Использование обобщенной теоремы Паули для нечетных элементов алгебры Клиффорда для анализа связей между спинорными и ортогональными группами произвольных размерностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.744

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЁННОЙ ТЕОРЕМЫ ПАУЛИ ДЛЯ НЕЧЁТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ КЛИФФОРДА ДЛЯ АНАЛИЗА СВЯЗЕЙ МЕЖДУ СПИНОРНЫМИ И ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Д. С. Широков

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН,

Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8.

E-mail: shirokov@mi.ras.ru

С помощью обобщённой теоремы Паули доказывается теорема о двулистном накрытии ортогональных групп спинорными. Доказаны теоремы о двулистных накрытиях ортохронной, ортохорной, специальной и специальной ортохронной групп соответствующими спинорными группами. Показано различие подходов с использованием присоединённого действия и изменённого присоединенного действия.

Ключевые слова: алгебры Клиффорда, теорема Паули, спинорные группы, ортогональные группы, теорема о двулистном накрытии, ортохронная группа, ортохорная группа.

1. Вещественные и комплексные алгебры Клиффорда. Рассмотрим вещественную (F = R) или комплексную (F = С) алгебру Клиффорда Cdv(p,q) (см. подробнее в предыдущей работе автора [2]), задаваемую набором генераторов е“, а = 1,2,..., гг. Генераторы удовлетворяют определяющим анти-коммутационным соотношениям алгебры Клиффорда еаеь + еьеа = 2г]аЬе, где V = И7?0,6!! = diag(l,..., 1, —1,... , —1) есть диагональная матрица, у которой р штук 1 и q штук —1 на диагонали. Базисные элементы еА занумерованы упорядоченными мультииндексами А длины от 0 до п. Произвольный элемент алгебры Клиффорда будем записывать как

и = ие + иаеа+ ^2 uaia2eaia2 + ...+Ui,„ne1-n = илеА, UA € F У А.

Cil <&2

Векторные подпространства, натянутые на элементы eai'"“fc, занумерованные упорядоченными мультииндексами длины к, обозначаются через С^. (р, q) и называются подпространствами элементов ранга к. Алгебра Клиффорда С£^(р, q) является супералгеброй, а именно представляется в виде прямой суммы чётного и нечётного подпространств

Cf{p, q) = С£^чеп(р, q) 0 CfOAA{p, q) = 0 Cfk{p, q) ® 0 Cfk{p, q).

k—even k—odd

Рассмотрим две линейные операции сопряжения на алгебре Клиффорда Ciw(p, q). Операция чётностного сопряжения переводит чётные элементы алгебры Клиффорда в себя, а у нечётных элементов меняет знак: Ux = (Ueven + + Uodd)X = Ueven — U0(id. Операция реверс меняет порядок генераторов в произведении: (Ae“1"'“fc)~ = Ae“fc ... eai, А € F.

Дмитрий Сергеевич Широков, аспирант, отд. математической физики.

2. Обобщённая теорема Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда. В [1] автором были предложены обобщения теоремы Паули на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда. В настоящем изложении рассмотрим случай, когда в качестве двух наборов элементов 7“ и /?“, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, выступают нечётные элементы алгебры Клиффорда. Заметим, что в отличие от общего случая [1] мы имеем 2 (а не 6) различных варианта связи двух наборов элементов алгебры Клиффорда нечётной размерности п.

Теорема. Пусть С^(р,д) — вещественная (или комплексная) алгебра Клиффорда размерности п = р + д. Пусть два набора нечётных элементов алгебры Клиффорда 7“,/?“ € С(^ОЛЛ(р,д), а = 1,2,...,гг удовлетворяют соотношениям 7“7Ь + 7^7“ = 2г]аЬе, /За/Зь + /Зь/За = 2г]аЬе.

