CC BY
157ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ РЫНОЧНОГО РИСКА
Д. А. ТИМИРКАЕВ,
аспирант, кафедры математического моделирования экономических процессов E-mail: [email protected] Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации
В основе большинства современных количественных моделей оценки риска лежит предположение о статистических свойствах финансовых рынков, в частности, динамики волатильности факторов риска. В статье на примере российских акций рассматриваются модели волатильности финансовых инструментов, способы оценки их точности и эффективности при определении величины рыночного риска.
Ключевые слова: реализованная волатильность, бэктестинг, риск-менеджмент, VaR, GARCH.
Рыночный риск обычно оценивается с использованием показателя «стоимость под риском» — VaR (Value at Risk). С помощью VaR оценивается риск портфеля финансовых инструментов в виде величины, соответствующей нижней границе убытков. Теоретически риск-менеджер должен иметь представление о полном статистическом законе распределения убытков портфеля, однако на практике обычно используется одно число — потери, которые не будут превышены с заданной вероятностью, например 99%.
Пусть фиксирован некоторый портфель открытых позиций. VaR портфеля для данного доверительного уровня (1 — а) и данного периода удержания позиций t определяется как такое значение, которое обеспечивает покрытие возможных потерь х держателя портфеля за время t с вероятностью (1 — a): P(VaR >х) = 1-а.
Модели волатильности финансовых инструментов. Волатильность применяется во многих финансовых приложениях. Одним из важнейших шагов при оценивании показателя VaR в банковском риск-менеджменте является оценка волатильности факторов риска.
GARCH-модель (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic model) была предложена Т. Боллерслевым в 1986 г. [7]. Она получила широкое распространение и оказалась настолько удобной, что возникло множество ее модификаций. Главная особенность GARCH-процесса состоит в том, что условная дисперсия процесса зависит как от квадратов предыдущих значений процесса Xt, так и от предыдущих значений условной дисперсии.
Пусть (Z)tGZ— строгий белый шум SWN (0,1), тогда говорят, что процесс (Zt)teZ является одномерным GARCH-процессом, если он задается следующими выражениями:
Xt =atZt, p q
a) =a0 X2t_i . a?_,, i=1 j=1
где a0 > 0, a,. > 0, i = 1..p, pj > 0, j = 1..q.
Если Zt/N(0,1), то
Xt\ntJN(0, a)), где — предыстория процесса Xt.
В настоящее время существует множество модификаций GARCH-моделей. Все эти модели включают в себя какие-либо авторегрессионно условно гетероскедастичные процессы. Формально процесс X с нулевым условным математическим ожиданием Е (Xt = 0 является авторегрес-
сионно условно гетероскедастичным, если его условная относительно предыстории дисперсия некоторым образом зависит от предыстории
о? = E (X,2|Q,_i) = VaR(X, |ЦЧ).
Одна из возможностей модификации — это изменение закона распределения инноваций. Практическое применение GARCH-моделей показало, что они позволяют успешно моделировать эффект
кластеризации, т.е. существования периодов с высокой волатильностью и низкой, однако им не удалось решить проблему «толстых хвостов». Если взять остатки GARCH-моделей с нормальным распределением величин Z и рассчитать эксцесс такого распределения, то окажется, что он значительно превышает эксцесс нормального распределения. Таким образом, логичным выглядит предложение заменить нормальное распределение инноваций Zt на распределение Стьюдента с более «толстыми хвостами», что дает модель i-GARCH [6].
Альтернативный способ выбора типа распределения инноваций предложен в работах [5, 15].
Для оценки квантили используются нормирован-
„ X,
ные данные z = —, а затем применяется метод
исторического моделирования (filtered historical simulation). Оценки а, можно получать с помощью любых моделей волатильности, что приведет к различным оценкам квантили.
ОценкаУаЯполучается следующим образом: VR, =-at+1(J-1(m), где Gj (m) — оценка а-квантили распределения z t; т — глубина горизонта на котором проводится оценка квантили (например, 250 дней). Другой способ модификации GARCH состоит в изменении формы функциональной зависимости, определяющей величину а) . В модели IGARCH (интегрированная GARCH) во-латильность оценивается с помощью формулы: а,2 =а0 + (1 -X) X2Ч.
Очевидно, что IGARH — это следствие GARCH, в котором Pj = X, at = 1 — X. Частный случай IGARCH с коэффициентом а0 = 0 использован в классическом подходе компании RiskMetrics [16] для оценки показателя VaR. Эту модель часто называют EWMA — модель экспоненциально-взвешенного скользящего среднего. Характерная черта модели состоит в том, что прогноз волатильности на любой горизонт постоянен <з\(1) = <з\(1). Подставив в формулу выражения о?_1 = Х<з]_2 + (1 -ВД2_2 , а)_2 = + (1 ~Х)Х]_Ъ ...,
да
получаем: ст) (1 -X) XJXt2_1_j. , что объясняет
j=0
происхождение термина «экспоненциальное сглаживание».
