for their removal. Water, 2021, vol. 13, art. 181. https://doi.org/10.3390/w13020181
13. Wang Q., Li S., Jia P., Qi C., Ding F. A review of surface water quality models. The Scientific World Journal, 2013, vol. 2013, art. 231768. https://doi.org/10.1155/2013/231768
14. Sidoryakina V. V., Sukhinov A. I. Well-posedness analysis and numerical implementation of a linearized two-dimensional bottom sediment transport problem. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, iss. 6, pp. 978-994. https://doi.org/10.1134/S0965542517060124, EDN: ZBVIXB
15. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Protsenko E. A., Sidoryakina V. V., Protsenko S. V. Set of coupled transport models of suspended matter, taking into account three-dimensional hydrodynamic processes in the coastal zone. Mathematical Models and Computer Simulations, 2020, vol. 12, iss. 5, pp. 757-769. https://doi.org/10.1134/S207004822005018X
16. Sukhinov A. I., Chistyakov A. E., Protsenko E. A., Sidoryakina V. V., Protsenko S. V. Parallel algorithms for solving the problem of coastal bottom relief dynamics. Numerical Methods and Programming, 2020, vol. 21, iss. 3, pp. 196-206 (in Russian). https://doi.org/10.26089/NumMet. v21r318, EDN: UHVOOQ
17. Chetverushkin B. N. Resolution limits of continuous media models and their mathematical formulations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, vol. 5, iss. 3, pp. 266279. https://doi.org/10.1134/S2070048213030034
18. D'Ascenzo N., Saveliev V. I., Chetverushkin B. N. On an algorithm for solving parabolic and elliptic equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, iss. 8, pp. 1290-1297. https://doi.org/10.1134/S0965542515080035
19. Chetverushkin B. N., D'Ascenzo N., Saveliev A. V., Saveliev V. I. A kinetic model for magnetogas-dynamics. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, iss. 5, pp. 544-553. https://doi.org/10.1134/S2070048217050039
20. Sukhinov A. I., Protsenko E. A., Chistyakov A. E., Shreter S. A. Comparison of computational efficiency of explicit and implicit schemes for the sediment transport problem in coastal zones. Vychislitel'nye metody i programmirovanie [Numerical Methods and Programming], 2015, vol. 16, iss. 3, pp. 328-338 (in Russian). https://doi.org/10.26089/NumMet.v16r332, EDN: YTTYNN
21. Sukhinov A., Chistyakov A., Sidoryakina V. Investigation of nonlinear 2D bottom transportation dynamics in coastal zone on optimal curvilinear boundary adaptive grids. XIIIInternational Scientific-Technical Conference "Dynamic of Technical Systems" (DTS-2017) (September 13-15, 2017). Rostov-on-Don, EDP Sciences, 2017, art. 4003. https://doi.org/10.1051/matecconf/201713204003, EDN: ZWFGPV
22. Kovtun I. I., Protsenko E. A., Sukhinov A. I., Chistyakov A. E. Calculating the impact on aquatic resources dredging in the White Sea. Fundamentalnaya i prikladnaya gidrofizika [Fundamental and Applied Hydrophysics], 2016, vol. 9, iss. 2, pp. 27-38 (in Russian). EDN: XENHWZ
23. Biologicheskiye protsessy i samoochishcheniye na zagryaznennom uchastke reki: (na primere verkh. Dnepra) [Vinberg G. G. (ed.) Biological Processes and Self-purification in a Polluted River Section: The Example of the Upper Dnieper]. Minsk, Belarusian University Publ., 1973. 192 p. (in Russian).
24. Vinberg G. G., Alimov A. F., Balushkina E. V., Nikulina V. N., Finogenova N. P., Tsalolikhin S. Ya. Experience in using different systems for biological indication of water pollution. In: Nauchnyye osnovy kontrolya kachestva poverkhnostnykh vod po gidrobiologicheskim pokazatelyam [Scientific Basis for Monitoring the Quality of Surface Waters Based on Hydrobiological Indicators]. Leningrad, Gidrometeoizdat, 1977, pp. 124-132 (in Russian).
25. Danilov-Danilyan V. I., Gotovtsev A. V., Nikanorov A. M. BOD monitoring problems. Water Resources, 2012, vol. 39, iss. 5, pp. 546-555. https://doi.org/10.1134/S0097807812040069, EDN: RGHYKF
26. Dzhamalov R. G., Myagkova K. G., Nikanorov A. M., Reshetnyak O. S., Safronova T. I., Trofimchuk M. M. Hydrochemical runoff of rivers in the Oka basin. Voda i ekologiya: problemy i resheniya [Water and Ecology: Problems and Solutions], 2017, iss. 4 (72), pp. 26-39 (in Russian). https://doi.org/10.23968/2305-3488.2017.22a26-39, EDN: YPORLZ
27. Nikanorov A. M., Bryzgalo V. A., Reshetnyak O. S. Variability of the ecological state of river zones of estuarine ecosystems of large Russian rivers. Voda: khimiya i ekologiya [Water: Chemistry and Ecology], 2013, iss. 12, pp. 15-21 (in Russian). EDN: RPYDUF
28. Matishov G. G., Stepanyan O. V., Grigorenko K. S., Kharkovsky V. M., Povazhny V. V., Soyer V. G. Specific features of hydrological and hydrochemical conditions of the Sea of Azov and the Black Sea in 2013. Bulletin of the Southern Scientific Center, 2015, vol. 11, iss. 2. P. 36-44 (in Russian). EDN: UCBKRJ
Поступила в редакцию / Received 11.05.2023 Принята к публикации / Accepted 11.07.2023 Опубликована / Published 31.05.2024
