Использование многомерных распределений при проектировании РДТТ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 620.178.32

С.С. Нешев

ФГУП «Научно-исследовательский институт полимерных материалов»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РДТТ

Описана разработанная методика проектирования РДТТ с применением многомерной модели распределения внутрибаллистических характеристик и приведен пример ее применения. Применяя описанную методику, можно определить параметрическую надежность конструкции при фиксированной скорости горения топлива и/или фиксированной температуре заряда еще до проведения первых испытаний, оценить связи между параметрической надежностью, эффективностью конструкции и стоимостью отработки и подобрать их оптимальные значения для конкретного двигателя в зависимости от его назначения. На основе разработанной методики получены рекомендации, необходимые при анализе требований ТЗ, позволяющие оценить количество опытов, необходимых при отработке, и обеспечить приемлемую надежность и эффективность при минимальной стоимости работ.

Ключевые слова: ракетный двигатель, заряд, многомерные распределения, внутрибал-листические характеристики, надежность.

При проектировании РДТТ, как правило, применяются традиционные методы, основанные на детерминированных зависимостях [11-Чаще всего используется способ, изложенный в работах Р.Е. Соркина, где при анализе технического задания определяются крайние предельные значения ВБХ, случайные отклонения параметров и пропорционально этим величинам делаются запасы для каждой из ВБХ. Недостатком является то, что чаще всего при таком подходе, как правило, получаются избыточные вероятности выполнения требований всех характеристик, кроме одной, которая и будет определять параметрическую надежность всего двигателя. Получается, что при большой избыточности системы она обладает достаточно низкой параметрической надежностью. Кроме этого, большая избыточность любой системы ведет к ее низкой эффективности. Этих недостатков позволяет избежать применение многомерных распределений, однако применение конкретных методик расчета при проектировании РДТТ в литературе не описано.

Рассмотрим один из возможных способов применения многомерных распределений при проектировании.

Применение многомерных распределений для анализа экспериментальных данных достаточно полно описано в литературе [2-4]. Характеризуются эти распределения двумя матрицами - ковариаций и математических ожиданий:

М-12 . •• МШ х1

к Л= М-12 М 22 . .. М2 N , Ы1 = Ы

МШ М2 N . .. М NN %

где N - количество внутрибаллистических характеристик.

Обычно все параметры распределений определяются по результатам испытаний двигателя, но при проектировании РДТТ испытаний еще нет, и их результаты надо рассчитать с помощью теоретических моделей. Матрица математических ожиданий определяется с помощью детерминированных методик расчета, разные варианты которых применяются достаточно широко. Коэффициенты уравнения регрессии определяются через производные стационарных ВБХ. Таким образом, получаем элементы матрицы математических ожиданий

Р - Р = ррг (г - Т ) + рри (и - и) + ррг (7 - 7 ),

где г - параметр регулирования ВБХ. Остальные обозначения в этой и других формулах - общепринятые.

Диагональные элементы матрицы ковариаций определяются на основе полученного уравнения регрессии:

б? =р2^+Р2Х+р 2а2+б2,.

Остаточные дисперсии в этом уравнении определяются по формулам расчета случайных отклонений ВБХ [1].

Данные формулы можно упростить, задавшись определенной зависимостью регулирования площади критического сечения сопла

5г = Риг 5 и, где Риг =—. Тогда искомые зависимости принимают

Мии

вид [2]:

х = Ы +(Ри,,+Р,,,Ри7 )(и - и )+Рт„ (т - Т),

Б2 = (Рих + Р„,Ръ )2 Бги ос (и)+РТх# + Б2 ,

где Д (и) = 2,84т 1,896 ехр < -

1,136'

т

- безразмерный коэффициент,

учитывающий уменьшение разброса скорости горения топлива за счет регулирования, т - число интервалов регулирования [5, 6]. Коэффициент корреляции между параметрами ВБХ

Г =

У

Р,тМ2 +(Рш, +Р,Д..г )(р„,, +Р,Д..г) ос (и)

Таким образом, определены все элементы матриц и можно рассчитать величину параметрической надежности [4]:

/ N \

1

2

Р = П Р + Р™-П Р К,, К, = —£ агсэт г,, С =

<■< У

= N (N -1) 2

где Рп1п - минимальная из вероятностей нахождения параметра в интервале требований ТЗ.

Кроме перечисленных ВБХ, данная методика дает возможность учесть дисперсии нестационарных процессов, требования к которым есть практически в каждом ТЗ, в частности ко времени выхода двигателя на режим и времени спада [5]:

о2 ('в.„ Н2 V )+о2 () + 7 о2 (КТ)

- < 1 к^| 1 < - 1 < 1 1 о( Р )

1 1 -^01 1 < 1 1 1 1 - 1 < 1 1 1П1 - ^

1 - р1

О? =

к +1 2к

Л2 Г’+1| 'к +1 л О2р

) |_ 21 к 2 У р

О.

1 -

- к-1 ^ Р Л 2к

__н_

V Р)

1(к+1У

О,

- Р - Р

где Рн = —^, Рк = —^ - безразмерные давления в камере сгорания

Рст Рст

в начале и конце переходного процесса. Считается, что распределения всех параметров имеют нормальный закон.

