CC BY
14
I
Орипнальы досл1дження
Original Researches
Травма
УДК 616.711.6/.728.2-007.29:616-089 ДИБКАЛЮК С.В., ГЕРЦЕН Г.1.
Кафедра ортопедп й травматологи № 1 НацюнальноÏ академИ пюлядипломно! освпи iMeHi П.Л. Шупика, м. Кив
використання математичного моделювання
методом юнцевих елеменлв пружно-регуляторних характеристик хребтових aptepîé у нижньому шийному в1дд1л1 хребта людини
Резюме. Обгрунтовано необхднсть вирiшення вахливо! науковоI проблеми, що стосуеться визначення юльюсних характеристик патолог! кровообiгу в артерiях шийного в^лу людини. Вибранi методи досл-джень спрямованi на визначення форми артери, деформованоI спiралеподiбним м'язом, та визначення патолопчних змiн пдрав^чниххарактеристик артери на деформованiй длянц з урахуванням особливостей кровi як рдко! субстанци, що включае стотну об'емну частку еритроцит.
Наведено результати математичного моделювання методом юнцевих елеменлв форми длянки хребтово! артери, деформовано!спiралеподiбним м'язом. Установленкiлькюнiхарактеристикидеформованого пе-рерiзу артери.
Ключов слова: хребтова артерiя, математичне моделювання, компреая.
Кровоносна система людини, що складаеться з артерш i вен, тюно контактуе з шшими органами, зо-крема з м'язами. У деяких випадках це призводить до перетискання артери та зменшення кровотоку в нш. Тому дослщження, як! б дозволили кшьысно та яысно оцшити деформацш хребтово! артери, що перекрива-еться м'язом, iз подальшим визначенням гiдравлiчного опору, що при цьому виникае, е актуальними.
Проблема в загальному виглядi полягае у встанов-ленш причин i наслщыв негативного впливу розташо-ваних поруч м'язiв на артери середнього розмiру.
Проблема пов'язана з важливими науковими й практичними завданнями розробки радикальних ме-тодiв лшування патологи хребтових артерiй шийного вщдту людини.
У лiтературних джерелах наявна значна кшьысть результатiв дослiджень мехашки судин та гiдравлiки кровi [К). Розглядаються рiзноманiтнi характеристики артерш та особливост кровотоку в них [2, 3]. Ряд публшацш присвячено вивченню особливостей змiни форми артерш шийного вщдту при !х стисканш сшра-леподiбним м'язом [4, 5]. Дослщжень, направлених на розрахунок пружно-деформованого стану артерiй при !х стисканш та вщповщних змiн гiдравлiчних характеристик артерш iз урахуванням специфши руху кровi, у лiтературних джерелах не виявлено.
До невиршених рашше частин загально! проблеми належать виявлення пружно-деформованого стану хребтово! артери, що стискаеться спiралеподiбним м'язом, та визначення на цш основi гiдравлiчного опо-
ру стиснуто! артери з урахуванням специфiчних особливостей руху кровь
Aртерiя при наявност патологи являе собою склад-ний об'ект дослщжень, що потребуе неординарних методiв. Доцiльним е проведення мiждисциплiнарних дослiджень фахiвцями в галузi медицини та мехашки. Ефективним е застосування фундаментальних поло-жень механiки деформованого тта та методiв пдроме-хашки [6].
Завданнями дослiджень е встановлення особливостей геометричних, мехашчних та гiдравлiчних характеристик хребтово! артери при 11 стисканш спiралеподiб-ним м'язом та визначення змши параметрiв кровотоку у звуженiй артери.
Мета роботи — встановлення напружено-дефор-мованого стану хребтово! артери, що стискуеться м'язом, та визначення залежносп гiдравлiчного опору вiд ступеня перекриття хребтово! артери.
Матер\ал \ методи
Характеристика об'екта та предмета досл^жень
Хр ебтовi артери належать до артерш середнього розмiру. 1х дiаметр знаходиться в межах 3,5—4,5 мм. Хр ебтовi артери розташоваш паралельно сонним арте-
© Дибкалюк С.В., Герцен Г.1., 20К4 © «Травма», 20К4 © Заславський 0.]Ю , 20К4
piHM (рис. К) i забезпечують подачу KpoBi до Bcix оргашв голови.