В стандартной GARCH-модели условная дисперсия не зависит от знака Xt, а зависит только от абсолютной величины. Это может стать серьезным ограничением, поскольку в реальных финансовых данных часто наблюдается эффект рычага, заключающегося в том, что будущие значения во-
латильности отрицательно коррелируют с текущей доходностью. Одной из самых известных является модель GJR-GARCH, по имени авторов, которые ее предложили в работе [11]. Модель GJR-GARCH имеет форму:
а? =а0 +£ (а, ) XI + £ р, ^,
где коэффициенты а;., Ру., у(. — неотрицательные величины, обладающие стандартными для GARCH-моделей свойствами;
N — индикатор, принимающий значение единицы, если доходность Хы < 0, и ноль, если Хы > 0:
Г1» х11 < о
N =<
[о, х,_ > о
Для оценки показателя УаЯ портфеля необходима прогнозная ковариационная матрица. По аналогии с одномерным GARCH-пpoцeccoм можно ввести понятие многомерного GARCH-пpoцecca.
Пусть многомерный процесс строгий
белый шум ¿ЖУ (О,1а), тогда говорят, что процесс
^является многомерным GARCH-пpoцeccoм, если он строго стационарен и задается следующим выражением:
х, = £ 1/2 г?,? е г, (1)
где Е,12 е — матрица, получаемая при использовании разложения Холецкого (квадратный корень
из матрицы Ъ) ^ , = ^ 1/2 (^ 1/2 )Т, положительно определенная матрица, измеримая относительно истории процесса = ст({Хх / 5 < ? -1}).
Условное математическое ожидание данного процесса равно нулю, так как
Е(X, | П(_1) = Е(^2, | П,_1) = Е1/2Е(2, | П,_1) = 0, а условная ковариационная матрица есть просто
Соу(Х,|ЦЧ) = Е(X,ХТ |ЦЧ) = = Е1/2Е(2,гТ | ^_1)(^1/2)Т =Е1/2(Е1/2)Т = 2,.
Матрица служит аналогом условной дисперсии в одномерных GARCH-пpoцeccax. Далее рассмотрим моделирование условной корреляционной матрицы и последующий переход к ковариационной матрице с помощью формулы:
=др А,,
где А( — диагональная матрица волатильностей;
Р{ — матрица условных корреляций.
Этот способ значительно упрощает построение Е,, так как в качестве диагональных элементов этой матрицы используются значения волатильностей, полученные с помощью одномерных GARCH-моделей.
Модель ССС-ОАЯСН впервые была предложена в работе [8] с целью построения ковариационной матрицы на основе одномерных ОАЯСН-моделей.
Говорят, что ^является ССС-ОАЯСН-про-цессом, если его форма описывается выражением (1) и матрица условной ковариации имеет форму: 2, = Д,РД,,
, , С ,5
где Рс — постоянная положительно определенная матрица коэффициентов корреляции девола-тизированного процесса У', А — диагональная матрица волатильностей с элементами ст( к, такими, что:
(PL =
(Q
V(Q},, (Q,} j
где <21 — условная ковариационная матрица процесса У'.
Q,=(1 -£«,р ,) р+£ +£ РД,
1=\ ,=1 1=\ .,=1
где Рс — это постоянная положительно определенная безусловная корреляционная матрица процесса У1 (Рс является и ковариационной матрицей, так как безусловные дисперсии элементов процесса У равны единице), = А~1Х{ — деволатизированный
-±«A + £ РА, к = 1..Д процесс, а, > 0,Pj > 0,£а<-£Pj < 1.
1=1 ,=1
«к о > 0, «ы ^ 0, * =1-Рк, ^ 0, ] = 1-Чк ■
Спецификация ССС-ОАЯСН-процесса представляет собой простейший способ комбинирования одномерных ОАЯСН-процессов. В модели связь наблюдений и последовательности случайных величин задается уравнением
Х1 = А, (РС )12 2(, которое можно переписать как:
X, =А,У,,
где У1 — строгийбелыйшум Рс).
Отсюда очевидно, что компоненты вектора X следуют одномерным ОАЯСН-процессам. Процесс У, = А^1 Х1 назовем деволатизированным процессом. Деволатизация позволяет провести двухшаговую процедуру оценки параметров модели. На первом шаге оцениваются параметры индивидуальных волатильностей с использованием одномерных ОАЯСН-моделей. На втором шаге рассчитываются значения деволатизированного процесса:
У=д " х,,
где А, — оценка матрицы Аг
Если ССС-модель адекватна, то У, является многомерным белым шумом БШЩО, Рс), а матрицу Рс можно получить с помощью стандартных статистических методов оценивания корреляционных матриц.
Модель динамических условных корреляций [10] обобщает ССС-ОАЯСН-модель.
