CC BY
25
_ 05.20.00 ПРОЦЕССЫ И МАШИНЫ АГРОИНЖЕНЕРНЫХ СИСТЕМ _
05.20.01
УДК 637.116-83
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИ ВЫБОРЕ ТИПА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА РОТОРНО-КОНВЕЙЕРНОГО ДОЕНИЯ
© 2019
Владимир Александрович Зорин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Программная инженерия» Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород (Россия) Сергей Николаевич Стребуляев, кандидат технических наук, доцент кафедры «Дифференциальные уравнения, математический и численный анализ» Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород (Россия) Оксана Александровна Тареева, кандидат технических наук, доцент кафедры «Технические и биологические системы» Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)
Аннотация
Введение: статья посвящена статистическому анализу характеристик молокоотдачи поголовья коров на кон-вейерно-кольцевых доильных установках. Первая доильная установка типа «карусель» на базе доильного кольцевого конвейера «Ротолактор» была создана в США в 1929 году, после чего ученые других зарубежных стран и России работали над усовершенствованием и повышением производительности аналогичных доильных систем. В работе рассматриваются результаты процесса доения стада коров за несколько дней на доильной установке карусельного типа в ООО «Ждановское» Кстовского района Нижегородской области. Материалы и методы: на основе анализа процесса доения - времени доения и скорости выдаивания - с учетом методов теории математической статистики разработано специализированное программное обеспечение. Программная реализация производится с использованием системы аналитических вычислений Maple, версия 10, с совокупностью ее стандартных библиотек и функций. Анализ зависимостей общего времени процесса доения от времени выдаивания и скорости молокоотдачи каждой коровы, а также анализ связи этих параметров между собой производится в режиме мультипликации.
Результаты: На основе анализа характеристик доения сделаны выводы о целесообразности использования индивидуальных характеристик доения коров за предыдущий день. Показано, что наиболее соответствующей реальным наблюдениям за период доения является гипотеза Г-распределения.
Обсуждение: в течение многих лет ученые и конструкторы пытались приблизить процесс доения по характеру протекания к технологическим линиям промышленных предприятий. Эта задача частично решена при разработке и эксплуатации конвейерно-кольцевых доильных установок. При этом возникает задача повышения производительности этих установок за счет использования статистических характеристик процесса молокоотдачи. Повышение производительности зависит от скорости вращения доильной установки, ее технических характеристик - количества станкомест, режима работы, степени автоматизации и исключения ручных работ и других. В конечном счете, производительность зависит от индивидуальных характеристик каждой коровы - номера лактации, генетики, показателей доения за предыдущий день, а также от условий кормления и содержания. Производительность установки тем выше, чем больше информации, полученной ранее, заложено в процессор системы управления скоростью вращения. При этом можно использовать алгоритмы статистической обработки массивов о скорости и времени доения стада, в совокупности с ранее разработанным программным обеспечением. Заключение: полученные в работе результаты анализа натурного эксперимента и их обработки с использованием методов статистики и описание жизненного цикла информационной биологической системы коровы позволяют создать наиболее эффективные алгоритмы управления скоростью вращения доильной установки и повышения ее производительности.
Ключевые слова: алгоритм управления, время доения, конвейерно-кольцевая доильная установка, математическая модель, продолжительность оборота платформы, производительность доильной установки, способ управления, проверка гипотез распределения, статистка, угловая скорость.
Для цитирования: Зорин В. А., Стребуляев С. Н., Тареева О. А. Использование методов математической статистики при выборе типа распределения для характеристик процесса роторно-конвейерного доения // Вестник НГИЭИ. 2019. № 2 (93). С. 5-18.
THE USE OF MATHEMATICAL STATISTICS METHODS IN THE TYPE SELECTION DISTRIBUTIONS OF THE CHARACTERISTICS OF THE PROCESS ROTARY CONVEYOR
MILKING
© 2019
Vladimir Aleksandrovich Zorin, Ph. D. (Physics and Mathematics), associate professor of the chair «Software Engineering» Nizhniy Novgorod State University n.a. N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod (Russia) Sergey Nikolaevich Strebulyaev, Ph. D. (Engineering), associate professor of the chair «Differential equations, mathematical and numerical analysis» Nizhniy Novgorod State University n.a. N.I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod (Russia) Oksana Aleksandrovna Tareeva, Ph. D. (Engineering), associate professor of the chair «Technical and biological systems» Nizhny Novgorod State engineering-economic university, Knyaginino (Russia)
Abstract
Introduction: the article is devoted to a statistical analysis of the characteristics of the milk yield of the livestock of cows on conveyor-ring milking machines. The first carousel milking machine based on the Rotary milking ring conveyor was created in the USA in 1929, after which scientists from other foreign countries and Russia worked on improving and increasing the performance of similar milking systems. The paper discusses the results of the milking process of a herd of cows in a few days on a carousel milking machine in Zhdanovskoye LLC, Kstovskiy District, Nizhniy Novgorod Region.
Materials and methods: based on the analysis of the milking process - the milking time and the speed of issuance -specialized software was developed taking into account the methods of the theory of mathematical statistics. Software implementation is carried out using the Maple, version 10 analytical calculation system, with a set of its standard libraries and functions. The analysis of the dependences of the total time of the milking process on the time of issue and the milk yield rate of each cow, as well as the analysis of the relationship between these parameters between themselves, is carried out in multiplication mode.
Results: based on the analysis of the characteristics of milking, conclusions were drawn about the advisability of using the individual characteristics of milking cows for the previous day. It is shown that the hypothesis of the G-distribution is the most appropriate for real observations during the milking period.