У нормальному сташ в артерп мае мiсце рух кров^ близький до ламiнарного. Швидкiсть руху кровi в ар-терiях не перевищуе 0,5 мГС. Артерп мають незначну конфузорнiсть, що стабiлiзуе течш кровГ й зменшуе
Рисунок 1. Анпограма артерй шийного в1дд1лу (стрлками показано мСця звуження хребтових артерй)
ймовiрнiсть вихроутворення. При стисненш артерш спiралеподiбними м'язами спостерiгаeться 1х комп-ресiя (зменшення прохiдного перетину). Це мае мю-це на початкових дшянках артерiй i спостерiгаeться на анпограмах (показано стрiлками на рис. К). Звуження артерш мае складний просторовий характер. Для дослщження змши форми артерп проведено ма-тематичне моделювання 11 напружено-деформовано-го стану.
Моделювання напружено-деформованого стану артерiй
Хребтова артерiя контактуе з iншими органами, зокрема з м'язами. У випадку хребтово'1 артерп контакт iз спiралеподiбним м'язом приводить до комп-респ (перетискання) артерп та зменшення кровотоку в нш.
Визначено напружено-деформований стан артери, перекрито'1 м'язом. Розрахунки проведет з викорис-танням метода юнцевих елементiв (МКЕ) [С].
Метод кшцевих елементiв — технологiя, що дозво-ляе провести аналiз напружено-деформованого стану об'екта за його тривимiрною моделлю.
МКЕ дозволяе достатньо точно визначити напря-мок та величину деформацш у точках (вузлах) моделi, а також напруження, що виникають у цих точках.
Зпдно з методом тривимiрна модель розбиваеться за допомогою сiтки на велику кшьысть кiнцевих еле-менпв. Точнiсть моделювання залежить вiд ктькосп елементiв5чим 1х бiльше, тим вища точнiсть.
О О
ill с*
w.
10 90
20 ИЗО
.МЫш
¿щ
t* * i I
I is fl
ЬJ 1
0 270
ШШ i
Рисунок2. Схема навантаження (а) та типова деформац!я хребтово/ артерп (б)
У процеш моделювання програмний комплекс розв'язуе рiвняння, що описують напружено-дефор-мований стан для кожного кшцевого елементу модель Результати розрахунюв у бшьшосл випадкiв вiзуалiзу-ються.
Важливо було правильно встановити форму м'яза, що взаемодiе iз артерiею, схему, за якою вiн наванта-жуеться, а також те, яким чином вш контактуе з артерь ею. Згiдно iз лiтературними джерелами [3, 4], м'яз мае спiралеподiбну форму i по всш довжинi прилягае до артери та навантажуеться аксiально.
Для дано! схеми навантаження проведено розраху-нок напружено-деформованого стану артери, що пере-тискаеться (рис. 2а).
Навантаження, що створюеться м'язом, е досить значним i лежить у широких межах [3]. Воно е до-статньо великим порiвняно iз силами жорсткост стiнок артери. Тому оцiнювалися насамперед форма стшки навантажено! артери та визначалися дь лянки максимальних деформацiй при рiзних величинах навантаження. Прийнят пружнi властивостi
Рисунок 3. Послщовн! кадри компресп артери при зб!льшенн1 напруження сп!ралепод!бного м'яза
матерiалiв артери та м'яза отримаш з лггературних джерел [6].
При проведенш моделювання за допомогою МКЕ навантаження, що прикладалися до артери, варшвали-ся. У результатi ди зовнiшнiх зусиль артерiя набувала форми, близько! до спiралеподiбно!', на навантаженш дiлянцi (рис. 2б).
Стискання артери мае мюце на довжинi х < 40 мм. При цьому стиснений перетин поверта-еться по гвинтовш лiнi!' на кут ф < 200°. Стискання артери залежить вiд величини напруження сшрале-подiбного м'яза (рис. 3).
Математична обробка даних моделювання показала, яким чином змшюеться форма поперечного перетину артерГ! залежно вiд навантаження. Визначено, яким чином змшюеться форма поперечного перетину по довжиш, та чисельно визначено цю змшу.
Форма поперечного перетину артерГ! при навантаженш змшюеться вГд кругово! до серпоподiбно1' (рис. 4).
Встановлено, що найбтьше вщношення площ поперечного перетину нормально! артери та зi звуженням чисельно дорiвнюе восьми. Довжина дiлянки з макси-мальним звуженням становить 20 мм при загальнш довжиш артери 200 мм.