Говорят, что (X) является ВСС-ОАЯСН-процессом, если его форма описывается выражением (1), элементы диагональной матрицы волатильностей А1 являются одномерными ОАЯСН-процес-сами, матрица условной ковариации имеет форму = Л/'Д, а элементы условной корреляционной матрицы Р( деволатизированного процесса У1 определяются выражением:
j=i
В случае если все а;., Ру.равны нулю, то модель сводится к CCC-GARCH-модели. Отличие DCC-GARCH-процесса от CCC-GARCH состоит в том, что условная корреляционная матрица Pt изменяется во времени.
Реализованная волатильность. В начале 2000-хгг. была предложена концепция эмпирической волатильности (realized volatility). Основная идея заключается в том, что исследователю доступны не только дневные данные, но и внутридневная информация по многим торгуемым инструментам. Пусть логарифмическая дневная доходность актива задается процессом:
г, =
где rt = ln pt — ln pt_vpt — последовательность цен, Zt — последовательность независимых одинаково распределенных гауссовских случайных величин Z~ NID (0, 1). В этом случае r~ N( 0, а2).
Далее рассмотрим п цен.р, / = 1...п внутри торгового дня, интервал между наблюдениями равен Л, 1
где п =--это количество доступных внутри дня
Л 1 наблюдений. Например, если Л равняется — , это
означает, что доступны получасовые доходности по инструменту, торговля по которому ведется все 24 часа. Дополнительно предполагаем, что rt = <it tzt р где rt> i = ln - ln tA, zt ^ ~ NID(0, n~l), тогда для дневныхдоходностей и дисперсий выполнено:
n
r,=Z r л ' 1=1
1n
= 1 I < •
пт:
Определим информационное множество
= 3(pab)a°=i°b=0 как сигма-алгебру событий к моменту i в день t, тогда 3,,0 — информационное множество к моменту начала дня t. В этом случае:
E (r) | 3(>o) =Vah (rt | 3(>o) -E\r, | 3„) = a), так как E(rt | 3t 0) = 0 .
Определим дневную реализованную дисперсию (realized variance) как сумму квадратов внут-ридневныхдоходностей [3,4]:
RV, =Yr2..
t / . t.i
i=1
Можно показать, что если внутридневные доходности не коррелированы, то реализованная дисперсия является несмещенной оценкой дневной дисперсии:
E(RVt | 3,,o) = о).
Таким образом, существуют две несмещенные оценки волатильности rfrn RV. Однако можно показать, что более точные оценки дневной волатильности дает суммирование внутридневных доходностей, а не квадрат дневной доходности, так как VaR (RVt | 3t ,0) <VaR (rt21 3t ,0). Более того, при некоторыхусловиях \imVaR(RVt | 3t0) = 0 .
На практике обычнЪ используются интервалы длиной 5—30 минут в зависимости от типа инструмента, так как на меньших интервалах возможны сильные искажения информации. В реальности торги на многих рынках не ведутся все 24 часа, и необходимо учитывать возможность скачка цен в момент открытия биржи. Подробный анализ этой проблемы приведен в работе Т. Андерсона [4].
Для моделирования волатильности можно использовать модель HAR (Heterogenous Autoregressive Realized Volatility model), предложенную в работе Ф. Кореи [9]. В модели предполагается, что вола-тильность является взвесью дневной, недельной и месячной компонент:
adtA =а0 + а^д + а2а1ч,д + аз< -d
где CTt4 д — дневная волатильность;
, I 5
ст™1Д =——недельнаяволатильность;
i=i
22
1 22 " - — V
-1,Д _ 00 ¿.а
22'. .
Предполагается, что ошибка е( — гауссовский белый шум. Для оценивания параметров модели используется метод наименьших квадратов.
Обобщение одномерного случая приводит к следующей формуле для оценки ковариационной матрицы в рамках модели реализованной волатильности:
St ,д=£ R
RT
1+j&,Дл,-1+j&,& ■
j=1
В данном случая опять нет никакой необходимости использования сложных нелинейных
моделей и процедур поиска максимума функции правдоподобия. Вместо этого расчет производится на основе высокочастотных данных, что позволяет считать ковариационные матрицы наблюдаемыми и соответственно моделировать их. В работе [4] показано, что если доходности активов линейно
1
независимы и количество активов меньше —, то
А
ковариационная матрица Е, д будет положительно определенной.
Рассмотренная НАК-модель для реализованных волатильностей может быть обобщена на многомерный случай [9]. Предлагается прогнозировать корреляционную матрицу с помощью модели HAR-MRV:
= С + В(Л) Р,(+ В1X1 Р,1X1 + В(т) Р,(т\ где С, В{,1)' В{к)' В{т) — матрицы коэффициентов
размерности п • п\
р*), р(«о, р/™1 _ дневные, недельные и месячные корреляционные матрицы.