Discussion: for many years, scientists and designers have tried to bring the process of milking closer by the nature of flow to the technological lines of industrial enterprises. This problem is partially solved in the development and operation of conveyor-ring milking machines. This raises the problem of improving the performance of these plants through the use of the statistical characteristics of the milk production process. Increased productivity depends on the speed of rotation of the milking machine, its technical characteristics - the number of machine places, the mode of operation, the degree of automation and the exclusion of manual work and other. Ultimately, productivity depends on the individual characteristics of each cow - lactation numbers, genetics, milking rates for the previous day, as well as on feeding and housing conditions. The performance of the installation is the higher, the more information obtained earlier is embedded in the processor of the rotational speed control system. You can use algorithms for statistical processing of arrays on the speed and time of milking the herd, in conjunction with the previously developed software.
Conclusion: the results of the analysis of the field experiment and their processing using statistical methods and the description of the life cycle of the biological information system of the cow allow us to create the most effective algorithms for controlling the rotation speed of the milking machine and increasing its performance.
Keywords: control algorithm, milking time, mathematical model, conveyor-ring milking machine, duration of platform rotation, milking machine performance, control method, angular velocity, statistics, distribution hypothesis testing.
For citation: Zorin V. A., Strebulyaev S. N., Tareeva O. A. The use of mathematical statistics methods in the type selection distributions of the characteristics of the process rotary conveyor milking // Bulletin NGIEI. 2019. № 2 (93). P. 5-18.
Введение
Максимальное время одного оборота конвейера связано с наличием в стаде групп животных, имеющих различные индивидуальные характеристики. Для анализа этих характеристик необходимо использование методов теории вероятностей и математической статистики. Этот анализ позволит построить адаптивный алгоритм управления скоростью вращения с учетом индивидуальных характеристик каждой коровы за предыдущую дойку. В работе изложены этапы алгоритма для проверки гипотез статистического анализа массивов данных о скорости доения и времени выдаивания стада коров. Рассматриваются гипотезы Г-распределения, нормального и логнор-мального распределения случайных величин об индивидуальных характеристиках животных.
Материалы и методы
В качестве материала использованы данные о времени и скорости выдаивания коров, полученные в ООО «Ждановский» Нижегородской области. Для анализа характеристик использованы методы теории проверки статистических гипотез. Вся проверка основана на использовании критерия согласия К. Пирсона. Хотя в научной литературе, посвященной статистическим исследованиям известны и другие критерии - критерии А. Н. Колмогорова, Н. В. Смирнова, критерий отношения правдоподобия и другие [12; 13]. Для анализа характеристик на ЭВМ в работе использована система аналитических вычислений Maple [14].
Вначале излагаются этапы алгоритма расчета критерия согласия К. Пирсона при анализе массивов скорости и времени доения с помощью методов статистической обработки. В работе анализировались гипотезы о распределении указанных характеристик: Г-распределение, нормальное распределение и логарифмически нормальное распределение. Из физической постановки задачи естественно предполагать, что скорость доения V (г/с) и время доения T (с) являются абсолютно непрерывными неотрицательными случайными величинами. В дальнейшем в работе использованы основные факты по применению критерия согласия К. Пирсона, приведенные в [15; 16].
Г-распределение случайной величины, для которой существует плотность распределения (абсолютно непрерывная), представляется в виде: 0, при x < 0
(1)
Г ( x, X, a) =
Xaxa-1
Г ( a)
е Xx, при x>0:
где постоянные А>0, а>0, Х - переменная, характеризующая наблюдаемое значение (V либо X). Г(а) -
гамма-функция Леонарда Эйлера, определяемая равенством
Г ( a ) = J ta -le~tc
a>0.
Для этой функции справедливо равенство при
Г (a + 1) = a ■ Г (a) .
Для такой случайной величины X существуют моменты, как правило положительные, в виде математического ожидания:
E
Ж
(Xk ) = J xk Г (x,X,a) dx .
Как известно, это выражение при к = 0, 1, 2 и так далее, может быть приведено к виду:
'(Xk ):
Г (a + k) a (a + l)(a + 2) ...(a + k-1)
Г (a )■ Xk = Xk
(2)
Полагая в (2) к = 1 и к = 2, получим теоретические значения математического ожидания и дисперсии, соответственно, в виде:
E (X ) = a , D (X ) = ■
,2
(3)
Для проверки гипотезы о распределении Б(1;) с помощью критерия К. Пирсона можно использовать метод моментов для оценки параметров по выборке рассматриваемой функции [1; 2].
Для каждой из трех гипотез о теоретическом распределении рассматриваемых случайных величин V и Т с помощью этого критерия проверяется их степень меры согласия с рассматриваемыми выборками. Наблюдая п раз значение величины X, получаем выборку Х1 ... Хп. Для каждой из гипотез будет использована оценка математического ожидания и дисперсии. По этой выборке используем функции
" " \2
_ 1 n
X = - У X, и S2 =■ n n'_
1I (X - х )2.
1=1 " 1 =1
Для каждой проверяемой гипотезы необходимо составить свою систему алгебраических уравнений, например, метода моментов - для Г-распределения:
a=x
X
a _ „2 tf = S
(4)
Из приведенной системы находим решение для оценки моментов каждого из рассматриваемых распределений и вычисляем численные значения критерия К. Пирсона. Эта информация сравнивается с эталонными табличными значениями [17].