Проведеш дослщження дали змогу встановити, що форма поперечного перетину каналу перетиснуто! артерГ! може бути апроксимована деформованим елшсом серпоподiбного вигляду (рис. 5).
Довжина велико! ош елшса е сталою при рiзних зо-внiшнiх навантаженнях. Розмiр мало! ош змiнюеться, причому ця змша е пропорцiйною до змiни площi поперечного перетину артерП.
На основi одержаних даних були проведеш роз-рахунки гiдравлiчних характеристик перетиснуто! артери.
Рисунок 4. Форма поперечного перетину артери при II компресИ' та змiни положення перетину по довжинi артери
Визначення перепаду тиску в мю1_и звуження артерií
При стисненнi артери еритроцити, що рухаються по артери, будуть деформованими (рис. 6).
Поперечний перетин апроксимовано елшсом iз шв-осями а та Ь. Рашше показано, що при максимальному стисненш артери площа перетину артери зменшуеться у вiсiм разiв. Тому визначити а та Ь можна з тако! залежностi5
2 П4 = 0паЬ. (К)
Враховуючи, що с1 = 3,6 мм, знаходимо5
Ь = 0,23 мм; а = К,05 мм. (2)
Для елiптичного каналу середня швидюсть вирахо-вуеться за такою залежнiстю5
V
kp a2b2 сер 4ц I a2 + b2
kp = Рг - p2,
(3)
де I — довжина каналу.
Для стацюнарного руху рiдини при вщсутносп дже-рел маси в o6'eMi рiвняння збереження мас в штеграль-нiй формi мае вигляд5
\\Vda = 0. 5
(4)
Дане рiвняння вiдповiдаe рiвнянню нерозривностi. Для елштичного каналу з даного рiвняння знаходимо витрату кровi5
Q = nabV .
сер
(5)
Ф = 2С0° х
Ф = 2Ю° Ф
Ф = К50° % 1 }/ /J U7 х = 30
Ф = Ф0
А У х = ко
Рисунок 5. Зм1на положення перетину артери на д'шянщ звуження
Втрати тиску на дтянщ з максимальним звужен ням5
4n/Q (а2 Т Ь2) %аъЬ2
kp =
(6)
Розрахунок згiдно з формулою (6) для значень пара-метрiв (2) дае значення перепаду тиску на деформова-нiй дтянщ артери'5
Ар = 5237ПА = 39 мм рт.ст.
Втрати напору при звуженш та розширенш каналу е незначними. Порiвнявши знайдене значення втрат напору для звужено! артери iз втратами напору по довжи-нi в артери без компреси, що не перевищують 2—3 мм рт.ст., згщно з лггературними джерелами [2], а також iз проведеними попереднiми розрахунками, можна зро-бити висновок, що гiдравлiчнi втрати значно стиснуто! артери збiльшуються в КО—20 разiв.
Проведено порiвняння отриманих результатiв iз на-явними в лггературних джерелах [0], що подтвердило вь рогiднiсть проведених розрахункiв.
Розрахунки проведено для артерiй iз рiзними нощами поперечного перетину. Результати подаш у ви-глядi залежност втрат напору вiд площi поперечного перетину каналу (крива Кна рис. С).
Результати гiдравлiчних розрахункiв шдтверджують значне зростання гiдравлiчного опору при зменшенш площi поперечного перетину артери в 5—0 разiв.
Гiдравлiчнi втрати в основному обумовлюються звуженою дтянкою артери, що апроксимована елш-
Рисунок 6. Рух компактно розмщених еритроцит!в на д 'шянщ звуження артери без урахування гвинтового руху кровi
Рисунок 7. Залежнсть втрат напору в 'щ площ1 поперечного перетину стиснено/ длянки артери
j Орипнальы досл1дження / Original Researches
сом або щiлиною, й набагато меншою мiрою — зву-женням i розширенням потоку та iн.
Розрахунки гiдравлiчного опору проведенi на осно-вi геометричних параметрiв, отриманих МКЕ. Це на-самперед форма поперечного перетину у мюцях iз середнiм та максимальним стисненням артери та закрутка криволiнiйного каналу по довжиш артери.
Як показано рашше (рис. 5), звужена дглянка артери мае вигляд гвинтового каналу. Тому в артери мае мюце гвинтовий рух кровi, що збгльшуе гiдравлiчний опiр стиснено! дтянки. Кручення каналу визначене в результат розрахунку напружено-деформованого стану артери. У гвинтовому каналi мае мюце перемщення еритроцитiв iз набуттям ними обертового руху (рис. 0).