Чтобы получаемая матрица удовлетворяла всем требованиям корреляционной матрицы, должны выполняться условия: во-первых, матрицы р(У), р(р(т) дОЛЖНЫ быть положительно определены; во-вторых, элементы матриц С, В^, 5(и,), В{т) — неотрицательны; в-третьих, для элементов матриц С, В{к), В{т) должно выполняться условие: С,, + И + В™ + В,{т) <= 1.
и и и и
Бэктестинг. Важнейшим этапом проверки адекватности модели является ее бэктестинг по историческим данным. Процедура осуществляется путем анализа поведения модели, заключающегося в подсчете частоты случаев превышения фактическими дневными убытками прогнозных значений УаК за продолжительный период времени в прошлом. На протяжении периода тестирования полученная величина УаК должна превосходить понесенные убытки с относительной частотой, задаваемой доверительным интервалом модели (1-а).
Простейший тест на проверку адекватности ^^-модели предложен в работе [14]. Введем индикатор, принимающий значение единицы, если фактическая доходность превышает уровень УаК, и значение ноль в противном случае:
Ц г, <
I, («) Ч ' ' .
[0, г, > ¥аЯ?
Если модель адекватна, то должно быть выполнено: Н0 /р[1,(а) = 1] = Е[1, (а)] = а . Фактическое количество превышений уровня УаК распределено по биномиальному закону, а статистика отношения
правдоподобия рассчитывается по формуле:
чn-I(а)
' " 11(а)
POF = 21n
1 -а
1 -а
I (а)
где I(а) = УI,(а) , а величина а = —1—- распре-
,=1 п
делена по закону хи-квадрат с двумя степенями свободы. Если полученная статистика меньше критического значения, то нулевая гипотеза принимается.
Статистика РОРне может использоваться, если в ходе проверки модели уровень УаЯ не был превышен ни разу. В этом случае можно воспользоваться альтернативной статистикой, распределенной по стандартному нормальному закону:
а - а) -и/а(1 -а)
На основе этого теста Базельским комитетом разработана процедура бэктестинга внутренних моделей, применяемых банками [2]. Бэктестинг является одним из этапов верификации модели, т. е. проверки ее адекватности.
Для осуществления бэктестинга нужно выбрать структуру портфеля. Обычно состав портфеля изменяется в течение дня, так как трейдеры проводят операции, поэтому рекомендуется наряду с фактическими портфелями использовать и гипотетические. С целью стандартизации Базельский комитет предписывает проводить бэктестинг ежеквартально по выборке из предшествующих 250 дней торгов с использованием доверительного интервала 99 % и горизонта прогнозирования в 1 день.
Если обозначить через п общее количество дней в интервале тестирования, к—количество случаев превышения, р — вероятность случая превышения, то вероятность того, что на всем интервале тестирования общее количество превышений Хдля адекватной модели^ =1 % будет равно в точности к, составляет:
п!
-pk (1 - pf-k.
Р(Х = к\п, р) = Скп Pk (1 - Р)( n-k) =-
k !(n - k)!
Вероятность того, что адекватная модель покажет к или более превышений на интервале тестирования и на основании этого будет отклонена, составляет:
P(X >k \ n,p) = 1 -У P(X = /).
i=0
Попадание модели в последние две зоны будет означать, что ее реальный доверительный интервал, видимо, меньше, чем предписанные 99%. При попадании модели в зеленую зону множитель для расчета размера капитала, резервируемого против рыночного риска (МЯС), не изменяется и остается равным 3. Значения штрафных надбавок [12] показаны в табл. 1. Для моделей из желтой зоны к множителю добавляется штрафная надбавка 5, увеличивая его значениедо уровня 3,4—3,85.
Если же модель относится к красной зоне, то множитель возрастает до максимального значения, равного 4. В этом случае орган надзора может применить санкции, включая требование пересмотра модели, ограничения на операции с торговым портфелем и др.
Способы оценки эффективности моделей УаЯ. Оценка качества модели по методике, предлагаемой Базельским комитетом, позволяет определить точность модели или, другими словами, проверить гипотезу о равенстве фактической частоты превышений убытками дневной величины УаЯ и заданного уровня достоверности. В то же время существует ряд вспомогательных тестов, которые помогают оценить эффективность использования модели с точки зрения самого банка. Все тесты строятся на основе бинарной функции потерь, имеющей вид:
BL,+1 =
1, если Lt+1 > VaRt, 0, если Lt+1 < VaRt
где Ц+1 = р - р+1 —дневной убыток по инструменту на момент ¿+1.
УаР1 — УаЯ инструмент, рассчитанный за ¿-й временной интервал исторических данных, Предположим, что построено & моделей оценки показателя УаЯ и необходимо выбрать наилучшую. Эффективность модели можно оценивать с помощьюдвухпараметров [1]:
- средний неиспользованный риск;
- средний непокрытый риск.