х>
о
о
a
В итоге получаем две функции от выборки X и а, которые являются оценками, соответственно, для X и а. На первом этапе проверялась гипотеза Но [6; 7]. Эта гипотеза состоит в том, что функция распределения случайной величины в наблюдаемом процессе есть некоторая функция распределения Б(1;) при любых значениях х. Для проверки этой гипотезы применяем критерий согласия Карла Пирсона. Для реализации процесса проверки Но необходимо провести вычисления этого критерия:
\2
, (5)
г=1
х 2 = £ (1 - «• Р )2
п • Р
где п - число всех наблюдений, Pi - вероятность того, что случайная величина X попадает в /-й интервал группировки, т - число интервалов группировки выборки, п - число попаданий случайной величины Х в 1-й интервал группировки. Как известно, величина х2 приближается к случайной ве-2 2
личине хф (X - распределение с ф степенями свободы). При этом
ф = т-1 -1, (6)
где I - количество оцениваемых параметров.
Для проверки гипотезы Но рекомендуется отвергнуть эту гипотезу, если вычисленная величина
X2 > С, то есть считается значимым расхождение между значениями функции Б(1;) и эмпирической функцией распределения. Величина С находится по
таблицам распределения х2 с ф степенями свободы, приведенными в [17]. При этом должно выполняться неравенство
(7)
Р (X2 > С | н01<
)< а,
где а - так называемый уровень значимости критерия, иначе говоря - вероятность отвергнуть правильную гипотезу Но. По этой причине а выбирают близким к нулю (а ~ 0,05) [3; 4; 5].
Если вычисленные значения х 2 критерия К. Пирсона больше эталонного значения Скр., то проверяемая гипотеза отвергается и, в противном случае, принимается.
Аналогичные исследования проводились для проверки гипотезы нормального распределения [8]. Случайная величина описывается нормальным распределением, если его плотность удовлетворяет равенству:
ф (х) =
1
¡•>/2л
(х-а )2
(8)
Как известно, математическое ожидание Е (X) = а, Б (X) = о2 . Оценками для а и о2 будут X
и С .
На третьем этапе проводился статистический анализ (аналогичный предыдущему) для логнор-мального (ЬО) распределения [2], плотность распределения которого имеет вид:
Кх ^ )=ОрЪлехр I-2?[1" <'х4>"цР }(9)
где х - наблюдаемое значение случайной величины ( х > 4 ); ц - сдвиг по временной оси ( ц > 4 ); о > 0 - постоянная величина, характеризующая величину колебаний реализации в среднем; 4 = 0 - начало реального отсчета рассматриваемой статистической выборки.
Параметры этого распределения вычисляются с помощью интегралов [16; 17] и имеют вид:
Е (X ) = ехр
-г + Ц
Б (X) = ( ео2 -1| ехр (о2 + 2ц)
(10)
(11)
4 = о.
Используя равенства (10), (11), составляем систему уравнений метода моментов для нахождения численных оценок параметров ц, о в следующем виде:
X = ехр
от+ц
V
2
Б2 = е -1 •е
о2 +2ц
(12)
Решение этой системы дают оценки ц и о в
виде:
1 п
Ц = 111п (X,) ,
п 1
г=1
о =
г(п -1)
ц = 1п
1п
(X,2)
,=1 I ео +1
X2
2 + X 2
1п
Г Б2 + X
X 2
1
о =
В дальнейшем производим вычисления стати-
2 "ГТ
стики х К. Пирсона для гипотезы логнормального распределения, аналогичное описанным выше гипотезам [9; 10].
Результаты
На следующем этапе проводится анализ статистических характеристик двух массивов - массива времени и массива скорости доения, приведенных на
рис. 1, 2. Анализ проводился на ЭВМ с использованием системы аналитических вычислений Maple.
Для указанных выборок проводится по формуле (5) вычисление статистики х2 по приведенному выше алгоритму в соответствии с каждой из рассмотренных гипотез. Ниже рассмотрен фрагмент программы по расчету статистических характеристик для массива скорости выдаивания (рис. 2).
FF ■= array( 1 ..79,1 ..2, [ [1, 633], [2,388], [3,303], [4,571], [5,367], [6,454], [7,300], [8, 305], [9,253], [10,330], [11,381], [12, 569], [13, 301], [14,496], [15,265], [16, 505], [17,318], [18, 551], [19,275], [20,325], [21,395], [22,428], [23,389], [24,421], [25, 607], [26, 859], [27, 562], [28,480], [29,267], [30,488], [31,272], [32,262], [33,304], [34,331], [35,421], [36,440], [37,384], [38,393], [39,322], [40,635], [41,503], [42, 515], [43,799], [44,439], [45,306], [46,261], [47,257], [48,422], [49,451], [50,500], [51,259], [52,446], [53,782], [54,548], [55,487], [56,428], [57,262], [58,741], [59, 199], [60,435], [61,442], [62,265], [63,302], [64,388], [65,488], [66,424], [67,849], [68,266], [69,448], [70,311], [71,261], [72,446], [73,364], [74,377], [75,546], [76, 915], [77,368], [78,543], [79,422]])
Рис. 1. Выборка времени выдаивания, дневная дойка 15.12.2015 г.
Fig. 1. Sampling time, day milking 15.12.2015
FF == array( 1 ..79,1 ..2, [[1,13], [2,26], [3,30], [4,15], [5,29], [6,22], [7,28], [8,11], [9, 40], [10,19], [11,23], [12,12], [13,18], [14,16], [15,20], [16,22], [17,19], [18,12], [19,37], [20,24], [21,25], [22,21], [23,26], [24,30], [25,17], [26,17], [27,23], [28, 24], [29,41], [30,19], [31,27], [32,14], [33,27], [34,32], [35,21], [36,25], [37,26], [38,23], [39,21], [40,26], [41,10], [42,15], [43,24], [44,20], [45,22], [46,36], [47, 18], [48,9], [49,22], [50,18], [51,28], [52,34], [53,16], [54,18], [55,21], [56,22], [57,41], [58,11], [59,4], [60,18], [61,24], [62,22], [63,17], [64,14], [65,22], [66, 17], [67,11], [68,34], [69,26], [70,29], [71,37], [72,18], [73,40], [74,25], [75,15], [76,22], [77,18], [78,7], [79,14]])
Рис. 2. Выборка скорости выдаивания, дневная дойка 15.12.2015 г.
