CC BY
96
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 186-191
= ИНФОРМАТИКА =
УДК 519.246.8
Использование методов многокритериальной оптимизации при формировании и управлении портфелем ценных бумаг
С.С. Дубровин
Аннотация. Статья посвящена исследованию целесообразности применения методов многокритериальной оптимизации при формировании и управлении портфелем ценных бумаг. Актуальность темы статьи обусловлена потребностью в прикладном инструментарии, позволяющем эффективно получать и обрабатывать нечеткую экспертную информацию при операциях на фондовом рынке. Достоверность полученных результатов подтверждается экспериментальными расчетами на реальной рыночной информации.
Ключевые слова: принятие решений, портфель ценных бумаг, многокритериальная оптимизация, доходность, оптимальное решение, управление активами.
Финансовый рынок характеризуется существенной нестабильностью, которая вызвана действием различных часто непредсказуемых факторов. Для того чтобы сохранить и увеличить имеющиеся средства следует быстро и адекватно реагировать на изменения конъюнктуры рынка и прогнозировать его динамику. В связи с этим, резко возрастает потребность в математических методах при управления портфелем ценных бумаг, увеличивается интерес к их применению при принятии инвестиционных решений.
Портфельный подход представляет собой методику, использующую инструментарий статистического анализа с целью выбора оптимальной стратегии управления риском. Использование портфельного подхода заключается в выработке компромисса между доходами и возможным риском. Теория оптимизации портфеля ценных бумаг уделяет большое внимание выбору такого варианта вложения средств, который максимизирует имеющиеся предпочтения. В целом оптимальный вариант выбора предполагает оценку компромисса между получением более высокой ставки доходности и увеличением степени риска инвестиций.
Исследования большинства ученых, занимающихся вопросами принятия инвестиционных решений, направлены в основном именно на совершен-
ствование теории оптимизации портфеля ценных бумаг. Основной вклад в развитие данной теории внесли ученые стран Западной Европы и США: Д. Вильям, Дж. Линтнер, Г. Марковиц, Дж. Моссин, М. Миллер, Р.Ролл, С.Росс, Дж. Тобин, М. Шоулс, У. Шарп, Б. Фишер, И. Фишер и др.
Из отечественных ученых теорией оптимизации портфеля ценных бумаг и адаптацией ее к российскому рынку занимались М.Ю. Алексеев, Л.О. Бабешко, И.В. Волошин, С.А. Зинковский, В.Р. Евстигнеев, А.П. Иванов, Ю.Ф. Касимов, В.А. Колемаев, А.Ю. Королев, М.А. Кудрявцев, З.А. Лебедева, Я.М. Миркин, Б.М. Рязанов, Ю.С. Сизов, А.С. Шведов и др. Вместе с тем, несмотря на значительное количество работ по теории оптимизации портфеля ценных бумаг, активное практическое использование этой теории в российских реалиях оставляет желать лучшего.
Существующие методы формирования портфеля ценных бумаг не учитывают в полной мере вероятностное распределение состояний рынка. Для эффективной работы на рынке ценных бумаг необходимы новые подходы к его анализу и прогнозированию, а также более эффективные методы управления портфелем ценных бумаг. Возможным направлением исследований является использование методов многокритериальной оптимизации при формировании портфеля ценных бумаг, что может существенно повысить эффективность управления портфелем ценных бумаг.
Рассмотрим метод справедливого компромисса, метод приближения по всем частным критериям оптимальности к идеальному решению и метод последовательных уступок.
Постановка задачи многокритериальной оптимизации имеет вид:
^(X*) = тт ^(X), (1)
хеиХ
где X — вектор варьируемых переменных х^, г = 1,п; Ох — множество допустимых значений вектора варьируемых переменных; Ек (X) — значение к-го частного критерия оптимальности (целевой функции); в — число целевых функций, к = 1, в; «шт» означает, что данный критерий нужно минимизировать [1].
И заданы граничные условия следующего вида:
[I ЕГ=1 х = 1; ____
ч ^ XI ^ \в, г = 1,п; (2)
I х* ^ 0, г = 1, п,
где \Н и \В — ограничения, накладываемые соответственно на нижнюю и верхнюю доли варьируемых переменных.