Для визначення додаткового перепаду тиску, обу-мовленого гвинтовим рухом кровi, використаемо рГв-няння змiни моменту илькоси руху. Воно встановлюе спiввiдношення мiж моментами кiлькостi руху елемен-пв рiдкого середовищi й мае такий вигляд [Ф5
iJ^xp -^dW =tirxPda, dt s n
(С)
де знак х означае векторний добуток векторiв; г — ра-дiус-вектор довГльно! точки в серединi контрольного об'ему W; р — середня густина кровь
1нтеграл у правш частинi формули (С) обчислено наближено. Прийнято, що стиснутий перетин артери мае невелику товщину. Для контрольного об'ему оди-нично! довжини маемо5
S n cos у
(0)
де Я — середнш радiус стисненого перетину вГдносно осi артери, 5 — площа стисненого перетину; у — кут нахилу гви1 нтово! траектори руху кровi в стисненому перетиш; I — орт дотично! в цилшдричнш системi координат.
Для обчислення штеграла в лГвш частиш рГвняння визначимо похГдну швидкост у виглядГ [К0]5
dV ЪУ Iр \ "
де V — оператор Набла. р
Для стацюнарного руху дVПBdt = 0.
Проекцiя iнтеграла в правш частиш (0) на напря-мок дотично!5
я£хр dV = pV 2tg y-s№
w dt n
ПрирГвнявши правi частини (0) Г (Ф),визначимо перепад тиску, обумовлений гвинтовим рухом кровГ за-лежно вГд витрати5
= _ Q^ tg у • cos yl S2 R
(К0)
(Ф)
Рисунок 8. Набуття потоком кровI гвинтового руху на стисненй д!лянц! артерИ
Розрахунки за формулою (Ю) наведеш в графГчно-му виглядГ (крива 2 на рис. С). 1з порГвняння графшв випливае, що гвинтовий рух потоку кровГ дещо шд-вищуе втрати напору. Особливо це проявляеться при значних стисненнях артери. При помГрному стисненш гвинтовий рух пГдвищуе перепад тиску на К)—К5 З .
Висновки
К. У результатГ розрахунку напружено-деформова-ного стану дтянки хребтово! артери, деформовано! ст-ралеподГбним м'язом, встановлено, що перетин артери набувае серпоподабно! форми довжиною близько 4 мм та шириною близько 0,5 мм, а сама артерГя утворюе гвинтовий криволшшний канал довжиною КЗ—22 мм, що вГдповГдае кроку гвинтово! лши та мае вхщну дГлян-ку звуження (конфузорноста) та вихГдну дглянку розши-рення (дифузорноста) довжиною близько К0 мм кожна.
2. На основГ розрахунку основних параметрГв ери-троцита встановлено, що вш мае три рГвш за об'емом та площею мембрани конфиурацГ!5 двояковвинутий диск, сплюснутий та витягнутий елшсо!ди обертання. При цьому при незначних напруженнях зсуву в рухо-мш кровГ, що характерш для течи в артери без стиснен-ня, еритроцит набувае форми, близько! до сплюснутого елшсо'ту, а при великих напруженнях зсуву, що характерш для мюця звуження артери, його форма буде близькою до витягнутого елшсо'ту обертання.
3. Показано, що при невеликих напруженнях зсу-ву еритроцит обертаеться, а при значних напруженнях вш перестае обертатися, а його мембрана здшснюе ш-тенсивний циркуляцшний рух вГдносно малорухомо-го рГдкого вмюту еритроцита. Цим забезпечуеться рух кровГ з характеристиками, близькими до ламшарного, та стабшзуеться течГя в пристшному шарГ, унеможлив-люючи вихроутворення та вГдрив потоку кровГ вГд стш-ки артери на дифузорнш дтянш звуження.
4. Визначено, що при деформацГ! артери, що вГд-повГдае зменшенню 11 площГ в 5—0 разГв, рГзко зростае перепад тиску на стиснутш дтянць При цьому перепад тиску може сягати 20 мм рт.ст. Г вище, що в десятки раз перевищуе перепад тиску в артери без стиснення. Наявнють гвинтового каналу при стисненш пГдвищуе перепад тиску на Ю—К5 З .
5. Як напрямок подальших дослГджень рекомен-дуеться визначити пдравлГчш характеристики всього комплексу артерш шийного втддлу людини, врахував-ши при цьому можливють компресГ! обох хребтових артерш.