Fig. 2. Sample delivery rate, day milking 15.12.2015
Находится среднее значение:
>rr ■= evalf
79
Евд, 2]
iizl_
79
, 5
>
print( "Среднее значение-', rr)
"Среднее значение-', 22.025
Находятся минимальное и максимальное значения выборки:
>miF := FF[ 1, 2] :
>forifrom2bylto79do miF~min(miF,FF[i,2]); end do: >m№\
>рплг("Минимадьное значение=", miF);
"Минимальное значение-',4 .
>m^:=FF[l, 2] :
>for i from 2 by 1 to 79 do mctF ■= max( maF, FF[ i,2]); end do: >waF:
>рга<("Максимадьное значение-',maF);
"Максимальное значение-',41
9
Для группированной выборки подбираются границы интервалов ab bi группировки и подсчитывается количество ni элементов группировки (количество коров), попавших в построенные интервалы:
> al ■= 0.5 :Ъ1 ■= 8.5 :и[1] :=0:
> foi-Ш from 1 to 79 do if FF[kkl, 2] < bl saiAFF[kkl, 2] > al then n[ 1] == n[ 1] + 1; end if od;
> 4i];
2
> a2 := 8.5 : b2 ■■= 16.5: и[2] := 0:
> СогШ from 1 to 79 do if FF[kk2, 2] < b2 &ndFF[kk2, 2] >a2then n[ 2] ■■= n[ 2] +1; endif od;
> n[ 2];
16
> a3 ■■= 16.5: ЪЗ ■= 24.5 :n[3] := 0:
> for Ш from 1 to 79doif FF[kk3, 2] < b3 andFF[kk3,2] >aithen и[3] :=л[3] +1; endif od;
> «[3];
35
> a4 := 24.5: Ъ4 ~ 32.5 : n[4] := 0:
> for Ш from 1 to 79 do if FF[kk4, 2] < MandFF[£W, 2] >a4then n[ 4] ==и[4] +1; endif od;
> »[4];
17
> a5 := 32.5:65 := 40.5 : и[5] := 0:
> ГогШ from 1 to 79 do if FF[kk5, 2] < b5andFF[kk5, 2] >aJthen и[5] :=и[5] +1; endif od;
> »[5];
7
> аб ■= 40.5: Ъ6 ■= 48.5 : и[6] == 0:
> ГогШ from 1 to 79 do if FF[kk6, 2] < b6a.ndFF\kk6, 2] > atfthen n[ 6] := и[б] + 1; endif od;
> «[6];
2
> Sum(n[iii], iii = 1 ..6) =sum(n[iii], iii= 1..6);
6
п..=19 .
... , m iu = 1
Для выбранных границ ab bi интервалов вычисляем их середины ci, использование которых облегчит проведение дальнейших расчетов.
> А := 8 :
сг -4.500000000
( (Ь2-а2) \
> с[2] == [ 2 +а2);
с2 := 12.50000000
( (ЬЗ-аЗ) \
> с[3]:= [ 2
с3 -20.50000000
С (Ъ4-а4) \
> с[4] == , +а4\-
с. := 28.50000000
4
Г (М-а5) , >с[5] := , +а5 ;
с5 -36.50000000
( (Ъ6-а6) ,
> с[6] == V _ ' + аб .
с \= 44.50000000
6
Рассчитывается выборочное значение математического ожидания X =ММ, X 2=ММ1:
Sum(n[iii]-c[iii], iii = 1..6) ( sum{n[iii]-c[iii], iii = 1..б) >-Щ-= evalfl ---, 4
1
л... с... = 22.22 79 ">
> MM~evalf
sum{n[iii] -с[Ш], iii= 1 ..б)
79
, 4 I ;# Математическое ожидание;
MM-22.22.
Рассчитывается второй выборочный момент для скорости выдаивания коров, попавших в соответствующий i-й интервал.
Sum(n[iii] •c[iii]2, iii = 1 ..6) f sum(n[iii] -с[Ш]2, iii = 1 ..б)
т9 - Т9
1 6
— и... с?.. = 561.3 79 ... . т т
" ш = 1
>
",4
> ММ1 ■= evalf\
sum(n[ iii] -с[ iii]2, iii = 1 -б)
79
4 |; Шторой теоретический момент; ММ1 -561.3.
Рассчитывается выборочная дисперсия:
> ДО := еуа 1/{ММ1 -ММ2, 4) ;#Дисперсия нормального распределения;
ДО : = 67 . 6.
Проводится оценка среднего значения скорости выдаивания:
>
Sum(FF\ll, 2], 11 = 1 ..19) 79
= evalfl
sum(FF\ll,2],ll = \..19)
79
,4
^J>u>2 = 22.03
sum(FF\ll, 2], 11 = \..79) > al ■■= evalf\ -^-> 4 I:
«7 : = 72.73.
