CC BY
396
Использование метода копул в оценке кредитоспособности групп взаимосвязанных заемщиков.
Application of the copula approach in the estimation of creditworthiness of group of interrelated borrowers.
С.П.Салмин,
доктор экономических наук, профессор кафедры математического
моделирования экономических систем,
Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского -
Национальный исследовательский университет
e-mail: salmine@mail.ru
Д.А. Пьянов,
соискатель, кафедра «Финансы и кредит» Волжская Г осударственная Академия Водного Транспорта.
e-mail: pyanov.dmitriy@gmail.com
Аннотация
В настоящей работе рассматривается применение методик, основанных на копулах, к оценке кредитного риска на примере группы взаимосвязанных заемщиков. На основе заданного портфеля ссуд построены 4 модели риска: модель, основанная на бинормальном многомерном распределении, и 3 модели, основанных на архимедовых копулах. Кроме того, рассмотрен случай маргинальных распределений Г аусса и Стьюдента. Полученные результаты позволяют дать оценку адекватности моделей, что позволяет достоверно оценить возможности их практического применения.
Abstract
In this paper we use copula-based method to estimate credit risk of portfolio in
example of group of interrelated borrowers. On the basis of this credit portfolio we
present four risk models: classic binormal model and three models with archimedian
1
copulas. In addition, we examine the case of various marginal distributions: Gauss and t-Student. Obtained results are aimed primary at assessing the adequacy of models and practical significance.
Ключевые слова: копула, кредитный скоринг, Базель ll, тяжелые хвосты, метод Монте-Карло, Value-at-Risk (VAR), Expected Shortfall.
Keywords: copula, credit scoring, Basel II, fat tails, Value-at-Risk (VAR), Monte-Carlo, Expected Shortfall.
При рассмотрении рисков, связанных с деятельностью кредитных организаций, чаще всего приходится сталкиваться с кредитным риском. Этот риск обусловлен кредитоспособностью заемщика. С точки зрения банка, потери возникают вследствие увеличения резерва, выделенного под ссуду или портфель ссуд. С данным фактом связан и другой вид риска - риск потери ликвидности при выделении резерва.
При оценке вероятности дефолта, как одну из ключевых характеристик кредитоспособности, используются различные рыночные показатели, такие как спрэд CDS, Z-спрэд, стоимость опциона в модели Мертона и т.д. Полученная характеристика относится к наблюдаемой вероятности дефолта, так как при ее расчете используются наблюдаемые рыночные величины (т.н. Marked-to-Market). Однако далеко не каждый заемщик может иметь котировки приведенных рыночных показателей. Поэтому бесспорна необходимость создания надежной модели, позволяющей оценить вероятность данных потерь. Деятельность российских кредитных организаций в области кредитного риска регулируется положением ЦБ №254. При этом выбор конкретной скоринговой модели остается непосредственно за банком. Данный метод расчета игнорирует некоторые важные обстоятельства. Так, не учитывается возможная зависимость между заемщиками, а также зависимость дефолта заемщиков от факторов макро-и микроэкономического характера. Кроме того, за основу оценки, как правило, принимаются данные, полученные из бухгалтерской отчетности. Известно, что
недостатки российской системы бухгалтерского учета способствуют искажению текущего положения предприятия, что отрицательно влияет на оценку его кредитоспособности.
Более общая оценка кредитного риска была дана в стандарте Базельского комитета по банковскому надзору Базель II. Здесь предлагается на выбор 2 метода: стандартизированный подход и подход на основе внутренних рейтингов (IRB - Internal Rated Based Approach). В первом подходе величина резерва рассчитывается, исходя из внешнего кредитного рейтинга. Во втором подходе оценка кредитного риска происходит по модели, включающей 4 фактора: вероятность дефолта, потери от дефолта, подверженность дефолту и срок действия кредита. В стандарте выделены 2 вида IRB подхода: базовый IRB и продвинутый IRB. В первом случае банк может самостоятельно рассчитывать вероятность дефолта, остальные параметры модели определяются регулятором. Во втором случае банк самостоятельно определяет все факторы. В качестве меры риска Базель II рекомендует использовать показатель VaR.