Тогда оба набора генерируют базисы алгебры Клиффорда и выражения 71".п, р1 ...га Принимают значения ±е1"'га. Кроме того:

1) В случае чётного п существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т (причём Т € С^Еуеп(Р> Ч)> если (51-п = 71-п, и Т е 0?ОАА(р, ч)> если @1'"п = —71"'"') такой, что

7 а = Т~1(ЗаТ, Уа = 1,...,п.

Кроме того, такой элемент Т имеет вид Т = (ЗаР^а, где Р —такой элемент из множества {Г)А, А £ Т^еп}, если [31-п = и из

{7а,А £ Тема}, если [31-п = что [5аР^а ф 0.

2) В случае нечётного п существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т £ С^чеп(р,д) (а значит, и другой Т £ 0?ОАА(р,д), полученный из первого умножением на е1'"п) такой, что

7 а = Т~1(ЗаТ, Уа = 1,...,п /?1-га = 7!-™,

7а = _т-1раТ, \/а=1,...,П £1...п = _71...п

При этом в обоих случаях элемент Т имеет вид

Т= Е

\'еп

где Р —такой элемент из множества {Г)А, А £ Т^еп} (или из множества {Г)А, А £ Хосы}), что

\'еп

Также нас будет интересовать связь двух наборов элементов вида 7“ = = (Тх)~1раТ, где А. —чётностное сопряжение.

Теорема. При предположениях предыдущей теоремы верно следующее. В случае алгебры Клиффорда С£^(р, д) произвольной (чётной и нечётной)

размерности п существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т (причём Т £ С£^чеп(р, q), если fjl-n = ^1-п и Т £ 0FOdd(p,q), если fjl-n = такой, что

7a = Tx~lf3aT, Уа = 1,... ,п.

Кроме того:

1) В случае чётного п такой элемент Т имеет вид Т = f3AF^A, если /31-п = и среди элементов Т = (—1)^/3aFja, если =

= —71"'га, где F — такой элемент из множества {^А, А £ ^Even}, если Р1-п = 71-п) и из {7Л,А £ 2bdd}, если f]1-n = — что построенный по нему Т отличен от нуля.

2) В случае нечётного п такой элемент Т имеет вид

Т= £ PAFeA,

ven

где F — такой элемент из множества {^А, А £ lEven}, если /31-п = = 71"'га, и из {7А, А £ Xodd}, если = —71---"-, что

£ РЛре-АфО.

А£1е

ven

Заметим, что в последней теореме элемент Т, о существовании которого идёт речь, единственен с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу (а не на произвольный обратимый элемент центра, который в случае нечётной размерности представляет собой элемент из подпространства al(p,q) ®awn(p,q)).

3. Связь группы Липшица и ортогональных групп. Рассмотрим присоединённое действие

ad : aRx(p,q) EndCf\p,q),

действующее на группе обратимых элементов вещественной алгебры Клиффорда С1Жх (р, q) как Т ady, где adyf/ = TUT-1 для любого U £ CdR(p, q). Рассмотрим измененное (twisted) присоединенное действие

ad : C£Rx(p,q) -»• EndC£R(p,q),

X X

которое задаётся как Т adт, где adт U = TxUT~l для любого U £ CdR(p, q).

Рассмотрим группу Липшица1

Г±(р,(?) = {Т£ a^en(p,q)UCfRxdd(p,q) | Ух £ C^{p,q),TxT~l £ CfR(p,q)}

и её специальную подгруппу Т+ = {Т £ Г±(р, q) \ Т £ С^еп(р, <?)}•

1 Здесь и далее символом х обозначается взятие подмножества обратимых элементов соответствующего множества.

X

В случае алгебры Клиффорда чётной размерности п гомоморфизмы аё и аё сюръективно отображают группу Липшица Г1*1 в псевдоортогональную группу О(р,д) = {А € Ма1;(п,М) | Атг]А = г]}. В случае алгебры Клиффорда нечётной размерности п утверждение будет верно только для гомоморфиз-

X

ма аё. Эти факты в литературе доказываются с применением теоремы Кар-тана—Дьедонне [3]. Далее мы докажем эти факты другим путём, с использованием обобщённой теоремы Паули (и без использования теоремы Картана— Дьедонне). Мы будем также рассматривать специальную подгруппу псевдо-ортогональной группы 80(р,д) = {А е О(р,д) | ёе1]А = 1}.