Средний непокрытый риск определяет степень занижения риска (заниженный размер создавае-
Таблица 1
«Штрафные зоны» моделей VaR
В зависимости от количества превышений модель относится к одной из трех зон: зеленой — для адекватных моделей (не более 4 превышений за 250 дней), желтой — для сомнительных моделей (от 5 до 9 превышений) или красной — для неадекватных моделей (10и более превышений).
Зона Количество превышений Надбавка к множителю
Зеленая 0-4 0
Желтая 5 0,4
6 0,5
7 0,65
8 0,75
9 0,85
Красная 10и более 1
мых резервов). Для его определения используется функция:
\hk ~ VaR^, ecnuBL« = 1, I 0, если BLtk = 0
Среднее значение этой функции и является средним непокрытым риском. Данная статистика анализирует только относительные величины превышений, не учитывая частоту их появления. Средний непокрытый риск показывает, насколько метод ошибочен в случае превышения уровня УаЯ. Чем меньше это значение у модели, тем она эффективнее.
Средний неиспользуемый риск показывает, насколько в среднем оценкаУаКпревышаетреализовав-шиеся убытки, т. е. характеризует неиспользованный рисковый капитал (завышение резервов). Эта статистика строится на основе следующей функции:
G,,t =
\VaKk -Цк,
если BLtk = 0,
0, если BLtk = 1
Зарезервированный рисковый капитал не приносит дохода, поэтому желательно, чтобы его значение было минимальным. Поскольку банками резервируется величина МЯС = 3 VaR, то даже незначительное улучшение этого критерия может принести значительную выгоду.
Несколько иной подход предлагается в работе [13]. Статистическая функция потерь для каждой модели имеет следующий вид: Т„ = (а-ВЬ1Л)(Цк -УаВ^) =
[(1 -а) (ГОД" -Ь,л), ВЦ,к =1
[а^ - ГаЯ^), ВЬ,к = 0 .
Задача состоит в минимизации этой функции:
штТ,,к = (а-ВЬ,к)(Ь,к -ГаЯ^к).
Функция потерь асимметрична в том смысле, что штрафы в случае ВЬ( к = 1 значительно выше, чем в случае ВЬ( к = 0.
Величина VaR тесно связана с величиной резервируемого капитала. Поэтому для банка важно также учитывать альтернативную стоимость резервируемых средств. Сделать это можно с помощью краткосрочных ставок межбанковского кредитования. Функция потерь имеет вид:
= ВЦЛ (Цк - УаКк )2 + (1 - ВЬ,Л ) {к | УаКк | = [(Ь1Л - ГоД«)2, ВЦ,к = 1 {11Л1УаЯ!^к1, ВЦк = 0 »
где к — ставка рынка МБК.
Функция складывается из двух слагаемых: первое штрафует за пробой величины VaR, а второе
представляет собой альтернативную стоимость средств, зарезервированных под рыночный риск.
Таким образом, недостаточно просто построить модель оценки показателя VaR, но необходимо оценить ее адекватность, поскольку от этого зависит величина капитала под рыночные риски. Верификация моделей основана на проверке точности моделей, т. е. соответствия фактического доверительного уровня теоретическому, и направлена на выполнение требований регулятора. Для самих же банков важно минимизировать уровень отвлекаемого капитала, выбрав среди прошедших бэктестинг моделей наиболее эффективную.
Оценка эффективности моделей волатиль-ности на примере российских акций. Для анализа выбраны три ценных бумаги: акции компаний ГМК «Норильский никель» (GMKN), Сбербанк России (SBER), ОАО «ЛУКОЙЛ» (LKOH). Эти бумаги являются одними из наиболее ликвидных на фондовой бирже ММВБ. Также по ним имеется подробная статистика по сделкам, включая внутридневные котировки, за период 01.01.2002— 31.12.2009. В качестве фактора риска рассматриваются логарифмические доходности бумаг и их корреляции/ковариации.
В качестве базовой модели анализа используется классическая модель EWMA. В качестве конкурирующих моделей в одномерном случае будут использоваться: GARCH, GARCH-T, i-GARCH, HAR-RV-5 min, HAR-RV-15 min, HAR-RV-30 min. Для многомерного случая в качестве альтернатив рассматриваются: CCC-GARCH, DCC-GARCH, HAR-MRV-5 min, HAR - MRV-15 min, HAR-MRV-30 min.
Для оценки параметров модели использована следующая схема. Переоценка параметров модели производится ежеквартально первого числа каждого нового квартала. В качестве обучающей выборки используются данные предыдущих восьми кварталов, т. е. двух лет. Таким образом, рассматривается 32 квартальных периода. Первый квартал, в котором появляются оценки моделей — это квартал с номером 9 (так как кварталы 1—8 соответствуют первой обучающей выборке), а всего имеется 24 квартала, внутри которых происходит проверка адекватности моделей. Источниками статистической информации служатданныесобщедоступныхсайтов [17, 18].
При расчете показателя ^^для многомерных моделей предполагается, что все бумаги ежедневно имеют равную долю в портфеле.