Для параметров Г-распределения а, X решаем систему (4) уравнения метода моментов:
> а1-{а1 + 1);
507.3509 > Щ);
1
>
Sum(FF[ll,2]2,11 = 1..79)
79
= evalf\ 79
sum [FF[ll,2]2,11 = \..79)
79
,4 ;
1
- FJ& = 549 о
79 z; = 1//,2
Решение системы уравнения (4):
> s^si ■= а — Х-MM; sysl := а-22.22 X
> sys2 ■■= а'(а2+1) -МА/7; X
а (а + 1) :=-5-— 561.3
> ss == {sysl, sys2};
„ а (а+ 1) а-22.22 Л, —=—^--561.3
> DS ■■= evalf(fsolve( {sysl, sys2})); DS := { а = 7.306744254, X = 0.3288363750} > a ■■= evalf{rhs{DS[ 1]), 4);
а := 7.307 > (л>а1ДгЩ08[2]), 4); X : = 0.3288 .
С помощью найденных оценок а и X проведены вычисления необходимых для расчетов статистики критерия (5) Карла Пирсона значений вероятностей рр1 = р1 = р(а1<Х<Ь0 при 1 = 1, 2, 3, 4, 5...
> al;bl;
0.5 8.5
> Int(p(t, сi,X),t=al .Ы, numeric) = evalf(int(p(t, a, A,), t=al ..bl, numeric), 5);
2.291387790 10"7 г6 307 e"0'3288' 0 < t
Ы
0
i<0
, t = 0.5 ..8.5, numeric
= 0.017467
>
pp[ 1] == evalf(int(p(t, a, A,), t = al ..bl, numeric), 5);
> a2;b2;
pp1 := 0.017467
8.5 16.5
> Int(p{t, a, A,), t = a2 ..b2, numeric) = evalf(int(p(t, а, A,), t=a2 ..b2, numeric), 5);
2.291387790 10"7 г6-307 е-0'3288' 0 < t
1Ш
0
i < 0
,t= 8.5 ..16.5, numeric
= 0.24350
>
pp[2] ■= evalf{int(p(t, a, A,), t = a2 ,.b2, numeric), 5);
> a3;b3;
pp2 := 0.24350
16.5 24.5
> Int[p(t, a, A,), t=a3..b3, numeric) = evalf(int(p(t, a, A,), t=a3,.b3, numeric), 5);
2.291387790 10"7 г6 307 e~0-3288' 0<t
Ш
0
i<0
, t= 16.5..24.5, numeric
= 0.39102
>
PPl3] evalf{int(p(t, a, A,), t=a3,.b3, numeric), 5);
> a4;b4;
pp3 :=0.39102
24.5 32.5
> Int{p(t, a, A,), t=a4,.b4, numeric) = evalf(int(p(t, a, A,), t=a4..b4, numeric), 5);
2.291387790 10"7 г6 307 e"0-3288' 0 < t
1Ш
0
t< 0
, t = 24.5..32.5, numeric
= 0.23611
>
pp[4] := evalf{int{p[t, a, A,), t = a4,.b4, numeric), 5);
> a5; b5;
pp4 := 0.23611
32.5 40.5
>
Int(p(t, a, A,), t = a5,.b5, numeric) = evalf(int(p(t, a, A,), t=a5..b5, numeric), 5);
1Ш
2.291387790 10"7 A307 e~a3288' 0 < t
0
> др[5] := evalf{int{p{t, a, A,), t = a5..b5, numeric), 5);
> a6;
t< 0
pp5 := 0.084420
, i = 32.5..40.5, numeric
= 0.084420
> Int(p(t, а, X), t = a6..оо; numeric) = evalf(int{p[t, a, X), t = a6..oo, numeric), 5);
2.291387790 10"7 i6'307 е-0'3288' 0 < t
Int
0
> P.P[6] evalf(int(p{t, а, A,), t=a6..co, numeric), 5);
> Sum(pp[ll], 11= 1..6) = sum{pp[ll], 11= 1..6);
i<0
ppb -0.027483
, ¿ = 40.5..oo, numeric
-- 0.027483
6
иэ„= 1.000000 //=1
Вычисляется числовое значение статистики критерия Пирсона %%:
> H^M^I)2,^ (п\Щ-79МЩ)>
79-pp[kk]
f[sum[
79-др[/№]
,kk=l..6 ,4
»=i79 рра
= 1.546
> « evalf\ sum\ ' Ä= 1 ^ 4
£#-1.546.
Результаты вычислений приведены в таблице 1.
Таблица 1. Значение статистики критерия К. Пирсона для различных гипотез Table 1. The statistics of the criterion of K. Pearson for various hypotheses
Виды распределений/ Types of distributions
нормальное/normal гамма/gamma логнормальное/ lognormal
Время выдаивания/ Milking time
х2 6,59 3,18 58,64
Скорость выдаивания/ Milking speed
х2 4,17 1,54 70,45
Рис. 3. График рассмотренных плотностей распределений и гистограмма скорости выдаивания Fig. 3. Graph of the considered density of distributions and histogram of the speed of milking
При проверке гипотез сравнивалось значение Это значение находится из таблицы х2 -распределе-X2 с критическими значениями Скр, согласно [2].. ний, подчиняющееся числу степеней свободы m
13
(в нашем случае m = 3) и при уровне значимости а = 0,05 критерия К. Пирсона. Численно получено более хорошее согласие Г-распределения, чем нормального и логнормального распределений.
График рассмотренных плотностей распределений и гистограммы приведены на рисунке 3 (для скорости доения) и рис. 4 (для времени выдаивания). Полученные графики подтверждают сказанное выше.