Теорема. Рассмотрим алгебру Клиффорда С£к(р, д) размерности п = р+д. Тогда следующие отображения сюръективны с ядром С(^х (р, д):

аё(Г±) = О(р,д) при чётном щ

аё (Г1*1) = О(р,д), аё (Г+) = аё(Г+) = ЯО(р,д).

Следующее отображение сюръективно с ядром {С(^х (р, д),С(^х (р, д)}: аё(Г=ь) = БО(р, д) при нечётном п.

Доказательство. Возьмём произвольную псевдоортогональную матрицу Р = \\р%\\ € О(р,д), и построим набор элементов /?“ = р%еь. Легко проверить, что набор {/?“} удовлетворяет определяющим соотношениям алгебры Клиффорда /За/Зь + /Зь/За = РсРЬ(1есеЛ + рь(1р(^е(1ес = р^р^2г]сс1е = 2г)аЬе, т. к. РТг]Р = г). Тогда для наборов {е“} и {/?“} применима обобщённая теорема Паули (см. предыдущий параграф), а именно существует элемент Т е 0^уеп(р, д) иС?оаа(Р> Я) такой, что ТеаТ~1 = /?“ = р1еь. Из этой формулы следует, что Ух £ С£^(р, д), ТхТ~1 € С£^(р, д). Итак, Т и мы получили соответствие, при котором для каждой матрицы Р € О (р,д) найдется элемент из группы Г1*1.

Имеем /З1-™ = . .-Рапеа" = ((1еЛР)е1--/п. В последнем выра-

жении коэффициенты при всех элементах базиса, отличных от е1'"”, равны нулю. Чтобы показать это, надо воспользоваться тем, что /51---га = ±е1"лг.

Заключаем, что если (31-п = е1'"™ (т. е. (1еЬР = 1), то Т е С^чеп(р,д).

X

В противном случае имеем Т € С£^АА(р, д). В случае отображения аё пользуемся другой теоремой из предыдущего параграфа. □

4. Связь ортогональных и спинорных групп. Заметим, что ядром присоединенного действия кег(аё) является множество х (р, д) в случае чётного п и подпространство (С(^(р,д) ф СХ^(р, д))х в случае нечётного п. Ядром изменённого присоединенного действия кег(аё) является множество х (р, д) в случае произвольного п.

Рассмотрим на алгебре Клиффорда С1ж(р, д) гомоморфизм N : С1ж(р, д) —>• (Хк(р, д), задаваемый следующим образом: 17 N(17) = 17~17. Говорят, что

этот гомоморфизм задает «норму» элементов алгебры Клиффорда (Хк(р, д).

Можно также ввести другую «норму» N^■ С£ж(р,д) —> (Хк(р,д), которая задаётся как 17 N (17) = и~х и.

X

Лемма. Нормы N(T) = и N (Т) = Т Т отображают группу Липшица Г± в множество С£q х (р, q).

Доказательство. Для любого х € (?) имеем (ТжТ-1)~ = ТжТ-1,

(ТжТ_1)~ = (Г-^-жГ- и (Т-)-1 = (Т-1)-. Тогда Т~Тж = жТ~Т, т. е. Т~Т лежит в центре алгебры Клиффорда. Так как Т € Г1*1 либо чётный, либо нечётный, то Т~Т — чётный элемент и, следовательно, он является элемен-

X

том вида Ае. Так как Т ф 0, то А ф 0. Заметим, что N (Т) = ±N(T) для

Т € Г1*1 и знак зависит от чётности элемента Т. □

Нормируя группу Липшица, получаем следующие 5 спинорных групп:

Pin (p,q) = {ТеГ±|Т~Т = ±е} = {ТеГ±|Т~АТ = ±е},

Pin ±{p,q) = {Т€Г±|Т~Т = +е},

Pin t(p,q) = {Т€Г±|Т^Т = +е},

Spin(p, q) = {Те Г+|Т~Т = ±е} = {Т е Г+|Т~АТ = ±е},

Spinn(p,q) = {Т еТ+\Т-Т = +е} = {Т еТ+\Т-хТ = +е}.