Бэктестинг одномерныхмоделей волатильнос-ти. Результаты бэктестинга одномерных моделей
ОАЯСН волатильности на основе показателя УаЯ. с доверительным уровнем 95 и 99 % приведены в табл. 2. Наиболее точной оказалась ОАЯСН-модель с инновациями, распределенными в соответствии с распределением Стьюдента (¿-ОАЯСН). Только она показала практические результаты, которые могут быть признаны во всех случаях соответствующими теоретическому доверительному уровню. Для ОАЯСН-моделей с гауссовскими инновациями характерна недооценка уровня риска на уровне 99 %, хотя на уровне 95 % и они показывают хорошие результаты.
Использование моделей НАЯ для прогнозирования реализованной волатильности наталкивается на те же проблемы, что и моделирование ОАЯСН-волатильностей: необходимо выбрать тип
Г
распределения инноваций - — > гДе ~
прогнозируемая реализованная волатильность. Использование нормального распределения приводит к плохим результатам, поскольку получаемые инновации по нему не распределены. Можно воспользоваться распределением Стьюдента, что приведет к необходимости оценки количества степеней свободы и значительно обесценит преимущество НАЯ-модели, заключающееся в использовании простого МНК при оценке параметров модели.
Альтернативный подход — это применение метода фильтрованных симуляций, который не требует дополнительных оценок параметров. Единс-
Бэктестинг одномерных
твенная сложность заключается в необходимости построения реализации процесса инноваций т. е. необходима некоторая история поведения модели для того, чтобы оценить квантиль инноваций.
Результаты бэктестинга одномерных моделей реализованной волатильности на основе показателя УаЯ с доверительным уровнем 95 и 99 % приведены в табл. 3. В первых трех моделях использовались гауссовские инновации, а в последних — ЕН8-инновации, использование которых значительно улучшило результаты бэктестинга.
Для гауссовских инноваций только в одном случае модель можно признать адекватной, в то время как ЕН8-модели оказались неадекватными только раз (в случае НАЯ-ЯУ-ЕШ-5ттдля ОМКМ).
Бэктестинг многомерных моделей волатильности. Результаты бэктестинга многомерных моделей волатильности на основе показателя УаЯ с доверительным уровнем 95 и 99 % приведены в табл. 4. Все модели ЕН8-НАЯ-МЯУ оказались лучше ОАЯСН-моделей, которые могут использоваться для оценки показателя УаЯ только на уровне доверия 95 %.
Оценка эффективности моделей волатильности. Использование различных моделей волатильности при расчете показателя УаЯ нацелено на поиск оптимальной модели в том смысле, что, во-первых, получаемые оценки УаЯ должны соответствовать теоретическому доверительному уровню; во-вторых, они должны способствовать
Таблица 2
Ш-моделей волатильности
Показатель вВЕЯ ькон вмич вВЕК ЬКОН
Точность модели (теоретически) 99 % Точность модели (теоретически) 95 %
Характеристики выборки
Тестовая выборка, дней 1 487 1487 1 487 1487 1487 1487
Пробоев УаЯ (теоретически), % 1 1 1 5 5 5
ЕММА
Пробоев УаЯ (фактически), % 2,29 1,21 1,61 5,45 4,37 5,78
^-статистика 4,985881 0,815777 2,379566 0,79126 -1,112524 1,386193
р-значение, % 0 20,73 0,87 21,44 86,7 8,28
ОАЯСН
Пробоев УаЯ (фактически), % 2,29 1,68 1,88 5,65 4,84 5,25
^-статистика 4,985881 2,640197 3,422092 1,14822 -0,279618 0,434301
р-значение, % 0 0,41 0,03 12,54 61,01 33,2
от-САПСн
Пробоев УаЯ (фактически), % 2,35 1,75 1,82 5,51 5,25 5,45
^-статистика 5,246512 2,900829 3,16146 0,910247 0,434301 0,79126
р-значение, % 0 0,19 0,08 18,13 33,2 21,44
Г-САЯСН
Пробоев УаЯ (фактически), % 1,01 0,27 0,74 3,16 2,08 3,3
^-статистика 0,033882 -2,833065 -1,008644 -3,254281 -5,158065 -3,016308
р-значение, % 48,65 99,77 84,34 99,94 100 99,87
Таблица 4
Таблица 3
Бэктестинг одномерных RV-моделей волатильности
Показатель GMKN SBER LKOH GMKN SBER LKOH
Точность модели (теоретически) 99 % Точность модели (теоретически) 95 %
Характеристики выборки
