ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН Текст научной статьи по специальности «Математика»

NATURAL SCIENCES

COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS

Научная статья УДК 004

https://doi.org/10.24412/2687-0185-2022-1-99-102 NIION: 2007-0083-1/22-094 MOSURED: 77/27-005-2022-01-293

Использование математических парадоксов при изучении естественнонаучных дисциплин

Софья Романовна Крупинская1, Екатерина Игоревна Таранина2

1 2 Московский университет МВД России имени В. Я. Кикотя, Москва, Россия

1 s791590@yandex.ru

2 97ekaterina@mail.ru

Аннотация. Рассмотрены профессиональные компетенции, необходимые для освоения студентами (курсантами), обучающимися по, так называемым, техническим направлениями подготовки (специальностям). Выявлена необходимость освоения аппарата математической логики, прежде всего в ходе изучения естественнонаучных дисциплин. Приведен перечень основных математических парадоксов с указанием последовательности их решения.

Ключевые слова: математика, естественные науки, математические парадоксы, образовательный процесс, естественнонаучные дисциплины

Для цитирования: Крупинская С. Р., Таранина Е. И. Использование математических парадоксов при изучении естественнонаучных дисциплин // Криминологический журнал. 2022. N° 1. С. 99-102. https://doi.-org/10.24412/2687-0185-2022-1 -99-102.

Original article

The use of mathematical paradoxes in the study of natural sciences

Sofya R. Krupinskaya1, Ekaterina I. Taranina2

1 2 Moscow University of the Ministry of Internal affairs of Russia named after V. Ya. Kikot', Moscow, Russia

1 s791590@yandex.ru

2 97ekaterina@mail.ru

Abstract. The professional competencies necessary for the development of students (cadets) studying in the so-called technical areas of training (specialties) are considered. The necessity of mastering the apparatus of mathematical logic is revealed, primarily in the course of studying natural science disciplines. A list of the main mathematical paradoxes with an indication of the sequence of their solution is given.

Keywords: mathematics, natural sciences, mathematical paradoxes, educational process, natural science disciplines

For citation: Krupinskaya S. R., Taranina E. I. The use of mathematical paradoxes in the study of natural sciences. Criminological Journal. 2022;(1):99-102. (In Russ.). https://doi.org/10.24412/2687-0185-2022-1-99-102.

Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования, предусматривающими подготовку кадров технической направленности, установлено, что по результатам освоения образовательной программы, выпускник (специалист) должен уметь использовать математический аппарат [1]. Указанная компетенция осваивается обучающимися при изучении математических и естественнонаучных дисциплин: высшая математика,

© Крупинская С. Р., Таранина Е. И., 2022

прикладная математика, математический анализ, дискретная математика и др.

Также отметим, что при изучении вышеуказанных дисциплин студентам (курсантам) образовательных организаций необходимо освоить общепрофессиональные компетенции, среди которых выделяют использование аппарата математической логики. Указанное умение также может быть получено в результате решения занимательных задач, математических

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ И ИНФОРМАТИКА

■ ■ ■ пи

■ ■ ■ ■

■ ■ ■ ■

■ ■ ■ ■

■ ■ ■ ■

■ ■ ■ о !

■ □ ■ ■

■ ■ ■

Рис. 1. Иллюстрации к задаче о шахматной доске. Последовательность действий

парадоксов, которые, как правило, не входят в рабочую учебную программу изучаемых дисциплин, однако могут быть рассмотрены преподавательским составом и студентами самостоятельно в рамках факультативных занятий, консультаций, внеаудиторной работы. Авторским коллективом предложены некоторые из них.

Загадка о шахматной доске

Рассмотрим загадку о шахматной доске [2], в решении которой нередко допускают ошибки, не смотря на ее достаточную известность.

Имеется сетка размером 8 х 8 ячеек. Очевидно, всю эту сетку легко покрыть 32 костяшками домино размером 1 х 2 ячейки. На первом этапе уберем две клетки, расположенные в противоположных углах.

Можно ли покрыть получившуюся сетку всего 31 костяшкой? Правильный ответ на этот вопрос — «нет». Какие бы действия не предпринимали участники эксперимента, 31 костяшка домино не может покрыть сетку с удаленными противоположными угловыми клетками.

Почему это так, станет очевидно, если использовать вместо представленной не закрашенной сетки черно-белую шахматную доску. Результат выполнения операций показан на рис. 1.

Каждая костяшка домино может закрыть одну черную клетку и одну белую, поэтому 31 костяшка может закрыть в точности 31 белую клетку и 31 черную. Поскольку две клетки, удаленные с доски, одного и того же цвета — белые, то в обрезанной доске осталось 30 белых клеток и 32 черные.

Четные числа и бесконечность

Всем известно, что последовательность 1, 2, 3, 4, 5... составляет натуральные числа (натуральный ряд)1, который может принимать значения до бесконечности. Одно лишь понятие бесконечности приводит к парадоксальным свойствам этих чисел. Среди натуральных чисел, как известно, есть четные. Может сложиться впечатление, что натуральных чисел больше, чем четных. Казалось бы, такое утверждение справедливо, ведь четные числа — это только часть натуральных чисел, однако докажем, что четных чисел столько же, сколько натуральных. Рассмотрим две строки чисел, в одной — все натуральные числа, а во второй — четные (рис. 2), т. е. числа, полученные умножением на два каждого числа первой строки (1 х 2 = 2, 2 х 2 = 4, 3 х 2 = 6, 4 х 2 = 8, 5 х 2 = 10 и т.д.).

1 2 3 4 5 6 7 п ... 2 4 6 8 10 12 14 2п ...