Из определения спинорных групп следует, что группа Pin(p, q) при р ф 0 и q ф 0 состоит из четырёх (не обязательно связных) компонент (в вырожденных случаях р = 0 и q = 0 — из двух компонент):

Pin(p, q) = Spin-^(р, q) U Spin;(p, q) U Pin^(p, q) U Pin^(p, q),

где Pin\(p,q) = Pint(p,q) \ Spinn(p,q), Pin[(p,q) = Pin±(p,q) \ Spinn(p,q), Spin'(p, q) = Spin(p, q) \ Spinf4(p, q).

Теорема. Следующие отображения сюръективны с ядром {±1}: ad(Pin(p, (?)) = О(p,q) при чётном щ

X X

ad (Pin(p, q)) = О(p,q), ad (Spin(p, q)) = ad(Spin(p, q)) = SO(p, q).

Следующее отображение сюръективно с ядром {±1, ±eL"ra}: ad : Pin(p, q) —>■ SO(p, q) при, нечётном п.

Доказательство. Теорема следует из теоремы предыдущего параграфа и леммы.□

5. Случай остальных ортогональных групп. Будем рассматривать псевдо-евклидово пространство Шр,д сигнатуры (р, q) и называть первые р координат временными, а последние q — пространственными. Будем рассматривать следующие подгруппы псевдоортогональной группы: ортохронную О|(р, (?) = = {А Є О(р,д) | А\-Рр > 0}, ортохорную О4(р,д) = {А Є О(р,д) | Арр\\;;пп > 0} и специальную ортохронную ЭОц,(р, (?) = {А Є О(р, (?) | А\'"р > 0, detA = 1},

где А\" р и Ар^\"'™ — соответствующие миноры матрицы А (см. также [2]). Отметим, что ортохронная группа состоит из преобразований псевдоевклидова

пространства, сохраняющих ориентацию во времени. Ортохорную группу образуют преобразования, сохраняющие пространственную ориентацию. Группа О (р, (?) при р ф 0 и д ф О состоит из четырёх связных компонент О (р, (?) = = йОп(р, д) и 80'(р, д) и О\(р, д) и 0[(р, д), где О\(р, д) = 0^(р, д) \ $Оп(р, д), О\{р, д) = О4.(р, д) \ БОп(р, д), БО'(р, д) = 8ріп(р, д) \ БОп(р, д).

Далее будут сформулированы утверждения о сюръективных отображениях других спинорных групп (Ріп-|-(р, (?), РіП|(р, (?) и 8ріп^(р, (?)) на подгруппы псевдоортогональной группы (0^(р,д), О^{р,д) и 80^(р, д)). Для их доказательства нам понадобятся утверждение о норме элементов спинорных групп, которое было сформулировано в [2]. На алгебре Клиффорда (Хк(р, (?) можно задать структуру евклидова пространства, т. е. задать операцию скалярного произведения (17,V) = Тг([/ЇУ). Скалярное произведение естественным образом порождает норму ||С7|| = \/Тг(и^17). Здесь | — операция эрмитова сопряжения элементов алгебры Клиффорда (см. [4,2]).

Теорема [2]. Пусть элемент алгебры Клиффорда Т принадлежит груп-

х

пе Ріп(р, (?) и пусть при гомоморфизме аё элемент Т переходит в ортогональную матрицу А Є 0(р,д). Тогда норма элемента Т связана с главными минорами этой матрицы А\"'р, следующим образом:

||Т||2 = Тг(Г+Г) = <

А\::РР = АРР+і::па 8ріппСр> «)>

А\::% = -АРРХ\:1 & т є ріп^.(р, д),

~АСІ = АіХ1і:1 т є Ріп\(р, д),

, -А\::РР = ~АРРХ\:1 & т є 8рт>, д).