2

2

Данная методика позволяет определить параметрическую надежность для всех параметров, включая нестационарные, при наличии и отсутствии регулирования внутрибаллистических характеристик по скорости горения топлива, для условий эксплуатации и стендовых испытаний РДТТ на этапе проектирования. В частности, можно определить надежность для конструкции двигателя при разных температурах применения. Заряд при этом может полностью отвечать требованиям технических условий или иметь отступления, например, по скорости горения топлива. Это дает возможность оценить применимость существующих допусков на скорость горения топлива, выбранного для разрабатываемой конструкции заряда. Применяя условные распределения, можно определить параметрическую надежность конструкции при фиксированной скорости горения топлива и/или фиксированной температуре заряда. Это представляет интерес при проведении первых испытаний двигателя при отработке, когда опытов очень мало и статистическая обработка их еще невозможна. Наличие такой достаточно полной информации о надежности двигателя дает возможность конструктору принимать более эффективные решения и получать более качественную конструкцию и заряда и двигателя твердого топлива.

При проведении проектировочного расчета и согласовании ТЗ основной проблемой является определение количества необходимых испытаний при отработке с обеспечением заданной эффективности конструкции и надежности изделия. Методики расчета, позволяющие связать эффективность двигательной установки с величиной ее параметрической надежности и требуемым количеством испытаний двигателя при отработке, в настоящее время в литературе не описаны. Это приводит к принятию произвольных технических решений.

Разработанная методика проектировочного расчета на основе многомерных распределений позволяет определить взаимосвязь между этими факторами с учетом параметров распределения всех характеристик. Избыточность системы будет определяться параметром [ х]- X

к = —----, который определяет разность между требованием ТЗ к ка-

° X

кому-либо внутрибаллистическому параметру и его математическим ожиданием, выраженную в единицах среднеквадратического отклонения. Этот параметр, с одной стороны, определяет величину параметрической надежности, а с другой - эффективность двигателя, которая будет определяться величинами допустимых значений ВБХ.

Примем следующее положение: теоретические параметры распределения ВБХ, определенные при проектировочном расчете, соответствуют параметрам распределения, которые будут получены при отработке. Это позволяет ввести в расчет количество испытаний, по которым будет проводиться экспериментальная оценка параметрической надежности. Необходимо иметь в виду, что количество необходимых огневых стендовых испытаний для определения параметрической надежности является наибольшим по сравнению с другими видами испытаний при отработке, поэтому определение этого количества является основной задачей - все остальные виды испытаний будут обеспечены необходимым количеством изделий. Вследствие того, что основные затраты при отработке падают на проведение огневых стендовых испытаний, определение их необходимого количества есть оценка стоимости разработки двигателя. К этому количеству, конечно, надо добавить испытания на служебную безопасность (прострел, падение и т.д.), но их, как правило, гораздо меньше, чем огневых стендовых испытаний.

Обычно заказчик стремится получить при разработке конструкцию с максимальной эффективностью и надежностью при минимальной стоимости разработки, т.е. при минимальном количестве испытаний двигателя. Данное требование невыполнимо - нельзя сразу оптимизировать несколько параметров. Можно выделить следующие варианты оптимизации:

1. Задаются требования к параметрической надежности РДТТ, т.е. к параметру к, и стоимость отработки, т.е. количество испытаний. Подразумевается, что в этом случае оптимизируется эффективность конструкции. Это наиболее распространенный в настоящее время путь. Обычно применяется модель, изложенная в работе [1]. При расчете определяются ВБХ при предельных значениях температуры эксплуатации и закладывается запас, равный трем среднеквадратичным отклонениям случайных отклонений каждого параметра. Это означает, что при проектировании закладывается параметрическая надежность, равная 0,998 при предельных температурах эксплуатации. При учете реальных распределений температуры надежность двигателя становится гораздо выше приведенной цифры. Нужно учитывать, что одновременно резко увеличиваются запасы, а это ведет к уменьшению эффективности конструкции, как правило, уменьшается и дальность полета ракеты. На самом деле, оптимальная эффективность при использовании данного варианта не достигается.

2. Задаются требования к параметрической надежности РДТТ и эффективности конструкции и минимизируется стоимость отработки двигателя. Применение данного варианта возможно только с помощью учета распределений температур при эксплуатации. Параметр к можно выбрать только с помощью многомерных моделей. Его величина должна незначительно превышать уровень, требуемый техническим заданием в части надежности, а с другой стороны, должна быть как можно ближе к этому уровню, чтобы не внести в систему лишнюю избыточность, так как из-за этого будет падать эффективность. Значит, при согласовании технического задания надо одновременно учитывать ограничения на внутрибаллистические характеристики, надежность и условия эксплуатации двигателя. Количество испытаний при этом может иметь различную величину, но уменьшать ее произвольно уже нельзя.

Разработанная методика позволяет оценить связи между параметрической надежностью, эффективностью конструкции и стоимостью отработки и подобрать их оптимальные значения для конкретного двигателя в зависимости от его назначения.