Рис. 2. Строки из натуральных и натуральныгх (четныгх) чисел

Если указанные две строки с числами продолжать до бесконечности, то под каждым натуральным числом будет находиться четное число. Таким образом, очевидно, что четных чисел не меньше, чем натуральных. На это удивительное свойство бесконечности обратил внимание в XVII в. знаменитый итальянский ученый Галилео Галилей [3], который одним из первых и сформулировал этот парадокс.

1 Натуральные числа (Ы) — числа, возникающие при счете.

NATURAL SCIENCES

COMPUTER SCIENCE AND INFORMATICS

Парадокс лжеца

Рассмотрим классическое условие данного парадокса, который многие обучающиеся наблюдали его в различных формах: «То, что я утверждаю сейчас — ложно» (либо «Я лгу», либо «Данное высказывание — ложь»). Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание — ложь; но если оно — ложь, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что данное высказывание — ложь, и, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало [4].

Парадокс Лжеца играет роль «решающего эксперимента», которая отводится ему с решением проблем истины.

Сумма последовательных нечетных чисел

Имеется утверждение: сумма п первых последовательных нечетных чисел, начиная с 1, всегда равна квадрату п.

1 + 3 = 4 = 22;

1 + 3 + 5 = 9 = 32;

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42.

Этот закон можно подтвердить, используя метод математического доказательства — индукцию. Он применяется решения многих задач, связанных с переходом от частного к общему, что позволяет изучать значения, стремящиеся к бесконечности.

Итак, чтобы доказать истинность утверждения: 1 + 3 + ... + (2п - 3) + (2п - 1) = п2.. совершим индукционный переход, т.е. представим, что доказываем равенства не для значения п, а для значения п + 1 (для следующего числа). Следовательно, если это равенство окажется верным, то и первоначальное утверждение (для значения п) будет верно. Запишем левую часть:

1 + 3 + ... + (2(п + 1) - 3) + (2(п + 1) - 1) = 1 + 3 + + . + (2 п - 1) + (2п + 1).

В правой же части равенства должно быть значение (п + 1)2. Поскольку авторы предполагают, что равенство выполняется для п, можно утверждать, что:

1 + 3 + ... + (2п - 1) + (2п + 1) = п2 + (2п + 1) = = (п + 1)2.

Рассмотрим еще одно доказательство, которое заметил древнегреческий математик и философ — Пифагор. Он раскладывал камешки, как показано на рис. 3-5.

Рассмотрев указанные выше иллюстрации, становится совершенно очевидно, что сумма последовательных натуральных чисел равна квадрату числа п.

Рис. 3. Первый шаг иллюстрации задачи Пифагора

Рис. 4. Второй шаг иллюстрации задачи Пифагора

Рис. 5. Третий шаг иллюстрации задачи Пифагора

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ И ИНФОРМАТИКА

Авторский коллектив подчеркивает, что доказательство каких-либо утверждений может быть несложным для осмысления и понимания. В результате поиска решений, целесообразно использовать средства визуализации информации — диаграммы, таблицы, рисунки, схемы, графики, которые также помогут обучающимся выбрать необходимый способ решения и определить имеющуюся закономерность. Отметим, что естественные науки предполагают использование не только математических формул — символьных записей высказывания, но, как и было показано авторами, и других способов.

Библиографический список

1. Приказ Министерства науки и высшего образования Российской Федерации от 26 ноября 2020 г. № 1461 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта высшего образования — специалитет по специальности 10.05.05 Безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере» // Официальный портал правовой информации // URL://http://publication.pravo.-gov.ru/Document/View/0001202012220140.

2. Хаим Шапира. Восемь этюдов о бесконечности: Математическое приключение // Колибри. 2021. С. 300.

3. Пять математических парадоксов // Журнал YOLA. 2018 № 2(18) // URL://https://oyla.xyz/article/5-matematiceskih-paradoksov.

4. Парадокс лжеца: истина или ложь. Тема: Наука // Medium // URL://https://medium.com/eggheado-science/29291d66c5e1.

Bibliographic list

1. Order of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation No. 1461 dated November 26, 2020 «On approval of the Federal State educational standard of higher education — specialty in the specialty 10.05.05 Security of information technologies in the law enforcement sphere» // Official portal of legal information // URL://http://publication.pra-vo.gov.en/Document/View/0001202012220140.

2. Chaim Shapira. Eight etudes on infinity: A Mathematical Adventure // Hummingbird. 2021. P. 300.

3. Five mathematical paradoxes // Journal YOLA. 2018 No. 2 (18) // URL://https://oyla.xyz/article/5-ma-tematiceskih-paradoxes.

4. The liar's paradox: true or false. Subject: Science // Medium // URL://https://medium.com/eggheado-sci-ence/29291 d66c5e1.

Информация об авторах С. Р. Крупинская — курсант факультета подготовки специалистов в области информационной безопасности Московского университета МВД России имени В. Я. Кикотя;

Е.И. Таранина — преподаватель кафедры естественнонаучных дисциплин учебно-научного комплекса информационных технологий Московского университета МВД России имени В. Я. Кикотя.

Information about the authors S. R. Krupskaya — Cadet of the Faculty of Training Specialists in the field of information security of the Moscow University of the Ministry of Internal affairs of Russia named after V. Ya. Kikot';

E. I. Taranina — Lecturer of the Department of Natural Sciences of the educational and scientific complex of Information Technologies of the Moscow University of the Ministry of Internal affairs of Russia named after V. Ya. Kikot'.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 14.02.2022; одобрена после рецензирования 28.02.2022; принята к публикации 14.03.2022.

The article was submitted 14.02.2022; approved after reviewing 28.02.2022; accepted for publication 14.03.2022.