Теорема. Следующие гомоморфизмы сюръективны с ядром {±1}:

X X

аё: Рщ(р, д) ->■ О^р, д), аё: Рщ(р, д) ->■ О±(р, д),

X

аё: 8ртп(р,д) ->■ ЯОп(р,д).

Доказательство. Теорема следует из двух предыдущих в силу ||Т||2 ^ о.п

Связь спинорных и ортогональных групп явно выражается формулой

ТхеаТ~1 = раьеь,

которая ставит в соответствие каждой матрице Р = из соответствую-

щей ортогональной группы О(р,д), 80(р,д), 0^(р,д), 0^(р,д), ЯО^(р,д) пару элементов ±Т из соответствующей спинорной группы Рш(р, (?), 81пп(р,д), Рщ(р,д), Рт \.(р,д), 8ртп(р,д).

Теперь сформулируем аналогичное утверждение о норме элементов спинорных групп в случае действия гомоморфизма аё.

Теорема. Пусть элемент алгебры Клиффорда Т принадлежит группе Рш(р, (?) и пусть при гомоморфизме аё элемент Т переходит в ортогональную матрицу А € 0(р,д). Тогда норма элемента Т связана с главными минорами этой матрицы А\"'р, Ар^\"'™ следующим образом:

в случае р — четное, д — четное

||Т||2 = Тг(Т+Т) = <

' А1.:РР = £ Ярт^ф, д),

А\::1 = -АРРХ\:1 & т е я),

~А1= аррХ\:1 т е ^

, -а1::рр = ^ т е 8р1п'(р>ч)-,

в случае р — нечётное, д — нечётное

||Т||2 =

' А\:.% = КХ1!^ ^ Т £ я),

~А1 ::РР = КХ1^! ^ т е рЧ^> з),

А\:1 = -^Й::.п ^ т е рЧ^> «)>

, -А:::£ = ^ т е 8рт>, д);

в случае р — четное, д — нечетное

,1 ...р _ Лр+1...п

цТ||2=1 А1.:1 = АРр+1.:Па е8ртп(р,д)иРт\(р,д),

\ ~А1.'.'Рр = -А1Х 1..2 е РЦ(р, д) и Ярт\р, д)]

в случае р — нечетное, д — четное

цтц2=1 А1.1 = АРр+1.2 <^Т е8ртп(р,д)иРт[(р,д),

{ ~А1.'.'РР = ^ т £ р1г4(р> ^ и йр 1п/(р’ ^)-

Теорема.

1) Если р, д — чётные, то следующие гомоморфизмы сюръективны с ядром {±1}:

аё : Рш|(р, д) ->■ 0^(р, д), аё : Рщ(р, д) ->■ О±(р, д),

аё : 8ртп(р,д) ->■ 80п(р,д)]

2) если р, д — нечётные, то следующие гомоморфизмы сюръективны с ядром {±1}:

аё : Рщ(р, д) ->■ О±(р, д), аё : Р\щ(р, д) ->■ 0^(р, д),

аё : 8ртп(р,д) ->■ 80п(р,д)]

3) если р — чётное, д — нечётное, то следующие гомоморфизмы сюръективны с соответствующим ядром:

аё : Рщ(р, д) ->■ ЯОп(р, д), {±1, ±е1"лг},

аё : Р\щ(р, д) ->■ $0(р, д), аё : Яр^ф, д) ->■ 80п(р, д), {±1};

4) если р — нечётное, д — чётное, то следующие гомоморфизмы сюръек-тивны с соответствующим ядром:

аё : Р\щ(р, д) ->■ БОп(р, д), {±1, ±е1-п),

аё : Р\щ(р, д) ->■ $0(р, д), аё : Яр^ф, д) ->■ 80п(р, д), {±1}.