Если все частные критерии оптимальности (X) имеют одинаковую
важность, то задача может быть решена на основе принципа справедливого
компромисса.
Для формализации понятия справедливого компромисса нам понадобится ввести отношение превосходства.
Пусть в области компромиссов задачи (1), которая определяется условиями (2), даны две точки X' £ Dx и X" £ Dx , качество которых оценивается частными критериями оптимальности Fk (X), принимающими соответственно значения Fk(X') и Fk(X''). Требуется сравнить эти решения на основе принципа справедливого компромисса и выбрать наилучшее. Для этого введем цену уступки как меру относительного изменения качества решения по каждому из этих критериев:
Аыг, Х= , (3)
|maxx',х" Fk(X)|
где AFk(X', Х'') = Fk(X1) — Fk (Х'') — абсолютные изменения значений частных критериев оптимальности при переходе от решения X'к решениюX''.
Вычислим максимальное снижение качества решения при переходе от решения X'к решениюX'':
АFmn(X', Х'') = min AFk(X', Х''). (4)
ke[i,s]
Аналогично рассчитаем максимальное повышение качества решения при переходе от решения X' к решению X'':
AFmax(X', Х'') = max Ah(X', Х''). (5)
ke[i,s]
Будем говорить, что решение X'' превосходит решение X', и писать X'' У У X', если _ _
AFmax(X', Х'') > AFmin(X', Х'') , (6)
т.е. если максимальное относительное повышение качества решения превышает максимальное относительное снижение качества решения, то решение X'' превосходит решение X'.
И наоборот, будем говорить, что решение X' превосходит решение X'', и писать X' У X'', если
AFmax(X', Х'')| < |AFFmin(X', Х'') | . (7)
В методе приближения по всем частным критериям оптимальности к идеальному решению среди решений системы ограничений (2) требуется отыскать такое значение вектора X*(x1 ,x\,..., x^), при котором все частные критерии оптимальности примут по возможности минимальное значение одновременно [3,5].
Идеальным решением задачи многокритериальной оптимизации (1), (2) называется вектор
F * = (F*,F*,...,F*), (8)
где F* = minxeDX Fk(X), k = 1,s — минимальное значение частного критерия оптимальности Fk (X) во множестве Dx [3,4].
Заметим, что векторы X*(k = 1,s), доставляющие минимумы соответствующим критериям оптимальности Fk(X), вообще говоря, различны.
Введем в рассмотрение скалярный критерий оптимальности, представляющий собой квадрат евклидовой нормы
R(X) = ||F(X) — F*||2 , (9)
где F (X) = ^ Fl(X ^, F2pX ,■■■, FapX ^ — обезразмеренный вектор частных
критериев оптимальности; F* = ^ yk, -рт,..., = (1,1,..., 1) — идеальное
решение, т.е. s-мерный единичный вектор.
В данном методе поставленная задача теперь формулируется так: дана система целевых функций и даны ограничения. Требуется определить точку X £ Dx , в которой функция R(X) достигает минимума, т.е. имеем
щх*)=xgn. r(x)=xmDx£ (^jf1 — 0 • (10)
Видим, что задача многокритериальной оптимизации (1) сведена к задаче условной оптимизации с одним скалярным критерием оптимальности (10).
В метод последовательных уступок реализован поиск не единственного точного оптимума, а некоторой области решений, близких к оптимальному, — квазиоптимального множества [2].
Вначале производится качественный анализ относительной важности частных критериев оптимальности Fk(X). На основании такого анализа последние располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Далее для каждого из частных критериев оптимальности, исключая последний по важности критерий Fs(X), назначаются уступки Ak, k = 1,s — 1, т.е. допустимые, с точки зрения ЛПР, увеличения соответствующих критериев Fk (X), k = 1, s — 1 относительно их оптимальных значений F* = Fk (X*) = minxeDx Fk (X) [3].