Различные виды плотностей распределения
0.003-
S 0.002
5
6
Ё 0.001
* ■ \
/ ■ ^ > / {Л/ , у 1 > ♦
( щ ■* \
1 ш ш J 4 f + / • t \
109
250
3 00
400 500
Время бьщашання . Т с
600
"90
S00
909
логнормапьное
' гистограмма 1
' нормальное '
1 Г-распределение
Рис. 4. График рассмотренных плотностей распределений и гистограмма времени выдаивания Fig. 4. Graph of the considered density of distributions and histogram of the time of milking
Таким образом, из анализа полученных вычислительным экспериментом результатов следует, что наиболее предпочтительной гипотезой типа распределения является Г-распределение.
Рассмотрим некоторые, часто применяемые свойства Г-распределения.
Если распределение задано численно [18; 19; 20], по сгруппированным данным, то его моменты несколько отличаются от моментов не сгруппированного распределения вследствие того, что при группировке частоты предполагаются сосредоточенными в средних точках интервалов. При некоторых условиях возможна поправка, поправка Шеппарда, уменьшающая это расхождение. Следует отметить, что настоящее исследование проведено без использования поправок Шеппарда.
Пусть Дх) - непрерывная функция плотности распределения, сосредоточенного на интервале (а, Ь). Разобьем этот интервал на п частей длины Ь каждая. Частота в _)-м интервале, центр которого находится в точке х, = а + ()-0,5)Ь , дается формулой
В итоге, согласно [18; 19; 20], имеем следующие равенства для поправочных коэффициентов :
И -Ц 2" 12
' - 1 i.2 Ц 2 - --"
цз = ц 3- 4 Нк Эти формулы выписаны в предположении, что
центры групп находятся в точках ......., а - к , а ,
а+к ....... (| а < 0,5Ь), точка а имеет значение середины интервала [0,5к,0,5к]. Для проведения расчетов вероятностей попадания случайной величины в заданный интервал можно использовать таблицу значений для неполной Г-функции в виде:
FXa (x) - P(X < x) - J Xaya~1e~Xydy .
(13)
0,5h
fj- J f (Xj
Моменты имеют вид:
—0,5h
группированного
Для вычисления этого сложного интеграла необходимо провести замену переменных, которая приведет к интегралу вида:
распределения
F (x) -
i x ^ r
J
Г(а)
У
a—le~ydy.
(14)
0.5 fi
-y^xj j ./'(X, • J=l -0,5 h
График функции (14) при X = 1 и различных значений ОС для случая выборки по скорости выдаивания приведен на рисунке 5.
x
0
0
Рис. 5. Г-распределение для различных значений а Fig. 5. Г-distribution for different values of а
Полученный график может быть использован для математического моделирования процесса доения с учетом выбора из стада тугодойных коров, уменьшения суммарного времени доения стада и повышения производительности работы конвейерно-кольце-вых доильных установок.
Обсуждение В книге [13] отмечено, что Г-распределение можно использовать вместо нормального распределения в качестве теоретического в разложениях типа Грамма-Шарлье. При этом в настоящей работе показано, что Г-распределение точнее согласуется с распределением наблюдаемых процессов. Кроме того, в [13] утверждается, что наравне с логнор-мальным распределением Г-распределение обла-
дает способностью воспроизводить черты нормального распределения при достаточно больших параметрах а. Авторы работы полагают необходимым проведение дальнейших исследований (более обширный анализ характеристик в разные моменты времени с учетом жизненного цикла каждой коровы) с целью обнаружения динамики зависимости статистических характеристик и их уточнения.
Заключение Выбор правильной гипотезы распределения изучаемых процессов позволит в дальнейшем более точно охарактеризовать специфику дойного стада. Это позволит разработать адаптивный алгоритм, гарантирующий повышение производительности процесса доения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аранович Н. М. Конвейеры на молочных фермах // Электрификация сельского хозяйства. 1932, № 4.
2. Цой Ю. А. Процессы и оборудование доильно-молочных отделений животноводческих ферм. М. : ГНУ ВИЭСХ, 2010. 424 с.
3. Тареева О. А. Повышение пропускной способности роторно-конвейерной доильной установки на основе адаптивного управления технологическими потоками животных: дис. ... кан. техн. наук: 05.20.01. Княги-нино. 2016. 203 с.
4. Кирсанов В. В., Филонов Р. Ф., Тареева О. А. Оптимизация управления работой конвейерно-кольцевых доильных установок // Вестник Всероссийского научно-исследовательского института механизации животноводства. 2012. № 2. С. 79-89.
5. Кирсанов В. В., Тареева О. А., Стребуляев С. Н. Математическое моделирование процесса доения на установках «Карусель» // Техника и оборудование для села. 2014. № 12. С. 10-13.
6. Кирсанов В. В., Филонов Р. Ф., Тареева О. А. Адаптивное управление работой конвейерно-кольцевых доильных установок // 16-й Международный симпозиум по вопросам машинного доения сельскохозяйственных животных. Минск: РУП НПЦ НАН Беларуси. 2012.
7. Мастеренко Д. А. Исследование оценок параметров линейной статистической модели по сильно дис-кретизованным наблюдениям // Вестник МГТУ Станкин. 2012. № 3 (22). С. 89-93.
8. Куксова И. В., Мещеряков В. И. Экономико-математическое обоснование оптимизации использования видов технических средств, для выполнения задач в условиях неопределенности // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2017. Т. 79. № 3 (73). С. 232-237.
9. Тареева О. А., Стребуляев С. Н., Кирсанов В. В. Способ управления скоростью вращения платформы
15
доильной установки карусельного типа: патент 2605780 Российская Федерация: МПК A01J 5/007 (2006.01) / заявитель и патентообладатель Тареева О. А. N° 2015112086/13; заявл. 02.04.2015; опубл. 27.12.2016, бюл. N° 36.