Тестовая выборка, дней 1 487 1487 1487 1487 1487 1487
Пробоев УаЯ (теоретически), % 1 1 1 5 5 5
HAR-RV-30min
Пробоев VaR (фактически), % 3,56 2,49 3,09 8,47 6,52 7,26
Z-статистика 9,937879 5,767775 8,113459 6,145653 2,695044 4,003896
р-значение, % 0 0 0 0 0,35 0
HAR-RV-15min
Пробоев VaR (фактически), % 3,3 1,95 2,76 7,87 6,39 6,99
Z-статистика 8,895353 3,682723 6,810301 5,074774 2,457071 3,52795
р-значение, % 0 0,01 0 0 0,7 0,02
HAR-RV-5min
Пробоев VaR (фактически), % 2,49 1,68 2,42 6,72 4,98 6,59
Z-статистика 5,767775 2,640197 5,507144 3,052004 -0,041645 2,814031
р-значение, % 0 0,41 0 0,11 51,66 0,24
HAR-RV-FHS-30 min
Пробоев VaR (фактически), % 1,41 1,14 1,41 5,18 5,11 5,04
Z-статистика 1,597671 0,555145 1,597671 0,315314 0,196328 0,077341
р-значение, % 5,51 28,94 5,51 37,63 42,22 46,92
HAR-RV-FHS-15 min
Пробоев VaR (фактически), % 1,48 1,21 1,34 5,65 5,04 5,04
Z-статистика 1,858303 0,815777 1,33704 1,14822 0,077341 0,077341
р-значение, % 3,16 20,73 9,06 12,54 46,92 46,92
HAR-RV-FHS-5 min
Пробоев VaR (фактически), % 1,61 1,28 1,48 5,72 5,58 4,91
Z-статистика 2,379566 1,076408 1,858303 1,267206 1,029233 -0,160632
р-значение, % 0,87 14,09 3,16 10,25 15,17 56,38
Таблица 4 Бэктестинг многомерных моделей волатильности
Показатель MEWMA ссс- GARCH DCC-GARCH FHS-HAR-MRV-30min FHS-HAR-MRV-15min FHS-HAR-MRV-5min
Portfolio VaR 95%
Тестовая выборка, дней 1 487 1 487 1487 1487 1487 1487
Пробоев VaR (теоретически), % 5 5 5 5 5 5
Точность модели (теоретическая) 95 95 95 95 95 95
Пробоев VaR (фактически), % 4,77 5,58 5,31 3,82 3,87 3,98
^-статистика -0,398605 1,029233 0,553287 -2,392851 -2,289264 -2,082091
р-значение, % 65,49 15,17 29 99,16 98,9 98,13
Portfolio VaR 99%
Тестовая выборка, дней 1 487 1 487 1487 1487 1487 1487
Пробоев VaR (теоретически), % 1 1 1 1 1 1
Точность модели (теоретическая) 99 99 99 99 99 99
Пробоев VaR (фактически), % 1,82 2,08 1,95 0,87 0,87 0,92
^-статистика 3,161460 4,203986 3,682723 -0,594476 -0,594476 -0,367577
р-значение, % 0,08 0 0,01 72,39 72,39 64,34
минимизации капитала, выделяемого под рыночный риск. Найдем наиболее эффективные модели. Средние значения функций непокрытого риска Р, неиспользованного риска О, а также функций потерь Т и Л (использованы ставки М1Ьог) приводятся в табл. 5и6 [19].
Для одномерных моделей приведены средние значения показателей для трех рассматриваемых бумаг для двух доверительных уровней 99и95 %.
Как показывает анализ данных табл. 5, наилучшими оказались (выделены жирным шрифтом): - по критерию Р. модель РН8-НАК-ЯУ-5;
Таблица 6
Таблица 5
Оценка эффективности одномерных моделей волатильности, %
Модель F, 99% F, 95% G, 99% G, 95% 99% 95% A, 99% A, 95%
EWMA 2,3885 4,3366 5,617 4,9342 0,1083 0,3404 0,4608 0,3207
GARCH 2,3089 4,3309 5,5295 4,8577 0,1116 0,3425 0,4393 0,3055
GJR-GARCH 2,3179 4,2395 5,4007 4,7433 0,1109 0,3409 0,4256 0,2947
t-GARCH 2,8708 6,1516 7,1721 5,8891 0,116 0,3597 0,6299 0,3768
FHS-HAR-RV-30 1,6985 3,7808 6,1055 5,1664 0,1 0,3402 0,5586 0,3564
FHS-HAR-RV-15 1,8027 3,7541 6,115 5,0868 0,1019 0,3384 0,565 0,3494
FHS-HAR-RV-5 1,6635 3,7399 6,1122 5,0559 0,1004 0,3379 0,5569 0,3467
Оценка эффективности многомерных моделей волатильности, %
Модель F, 99% F, 95% G, 99% G, 95% % 99% % 95% A, 99% A, 95%
MEWMA 2,478 2,1067 6,3545 4,7332 0,1069 0,3209 0,4419 0,3228
CCC-GARCH 2,4596 2,0278 5,8126 4,3722 0,1077 0,3139 0,3973 0,2923
DCC-GARCH 2,6594 2,1162 5,8421 4,3859 0,1086 0,3145 0,4008 0,2946
FHS-HAR-MRV-30 1,7815 1,8345 7,3085 4,6791 0,0924 0,3101 0,5348 0,3232
FHS-HAR-MRV-15 1,8604 1,8579 7,3599 4,6155 0,0938 0,3092 0,5413 0,3187
FHS-HAR-MRV-5 1,7635 1,7591 7,2571 4,6252 0,0928 0,3068 0,5361 0,32
- по критерию О. модель ОЖ-ОАКСН;
- по критерию Т: модель РИЗ-НАЯ-ЯУ-ЗО (случай 99 %) и РН8-НАЯ-ЯУ-5 (случай 95 %);
- по критерию Л: модель ОЖ-ОАЯСН. Таким образом, наиболее эффективными стали
модели ОЖ-ОАЯСН и РШ-НАЯ-ЯУ-5.