Решаем задачу минимизации первого по важности критерия Fi (X) с ограничениями (2) и находим
F* = Fi(X*)= min Fi(X). (11)
1 XeDX
Затем определяем множество допустимых значений DX следующего
вида: DX = {XI Fi(X) < F* + Ai} . (12)
Переходим к следующему по важности критерию F2(X) и так продолжаем до предпоследнего важности критерия Fs_i(X). Решается задача минимизации критерия Fs_i(X) с ограничениями (2). Снова последовательно определяем
F*_i = Fs_i(X*_i) = min 2 Fs_i(X) (13)
XeDX-2
и новую допустимую область значений DX_l вида:
D_ = { X | Fi(X) < F*+Ai,F2 (X) < F2* + A2,...,Fs_i(X) < F*_i + As_i} .
(14)
Наконец, минимизируется последний по важности критерий Г(Х). Решается задача минимизации критерия Г(Х) с ограничениями (2). В результате находим:
г: = Г(Х;)= шш х Г(Х). (15)
хео^-1
В качестве решения задачи (1), (2) принимается решение X; со значениями частных критериев Г-(X ;), к = 1,5.
Алгоритмы решения задач многокритериальной оптимизации, описанные выше, реализованы при помощи программного обеспечения, специально разработанного в среде Мар1е 10.
Список эмитентов, использованных в процессе исследования, включал простые акции следующих российских компаний: ОАО Газпром (GAZP), ОАО Сбербанк России (ЯВЕЙ), ОАО ГМК Норильский никель ^МК^), ОАО Сургутнефтегаз (SNGS), ОАО Ростелеком (ИТКМ), ОАО Северсталь (СИМЕ), ОАО "Мобильные ТелеСистемы” (МТЯ1), ОАО Уралсвязьинформ (иИЯ1), ОАО РусГидро (ИУБЯ), ОАО ЛУКОЙЛ (ЬКОИ), ОАО Полюс Золота (РЬ^Ь), ОАО Арсагера (АИЯА), ОАО Аэрофлот (АЕЬТ), ОАО Уралкалий (ШКА), ОАО ТГК-9 (ТСК1).
Портфели ценных бумаг формировались на основе дневных доходностей за период с 1 августа 2006 г. по 31 июля 2008 г. Датой формирования портфелей будем считать 31 июля 2008 года. Горизонт инвестирования — год.
Под эффективностью системы будем понимать разницу между доходностью, полученной от реализации построенного портфеля, и доходностью, от реализации эталонного портфеля, построенного на ту же контрольную дату (30 июля 2009 г.).
Однако какой именно портфель следует выбрать в качестве аналога? Каждый инвестиционный портфель уникален и аналогов ему на рынке, скорее всего, нет, поэтому сравнивать напрямую не с чем. В качестве эталонного портфеля можно принять портфель, построенный по принципам стандартного индекса РТС.
Проанализировать изменение доходности портфелей за весь период инвестирования можно, основываясь на данных табл.1.
Таблица 1
Доходность сформированных портфелей, %
Наименование портфеля Доходность, %
Индекс РТС (эталонный) -49,09
ПЦБ по методу справедливого компромисса -44,15
ПЦБ по методу приближения по всем частным критериям оптимальности к идеальному решению -42,27
ПЦБ по методу последовательных уступок -40,70
Можно заметить, что на рассматриваемом отрезке доходности построенных портфелей оказались выше эталонного портфеля, что объясняет эффективность применения методов многокритериальной оптимизации при формировании портфелей ценных бумаг.
Список литературы
1. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. М.: Наука, 1990. 240 с.
2. Батищев Д.И., Шапошников Д.Е. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1994. 92 с.
3. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: МАКС Пресс, 2008. 197 с.
4. Хоменюк В.В. Элементы теории многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1983. 261 с.
5. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления, приложения. М.: Радио и связь, 1992. 504 с.
Дубровин Станислав Сергеевич (stasdss@mai1.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Use of the methods of multicriteria optimization at formation and management portfolio of securities
S.S. Dubrovin
Abstract. Article is devoted to the research of expediency application of multicriteria optimization methods at formation and management of security portfolio. The relevance of the theme of article is caused by requirement for applied instru-mentarii, allowing effectively to receive and process indistinct expert in-formation during operations at the stock market. Reliability of the received results checked out by experimental calculations based on the real market information.
Keywords: decision-making, security portfolio, multicriteria optimization, profitability, optimal resolution, management of assets.
Dubrovin Stanislav (stasdss@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 17.05.2010