Список л\тератури
1. Черняк В.А. Современные аспекты хирургической профилактики ишемического инсульта // Практична
ангюлог1я. — 2012. — № 2/1. — С. 21-29.
2. Скобцов Ю.А, Родин Ю.В., Оверко В.С. Моделирование и визуализация поведения потоков крови при патологических процессах. — Донецк: Издатель Заславский А.Ю., 2008. — 212 с.
3. Аналй клнчних варiантiв та форм синдрому хребто-во1 артери у хворих i3 екстравазальною компреаею в сегментах V1-V2 залежно вiд вшу / В.Г. Мшалов, Л.М. Яковенко, В.А.Черняк, В.В. Сулк, С.В. Дибка-люк, Р.В. Сулж, В.Ю. Зоргач, К.М. Зозуля // Серце i судини. — 2011. — № 2(34). — С. 57-64.
4. Клiнiко-доплерографiчнi кореляци та результати шструментальних методiв дiагностики синдрому хребтовоï артерн у хворих з екстравазальною компреаею в сегментi V1-V2 / В.Г. Мшалов, В.А. Черняк, В.В. Султ, С.В. Дибкалюк, Р.В. Султ,
B.Ю. Зоргач// Серце i судини. — № 4(36). — 2011. —
C. 9-16
5. Пат. на корисну модель № 54580 (UA) МПКА 61В17/00. Споаб вiдновлення кровотоку в басейш хребтово1 артери людини /Мшалов В.Т., Черняк В.А, Сулж В.В., Дибкалюк С.В., Сулж Р.В., Сулж В.К.., Сулж С.1.; заявник i па-тентоутримувач Нащональний медичний утверситет iM. О.О. Богомольця. — № u201008493; заявл. 07.07.10; опубл. 10.11.10. Бюл. № 21.
6. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. — М.: МИР, 1981. — 623 с.
7. Рон К..С. Чен. Autodesk Inventor. — М.: Лори, 2002. — 568с.
8. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. — М.: МИР, 1983. — 400 с.
9. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — 847с.
10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 712 с.
Отримано 22.04.14 ■
Дыбкалюк С.В., Герцен Г.И. Кафедра ортопедии и травматологии № 1 Национальной академии последипломного образования имени П.Л. Шупика, г. Киев
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УПРУГО-РЕГУЛЯТОРНЫХ И ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЗВОНОЧНЫХ АРТЕРИЙ В НИЖНЕМ ШЕЙНОМ ОТДЕЛЕ ПОЗВОНОЧНИКА ЧЕЛОВЕКА
Резюме. Обоснована необходимость решения важной научной проблемы, которая касается определения количественных характеристик патологии кровообращения в артериях шейного отдела человека. Выбранные методы исследований направлены на определение формы артерии, деформированной спиралевидной мышцей, и определение патологических изменений гидравлических характеристик артерии на деформированном участке с учетом особенностей крови как жидкой субстанции, которая включает существенную объемную долю эритроцитов.
Приведены результаты математического моделирования методом конечных элементов формы участка позвоночной артерии, деформированной спиралевидной мышцей. Установлены количественные характеристики деформированного сечения артерии.
Ключевые слова: позвоночная артерия, математическое моделирование, компрессия.
DybkalyukS.V., Gertsen G.I.
Department of Orthopedics and Traumatology № 1 of the National Academy of Postgraduate Education named after P.L. Shupyk, Kyiv, Ukraine
USING MATHEMATICAL MODELING BY FINITE ELEMENT METHOD OF ELASTIC-REGULATORY AND HYDRAULIC CHARACTERISTICS OF VERTEBRAL ARTERIES IN THE LOWER CERVICAL SPINE OF HUMAN
Summary. The necessity of solving important scientific problem, which concerns the determination of the quantitative characteristics of the pathology of blood circulation in the arteries of the human cervical spine, is justified. Selected methods of research aimed at determining the shape of artery, deformed by spiral muscle, and determining pathological changes on the hydraulic characteristics of the artery on the deformed portion taking into account the blood features as a liquid substance, which includes a significant volume fraction of erythrocytes.
The results of mathematical modeling using finite element method of the shape of vertebral artery portion, deformed by spiral muscle are given. The quantitative characteristics of the deformed section of the artery are defined.
Key words: vertebral artery, mathematical modeling, compression.