Для многомерных моделей (табл. 6) список лучших моделей выглядит так (выделены жирным шрифтом):
- по критерию Р. модель РН8-НАЯ-ЯСог-5;
- по критерию О: модель ССС-ОАЯСН;
- по критерию Т: модель РШ-НАЯ-МЯУ-ЗО (случай 99%) и РШ-НАЯ-ЯУ-5 (случай 95%);
- по критерию Л: модель ССС-ОАЯСН. Наиболее эффективными оказались модели
ССС-ОАЯСН и РШ-НАЯ - МЯУ-5.
Примеры построенных моделей волатильности позволяют судить об эффективности их использования в целях риск-менеджмента. Про-
Список литературы
веденное исследование позволяет утверждать, что наилучшей моделью волатильности для расчета показателя УаЯ является модель РН8-НАЯ-(М) ЯУ с пятиминутными временными интервалами. Для нее выполнена процедура бэктестирования и модель подтвердила адекватность, а также показала наилучшую эффективность. Ее минус в том, что недостаточно ликвидные бумаги не могут оцениваться с помощью моделей реализованной волатильности, поэтому в таких случаях можно применять модели ОАЯСН. Для рассматриваемых бумаг на уровне 95 % доверия в одномерном случае оптимально использование моделей с эффектом рычага, а на 99% — ¿-ОАЯСН, поскольку только она признана адекватной. В многомерном случае на уровне 95 % адекватна и оптимальна модель постоянных условных корреляций, а на уровне 99 % в отсутствие адекватных выбирается наиболее эффективная — это та же ССС-ОАЯСН.
1. Меньшиков И. С., ШелагинД. А. Рыночные риски: методы и модели. М.: Вычислительный центр РАН, 2000.
2. Энциклопедия финансового риск-менеджмента, под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006.
3. Andersen Т. G., Bollerslev Т., Christoffersen P. Р., Diebold F.X. Practical Volatility and Correlation Modeling for Financial Market Risk Management, NBER Chapters, The Risks of Financial Institutions, pages 513—548, National Bureau ofEconomic Research, Inc. 2007.
4. Andersen P. G., Bollerslev P., Diebold F.X., Labys P. Modeling and Forecasting Realized Volatility, Econometrica, Econometric Society, vol. 71(2), March. 2003.
5. Barone-Adesi G., Giannopoulos K., Les Vosper. Backtesting Derivative Portfolios with Filtered Historical Simulation (FHS). European Financial Management, Blackwell Publishing Ltd, vol. 8(1). 2002.
6. Bollerslev T. A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return. The Review ofEconomics and Statistics, MIT Press, vol. 69(3). 1987.
7. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics 31. 1986.
8. Bollerslev T. Modeling the Coherence in Short-run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized ARCH model, Review ofEconomics and Statistics, 72. 1990.
9. Corsi ^.Measuring and Modelling Realized Volatility: from Tick-by-tick to Long Memory, Working paper. 2005.
10. Engle R. ^.Dynamic Conditional Correlation — A Simple Class of Multivariate GARCH Models, University of California at San Diego, Economics Working Paper Series 2000—09, Department of Economics, UC San Diego. 2000.
11. Glosten L. R., Jagannathan R., Runkle D. E. On the relation between the expected value and the volatility of nominal excess return on stocks. Journal ofFinance, 48. 1993.
12. Jorion P. Financial risk manager handbook. John Wiley & Sons. 2007.
13. Kruse R. Can Realized Volatility improve the Accuracy ofValue-at-Risk forecasts? Working paper. 2006,
14. Kupiec P. Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Management Models, Journal of Derivatives, 3. 1995.
15. PritskerM. The hidden dangers of historical simulation. Finance and Economics Discussion Series 2001—27. Board of Governors of the Federal Reserve System (U. S.). 2001.
16. RiskMetrics — Technical Document, Fourth Edition. J. P. Morgan/Reuters, New York, 1996.
17. URL: http://export.rbc.ru.
18. URL: http://www.finam.ru/analysis/export/default.asp.
19. URL: http://www.prime-tass.ru/currency/rates_interest_history.asp?code=MIBOR.