Известно, что Value-at-Risk представляет собой левый квантиль распределения случайной величины:
VaRa = - inf(x|P(X < x) > а).
VaR оказался практически полезным инструментом в анализе риска. В частности, при его применении решается проблема симметричности стандартного отклонения. Однако VaR имеет свои недостатки, главный из которых -неучет потерь за пределами уровня доверительной вероятности. Действительно, распределения дефолтов контрагентов чаще всего имеют тяжелые хвосты, при этом VaR пренебрегает потерями в хвостах распределения. Это вводит в заблуждение кредитную организацию, побуждая формировать ссуды с малой вероятностью дефолта, однако с высоким значением потерь в случае наступления несостоятельности. Кроме этого, VaR не является когерентной мерой риска.
В [2] предложено понятие когерентности меры риска. Мера риска на заданном вероятностном пространстве (Q, F, P) когерентна тогда и только тогда, когда она представляет собой супремум потерь на всем возможном семействе вероятностных мер P:
р( X) = sup(£p (-Х)).
peP
VaR не удовлетворяет свойству суб-аддитивности когерентной меры риска. Это свойство имеет особую важность в условиях формирования портфеля ссуд - оно обуславливает снижение риска от диверсификации. Ввиду вышесказанного представляется целесообразным дополнить методики VaR новой мерой риска, удовлетворяющей свойствам когерентности.
В работе Artzner [2] предложил показатель ES (Expected Shortfall). Он характеризует математическое ожидание потерь, превысивших VaR:
ESa = E(-x| - x > VaR).
Стоит отметить, что ES>VaR при одинаковом уровне доверительной вероятности по определению. Данная мера риска является суб-аддитивной, что делает ее когерентной. Доказательство приведено, например, в [10]. Однако финансовое обоснование этого показателя не столь очевидно, как для VaR. Если VaR можно понимать, как значение того уровня капитала, при котором вероятность дефолта меньше заданной, то ожидаемая величина потерь выше определенного уровня не может быть элементарно приведена к уровню регулятивного капитала.
Эффективность ES зависит от устойчивости оценки и от выбора методов бэк-тестинга. В силу специфики показателя ошибка оценки ES оказывается больше ошибки VaR при одинаковом объеме выборки [11]. Бэк-тестирование также становится более проблематичным из-за необходимости получения данных за пределами уровня доверительной вероятности, что ведет к необходимо-
4
сти большего количества наблюдений. Во всех случаях существенна критичность учета/неучета тех или иных недостатков меры риска. Действительно, если трейдер уже имеет в своем распоряжении хорошо диверсифицированный портфель, свойства диверсификации не столь несущественны. В случае ограниченного количества наблюдений, использование VaR оказывается более оправданным, чем ES, так как его оценка получается более устойчивой. Для более полного отражения текущей ситуации имеет смысл совместное использование различных мер риска.
В выборе меры риска существенна аппроксимация функции распределения случайной величины. В финансовых приложениях важной характеристикой оказывается эксцесс. Он характеризует толщину хвостов и вытянутость вершины плотности распределения. При достаточно большом значении эксцесса возникает хвостовой риск - ситуация, при которой значения случайной величины концентрируются в хвостах распределения. В [12] показано, что вышеприведенные меры риска, в особенности VaR, не всегда адекватно описывают хвостовой риск. Исключение составляет нормальное распределение, так как VaR и ES скалярно выражаются через стандартное отклонение. Для исследования вероятности дефолта используют в основном экспоненциальное распределение [1] и обобщенное распределение Парето [12]. Еще одним важным аспектом описания финансовых рисков является зависимость между случайными величинами.
Одним из способов решения этих проблем может быть переход к коэффициентам ранговой корреляции или коэффициентов конкордации. Как показывает практика, они более устойчивы к монотонным преобразованиям и лучше описывают нелинейную зависимость. Для обоснования результатов данной работы следует обратить внимание, что коэффициенты ранговой корреляции могут выражаться через функцию копулы.