Доказательство. Теорема следует из предыдущей теоремы о норме элементов спинорных групп.□

Отметим, что в предыдущих утверждениях мы говорили о сюръективных отображениях с ядром {±1}, однако, более того, можно утверждать о двулистных накрытиях ортогональных групп спинорными (требуется проверить топологические свойства рассматриваемых групп).

Как мы видим, в случае нечётного п гомоморфизм аё уже не описывает двулистное накрытие ортогональных групп спинорными. Ядро отображения в некоторых случаях состоит из 4 элементов. Например, возьмём произвольный элемент £ € Рш(р, д). Тогда ему очевидно ставится в соответствие та же ортогональная матрица, что и элементам ——е1'""^ в силу формулы ТеаТ~1 = раьеъ.

Следующая таблица отображает образ группы Рт(р, д) и ее компонент

х

при действии гомоморфизмов аё и аё в случае различных сигнатур (р,д):

X ad ad

(p, q) — любые p—чётн. q — чётн. p — нечёт. q—нечётн. p—нечётн. q — чётн. p — чётн. q—нечётн.

Pill| O^ o^ °4 so' son

м °4 °4 O^ son so'

Spin7 SO' SO' SO' so' so'

Spint| son son son son son

Pin о о о so so

Заметим, что для построения общей картины связи спинорных и ортогональных групп удобно пользоваться измененным присоединенным пред-

X

ставлением аё, которое ставит в соответствие спинорным группам одни и те же соответствующие ортогональные группы для случая всех сигнатур (р,д). Вместе с тем, в частных случаях часто пользуются отображением аё, т. к. оно устроено проще. Например, в случае сигнатуры (1,3) можно пользоваться обоими отображениями, но помнить, что при смене одного отображения на другое меняются местами накрытия ортохронной и ортохорной групп.

Автор выражает благодарность Н. Г. Марчуку за постановку задачи и полезные замечания. Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ-2928.2012.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Д. С. Широков, “Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда”// Докл. Акад. наук, 2011. Т. 440, №5. С. 607-610; англ. пер.: D. S. Shirokov, “Extension of Pauli’s theorem to Clifford algebras” // Dokl. Math., 2011. Vol. 84, no. 2. Pp. 699-70L

2. Д. С. Широков, “Теорема о норме элементов спинорных групп” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №1(22). С. 165-171. [D. S. Shirokov, “Theorem

on the norm of elements of spinor groups” // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 1(22). Pp. 165-171].

3. I. M. Benn, R. W. Tucker, An introduction to spinors and geometry with applications in

physics. Bristol: Adam Hilger, Ltd., 1987. x+358 pp.

4. N. G. Marchuk, D. S. Shirokov, “Unitary spaces on Clifford algebras” // Adv. Appl. Clifford

Algebr., 2008. Vol. 18, no. 2. Pp. 237-254.

Поступила в редакцию 16/XI/2012; в окончательном варианте — 27/1/2013.

MSC: 15А66

THE USE OF THE GENERALIZED PAULI’S THEOREM FOR ODD ELEMENTS OF CLIFFORD ALGEBRA TO ANALYZE RELATIONS BETWEEN SPIN AND ORTHOGONAL GROUPS OF ARBITRARY DIMENSIONS

D. S. Shirokov

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences,

8, Gubkina St., Moscow, 119991, Russia.

E-mail: shirokov@mi .ras .ru

In the present paper we consider the use of generalized Pauli’s theorem to prove the theorem about double cover of orthogonal groups by spin groups. We prove theorems about double cover of orthochronous, othochorous, special and special orthochronous groups by corresponding spin groups. We show the difference between the approaches using adjoint action and twisted adjoint action.

Key words: Clifford algebra, Pauli’s theorem, spin groups, orthogonal groups, double cover, orthochronous group, orthochorous group.

Original article submitted 16/XI/2012; revision submitted 27/1/2013.

Dmitry S. Shirokov, Postgraduate Student, Dept, of Mathematical Physics.