10. Федоров Р. В. Математическое моделирование динамических процессов электромагнита нейтральных электромагнитных герметичных реле // Современные тенденции в управлении промышленными инновационными организациями Сборник научных статей Региональной научно-практической конференции с международным участием, посвященной 50-летию Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова . 2017. С. 133-137.
11. Тареева О. А. Результаты исследований адаптивного алгоритма управления доильной установкой «Карусель» // Техника и оборудование для села. № 9. 2015. С. 28-31.
12. Зорин А. В. On a flow of repeated customers in stable cyclic queueing system // Communications in Computer and Information Science. 2015. С. 114-127.
13. Зорин А. В. О потоке повторных требований в тандеме циклических систем обслуживания в стационарном режиме // Информационные технологии и математическое моделирование. Материалы XIV Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Томск : Том. 2015. Ч. 1. С. 119-122.
14. Стребуляев С. Н., Васин Д. Ю. Использование системы аналитических вычислений Maple для решения задач прикладной математики: учебное пособие. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. 170 с.
15. ДжонсонН. А., Хоц С., БалакришнинН. Одномерные непрерывные распределения: пер. 2-го англ. изд. М. : БИНОМ. 2012. 703 с.
16. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М. : Наука. 1985. 647 с.
17. БольшевЛ. Н., СмирновН. В. Таблицы математической статистики. М. : Наука. 2003. 416 с.
18. КендаллМ., Стьюарт А. Теория распределений: пер. с англ. В. В. Сазонова, А. Н. Ширяева. Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Наука. 1966. 588 с.
19. Карлин С. Основы теории случайных процессов: пер. с англ. В. В. Калашникова. Под ред. И. Н. Коваленко. М. : Мир. 1971. 168 с.
20. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: пер. с англ. М. : Мир. 1984. 738 с.
Дата поступления статьи в редакцию 3.10.2018, принята к публикации 19.12.2018.
Информация об авторах: Зорин Владимир Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Программная инженерия»
Адрес: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского», 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mail: zor.vaz264@yandex.ru Spin-код: 6107-6091
Стребуляев Сергей Николаевич, кандидат технических наук,
доцент кафедры «Дифференциальные уравнения, математический и численный анализ»
Адрес: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского»,
603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23
E-mail: sstrebuliaev@mail.ru
Spin-код: 9626-6664
Тареева Оксана Александровна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Технические и биологические системы»
Адрес: Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный инженерно-экономический университет», 606340, Россия, Нижегородская обл., г. Княгинино, ул. Октябрьская, д. 22а E-mail: oksya-kn@mail.ru Spin-код: 1242-4318
Заявленный вклад авторов: Зорин Владимир Александрович: общее руководство проектом, анализ и дополнение текста статьи. Стребуляев Сергей Николаевич: сбор и обработка материалов, подготовка первоначального варианта текста. Тареева Оксана Александровна: участие в обсуждении материалов статьи, написание окончательного варианта текста.
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Aranovich N. M. Konvejery na molochnyh fermah [Conveyors on dairy farms], Elektrifikatsija sel'skogo hozjajstva [Electrification of agriculture], 1932, No. 4.
2. Coj Ju. A. Protsessy i oborudovanie doil'no-molochnyh otdelenij zhivotnovodcheskih ferm [Processes and equipment of milking and dairy offices of livestock farms], Moscow, GNU VIESH, 2010, 424 p.
3. Tareeva O. A. Povyshenie propusknoj sposobnosti rotorno-konvejernoj doil'noj ustanovki na osnove adap-tivnogo upravlenija tehnologicheskimi potokami zhivotnyh [Increase in capacity of the rotor and conveyor milking machine on the basis of adaptive management of technological flows of animals], Knyaginino, 2016, 203 p.
4. Kirsanov V. V., Filonov R. F., Tareeva O. A. Optimizatsiya upravlenija rabotoj konvejerno-kol'tsevyh doi-l'nyh ustanovok [Optimization of management of operation of conveyor and ring milking machines], Vestnik Vse-rossijskogo nauchno-issledovatel'skogo instituta mehanizatsii zhivotnovodstva [Bulletin of the All-Russian Research Institute of Livestock Mechanization], 2012, No. 2, pp. 79-89.
5. Kirsanov V. V., Tareeva O. A., Strebuljaev S. N. Matematicheskoe modelirovanie protsessa doeniya na ustanovkah «Karusel'» [Mathematical modeling of process of milking on the Roundabout installations], Tehnika i oborudovanie dlja sela [Equipment and equipment for the village], 2014, No. 12, pp. 10-13.
6. Kirsanov V. V., Filonov R. F., Tareeva O. A. Adaptivnoe upravlenie rabotoj konvejerno-kol'tsevyh doil'nyh ustanovok [Adaptive management of operation of conveyor and ring milking machines], 16-j Mezhdunarodnyj sim-pozium po voprosam mashinnogo doenija sel'skohozjajstvennyh zhivotnyh [the 16th international symposium on machine milking of farm animals], Minsk, RUP NPC NAN Belarusi, 2012.
7. Masterenko D. A. Issledovaniye otsenok parametrov lineynoy statisticheskoy modeli po sil'no diskreti-zovannym nablyudeniyam [Investigation of parameter estimates for a linear statistical model from highly discretized observations], VestnikMGTUStankin [BulletinMGTUStankin], 2012. No. 3 (22), pp. 89-93.