Двумерная копула - это функция С: [0,1] х [0,1] -> [0,1], удовлетворяющая следующим свойствам:
1 У и, V е [0,1]:
С (и,0) = С (0, V) = 0
2 Уи, V е [0,1]:
С (и,1) = и, С (1, V) = V
3 Ум1, и2, у1, у2 е [0,1] и и\ ^ и2, У1 ^ v2 :
С (U1, ^ - С (U1, ^ - С (и 2 , ^ + С (и 2 , V2) ^ 0.
По теореме Склара [8], функцию совместного распределения с известными маргинальными распределениями можно представить копулой от этих маргинальных распределений. В случае монотонности маргинальных распределений функция копулы задается единственным образом. Основное преимущество копулы состоит в том, что она позволяет рассматривать зависимость между случайными величинами вне контекста их распределений. Удобство заключается в том, что выбрав функции распределения для отдельных случайных величин, можно рассматривать различные зависимости между ними.
Мы ограничиваемся применением отдельного семейства копул - архимедовыми копулами. Непрерывное, строго убывающее преобразование этих копул равно сумме преобразований ее аргументов:
(р(С (и, V)) = (р(и) + (р(у).
Инструментальным преимуществом данного семейства является относительная легкость его генерации, для чего достаточно лишь задать функцию-генератор ф. К подобным копулам, например, относятся [8]:
1. Копула Г умбеля
Св (u, v) = exp|- [(- ln u)e + (- ln v)e ]/в I
2. Копула Клейтона
Св (u, v) = max([u в + v~в -1] 1в ,oj
3. Копула Франка
Св (u, v) = max([u в + v~в -1] 1в ,oj
0 представляет собой параметр копулы, определяющий зависимость между случайными величинами. Этот параметр можно выразить через коэффициенты ранговой корреляции (см. например [6],[5]), что значительно упрощает его оценку. Однако точное значение параметра копулы удается получить далеко не всегда. Например, параметр копулы Франка не выражается через элементарные функции, поэтому для его оценки приходится использовать различные численные методы.
Для расчета резерва под кредитный риск в РФ принята классификация1 ссуд (портфелей ссуд) из пяти категорий: стандартные, нестандартные, сомнительные, проблемные, безнадежные. Каждой из категорий соответствует интервал создаваемого под ссуду резерва. Процедура квалификации проходит по 2 факторам: финансового положения заемщика и качество обслуживания кредита. Оценка второго фактора выходит за рамки данной работы и в дальнейшем не рассматривается. Рассмотрен подход, где кредитный риск определяется исключительно финансовым состоянием заемщика.
В качестве скоринговой модели выбрана модель Дюрана [4]. Она представляет собой балльную оценку платежеспособности заемщика, в основу которой положены показатели: коэффициент текущей ликвидности, коэффициент финансовой независимости, коэффициент рентабельности совокупного капита-
1 Положение Банка России от 26 марта 2004 г. №254-П "О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности".
7
ла. Ее преимущество состоит в том, что она довольно просто интегрируется в правовую базу оценки кредитного риска ЦБ РФ и нетребовательна к входным данным - оперирует только данными первых двух форм финансовой отчетности.
Пусть связь между количеством баллов и величиной резерва выражается следующим образом:
гг = а^с)а, (1)
где гг - величина расчетного резерва, sc - общее количество баллов по методике Дюрана. Очевидно, данное преобразование монотонно и задается единственным образом ^с варьируется от 0 до 100). Для оценки значений коэффициентов
а, а для каждого класса ссуд используются краевые значения для интервалов этих групп. Они будут следующими:
I класс. Такие ссуды называются безрисковыми, резерв под них не выделя-
ется (0% резерва, 100 баллов).
II класс. 1-20%, 65-99 баллов.
III класс. 21-50%, 35-64 баллов.
IV класс. 51-100%, 6-34 баллов.
V класс. Данные ссуды квалифицируются как невозможные к взысканию, резерв выделяется в размере стоимости ссуды и списывается на результаты деятельности организации. (100%, 0 баллов).
Первый и пятый класс ссуд не представляют интереса, так как резерв по ним определен изначально. Для оценки коэффициентов 2-4 групп предложены следующие выражения, вытекающие из (1):
гг'
scl
1п
гг
а=----------:—, а, =----:
I 1^1 I
sc
'У
где ггир^сир - верхние границы показателей для каждой группы, гг1о^с1от нижние границы.