Сделаем приближенный анализ связи между указанными параметрами. Для определенности примем количество внутрибаллистиче-ских характеристик равным четырем. Это давление в камере сгорания, тяга двигателя, импульс реактивной силы и время работы. Время выхода на режим и время спада не учитываем, так как вероятности их выполнения обычно достаточно большие, а их математические ожидания или легко регулируются (твр), или не регулируются совсем (хсп). Все ВБХ имеют одинаковые значения к, что означает, что все параметры имеют одинаковые запасы (или избыточность), выраженную в единицах среднеквадратических отклонений. Данное требование является оптимальным для конструкции двигателя, и необходимо стремиться соблюдать его на всех этапах разработки изделия. Действительно, если одна из величин к будет меньше остальных, то именно она и будет определять параметрическую надежность двигателя, а все остальные запасы практически не будут влиять на надежность. С другой стороны, если одна из величин к будет значительно больше других, то это приведет к тому, что по этому параметру будет слишком большой запас, который практически не будет влиять на величину параметрической надежности. Это большая избыточность приведет

к снижению эффективности двигателя, так как ненужный запас, как правило, ведет к увеличению пассивной массы. Точечная оценка надежности в этом случае будет определяться на основе работы [4]:

■>4

Р - Р4 +(Р - Р4) К •

где Кк=~2 Xагс81п г ■

теС ^

Примем допущение о том, что значения парных коэффициентов корреляции между всеми внутрибаллистическими характеристиками одинаковы, тогда величина этого коэффициента

2

Км - — агс81п г ■ те

Заметим, что существует зависимость параметрической надежности от величины коэффициентов корреляции, приведенная на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость нижней доверительной оценки параметрической надежности от количества опытов при значении коэффициента корреляции: 1 - г = 0;

2 - г = 0,31; 3 - г = 0,63; 4 - г = 0,95

Из графика видно, что определение и учет коэффициентов корреляции при расчете параметрической надежности существенно снижает неопределенность и уточняет расчет.

Нижняя доверительная граница параметрической надежности при принятых допущениях будет определяться как

р =р

1 -

г р

1 -=

V р V

1 + 3 (1 - Кк )2

V р V

(р -р 4 )(1 -^)

1

н‘ -- 11 к"

где^ = к (/?,.) = ~!== |е 2 6И,, р = ^(к), ^ ^ -щ_ра, ар 1 + у •

Для примера зададимся доверительной вероятностью 0,9 и надежностью, заданной требованиями ТЗ, 0,99 и посмотрим, как влияют запасы на количество испытаний двигателя. Для наглядности построим график зависимости нижней доверительной оценки параметрической надежности от количества опытов (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость нижней доверительной оценки параметрической надежности от количества опытов при значении квантиля распределения: 1 - к = 4;

2 - к = 3,5; 3 - к = 3; 4 - к = 2,5

Из графика видно, что параметрическую надежность 0,99 можно подтвердить, проведя 9 опытов при значении квантиля к = 3,5. Стоимость отработки в этом случае будет невысока, однако конструкция получится неэффективной из-за больших запасов. Также заданную надежность можно подтвердить и при значении квантиля к = 3, т.е. с меньшими запасами и более эффективной конструкцией, однако понадобится 20 опытов, что существенно повлияет на стоимость отработки.

2

2

Таким образом, при помощи данной методики можно уже на этапе проектирования оценить количество опытов, необходимых при отработке, и обеспечить приемлемую надежность и эффективность при минимальной стоимости работ. Большое влияние на результат расчета параметрической надежности оказывает значение доверительной вероятности, заданной в ТЗ (рис. 3).

/ 2 3

Р 1

0,995 0.99 0,985 0,98

0,975

0,97

Рис. 3. Зависимость нижней доверительной оценки параметрической надежности от количества опытов при значении доверительной вероятности: 1 - Р = 0,8;

2 - Р = 0,85; 3 - Р = 0,9; 4 - Р = 0,95

Уменьшение значения доверительной вероятности при расчете параметрической надежности снижает достоверность расчета.

Сделаем следующие выводы:

1. Разработана методика проектировочного расчета параметрической надежности РДТТ с использованием многомерных распределений параметров.

2. На основе разработанной методики получены рекомендации, используемые при анализе требований ТЗ и позволяющие оценить количество опытов, необходимых при отработке, и обеспечить приемлемую надежность и эффективность при минимальной стоимости работ.

Библиографический список

1. Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе. - М.: Наука, 1983. - 288 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 1999. - 576 с.

3. Райзберг Б.А., Ерохин Б.Е., Самсонов К.П. Основы теории рабочих процессов в ракетных системах на твердом топливе. - М.: Машиностроение, 1972. - 384 с.

4. Волков Е.Б., Судаков В.С., Сырицин Т.А. Основы теории надежности ракетных двигателей. - М.: Машиностроение, 1974. - 399 с.

5. Евграшин Ю.Б. Основы теории надежности РДТТ. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2007. - 197 с.

6. Евграшин Ю.Б., Бульбович Р.В. Оптимальное регулирование площади критического сечения сопла по скорости горения топлива // Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук. -2006. - Вып. 2(47). - С. 27-33.

Получено 2.09.2011