8. Kuksova I. V., Meshcheryakov V. I. Ehkonomiko-matematicheskoe obosnovanie optimizacii ispol'zovaniya vidov tekhnicheskih sredstv, dlya vypolneniya zadach v usloviyah neopredelennosti [Economic-mathematical substantiation of optimizing the use of technical means, to perform tasks in conditions of uncertainty], Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta inzhenernyh tekhnologij [Proceedings of the Voronezh State University of Engineering Technologies], 2017, Vol. 79, No. 3 (73), pp. 232-237.
9. Tareeva O. A., Strebulyaev S. N., Kirsanov V. V. Sposob upravleniya skorost'yu vrashcheniya platformy doil'noj ustanovki karusel'nogo tipa [Method of controlling the speed of rotation of the milking platform carousel type: patent 2605780 Russian Federation], MPK A01J 5/007 (2006.01) / zayavitel' i patentoobladatel' Tareeva O. A. No. 2015112086/13; zayavl. 02.04.2015; opubl. 27.12.2016, byul. No. 36.
10. Fedorov R. V. Matematicheskoye modelirovaniye dinamicheskikh protsessov elektromagnita neytral'nykh elektromagnitnykh germetichnykh rele [Mathematical modeling of the dynamic processes of an electromagnet of neutral electromagnetic hermetic relays], V sbornike: Sovremennyye tendentsii v upravlenii promyshlennymi innovatsionnymi organizatsiyami Sbornik nauchnykh statey Regional'noy nauchno-prakticheskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiyem, posvyashchennoy 50-letiyu Chuvashskogo gosudarstvennogo universiteta im. I. N. Ul'yanova [Modern trends in the management of industrial innovation organizations. Collection of scientific articles of the Regional Scientific and Practical Conference with international participation dedicated to the 50th anniversary of the Chuvash State University. I. N. Ulyanova], 2017, pp.133-137.
11. Tareeva O. A. Rezul'taty issledovanij adaptivnogo algoritma upravleniya doil'noj ustanovkoj «Karusel'» [Results of studies of the adaptive control algorithm of the milking machine «Karusel»], Tekhnika i oborudovanie dlya sela [Equipment and equipment for the village.], No. 9. 2015. pp. 28-31.
12. Zorin A. V. On a flow of repeated customers in stable cyclic queueing system, Communications in Computer and Information Science. 2015. pp. 114-127.
13. Zorin A. V. O potoke povtornyh trebovanij v tandeme tsiklicheskih sistem obsluzhivaniya v statsionarnom
rezhime [On the thread re the requirements in tandem cyclic service systems in a stationary mode], Informacionnye tekhnologii i matematicheskoe modelirovanie. Materialy XIVMezhdunarodnoj konferentsii imeni A. F. Terpugova [Information technologies and mathematical modeling. Collection of XIV international conference named after A. F. Ter-pugov]. Tomsk: Tom. 2015. Ch. 1. pp. 119-122.
14. Strebulyaev S. N., Vasin D. Yu. Ispol'zovanie sistemy analiticheskih vychislenij Maple dlya resheniya zadach prikladnoj matematiki [Using the Maple analytical computing system for solving problems of applied mathematics], uchebnoe posobie. Nizhnij Novgorod: Izdatel'stvo nizhegorodskogo gos-universiteta, 2007. 170 p.
15. Dzhonson N. A., Hoc S., Balakrishnin N. Odnomernye nepreryvnye raspredeleniya [One-dimensional distributions], per. 2-go angl. izd. Moscow: BINOM. 2012. 703 p.
16. Korolyuk V. S. i dr. Spravochnik po teorii veroyatnostej i matematicheskoj statistike [Handbook of probability theory and mathematical statistics], Moscow: Nauka. 1985. 647 p.
17. Bol'shev L. N., Smirnov N. V. Tablitsy matematicheskoj statistiki [Mathematical Statistics Tables], Moscow: Nauka. 2003. 416 p.
18. Kendall M., St'yuart A. Teoriya raspredelenij [Distribution theory], per. s angl. V. V. Sazonova, A. N. Shi-ryaeva. In A. N. Kolmogorova (ed.). Moscow: Nauka. 1966. 588 p.
19. Karlin S. Osnovy teorii sluchajnyh processov [Fundamentals of the theory of random processes, per. s angl. V. V. Kalashnikova. In I. N. Kovalenko (ed.) Moscow: Mir. 1971. 168 p.
20. Feller V. Vvedenie v teoriyu veroyatnostej i ee prilozheniya [Introduction to probability theory and its applications, per. s angl. Moscow: Mir. 1984. 738 p.
Submitted 3.10.2018; revised 19.12.2018.
About the authors:
Vladimir A. Zorin, Ph. D. (Physics and Mathematics), associate professor of the chair «Software engineering» Address: Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod (Russia), 603950, Nizhny Novgorod, Gagarin Ave, 23 E-mail: zor.vaz264@yandex.ru Spin code: 6107-6091
Sergey N. Strebulyaev, Ph. D. (Engineering), associate professor of the chair «Differential equations, mathematical and numerical analysis»
Address: Nizhniy Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod (Russia), 603950, Nizhny Novgorod, Gagarin Ave, 23. E-mail: sstrebuliaev@mail.ru Spin code: 9626-6664
Oksana A. Tareeva, Ph. D. (Engineering), associate professor of the chair «Technical and biological systems» Address: Nizhny Novgorod State engineering-economic university of, 606340, Russia, Knyaginino, Oktyabrskaya Str., 22a. E-mail: oksya-kn@mail.ru Spin code: 1242-4318
Contribution of the authors: Vladimir A. Zorin: managed the research project, analysing and supplementing the text. Sergey N. Strebulyaev: collection and processing of materials, preparation of the initial version of the text. Oksana A. Tareeva: participation in the discussion on topic of the article, writing the final text.
All authors have read and approved the final manuscript.