В результате получаются следующие значения:
а а
1 0 любое
2 1.61985Е+12 -7.12028
3 82.86297522 -1.43737
4 0.254392458 0.388184
5 1 любое
Табл. 1 Значения параметров уравнения зависимости уровня резерва и балльной оценки
Данная методика позволяет установить однозначное соответствие между финансовым состоянием заемщика и размером соответствующего резерва. При ухудшении финансового состояния заемщика банк обязан увеличить резерв. Это неизбежно ведет к потерям. На операционном уровне это создает определенную проблему ввиду обязанности российских банков переоценивать финансовое состояние заемщиков ежемесячно для кредитных организаций и ежеквартально для остальных.
В условиях множества заемщиков, когда имеет место сильная зависимость между ними, необходимо строить многомерные функции распределения, учитывающие одиночное поведение случайных величин и их взаимное влияние, которое не может быть описано одномерными распределениями.
При выборе метода Монте-Карло для генерации копул (согласно, напр., [5] или [7]), начинают с выбора формы и параметров маргинальных распределений. Затем необходимо определить структуру зависимости между случайны-
ми величинами, что для, скажем, многомерного совместного распределения сводится к построению корреляционной матрицы. Далее, при помощи преобразования Бокса-Мюллера, из равномерно распределенных псевдослучайных величин можно получать независимые нормально распределенные вектора. Результатом умножения их на матрицу, полученную из ковариационной матрицы путем разложения Холецкого, являются два нормально распределенных вектора с заданной корреляционной зависимостью. При определении взаимозависимости архимедовой копулой необходимо выбрать ее вид и оценить ее параметры. Это можно сделать через коэффициенты конкордации [6] или по методу максимального правдоподобия [3]. Далее необходимо построение обратной функции копулы для одного из ее параметров. Монотонность функции копулы гарантирует существование обратной функции. Однако не всегда возможно и часто непрактично обязательно выражать обратную функцию аналитически. В настоящей работе обратная функция копулы строится численно. Имея равномерно распределенные псевдослучайные числа, зависимость которых определяется копулой, необходимо подставить их значения в обратные функции маргинальных распределений. Полученные таким образом переменные являются случайными величинами с заданными маргинальными распределениями, взаимозависимости которых определяются исходной копулой. Для анализа данного процесса применен метод имитационного моделирования.
Работа данного механизма продемонстрирована на примере имитации кредитного портфеля, состоящего из ссуд компаний ОАО Альметьевский трубный завод и ОАО Трубодеталь. Данные организации входят в группу «Объединенная металлургическая компания». Кредиты и займы составляют довольно существенную часть в общей структуре заемного капитала этих предприятий -в 2011 году они составляли 50,5% для АТЗ и 50.9% для ТД. Организационная взаимозависимость этих предприятий обуславливает зависимость вероятностей их дефолтов.
Copula parameter atz-td
Gumbel's theta 2.01
Clayton's theta 2.03
Табл. 2 Значение параметра копул для значения резерва
Correlation atz-td atz_score- td_score
Pearson's rho 0.56 0.46
Kendall's tau 0.50 0.50
Spearman's rho 0.61 0.61
Табл. 3. Значения коэффициентов зависимости для финансовых характеристик заемщиков
В таблицах (Табл. 3, Табл. 2) представлены оценки коэффициентов корреляции для ряда значений резерва и балльной оценки финансового положения и параметров копул. В таблице Табл. 3 продемонстрирован факт, упомянутый выше: коэффициент линейной корреляции не способен справиться с монотонными преобразованиями переменных. На основе коэффициента Кэндалла построены коэффициенты копул. Все они указывают на наличие положительной зависимости между факторами (Табл. 3).
Рис. 1 1 - копула Гаусса, нормальные маргиналы; 2 - копула Гумбеля, t маргиналы; 3—копула Гумбеля, нормальные маргиналы; 4 - копула Клейтона, t маргиналы; 5 - копула Клейтона, нормальные маргиналы; 6 - копула Франка, t маргиналы; 7—копула Франка, нормальные маргиналы.
На диаграммах рассеяния (Рис. 1) представлены реализации метода Монте-Карло различных форм копул и маргинальных распределений. Реализация проведена средствами МайаЬ с использованием модифицированного алгоритма [5]. В качестве маргинальных распределений были взяты распределение Гаусса и t распределение Стьюдента с п=2 степенями свободы. Второе распределение имеет более тяжелые хвосты, что продемонстрировано на рисунках. Значения случайных величин при t распределении имеют тенденцию к концентрации в левом хвосте распределения. Кроме того, рассредоточение значений по концам маргинальных распределений в копуле Франка, как и отмечалось в [12], свидетельствует о слабой хвостовой зависимости. В копуле Гаусса с нормальными
маргиналами полностью отсутствует концентрация значений около левого хвоста. Подобные ситуации чреваты тяжелыми последствиями для банка в случае возникновения непредвиденных спадов в отрасли или случайных шоков, возникающих в экономике.
2-------!-----,------!-----!------!-----!------!-----,------,----- 2
1.551.........................................................................
О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Рис. 2 1-2 - 1GGG итераций; 3-4 - 1GGGG итераций.
а E а E
100 100 1000 1000
ES 1000 0.0357 1.8889 0.033 1.8888
VaR 1000 0.0453 1.6825 0.0457 1.6816
ES 10000 0.0099 1.8921 0.0098 1.8929
VaR 10000 0.013 1.6834 0.0138 1.685
Табл. 4 Значение мер риска для портфеля ссуд
На Рис. 2 представлены реализации показателей ES и VaR для разного объема имитаций. Для более точного расчета, в частности ES, необходима достаточно большая выборка. Как видно из рисунков, графики ES и VaR при уменьшении выборки получаются более волатильными.
Проведенные расчеты показывают, что методы расчета кредитного риска, закрепляемые ЦБ РФ, не могут в полной мере оценить риски взаимозависимости между связанными заемщиками. Вместе с определенной слабостью надзорных мер, вытекающей из недостатка опыта и сравнительно недолгим периодом применения таких мер, а также с недостаточной прозрачностью публикуемой отчетности, этот факт создает серьезную угрозу устойчивости деятельности кредитной организации. С организационной и методической точек зрения переход на стандарты Базельского комитета по банковскому надзору могли бы послужить повышению устойчивости этой деятельности. Однако в данный момент подобный переход сопряжен со значительными трудностями и не может быть реализован в обозримые сроки. Например, банки могут столкнуться с трудностями оценки рисков малых и средних предприятий, многие из которых могут даже не иметь кредитной истории. Ввиду этого затраты на модельную оценку глубоко диверсифицированного кредитного портфеля могут оказаться вполне оправданными даже при значительных затратах на вычислительные ресурсы.
Список литературы
1. Ивлиев С.В. Исследование кредитного риска методом Монте-Карло //
Экспертиза рисков. 2004. URL:
http://www.hedging.ru/stored/publications/419/download/CreditRiskMonteCar
lo.pdf.
2. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk. // Mathematical Finance. 1999. № З, pp 20З - 228.
3. Brandt S, Statistical and Computational Methods in Data Analysis // Springer. 1996. p 652.
4. DurandD. Risk Elements in Consumer Instalment Financing // NBER. 1941. p 141.
5. Melchiori M.R. Which Archimedean Copula is the Right One? // YieldCurve.
14
2003. pp 1-23.
6. Nelsen R.B. An Introduction to Copulas // Springer. 2006. p 276.
7. Rank J. Copulas in Financial Risk Management // University of Oxford. 2000. pp 1-33.
8. Sklar A. Random Variables, Distribution Functions, and Copulas - a Personal Look Backward and Forward // Distribution with Fixed Marginals and Related Topics. 1996. pp 1 - 14.
9. Staudt A. Tail Risk, Systemic Risk and Copulas// Society. 2010. pp 1 - 23.
10.Yamai Y., Yoshiba T. On Validity of Value-at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall// Monetary and economic studies. 2002. pp 57 - 86.
11. Yamai Y., Yoshiba T. Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition, and Optimization// Monetary and economic studies. 2002. pp 87 - 122.
12.Yamai Y., Yoshiba T. Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk (3): Their Validity under Market Stress// Monetary and economic studies. 2002. pp 181 - 238.
